Sáng kiến kinh nghiệm - Các cách giải phương trình vô tỷ trong chương trình Đại số 9

A. Đặt vấn đề Trong chương trình toán học phổ thông thì phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng là một trong những kiến thức rất cơ bản và phổ biến.Phương trình vô tỷ thừơng xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Có rất nhiều phương pháp giải phương trình . Với đề tài này tôi chỉ xin được trao đổi cùng các bạn về các phương pháp giải phương trình vô tỷ một ẩn mà ở đó chứa các căn thức bậc hai là chủ yếu và mở rộng hơn là các căn bậc ba, bậc bốn, bậc năm mà giải nó chúng ta phải đưa về hệ phương trình. Trong quá trình giảng dạy ở lớp 9 , tôi thấy phương trình vô tỷ là một trong những phương trình mà khi giải người làm toán phải định hướng được nên giải theo cách nào cho phù hợp và nhanh gọn. Vì vậy khi học sinh giải các phương trình vô tỷ , để có một định hướng rõ ràng và việc tìm ra lời giải quả thật không phải là công việc đơn giản. Trong khi bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi người giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo. Chính vì thế tôi đã tổng hợp lại một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh như sau: b. giải quyết vấn đề I. Cơ sở thực tiễn: ở chương trình đại số 9 .Học sinh đã biết áp dụng định nghĩa căn bậc hai số học , sử dụng hằng đẳng thức , các phép biến đổi căn thức bậc hai để giải. Tuy nhiên chưa có hệ thống phương pháp giải nên học sinh còn lúng túng. II. Khảo sát thực tiễn của đề tài: 1. Số liệu thống kê: Khi chưa áp dụng đề tài, giáo viên ra bài tập giải phương trình vô tỷ, ta thấy: * số em giải đúng * số em giải chưa đúng * số em không giải được 2. Phân tích: * HS không giải được hoặc giải sai kết quả do: + Chưa biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải phương trình như: Bình phương hai vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức... + Chưa có phương pháp cụ thể để giải phương trình. + Chưa nắm chắc các kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phương trình thiếu nghiệm hoặc thừa nghiệm. III. Đề xuất- giải pháp * Giúp HS: + Hình thành cho HS có kỹ năng giải phương trình vô tỷ + Đưa ra một số phương pháp giải cho HS khá, giỏi iV. Nội dung 1* Một số vấn đề về lý thuyết + Khái niệm về phương trình vô tỷ: Ta gọi phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn 2* Một số phương pháp giải 1. Phương pháp 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc hai số học Ví dụ 1: Giải phương trình Giải Ta có : Giải x2=3x+4 ta được x=-1 ; x=4. Đối chiếu với điều kiện x thì nghiệm của phương trình là x=4 2. Phương pháp 2: Sử dụng hằng đẳng thức để đưa phương trình vô tỷ về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . Ví dụ 2: Giải phương trình : (2) Giải : Với điều kiện : x ta có : (2) + + vì * Nếu thì ta có : (thoã mãn) * Nếu thì ta có : . Vậy phương trình có vô số nghiệm x thoã mãn Chú ý: HS có thể sai lầm khi kết luận nghiệm 3. Phương pháp 3: Bình phương hai vế của phương trình vô tỷ đã cho để có phương trình hữu tỷ . Ví dụ 3: Giải phương trình : (3) Giải Điều kiện: Ta có (3) (3’) Hai vế của (3’) không âm, bình phương hai vế của (3’) ta được: 2x+5 =3x-5 + (3’’) Với ĐK: . Hai vế của(3’’) không âm nên ta bình phương hai vế của (3’’) ta được: 16( 3x-5) =36+x2 -12x x2 - 60x+116=0 x=2 ; x=58. Đối chiếu với các điều kiện và thì nghiệm của phương trình là : x=2 Chú ý: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho hai vế của phương trình đều không âm thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai. Thật vậy ở trong ví dụ này nếu cho điều kiện rồi bình phương hai vế của (3) thì ta sẽ được 2x+5 +3x-5-2(3’’’) Bình phương hai vế của phương trình (3’’’) ta được : x2 - 60x+116 =0 x=2 ; x=58. Đối chiếu với các điều kiện thì phương trình có hai nghiệm x=2 ; x=58.Mà khi thử lại ta thấy x=2 là nghiệm. 