Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi lớp 8 các cách vẽ hình phụ khi giải toán hình học

Bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi lớp 8 Các cách vẽ hình phụ khi giải toán hình học ---o0o--- I. Nhận thức Toán học là một bộ môn khoa học trừu tượng. Muốn tìm hiểu chính xác, theo tôi khi dạy Toán cho học sinh, mộ yêu cầu nổi bật nhất là phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi đối với những bài toán khó. Do đó, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic cao, biết kết hợp kiến thức cũ và mới một cách chặt chẽ. Thông thường, trong hình học mỗi bài toán có một tình huống mới lạ. Có những bài toán chưa cho phép học sinh vận dụng trực tiếp định lý, tính chất, dấu hiệu nhận biết … để tìm ra đáp số. Trong quá trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đưa về hình huống quen thuộc để có thể vận dụng trực tiếp các kiến thức đã biết. Ngoài việc phải vẽ hình chính xác, tổng quát theo dữ kiện bài toán (tránh vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình), thì một trong các biện pháp có hiệu quả là phương pháp vẽ hình phụ. Việc vẽ hình phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp lý. Vì vậy, cần thiết có thể bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực này. ở đây tôi không muốn đề cập tới các dạng bài tập, các hệ thống câu hỏi gợi mở. Mà tôi chỉ muốn nêu lên một số cách hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải cho bài toán hình học lớp 8 thông qua việc vẽ hình phụ. II. Biện pháp 1. Phương pháp 1 : Tìm yếu tố trung gian. Thực chất của phương pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi ra hướng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó để suy ra kết luận. Ví dụ 1: (Bài 155 trang 76 SBT) Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Chứng minh rằng CE vuông góc với DF. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD. GT A B C D E F M Hình vuông ABCD CE cắt DF tại M EA = EB; FB = FC KL a) CE ^ DF b) AM = AD N K Phân tích Học sinh chưa cần tạo ra yếu tố phụ trên hình vẽ cũng chứng minh được : DBEC = DCFD (c – g – c) => Do đó => Đối với trường hợp này, giáo viên dẫn dắt học sinh phải kẻ đường phụ như sau: Để AM = AD khi và chỉ khi tam giác AMD cân tại A, khi và chỉ khi trung tuyến đồng thời là đường cao. Vậy dẫn tới kẻ thêm đường phụ phải mang yếu tố trung điểm và vuông góc. Từ đó phải xuất phát từ trung điểm K của DC. Lấy K là trung điểm của DC nối AK cắt DF tại N. Ta Chứng minh cho AN là trung tuyến, là đường cao của tam giác ADM. Lời giải Xét hai tam giác BEC và CFD có : CD = BC (cạnh hình vuông), , CF = BE () nên DBEC = DCFD (c – g – c) => . Do đó => Hay CE ^ DF (1) b) Gọi K là trung điểm của CD, N là giao điểm của AK và CD. Tứ giác AECK là hình bình hành vì AE // CK, AE = CK. Suy ra AK // CE (2) Từ (1) và (2) suy ra AK ^ DF (3) Mà K là trung điểm của CD, AK // CE (c/m trên) nên ND = NM (4) Từ (3) và (4) suy ra AN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ADM. Do đó tam giác ADM cân tại A. Hay AD = AM (đpcm). 2. Phương pháp 2 : Biến đổi kết luận của bài toán về dạng tương đương. Thực chất của phương pháp này là biến đổi kết luận (ở dạng chưa thấy hướng giải) thành một trong các dạng tương đương có khả năng gợi ra hướng vẽ hình phụ và từ đó đi đến hướng giải. Đây là phương pháp đơn giản và thường được “ thử nghiệm” đầu tiên. B A C E D F K M N Ví dụ 2 : Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và BCKF. Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng DF. GT rABC Dựng các hình vuông ABDE; BCKF MA = MC KL Phân tích Ta thử biến đổi kết luận: Vế trái của đẳng thức (2) gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM khi đó ta thử tìm cách chứng minh BN = DF. Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm). Hình bình hành ABCN và cặp tam giác bằng nhau. DBDF = DCNB (c.g.c) sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM = DF. Chứng minh Lấy N đối xứng với B qua N. Tứ giác ABNC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nê nó là hình bình hành. Từ đó suy ra NC = AB và . Mà AB = BD (cạnh hình vuông) và nên BD = NC và . Hai tam giác BDF và CNB có BC = BF, BD = NC và , nên chúng bằng nhau theo trường hợp c – g – c. Vậy DF = BN hay DF = 2BM 3. Phương pháp 3: Vẽ hình phụ bằng hoặc tỉ lệ với các hình có trong kết luận. Thực chất của phương pháp này là vẽ thêm các yếu tố phụ hoặc bằng, hoặc tỉ lệ (hoặc có diện tích bằng hoặc tỉ lệ) phụ thuộc vào yêu cầu bài toán với các hình có trong kết luận ở dạng nhìn thấy hướng giải rõ hơn. