Sáng kiến kinh nghiệm - Cách vẽ hình để chứng minh bài toán hình học

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ : Môn toán từ trước đến nay được mọi người nhận thức có tầm quan trọng bậc nhất trong tất cả các môn học khác, là chìa khóa để mở tất cả các cánh cửa bí ẩn của thế giới khoa học .Trong thời đại ngày nay, đất nước đang chuyển mình phát triển mạnh mẽ cùng với các quốc gia trên thế giới, đòi hỏi mỗi con người phải rèn luyện cho mình những cách học, cách suy nghĩ khoa học và chính xác. Tuy nhiên như chúng ta đã biết trong quá trình học tập của tất cả các học sinh ở các trường THCS trong huyện, thì học tập môn toán lại là bộ môn học mà đa số học sinh không thích học. Do đặc thù của môn học, kiến thức đòi hỏi phải nắm được một cách có hệ thống. Như vậy học sinh không học ngay từ lớp dưới thì lean lớp trên sẽ bị hổng kiến thức. Do đó chất lượng đạt được trong những năm qua ở bộ môn toán còn thấp, số lượng học sinh thi học sinh giỏi vòng huyện đạt được sau mỗi lần thi còn rất ít. Chất lượng học tập môn toán ở trường THCS 1 Sông Đốc trong những năm qua cũng như các trường THCS khác trong huyện. Số học sinh đoạt giải môn toán trong các lần thi học sinh giỏi còn rất ít, số học sinh có học lực dưới trung bình của bộ môn toán chiếm tỉ lệ cao ( gần 50 % ). Trong môn học này phần đại số học sinh có phần thích học hơn phần hình học. Trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó thì hình vẽ cũng là nguyên nhân ảnh hưởng rất nhiều đến học tập phần hình học của học sinh. Hình vẽ không chuẩn xác thì học sinh khó có hướng để chứng minh, trong các bài toán hình học, phần vẽ hình là phần quan trọng của bài toán, tuy nhiên đối với một bài toán hình học có học sinh còn không vẽ được hình hoặc có vẽ được thì hình vẽ cũng không chuẩn xác. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. AH là đường cao,BM và CN là các trung tuyến. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia đối của tia MG lấyđiểm D sao cho MG = MD. Trên tia đối của tia NG lấy điểm E sao cho NG = NE. Tứ giác BCDE là hình gì ? Chứng minh. Học sinh vẽ hình theo điều kiện bài toán chỉ bằng thước thẳng thì hình vẽ thu được như hình bên. Như vậy hình vẽ thu được rất khó xác định tứ giác BECD là hình gì để có hướng chứng minh Ví dụ 2 : Cho đường tròn ( O ) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh rằng tam giác AEH là tam giác cân. Trong quá trình dạy học, các giáo viên và bản thân tôi đã có những biện pháp rèn luyện cách vẽ hình cho học sinh trong những bài toán hình học, tuy nhiên kết quả đạt được chưa cao, học sinh vẫn mắc phải những sai lầm khi vẽ hình. Đặc biệt trong quá trình giảng dạy, phần kiến thức về đa giác đều đa số học sinh chưa có cách vẽ. Nguyên nhân đẫn đến tình trạng này là do học sinh bị hổng kiến thức ở lớp dưới, môn hình học không chú học nên khi vẽ không có cơ sở để vẽ Trong việc học tập của học sinh trường THCS I Sông Đốc, học tập môn toán la ø vấn đề mà hầu như học sinh rất ngại học bởi vì đặc thù của bộ môn, kiến thức liên quan hầu hết từ lớp dưới đến lớp trên, năng lực học tập của học sinh có hạn. Đặc biệt đối với môn hình học chất lượng trong những năm qua còn thấp. Các bài toán chứng minh hầu như học sinh không làm được. Trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó thì kĩ năng vẽ hình cũng là