Sáng kiến kinh nghiệm: Đạo hàm và tích phân

A.PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài : Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, Đạo hàm và tích phân cùng với các khái niệm khác góp phần quan trọng trong môn Giải tích toán học, là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Muốn học sinh học tốt được Đạo hàm và tích phân thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao. Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày. Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách tinh giản kiến thức, thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế. Các kiến thức không được mang nặng tính hàn lâm, và phải phù hợp với việc nhận thức của các em. Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thục hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm. Khi chúng ta đã tinh lọc kiến thức một cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chắc chắn chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao. Riêng phần đạo hàm và tích phân cũng không nằm ngoài quy luật đó. Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm khi dạy Đạo hàm và tích phân”. 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài. - Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay. - Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức . 3. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu : 3.1. Nhiệm vụ : - Tìm hiểu các khái niệm Đạo hàm và tích phân trong môn giải tích 12 - Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 12. 3.2. Phạm vi nghiên cứu : - Đối tượng : Chương Đạo hàm và tích phân trong Giải tích lớp 12 - Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 12, sách hướng dẫn giáo viên. 4. Phương pháp nghiên cứu : Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau : 1. Nghiên cứu tài liệu : - Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài. - Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo. 2. Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung Đạo hàm và tích phân . - Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học. - Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài. B. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận 1. Vị trí của môn Toán trong nhà trường : Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người. Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người. Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới. 2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT. - Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình. - Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập. - Học sinh THPT rất dễ xúc động và thích tiếp xúc với một sự vật, hiện tượng xung quanh nhất là những việc mà các em có thể trực tiếp thực hiện - Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong dạy học giáo viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh. 3. Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học : Học sinh THPT có trí thông minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú. Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tài. Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thể xem nhẹ. Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, lớp mà các em vừa mới vượt qua những mới mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi là chủ đạo sang hoạt động học tập là chủ đạo. Lên đến lớp 10, 11 thì yêu cầu đó đặt ra là thường xuyên đối với các em ở tất cả các môn học. Như vậy nói về cách học, về yêu cầu học thì học sinh THPT gặp phải một sự thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 và sang lớp 11, 12 các em mới quen dần với cách học đó. Do vậy giờ học sẽ trở nên nặng nề, không duy trì được khả năng chú ý của các em nếu người giáo viên chỉ cho các em nghe và làm theo những gì đã có trong sách giáo khoa. Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em. Kiểu dạy này người giáo viên phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, đó là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tò mò và tư duy độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ. Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp. Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trãi qua quá trình tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được. Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà. II. Cơ sở thực tiển: Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, khám phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế và trân trọng qua từng tiết dạy. Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao thep dạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh. PHẦN 1. ĐẠO HÀM Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1. Định nghĩa đạo hàm: hay Trong đó: : số gia đối : số gia hàm 2. Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa: 1. Cho x0 số gia ∆x và tính ∆y = f(x0 +∆x) – f(x0) 2. Lập tỉ số rồi tính 3. Kết luận: Ví dụ: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 tại x0 = 1 3. Đạo hàm trên một khoảng (a;b): f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) Û"x0 € (a;b): f ’(x0) được xác định 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số: f(x) có đạo hàm tại x0 Þ f(x) liên tục tại x0 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: + f ’(x0) là hsg của tiếp tuyến M0T của (C), với (C): y = f(x) và M(x0;f(x0)) € (C) + Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M(x0;y0) là: y – y0 = f ’(x0)(x-x0) Ví dụ: Viết PTTT của hàm số y = f(x) = x2 tại x0 = 1 Bài 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Đạo hàm các hàm số đơn giản và các HSSC cơ bản: Từ ĐN ta tính được đạo hàm các hàm số và hệ thống