4. Phương pháp 4: Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phương trình vô tỷ đơn giản hơn. Ví dụ 4: Giải phương trình : (4) Giải Ta có (4) + (4’) Với điều kiện : ta có : (4’) (loại) (vô lý) vậy phương trình đã cho vô nghiệm 5. Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ. a) Đặt ẩn phụ để có phương trình bậc hai Ví dụ 5 : Giải phương trình : 3x2 +6x+20 = (5) Giải Ta có (5) 3( x2 +2x+8)- 4= Vì x2+2x+8=(x+1)2 +7 => TXĐ : Mọi x Dặt t= => t . Khi đó ta có : 3t2 - 4= t t = -1 loại t= loại b) Đặt ẩn phụ để có phương trình hữu tỷ bậc cao Ví dụ 6 : Giải phương trình Giải ĐK : x+1>0 Đặt => x+1 =t2 => x=t2-1 => x2 =t4 -2t2 +1. Khi đó ta có : t4 -2t2 +1 +t2 -1+ 12t -36=0 vô nghiệm vì t=2 => x+1=4 => x=3>-1. Vậy nghiệm của phương trình là x=3 c) Đặt ẩn phụ để có hệ phương trình hữu tỷ đơn giản Ví dụ 7: Giải phương trình Giải Điều kiện: Đặt a= ; b= ( a, b không âm) . Từ đó ta có hệ: (TMĐK) nên là nghiệm của phương trình Ví dụ 8: Giải phương trình : Giải Đặt a = ; b = . Từ đó ta có hệ: hoặc Nếu a=0; b=- => x=1 a= ; b=0 =>x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm : x=1 ; x=3 6. Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Ví dụ 9: Giải phương trình : (9) Giải Ta thấy với x=0 thì giá trị vế trái= . Giá trị vế phải = => x=0 là nghiệm Giả sử phương trình có nghiệm x>0. Tiến hành chia hai vế của (9) cho ta có (9’) Mà (9’) vô nghiệm=> phương trình (9) không có nghiệm x>0 Giả sử phương trình có nghiệm x<0. Tiến hành chia hai vế của (9) cho ta có (9’’) Mà => (9’’) vô nghiệm => phương trình (9) không có nghiệm x<0 Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho 7. Phương pháp 7:Sử dụng bất đẳng thức. a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau, khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ 10: Giải phương trình : Giải ĐK : Khi đó ta có : => giá trị của vế trái nhận giá trị âm. Mà => giá trị vế phải lại không âm. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm b) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau tại cùng một giá trị. Khi đó phương trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn. Ví dụ 11: Giải phương trình : Giải Ta có : . Dấu “=” xảy rax=-1 . Dấu “=” xảy rax=-1 => Giá trị vế trái .Dấu “=” xảy rax=-1 Mà 2- 2x- x2 =-(x2 +2x+1)+3=- (x+1)2 +3. Dấu “=” xảy rax=-1 Vì thế x=-1 là nghiệm của phương trình đã cho c) Sử dụng dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức: Ví dụ 12: Giải phương trình : Giải ĐK: x>2 . Ta có . áp dụng bất đẳng thức cô-sy cho hai số không âm ta có: áp dụng a+b . Dấu “=” xảy ra a=b Ta có =4 => (TM). Vậy nghiệm của phương trình là x=6 3* Bài tập tương tự: Giải các phương trình Bài 1 : Bài 2: Bài 3: x2 +3x+2 -5 ( Đề thi HSG huyện năm học :2003-2004) Bài 4: x+ ( Đề thi tốt nghiệp THCS năm học :2002-2003) Bài 5 : (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10-2006) Bài 6 : Bài 7 : Bài 8 : x2 +3x+1=(x+3) 4* kết quả: Qua quá trình ôn tập cho HS lớp 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã mạnh dạn đưa đề tài này áp dụng vào việc giảng dạy. Tôi thấy học sinh rất say mê giải bài tập với các dạng trên.Có nhiều bài toán khó các em đã cùng nhau tháo gỡ, có khoảng 60% học sinh tiếp thu tốt đề tài này. c. kết luận Qua việc tổng hợp một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 9. Tôi đưa ra giảng dạy cho học sinh giỏi và ôn tập cho học sinh chuẩn bị cho kỳ thi chuyển cấp. Khi có kỹ năng giải phương trình vô tỷ bằng các phương pháp trên, thì các em cũng phát hiện rất nhanh đối với việc giải phương trình vô tỷ không mẫu mực khác. Trong quá trình tham khảo, chọn lọc và viết, chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý trao đổi của các bậc thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để vấn đề trên được hoàn thiện hơn.