một vấn đề quan trọng, hình vẽ không chuẩn xác thì học sinh khó có hướng để chứng minh. Không có kiến thức hình học để vẽ hình thì khi vẽ đa giác đều học sinh gặp rất nhiều khó khăn.Vì lí do đó mà tôi đưa ra một số kinh nghiệm trong cách vẽ hình để chứng minh và vẽ đa giác đều. 2/ Ý nghĩa thực tiễn : Đối với mỗi học sinh khi ngồi trên ghế nhà trường đòi hỏi phải nắm bắt những kiến thức một cách chính xác ở tất cả các môn học. Như vậy môn hình học không nằm ngoài yêu cầu đó. Nếu học sinh có ý thức rèn luyện cách học, cách vẽ thì hiêu quả đạt được rất khả quan. Hình vẽ chính xác đã quyết dịnh sự thành công của một bài toán chứng minh. Từ đó rút ra những cách vẽ, những kỹ năng để vẽ một đa giác đều một cách thành thạo và nhanh nhất. II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : 1/ Vấn đề vẽ hình để chứng minh một bài toán hình học : 1.1/ Thực trạng : Trong các bài toán hình học phần vẽ hình là phần quan trọng của bài toán, tuy nhiên đa số học sinh không vẽ được hình hoặc khi vẽ được hình thì hình vẽ không phù hợp. Ví dụ1 :(Bài 19 SBT/92 toán 9 tập1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm, các đường phângiáctrong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn AM và AN. Khi đó học sinh vẽ hình như sau : Như vậy trong trường hợp này khó có thể vẽ cho phân giác ngoài của góc B cắt AC tại N, nó có thể cắt AC ở ngoài trang giấy. Vậy hình vẽ không chuẩn ảnh hưởng đến việc tính toán. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC (AB =AC ), trên cạnh AB lấy điểm D, từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại G. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho DB = CE. BC cắt DE ở F. Chứng minh rằng tứ giác DGEC là hình bình hành. Khi đó học sinh dựa vào đề bài vẽ hình như sau : Trong trường hợp này việc không có kỹ năng vẽ, học sinh đã vẽ sai dẫn đến hình vẽ cuối cùng bằng trực quan, học sinh không xác định được tứ giác DGEC là hình gì và không có hướng để giải thích và chứng minh. Đây mới chỉ là hai ví dụ để nói lên các cách vẽ hình của học sinh. Thực tế đa số học sinh đều thao tác vẽ hình không áp dụng các kiến thức để vẽ, dụng cụ để vẽ có thể chỉ duy nhất chỉ là thước thẳng. Đây chính là nguyên nhân dẫn đến việc học hình của học sinh rất kém, đặc biệt là học sinh lớp 8, lớp 9 trong trường. 1.2/ Các biện pháp khắc phục : a/ Về kiến thức : Cần rèn luyện cho học sinh các thao tác vẽ hình trong tất cả các trường hợp. Những bài toán dựng hình cơ bản được áp dụng vào vẽ hình. Trong tất cả các trường hợp vẽ hình giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách vẽ và thực hiện thao tác trên bảng nhiều lần trong các bài toán hình học, khi đó học sinh sẽ áp dụng theo. Các trường hợp vẽ phải có đầy đủ các dụng cụ vẽ như : êke, com pa, thước đo độ b/ Về kinh nghiệm : Cần vẽ hình nhiều lần cho một bài toán, vẽ ở các góc độ, trường hợp khác nhau. Từ đó dễ nhìn ra những yêu cầu của bài toán. Vì bài toán chứng minh trước hết phải nhìn vào hình vẽ để dược dự đoán rồi mới suy nghĩ và tìm hướng giải quyết. 