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, một điềm M chạy trên cạnh CD. Gọi P, Q và R theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ B, C, D xuống đường thẳng AM. Chứng minh rằng BP = DQ + CR. GT A B Q R’ C’ P D M C R ABCD là hình bình hành CR ^ AM , M ẻ CD; BP ^ AM; QD ^ AM KL BP = DQ + CR Phân tích : Ta thấy các đoạn thẳng có trong đẳng thức của KL chưa có mối liên hệ trực tiếp nào. Có thể nghĩ đến tạo ra các đoạn thẳng trung gian bằng các đoạn thẳng trong đẳng thức ở kết luận trên hình vẽ, nên có các hướng sau: Vẽ trên đoạn thẳng lớn BP một đoạn thẳng bằng DQ (hoặc bằng CR) và tìm cách cm phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai. Kéo dài đoạn thẳng CR (hoặc DQ) một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng ngắn thứ hai và tìm cách c/m phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai. Hướng thứ nhất gợi cho ta hai cách vẽ hình phụ: Để PC’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ dàng c/m được DBC’C = DDQA trường hợp cạnh huyền - góc nhọn). Kẻ RR’ // BC => BR’ = CR. Cần c/m PR’ = QD ta cũng có cách vẽ tương tự với hướng thứ hai. Chứng minh Cách 1 : Kẻ CC’ ^ AM. Tứ giác CRPC’ lcó ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật, suy ra CR = C’P. Xét hai tam giác vuông DQA và BC’C có = 900, AD = BC ( cạnh đối của hình bình hành, (góc có cạnh tương ứng song song) nên (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra DQ = BC’ Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Cách 2 : Kẻ RR’ // BC, chứng minh RC = BR’, DR/ = DQ. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.. B M C N O I P A E D Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1. Nối A với trung điểm M của cạnh BC, AM cắt đường chéo BD tại O. Tính diện tích của tứ giác OMCD. GT MB = MC SABCD = 1 AM ầ BD = 0 KL Tính SOMCD = ? Phân tích Trên hình vẽ cần tạo ra D bằng hoặc có diện tích bằng DBOM và các tứ giác có diện tích bằng nhau (có thể tính được), sao cho giữa tứ giác OMCD có mối liên hệ diện tích với các tứ giác, tam giác nói trên, với hình bình hành ABCD. Muốn thế từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đường // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành các tứ giác. Dễ dàng chứng minh được: SAMCE = S BCD ( = SABCD) SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM SOMCD = . SABCD = SABCD Vì SABCD = 1 => SOMCD = . Chứng minh Từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đường // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành các tứ giác. Dễ dàng chứng minh được: SAMCE = S BCD ( = SABCD) SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM SOMCD = . SABCD = SABCD Vì SABCD = 1 => SOMCD = . Bài tập vân dụng Bài 1 : Cho hình vuông ABCD. E thuộc miền trong của hình vuông sao cho . Chứng minh tam giác ABE là tam giác đều. Bài 2 : Cho hình thang vuông ABCD có . Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đường vuông góc với DE, cắt BC tại F. Chứng minh rằng ED = EF. Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với Bc, cắt các đường thẳng AB, AC ở E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Chứng minh A là trung điểm của HK. Bài 4. Cho tam giác ABC. Lờy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK. Bài 5 : Cho tứ giác lồi ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm P tuỳ ý. Hãy kẻ qua P đường thẳng chia tứ giác thành 2 đa giác có diện tích bằng nhau. Bài 6: Cho hình bình hành OBCA. Gọi E và F lần lượt là các điểm trên cạnh OA và OB sao cho OE = OA; OF = OB. Đoạn thẳng EF cắt đường chéo OC tại M. Tính tỉ lệ số = ? III. Kết quả và những bài học rút ra. Trong tiếp thu kiến thức hình, tìm đường lối chứng minh hình là một điều khó với học sinh. Với học sinh khá giỏi, ngoài việc biết chứng minh các bài tập cơ bản còn phải biết giải các bài toán khó. Với cách hướng dẫn trên giáo viên đã chuẩn bị, tạo ra tình huống dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Tuy nhiên, để làm được điều đó, giáo viên phải đầu tư thời gian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Muốn bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán, có kỹ năng giải các bài toán hình chính xác, lập luận phải có căn cứ thì giáo viên bồi dưỡng phải nâng dần tư duy cho học sinh và nắm chắc phương pháp giải toán. Bằng cách hướng dẫn đó, chung ta sẽ hình thành cho học sinh khả năng giải các bài tập, đặc biệt các bài tập khó. Trên đây là những ý kiến của cá nhân tôi, mong các đồng nghiệp tham khảo góp ý kiến chung để có được phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi tốt. Thụy Phúc, ngày 10 tháng 11 năm 2007 Người viết Trần Ngọc Đại