Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU I. 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI I.1.1. Cơ sở lí luận Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ, thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”. Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn. I.1.2. Cơ sở thực tiễn Năm học 2007- 2008 và năm học 2008 - 2009 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8,9 qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ...vì để giải được các dạng toán đó thì cần phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Để phân tích đa thức thành nhân tử có 4 phương pháp cơ bản đó là: Đặt nhân tủ chung, nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp (sgk – Toán 8 tập 1) nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặp khó khăn trong quá trình giải toán( có những bài chưa thể giải được hoặc không có phương pháp tổng quát để giải). Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng...Đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạng toán khó; Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng nó sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung và các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng. I.2. Mục đích của đề tài. - Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này. - Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử - Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh - Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh. I.3. Thời gian - địa điểm I.3.1. Thời gian Đề tài được nghiên cứu từ tháng 9 năm 2008 tới tháng 5 năm 2009 I.3.2. Địa điểm Trường PTCS Đại Thành Tiên Yên – Quảng Ninh I.3.3. Phạm vi đề tài I.3.3.1. Giới hạn đối tượng nghiên cứu “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” I.3.3.2. Giới hạn địa bàn Trường PTCS Đại Thành Tiên Yên – Quảng Ninh I.3.3.3. Giới hạn khách thể: Học sinh lớp 8 I.4. Phương pháp nghiên cứu I.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu có liên quan đến đề tài. - Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở như: + Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9 + Sách giáo viên 7, 8, 9 + Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh I.4.2. Phương pháp chuyên gia Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài. I.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm. Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài I.5. Đóng góp mới về mặt lí luận và thực tiễn - Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì cho học sinh. Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó. - Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau. PHẦN II. NỘI DUNG Chương I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.1.1. Lịch sử nghiên cứu Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trong những nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định. Song việc thực hiện được kết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố. Bản thân tôi không có tham vọng đi sâu và nghiên cứu tất cả các phương pháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp đối với học sinh THCS II.1.2. Cơ sở lý luận Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng Toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học. Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” II.2.1. Thực trạng Năm học 2007-2008 và 2008 - 2009 Tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8,9, qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy. Khi gặp các dạng bài tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích... các em gặp rất nhiều lùng túng. -Ví dụ 1: (trong tiết 25: Luyện Tập (Toán 8 tập 1)) Khi giáo viên đưa bài tập. Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít học sinh dơ tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi GV: đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm như thế nào? HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử... Sau khi gợi ý, nhiều học sinh đã đưa ra lời giải tuy nhiên bên cạnh đó vẫn còn tồn tại nhiều lời giải như sau: = (lời giải sai- phân thức chưa được rút gọn) Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử) Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số 8 )giáo viên đưa bài tập. Giải các phương trình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử. x(2x - 7) – 4x + 14 = 0 x2 – 5x + 6 = 0 hay bài tập sau. Tìm ĐKXĐ của phương trình: . Học sinh gặp rất nhiều lúng túng và chưa tìm ra cách giải. Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo. Nhưng ngay đối với việc giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử thông thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn. Do các em có thể quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp lý. Các em mới chỉ biết vân dụng từng phương pháp riêng lẻ vào giải các bài toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải các bài toán khó với yêu cầu cao hơn. - Ví dụ: (trong tiết 11: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử) giáo viên đưa bài tập: - Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. Đa số học sinh thực hiện đư ợc, nhưng khi đưa bài tập sau: phân tích đa thức x2 – y2 + 4x – 4 thành nhân tử, nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau: x2 – y2 + 4x – 4 = (x2 – y2)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) đây là lời giải sai, hay bài toán sau: phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử. nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau: x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y) = x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích được- đây là lời giải sai) Khi đứng trước bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử các em chưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thế nào, áp dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp và trong quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sót trong lời giải cũng như cách trình bày. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)2 – (x + 3)2 Nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau. (2x - 1)2 – (x + 3)2 = 4x2 – 4x – 1 – x2 – 6x – 9 = 3x2 – 10x – 10 ....(đây là lời giải sai) Học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưng chưa đúng phương pháp: lời giải đúng (2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3) = (x - 4)(3x + 2) - Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Một số học sinh đưa ra lới giải sau. x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả sai) - Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử. Một số học sinh đưa ra lới giải sau. (Lời giải sai): 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y = 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1) Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽ gặp khó khăn trong quả trình giải. Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán 8 tập 1) Bài 52a. phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử. Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích. SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó đa thức dễ dàng được phân tích tiếp. Vậy với các đa thức khác, có dạng tương tự ta làm như thế nào? Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phương pháp hoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trình sách giáo khoa chưa đề cập đến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát, nhưng thực tế trong quá trình giải toán, học sinh lại gặp rất nhiều bài tập dạng này (như đã đề cập ở ví dụ trên) Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường PTCS Đại Thành về bộ môn Toán tôi đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về “các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Câu 1: Em có thích học bộ môn Toán không? Chỉ có một số học sinh trả lời là có, vì học Toán rất bổ ích và thú vị. Bên cạch đó còn rất nhiều học sinh trả lời không thích học Toán vì học Toán khó ... Câu 2: Em có thích chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử không” ? Với câu hỏi này đa số học sinh trả lời là có. Vì chuyên đề này rất thú vị có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tiễn. Ví dụ: Tính nhanh. a. 37,5.6.5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6) = 375 – 75 = 300 b. 452 + 402 – 152 + 80.45 = (45 + 40 )2 – 152 = 852 – 152 = (85+ 15)(85 - 15)= 100.70 = 7000 Như vậy qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu cũng như dự giờ các đồng nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đã đánh giá và rút ra một số thực trạng như trên trong việc dạy và học của giáo viên và học sinh trường PTCS Đại Thành. II.2.2. Đánh giá thực trạng Từ những thực trạng tôi vừa nêu trên chứng tỏ trong những năm qua kết quả học tập bộ môn Toán của học sinh trường PTCS Đại Thành là chưa tốt, chỉ có một số học sinh giỏi, khá so với mức độ học sinh ở các trường vùng cao. Vậy tại sao lại có kết quả trên, theo tôi chủ yếu do các nguyên nhân sau. * Nguyên nhân khách quan: - Trường PTCS Đại Thành là một trường vùng cao - 100% học sinh là con em dân tộc khả năng nhận thức còn nhiều hạn chế - Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà. * Nguyên nhân chủ quan Môn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt bộ môn toán đòi hỏi học sinh phải có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện. Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, thiếu kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. Giáo viên chưa hình thành cho học sinh hệ thống các phương pháp. II.2.3. Nội dung vấn đề II.2.3.1. Những giải pháp mới của đề tài Ä Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau: - Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản. - Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. j Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng hằng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử k Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) - Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. - Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành. - Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán. - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao). l Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương pháp) + Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác. + Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử. + Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến) + Phương pháp tìm nghiện của đa thức. + Phương pháp hệ số bất định. + Phương pháp xét giá trị riêng. Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào trình độ nhận thức của học sinh. Tôi không có tham vọng đi sâu nghiên cứu tất cả các phương pháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (phương pháp 1,2,3,4)và thêm hai phương pháp nâng cao (phương pháp 5,6). Các phương pháp còn lại (phương pháp 7,8,9,10) chỉ mang tính chất giới thiệu. Chương III. Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.3.1. Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.3.1.1. Lý thuyết * Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi Đa thức đó thành một tích của những đa thức II.3.1.2. Các phương pháp cơ bản ù Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung a. Phương pháp - Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử - Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ). Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) * Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên): - Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử. - Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử. b. Ví dụ. Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử. Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2 = 3x2y ( 5y - 3x - y2 ) Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Phân tích ví dụ. - Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3 và ƯCLN(15, 9, 3) = 3. Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3 - Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: x2y2 ; x3y ; x2y3. Lũy thừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhất của x là 2 và của y là 1. Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x2y Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1.1 là: 3 x2y Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác định nhân tử chung. Giái viên có thể đưa gợi ý: ? - Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2) ? - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ? (Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác định được ) - GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất hiện nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 2 được giải như sau: Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y)) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A)) * Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp. Ví dụ 1.5 : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử. Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y = 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1) Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ sót số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x2y thì hạng tử thứ 3 trong ngoặc còn lại là số 0) Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1 = 3x2y ( 5y - 3x + 1 ) Ví dụ 1.6 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử. Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai ) Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai - Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) * Chú ý: - Bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau: A2 = (-A)2 (Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn của hai Đa thức đối nhau thì bằng nhau) c. Bài tập áp dụng. * Dạng 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 12x2y - 18y3 5x(x - 1) – 3x(x - 1) x(x + y) – 2xy(y - x) x2 + 5x3 + x2y x(y - 1) -y(1 - y) 3x2(2z - y) - 15x(y - 2z)2 2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y) * Dạng 2: Tính nhanh: 1) 85.12,7 + 5.3.12,7 2) 52.143 – 52.39 – 8.26 *Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức: 1. 15.91,5 + 150.0,85 2. x(x-1) – y(1 – x) tại x = 2001 ; y = 1999 3. x2 + xy + x tại x = 77; y = 22 4. x(x-y) + y(y-x) tại x = 53; y = 3 * Dạng 4: Tìm x, biết: 5x(x-2000) – x + 2000 = 0 x3 – 13x = 0 3. x + 5x2 = 0 4. x + 1 = (x + 1)2 5. x3 + x = 0 * Dạng 5: Chứng minh tính chia hết: 1. Chứng minh dằng : 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên) 2. Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. ùPhương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức Phương pháp: - Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích” 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 2.1: 9x2 + 6xy + y2 = (3x2) + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2 Ví dụ 2.2: 4x2 - 12x + 9 = (2x)2- 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 Ví dụ 2.3: a. (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy b. 9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) Ví dụ 2.4: 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 Ví dụ 2.5: 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = (3 - x)3 Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) Ví dụ 2.7: 1 - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = (1 – 3xy2)[12 + 1. 3xy2 + (3xy2)2 ] = (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 ) Khai thác ví dụ: Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng và vận dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử. Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà: - Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bình phương (A2 và B2) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B) hoặc (– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc (2) (Ví dụ 2.1; 2.2) - Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa được về dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (3). (Ví dụ 2.3) - Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có thể phân tích đưa về dạng) lập phương (A3 và B3 hoặc A3 và -B3 ) hai hạng tử còn lại có thể phân tích đưa về dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5). (Ví dụ 2.4; 2.5) - Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa được về dạng lập phương (A3 và B3) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc (7). (Ví dụ 2.6; 2.7) Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng đẳng thức Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử: Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) =[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42] = - (x2y + 4)2 c. Bài tập áp dụng. * Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. a. x2 + 6x + 9 b. 10x – 25 – x2 2. a. x2 + 4y2 – 4xy b. 6x – 9 – x2 3. a, 4x2 – 25 b. (3x + 1)2 - (x + 1)2 c. x2 – 64y2 4. a. x3 + b. 8x3 - c. (a + b)3 – (a - b)3 5. x3 + y3 + z3 – 3xyz Hướng dẫn: áp dụng bài 31 (sgk – tr 16) ta có: x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) do đó : x3 + y3 + z3 – 3xyz = [(x + y)3 + z3] + [-3xy(x + y) - 3xyz] = (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(x + y +z) = (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy) *Tính nhanh: 1. a. 252 – 152 b. 372 – 132 c. 20092 - 92 2. 872 + 732 – 272 - 132 * Tìm x .biết: 1. 2 – 25x2 = 0 2. x2 – x + = 0 3. x3 – 0,25x = 0 4. x2 – 10x = - 25 ùPhương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử a. Phương pháp Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. b.Ví Dụ: * Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22) b. xy - 5y + 2x – 10 c. 2xy + z +2x +yz Giải: a. Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y) x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y ) x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y ) = x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y) b. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) c. Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz) ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được) Các