Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

phần I phần Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh. Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phương trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phương trình… đối với học sinh lớp 8 đều cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương trình lớp 8. Các vấn đề trong đề tài đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh đều có thể tiếp thu được. Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó được diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải. Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên, tôi đã chọn đề tài: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó”. 2. Mục đích của đề tài: - Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này. - Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức. - Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh. - Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh. 3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến này tôi đã thực hiện trong nhiều năm qua. Bản thân đã nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở: - Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9. - Sách giáo viên lớp 7, 8, 9. - Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên. Phần II Nội dung I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi nó thành tích của những đa thức bậc nhỏ hơn. Ví dụ: x3 + y3 = (x + y)(x2 + xy + y2) Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung (thừa số) 1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 12x2y - 18y3 b. 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2 Giải a. Các dạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó: 12x2y - 18y3 = 6y.2x2 - 6y.3y2 = 6y(2x2 - 3y2) b. Các hạng tử có nhân tử chung là 3x(y - 2z) Do đó ta có: 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2 = 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)] = 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z) 2. Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung. Chẳng hạn đa thức: 2x2(3y - z) + (z - 3y)(x + y) Có thể viết là: 2x2(3y - z) - (3y - z)(x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y - z). Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức. 1. Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử a. 4x2 - 12x + 9 c. 16x2 - 9(x + y)2 b. 27 - 27x + 9x2 - x3 b. 1 - 27x3y6 Giải a. 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 b. 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3 c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) d. 1 - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4) 2. Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2 Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) b. 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) c. x2 + 2x + 1 - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2 = (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1) 2. Chú ý: Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử. Chẳng hạn ở ví dụ a có thể phân tích như sau: xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10) = x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5) 3. Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thường phối hợp 3 phương pháp kể trên. Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài hoặc đa thức trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho. Do đó tiếp tục phân tích sẽ đơn giản hơn. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) = 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] = 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z) Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 1. Dạng tam thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: x2 - 6x + 8 Giải Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 hay nhiều hạng tử. Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 = (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4) Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4 = (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12 = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 = (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Cách 6: x2 - 6x + 8 = 3x2 - 6x - 2x2 + 8 = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4) Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản và dễ làm nhất. ở đây ta đã tách số hạng bậc nhất - 6x thành 2 số hạng - 2x và - 4x. Trong đa thức x2 - 2x - 4x + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; - 2; - 4; 8 các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trước, nhờ đó xuất hiện thừa số chung (x - 2). Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử và tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho: = , tức là b1.b2 = a.c Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng bằng b. Trong ví dụ trên x2 - 6x + 8 có a = 1; b = - 6 và c = 8. Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúng bằng - 6); ví dụ: (- 4, - 2). Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 + 6x - 8 Giải Cách 1: Cách hạng tử thứ 2 9x2 + 6x - 8 = 9x2 - 6x + 12x - 8 = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4) Chú ý hệ số 6 được phân tích thành - 6 và 12, vì có tích bằng 72 bằng 9.(- 8). Cách 2: Tách hạng tử thứ 3 9x2 + 6x - 8 = (9x2 + 6x + 1) - 9 = (3x + 1)2 - 9 = (3x + 1 + 3)(3x + 1 - 3) = (3x + 4)(3x - 2) Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhau thường nhằm mục đích: - Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1). - Làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương (cách 2). Chú ý: a. Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa thức bậc 2 một biến Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) b. Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có 2 thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo cách 2 sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x2 - k) thì k không phải là bình phương của một số hữu tỷ. Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + 6 có tích a.c bằng 6 bằng 1.6, bằng 2.3 không có 2 thừa số nào có tổng bằng 4. Còn theo cách 2 thì: x2 + 4x + 6 = (x2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2)2 + 2 = (x + 2)2 - ( - 2); -2 không phải là bình phương của một số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích được thành tích. 2. Đa thức bậc 3 trở lên Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức. 2.1. Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức a. Định nghĩa nghiệm của đa thức Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a. Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau: b. Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức. c. Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẽ thì - 1 là nghiệm của đa thức. d. Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do. Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do, không là nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét sau: Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Ví dụ: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 Có các ước của 18 là: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18. f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18 f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44 Hiển nhiên ± 1 không là nghiệm của f(x), ta thấy: ; ; ; không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không là nghiệm của f(x); không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x). Chỉ còn - 2 và 3, kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). e. Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x = thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất. 2.2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 8x - 4 Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 - 5 + 8 - 4 = 0, nên 1 là nghiệm của đa thức. Đa thức đã cho chứa thừa số là x - 1; ta tách các hạng tử như sau: x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x - 4 = x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 3x + 9 Ta thấy các hệ số của đa thức 1 + 3 = - 5 + 9, nên đa thức đã cho có nghiệm là -1, đa thức chứa thừa số x + 1 Ta tách như sau: x3 - 5x2 + 3x + 9 = x3 - 6x2 + x2 - 6x + 9x + 9 = x2(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)(x2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)2 Ví dụ 3: f(x) = x3 - x2 - 4 Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4 Ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0; đa thức có nghiệm là x = 2, do đó chứa thừa số x - 2. Ta có: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4 = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) Ví dụ 4: 2x3 - x2 + 5x + 3 Ta thấy ± 1; ± 3 không phải là nghiệm của đa thức, xét các số hữu tỷ dạng p/q vứi p là Ư(2) và q là Ư(3) gồm ± ; ± . Ta có - là nghiệm của đa thức nên nó chứa thừa số 2x + 1. Vậy: 2x3 - x2 + 5x + 3 = 2x3 + x2 - 2x2 + 6x - x + 3 = x2(2x + 1) - x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x2 - x + 3) Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử 1. Thêm và bớt cùng một số hạng để xuất hiện hằng đẳng thức Ví dụ: 4x4 + 81 Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phương (2x2)2 + 92 tương ứng với 2 số hạng A2 + B2 của hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 còn thiếu 2AB. Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức: Ta có: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9 = (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9). Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài toán được. 2. Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung Ví dụ: x2 + x2 + 1 = x2 - x + x2 + x + 1 = x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1). Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến Thực hiện đổi biến của đa thức đã cho được đa thức mới có bậc nhỏ hơn và đơn giản hơn. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12. Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12 = y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2) = (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)] = (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Biến đổi đa thức đã cho (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*) Đặt x3 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y2 - 1 - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tương đương với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16) Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + 3 Các hệ số ± 1; ± 3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân này cho kết quả: x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được a + b = 6 ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd = 3 Xét bd = 3 với b, d ẻ z; b ẻ {± 1; ± 3}; với b = 3 thì d = 1. Hệ trên thành: a + b = - 6 ac = 8 a + bc = -14 2c = -14 -(-6) = 8 do đó c = - 4; a = - 2 Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử: x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + 3 = x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3 = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị tuyệt đối Trong phương pháp này trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nên thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y). Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P chứa x - y thì cũng chứa y - z và z - x. Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với " x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2) 2 = - 2k => k = - 1 Vậy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z) II. Các ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 1. Chứng minh quan hệ chia hết Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n " N hoặc n " Z). Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta thường phân tích biểu thức A(n) thành thừa số trong đó có một thừa số m. Nếu m là tập hợp số ta phân tích nó thành một tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các thừa số đó. Lưu ý trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k. Ví dụ: Chứng minh rằng A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n Ta có 24 = 8.3 A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6) = n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)] = n(n + 1)(n2 + 5n + 6) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Trong 4 số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + 2; n + 3 có một thừa số chia hết cho 2, một số chia hết cho 4, do đó A chia hết cho 8. Mặt khác trong 3 số tự nhiên liên tiếp tồn tại một số chia hết nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3. Vì ƯSCNN (3,8) = 1 nên A chia hết cho 8 Vậy A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) chia hết cho 8 với "n. 2. Giải phương trình bậc cao F(x) = 0 nếu có nghiệm thường được giải bằng cách phân tích f(x) thành nhân tử rồi giải các phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ 1: Giải phương trình (x2 - 1)(x2 + 4x + 3) = 192 ú (x - 1)(x + 1)2(x + 3) = 192 ú (x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192 ú (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x + 3) = 192 Đặt x2 + 2x - 1 = y ta có: (y + 2)(y - 2) = 192 ú y2 - 4 = 192 ú y2 = 196 ú y = ± 14 * Với y = 14 ta có x2 + 2x - 1 = 14 ú x2 + 2x - 15 = 0 ú (x - 3)(x + 5) = 0 ú x = 3 và x = - 5 * Với y = - 14 ta có x2 + 2x - 1 = - 14 ú x2 + 2x + 13 = 0 ú (x + 1)2 + 12 = 0 (loại) Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 và x = - 5 Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Đặt x - 7 = y, phương trình đã cho là (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 ú 2y4 + 12y2 + 2 = 16 ú y4 +6y2 + 1 = 8 ú y4 +6y2 - 7 = 0 ú (y2 - 1)(y2 + 7) = 0 (y2 + 7) > 0 với mọi y nên (y2 - 1) = 0; y = ± 1 tức là x = 6, hoặc x = 8 Vậy x = 6 và x = 8 là nghiệm của phương trình. 3. Tìm tập xác định và rút gọn một phân thức Muốn tìm tập xác định và rút gọn một phân thức đại số bao giờ ta cũng phải phân tích mẫu thức và tử thức thành nhân tử. Ví dụ 1: Tìm tập xác định và rút gọn phân thức sau A = x3 - 5x2 - 2x + 24 x3 - x2 - 10x - 8 Phân tích tử thức: x3 - 5x2 - 2x + 24 = x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 ú x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2) ú (x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x + 4) Phân tích mẫu thức: x3 - x2 - 10x - 8 = x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - 8 ú x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 3x - 4) ú (x + 2)(x + 1)(x - 4) Tập xác định của phân thức là x ạ -1; x ạ -2; x ạ 4 Phân thức được rút gọn là A = (x + 2)(x - 3)(x + 4) = x - 3 (x + 2)(x + 1)(x - 4) x + 1 4. Giải bất phương trình Ví dụ 1: Gải bất phương trình sau: x2 - 2x - 8 < 0 ú x2 - 4x + 2x - 8 < 0 ú x(x - 4) + 2(x - 4) < 0 ú (x - 4)(x + 2) < 0 Lập bảng xét dấu: x - 2 4 x +2 - 0 + + x - 4 - - 0 + (x - 4)(x + 2) + 0 - 0 + Nghiệm của bất phương trình - 2 < x < 4 Ví dụ 2: Giải bất phương trình x3 - 3x + 2 ³ 0 x2 - 5x + 6 - Tập xác định của bất phương trình x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) Tập xác định là x ạ 2, x ạ 3 - Biến đổi tử thức: x3 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau: x - 1 ³ 0 x - 3 Lập bảng xét dấu x 1 3 x - 1 - 0 + + x - 3 - - 0 + + 0 - 0 + Nghiệm của bất phương trình là x Ê 1và x ³ 3 III. Kết luận Với những kinh nghiệm như đã trình bày, sau nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, bản thân tôi thấy trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt. Hầu hết học sinh đã phân tích thành thạo các tam thức bậc 2 thành nhân tử. Học sinh khá giỏi đã sử dụng linh hoạt các phương pháp như đặt ẩn phụ, thêm bớt, hệ số bất định vào các đa thức phức tạp thành nhân tử. Học sinh tỏ ra sáng tạo hơn trong quá trình giải bài tập, một bài tập các em có thể giải theo nhiều cách, sau đó các em lựa chọn cách giải dễ hiểu nhất để trình bày. IV. Bài học kinh nghiệm Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” ở lớp 8 là một nội dung quan trọng, bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, là tiền đề để học sinh học tốt các kiến thức về sau. Do vậy trước tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phương pháp phân tích đã nêu trong SGK, tiếp đến là phương pháp tách hạng tử, đặc biệt là tách tam thức bậc 2 bởi phương pháp này rất hay sử dụng. Với học sinh khá giỏi cần hướng dẫn thêm cho các em phương pháp thêm bớt, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số bất định. Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, giáo viên cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, tạo sự tìm tòi cho các em. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn khi làm các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, trong khi trình bày đề tài của mình không tránh khỏi những khiếm khuyết, mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh và đạt hiệu quả cao./.