trong bảng tóm tắc sau: (C)’ = 0 , (C: hằng số) (x)’ = 1 (xa)’ = a.xa -1 (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx (ex)’ = ex (ax)’ = ax.lna Các quy tắc tính đạo hàm: i/ (u + v)’ = u’ + v’ ii/ (u - v)’ = u’ - v’ Mở rộng: Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: y = x3 – x2 + x – 10 y = ex + lnx + 1 iii/ (u.v)’ = u’.v + v’.u Mở rộng: (u.v. w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ HQ: (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số) Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: a. y = (x2 + 1)( x – 3) b. y = (x2 + x +1).ex iv/ HQ: Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: a. b. * Lưu ý công thức (xem như bài tập hướng dẫn hs về chứng minh): i/ ii/ iii/ Bài 3: HÀM HỢP VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP 1. Khái niệm hàm hợp: (Ta có thể hình dung gọn khái niện hàm hợp như sau) Cho hai hàm số y = f(u) và u = g(x). Ta nói hàm số y = f(g(x)) là hàm số hợp của x qua hàm số trung gian u = g(x). Ví dụ: 1/ Cho hai hàm số y = f(u) = u5 và u = g(x) = x2 + 3x – 7, như vậy ta nói hàm số y = f(g(x)) = (x2 + 3x – 7)5 là hàm là hàm số hợp của x qua hàm trung gian u = g(x) = x2 + 3x - 7 2/ Cho hai hàm số y = f(u) = eu và u = g(x) = 2x + 1, như vậy ta nói hàm số y = f(g(x)) = e2x + 1 là hàm là hàm số hợp của x qua hàm trung gian u = g(x) = 2x + 1 (GV cho học sinh tự lấy nhiều ví dụ khác hay nhận dạng hàm hợp khác) Đạo hàm của hàm số hợp: a/ Định lý: Nếu hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến u là yu’ hàm số u = g(x) có đạo hàm theo biến x là ux’ hàm số y = f(g(x)) có đạo hàm theo biến x là yx’ thì yx’ = yu’.ux’ b/ Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: y = (x2 + 3x – 7)5 y = e2x + 1 Giải: 1. Đặt u = x2 + 3x – 7 thì y = u5, yu’ = 5u4 ; ux’ = 2x + 3 Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp , ta có: yx’ = yu’.ux’ = 5u4.(2x + 3) = 5(x2 + 3x - 7)4.(2x + 3) Lưu ý: (ua)’ = a.ua -1.u’ 2. Đặt u = 2x + 1 thì y = eu, yu’ = eu ; ux’ = 2 Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp , ta có: yx’ = yu’.ux’ = eu .2 = 2e2x + 1 * Lưu ý: (eu)’ = eu.u’ 3. Bảng tóm tắc đạo hàm của các hssc cơ bản và hàm hợp: (GV cho học sinh tự suy luận các CT đạo hàm của hàm hợp) *BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM: Đạo hàm của các HSSC cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp ( C: hằng số) Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số: a) y = sin(2x-1) (Nhận dạng hàm số: sinu, với u = 2x-1 và nhớ (sinu)’ = cosu.u’ ) b) (Nhận dạng hàm số: , với u = x2 + 3x + 4 và nhớ ) *BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: Câu 1: Hàm số có : a. b. c. d. Câu 2: Hàm số có bằng: a. b. c. d. Câu 3: Hàm số có y’(0) bằng: a. b. c. d. Câu 4: Hàm số có bằng: a. b. c. d. Câu 5: Hàm số có bằng: a. b. c. d. kết quả khác Câu 6: Hàm số có: a. b. c. d. Câu 7: Hàm số có: a. b. c. Tất cả đều sai d. Câu 8: Cho hàm số . Phương trình có nghiệm: a. b. c. d. Câu 9*: Hàm số có: a. b. c. d. Tất cả đều sai Bài 4: ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa: , ( n ≥ 2 ) Ví dụ: a/ VD1: Tính đạo hàm cấp 2 các hàm số y = x5 + 3x2 – 1 y = (2x +1).ex b/ VD2: Cho hàm số f(x) = (x+2)7. Tính f ’’(1) c/ VD3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số i. y = e3x ii. y = sinx PHẦN 2. TÍCH PHÂN Bài 1: NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa nguyên hàm: F(x) là nguyên hàm của f(x) Û F’(x) = f(x) * Định lí: + F(x) là nguyên hàm của f(x) Þ F(x) + C củng là nguyên hàm với C là hằng số. Kí hiệu: (đọc là tích phân bất định của f(x)). Như vậy: = F(x) + C + F(x) và G(x) là nguyên hàm của f(x) Û F(x) – G(x) = C (C: hằng số) * Ví dụ 1: Cho F(x) = x3 và f(x) = 3x2 Ta thấy F’(x) = 3x2 = f(x) Suy ra F(x) là nguyên hàm của f(x) và F(x) + C củng là nguyên hàm của f(x) * Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm các hàm số: a) y = 1/x b) y = ex c) y = xa 2. Các tính chất của nguyên hàm: 1. 2. 3. 4. Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm: (Ta tạm hiểu hssc cơ bản mở rộng là từ hssc cơ bản ta thay biến x bởi ax + b) Nguyên hàm của hssc thường gặp Nguyên hàm của hssc mở rộng thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp (với u = u(x) ) Ví dụ: Tìm các tích phân sau: a. b. c. d. e. f. g. Bài 2. TÍCH PHÂN I. Định nghĩa: F(x) = F(b) – F(a) Ví dụ: Tính các tích phân : 1. 2. 3. II. Các tính chất: (SGK trang 124, Giải tích 12) ( Chốt kỹ từng tính chất và lưu ý ví dụ phù hợp đối với từng tính chất) Bài 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phương pháp tính tích phân các hàm dạng cơ bản mở rộng: Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1. 2. 3. 4. 2. Phương pháp đổi biến: a. Đổi biến dạng 1: x = j(t), a = j(a), b = j(b), * Lưu ý: Đặt x là một hàm theo biến t, đổi dấu nhớ đổi cận Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1. 2. b. Đổi biến dạng 2: *Dấu hiệu sử dụng tích phân đổi biến dạng 2: Hàm số dưới dấu tích phân thường có dạng tích của 2 hàm, trong đó một hàm hoặc một biểu thức của hàm có đạo hàm bằng hoặc gần bằng hàm số còn lại ( sai khác nhau một hằng số). Ta sử dụng phương pháp tích phân đổi biến dạng 2. * Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1. 2. 3. 3. Phương pháp tích phân từng phần: * Lưu ý: Thường ưu tiên đặt u theo thứ tự: Lô, đại, mũ, lượng * Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1. 2. 3. 4. C. KẾT LUẬN Thời gian và tầm nhìn có hạn. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong phương pháp giảng dạy “đạo hàm và tích phân”. Rất mong đựoc quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để lần sau được hoàn thiện hơn.