2/ Kỹ năng vẽ đa giác đều: 2.1/ Kiến thức về đa giác đều : Một hình khép kín gồm những đoạn thẳng gọi là hình đa giác. Số góc trong một hình loại ấy bằng số cạnh, một đa giác có ba góc là một tam giác, và bốn góc là một tứ giác Ta gọi một đa giác đều là nhữnh đa giác có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Các đa giác ấy có thể có số cạnh bất kì, và số cạnh càng nhiều thì đa giác ấy càng gần với hình tròn. Hơn nữa mọi đa giác đều đều nội tiếp được trong một đường tròn. Tổng số góc bằng độ của một đa giác bất kì là (n – 2 )1800. TÊN SỐ CẠNH TỔNG SỐ GÓC BẰNG ĐỘ Tam giác 3 1800 Tứ giác 4 2.1800=3600 Ngũ giác 5 3.1800=5400 Lục giác 6 4.1800=7200 Bát giác 8 6.1800=10800 Thập giác 10 8.180014400 Chúng ta thường gặp các đa giác đều trong đời sống hằng ngày. Các viên gạch bằng sứ hay bằng chất dẻo lát trong nhà, trong phòng tắm là những tứ giác đều hay hình vuông, hoặc là những ngũ giác đều Đá lát nền có thể là những lục giác đều. Ngươiø ta sử dụng những hình dạng ấy vì các cạnh bằng nhau của chúng cho phép khép kín dễ dàng một khi phải phủ kín một diện tích nào đó.Một đa giác đều có thể có số cạnh tùy ý bắt đầu từ ba. Sau đây là một số phương pháp để vẽ một đa giác như thế : Xác định số góc của đa giác, tính số đo mỗi góc, dùng thước đo góc để vẽ các góc ấy và đặt chúng trên những cạnh bằng nhau. Ta đã biết tính chất của đa giác đều là: Mỗi góc của đa giác đều n – cạnh bằng Vậy giá trị các góc của một số đa giác đều như sau : TÊN SỐ GÓC TỔNG CÁC GÓC GIÁ TRỊ MỖI GÓC Tam giác đều 3 1800 1800 Tứ giác đều 4 3600 900 Ngũ giác đều 5 5400 1080 Lục giác đều 6 7200 1200 Bát giác đều 8 10800 1350 Thập giác đều 10 14400 1440 2.2/ các kỹ năng vẽ đa giác đều : a/ Đối vơi tam giác đều : Đây là đa giác đều đơn giản nhất, có thể dùng thước và com pa để vẽ, có rất nhiều cách vẽ, cách vẽ đơn giản nhất dược mô tả trên hình vẽ: Cách 1: Vẽ hai đường tròn bằng nhau ,tâm đường này nằm trên tâm đường kia. Vẽ các đường thẳng nối giao điêm hai đường tròn với tâm và nối hai tâm ta được tam giác đều. Cách 2 : Cũng có thể dùng đo độ để vẽ: trước hết vẽ một đoạn thẳng trên hai đầu mút của đoạn thẳng dựng hai góc bằng 600 cùng nằm về một phía của nửa mặt phẳng có bờ chứa đọan thẳng đã cho, hai tia tạo với đoạn thẳng các góc 600 cắt nhau tại một điểm ta được tam giác đều. Còn có nhiều cách vẽ tam giác đều tuy nhiên trong các cách vẽ thì cách vẽ 1 là cách vẽ được áp dụng nhiều cho học sinh và đạt được kết quả cao trong khi vẽ. b/ Đối với tứ giác đều (hình vuông ): Đây là hình vẽ mà khi vẽ học sinh hầu như không cần quan tâm đến hướng dẫn của giáo viên vì trong tập đã kẻ sẵn các dòng kẻ nên học sinh chỉ việc căn cứ vào các dòng kẻ để vẽ rất dễ dàng. Tuy nhiên khi kiểm tra vào giấy khổ lớn, học sinh gặp rất nhiều khó khăn, do vậy cũng cần phải nêu và rèn luyện cho học sinh cách vẽ một cách thành thạo. Dùng com pa và êke ta vẽ hình vuông rất dễ dàng. Cách 1 : Dùng ê ke vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau , dùng compa vẽ đường tròn bán kính bất kỳ cótâm nằm trên giao điểm của hai đường thẳng này. Nối các điểm mà đường tròn này đã cắt các đường thẳng. Cách 2 : Dùng êke vẽ một góc bằng 900, dùng compa vẽ một cung tròn bán kính bất kỳ cắt hai cạnh của góc tại hai điểm. Dùng êke vẽ hai tia vuông góc với hai cạnh tại hai điểm, hai tia này cắt nhau tại một điểm. Nối các điểm đó ta được hình vuông. Cách 3 : Ta vẽ một đường tròn trên giấy rồi gấp tờ giấy sao cho nếp gấp đi qua tâm, rồi lại gấp một lần nữa để tạo thành một góc vuông. Mở tờ giấy ra cho phẳng và vẽ các đường thẳng nối các điểm mà các nếp gấp cắt đường tròn. c/ Đối với ngũ giác đều : Đây là hình vẽ mà học sinh gặp nhiều khó khăn trong cách vẽ, ta có thể có một vài cách vẽ như sau : Cách 1 : Ta đã biết các đường vẽ từ O đến các đỉnh của ngũ giác đều tạo thành các tam giác cân bằng nhau, vậy mỗi góc ở đỉnh O sẽ bằng 3600:5 =720. Dùng thước đo độ vẽ một góc có số đo bằng 720 sau đo dùng com pa vẽ một đườngtròn bán kính bất kì cắt hai cạnh của góc này tại hai điểm A và B. Dùng compa vẽ cung tròn bán kính AB cắt (O) tại điểm C, làm tương tự ta cũng xác định được các điểm D và C nối các điểm đó lại với nhau ta được ngũ giác đều . Cách 2 : Dựa vào số đo mỗi góc của ngũ giác đều. Ta đã biết giá trị số đo mỗi góc của ngũ giác đều là 1080 nên ta có thể làm như sau : Vẽ góc xAybằng 1080, dùng com pa vẽ cung tròn đường kính bất kì cắt Ax, By tại E và B. Từ B vẽ góc ABz bằng 1080. Vẽ cung tròn tâm B bán kính AB cắt Bz tại C, từ C vẽ cungtròn tâm C bán kính AB, từ E vẽ cung tròn tâm E bán kính EA. Hai cung tròn này cắt nhau tại D, ta được ngũ giác đều ABCDE. Cách 3: Tương tự như cách 2 nhưng ta có thể làm như hình vẽ . d/ Vẽ lục giác đều : Đây là một đa giác đều ta cũng dễ dàng vẽ. Cách 1: Về kiến thức ta đã biết ,bán kính đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều cạnh a bằng: R = a/2Sin1800/6 = a: (2.1/2) = a Vậy để vẽ lục giác đều ta chỉ cần dùng com pa và thước thẳng để vẽ. Cách 1 : Vẽ một đường tròn ,chia đường tròn thành những cung bằng nhau bằng cách giữ nguyên khẩu độ compa như khi vẽ đường tròn ấy .Dùng thước nối các điểm mút của các cung bằng nhau Cách 2: Vẽ một đoạn thẳng có độ dài là a. Vẽ tam giác đều có cạnh bằng 3a . Từ 3 đỉnh của tam giác vẽ các cung tròn bán kính bằng a cắt các cạnh của tam giác đều. Nối các điểm mà các cung tròn đã cắt ta được đa giác đều. Cách 3: Có thể lợi dụng các dòng kẻ song song của trang giấy để vẽ. Xác định 3 dòng kẻ song song cách đều. Từ dòng kẻ ở giữa vẽ hai cung tròn có bán kính bằng nhau và tiếp xúc với nhau, hai cung tròn này cắt các đường thẳng đã xác định tại các điểm. Nối các điểm đó ta được lục giác đều. Ta cũng vẽ thập giác đều, bát giác đều, . Theo cạnh và góc như các đa giác trên. III/ KẾT LUẬN : Nếu dạy học môn hình học, trước hết phải rèn luyện ngay từ đầu cho học sinh cách thức vẽ hình theo đúng kiến thức có độ chính xác cao thì học sinh sẽ giải quyết các bài toán hình học từ dễ đến khó, từ tính toán đến chứng minh như vậy học sinh sẽ không ngại học môn hình học nữa. Có kiến thức hình học thì việc vẽ đa giác đều, học sinh sẽ áp dụng các cách vẽ một cách thành thạo và dễ dàng. Trên đây là những cách vẽ và những kỹ năng để vẽ đa giác đều. Những cách vẽ đơn giản, dễ vẽ đã được áp dụng cho học sinh trong trường. Tuy nhiên hiệu quả đạt được còn thấp, nguyên nhân dẫn đến tình trạng này là do học sinh chưa có kỹ năng cơ bản để vẽ hình, hình vẽ chủ yếu học sinh vẽ không áp dụng các kiến thức hình học. Tôi thiết nghĩ nếu nghiên cứu kỹ các vấn đề mà học sinh trong trường gặp khó khăn, rồi áp dụng vào những vấn đề đó thí sẽ đạt được hiệu quả cao trong học tập. Vấn đề kỹ năng vẽ hình cũng khôngnằm ngoài mục đích đó. Do kiến thức có hạn nên việc tìm thêm các cách vẽ và kỹ năng vẽ đa giác đều còn hạn chế, rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và ban giám hiệu nhà trường. Sông Đốc, ngày 09 tháng 9 năm2006 Người viết