Giáo án bồi dưỡng Đại số và Giải tích 11

Phần 1: Hàm số luợng giác và phương trình lượng giác Vấn đề 1: Hàm số lượng giác Soạn : 02/09/2008 A. kiến thức cơ bản: 1. Tập xác định: + Hàm số : y = sinx, y = cosx có TXĐ : D = R. + y = tanx có TXĐ: + y = cotx có TXĐ: 2. Tập giá trị: + y = sinx, y = cosx có TGT: [-1; 1] + y = tanx, y = cotx có TGT: D = R 3. Tuần hoàn, chu kì: + Hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì + Hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kì 4. Sự biến thiên: + y = sinx tăng trên và giảm trên + y = cosx tăng trên và giảm trên + y =tanx tăng trên + y = cotx giảm trên . 5. Tính chẵn lẻ: + y = cosx là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung. + y = sinx, y = tanx, y = cot x là các hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua tâm O. B – giảI toán: Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số lượng giác Phương pháp: Tìm TXĐ. Tìm chu kì T. Khảo sát sự biến thiên của hàm số có độ dài T: Biểu diễn đoạn khảo sát trên đường trong lượng giác. Cho M chạy từ đầu đến cuối cung khảo sát. Theo dõi giá trị tương ứng tại M, suy ra SBT trên đoạn khảo sát. Vẽ đồ thị: Dựng đồ thị trên một đoạn có độ dài T. Dời liên tiếp phần đồ thị đã vẽ qua phải(trái) mỗi lần một đoạn T. Ví dụ 1: (Bài 3 - SGK) Dựa vào đồ thị của hàm số : y = sin x, hãy vẽ đồ thị của hàm số: y = Gợi ý: D = R. Ta có: y = là hàm số tuần hờn với chu kì T = Vì : y = = + BBT trên đoạn [0; p] x 0 p y 1 0 0 + Đồ thị: y O x -2p -p - p 2p Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hai hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ. y = - sinx y = sin Có nhận xét gì về mối liên hệ của chúng với đồ thị của hàm số y = sin x. Gợi ý: + Xét hàm số: y = - sinx. + Hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2p. + BBT trên đoạn: [-p;p]. x -p - 0 p y 1 0 0 0 -1 + Đồ thị : HS tự vẽ. + Nhận xét: Khi x thì hai đồ thị trùng nhau còn khi x thì hai đồ thị đối xứng nhau qua trục hoành. Bài tập tương tự: Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) ; b) ; c) d) ; e) Dạng 2: Tìm TXĐ của hàm số lượng giác Phương pháp: Hàm số y = sinx , y = cos x có TXĐ : D = R. Hàm số y = tan x có TXĐ: Hàm số y = cotx có TXĐ: Ví dụ 1: Tìm TXĐ của hàm số : Gợi ý: ĐKXĐ : Vậy : Ví dụ 2: Tìm TXĐ của hàm số : Gợi ý: ĐKXĐ: . Vậy : Ví dụ 3: Tìm TXĐ của hàm số: ĐKXĐ: Vậy : Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm TXĐ của các hàm số sau: a) ; b) ; c) ; d) Dạng 3: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác. Phương pháp: Hàm số y = sinx, y = cosx tuần hoàn chu kì 2p Hàm số y = tanx, y = cotx tuần hoàn chu kì p Hàm số y = sin(ax + b), y = cos(ax + b) tuần hoàn chu kì Hàm số y = tan(ax + b), y = cot(ax + b) tuần hoàn chu kì Ví dụ 1: Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số sau: a) b) Gợi ý: a) Suy ra hàm số có chu kì : b) . Suy ra hàm số có chu kì tuần hoàn là: 2 Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Phương pháp: Sử dụng các phưuơng pháp đã biết. Chú ý: và Kết hợp công thức lượng giác. áp dụng BĐT Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) ; b) Gợi ý: a) Do : Vậy: GTNN của y = -3, chẳng hạn tại x = Và GTLN của y = 1, chẳng hạn tại x = b) ĐS : GTNN : y =-3 chẳng hạn tại x = GTLN : y = , chẳng hạn tại x = . Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của cáchàm số sau: a) (ĐH QGHN 99 -2000) b) c) Bài tập tưong tự: Bài 1: Tìm TXĐ của các hàm số sau: a) b) c) Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) b) ---------------------------------------------------------------------------------------- Vấn đề 2: Phương trình lượng giác cơ bản Soạn: 10/09/2008 A. kiến thức cơ bản: 1. Phương trình: sinx = a (1). + , (1) vô nghiệm. + , ta có: Nếu a = sina, (1) Nếu: , thì (1) 2. Phương trình: cosx = a (2). + , (1) vô nghiệm. + , ta có: Nếu a = cosa, (1) Nếu: , thì (2) 3. Phương trình : tanx = a (3). + Nếu a = tana, (3) . + a, bất kì: (3) 4. Phương trình: cotx = a (4). + Nếu a = cota, (4) . + a, bất kì: (4) 5. Các trường hợp đặc biệt: + + + + + + B. Các dạng toán: Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp: + Sử dụng công thức nghiệm PTLG cơ bản + Chú ý đk của hàm số tanx và cotx. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) Dạng 2: Một số PT đơn giản đưa về phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp: Sử dụng các công thức biến đổi LG. Sử dụng các góc liên quan đặc biệt. a) b) c) d) Bài tập tương tự: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Bài 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Bài 3: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) Gợi ý: áp dụng CT hạ bậc và góc liên quan đặc biệt Bài tập nâng cao: Giải phương trình: Gợi ý: + Chọn k sao cho: + TT: Chọn p sao cho: Không tồn tại p thỏa mãn. ĐS: Pt có nghiệm : . Vấn đề 3: Phương trình lượng giác thường gặp Soạn: 15/09/2008 A. kiến thức cơ bản: 1. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác. a) Định nghĩa: Là PT có dạng: at + b = 0 (a ạ 0) trong đó t là một hàm số LG. b) Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác. Tìm t thỏa mãn ĐK(nếu có) Giải PT cơ bản nhận được. 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. a) Định nghĩa: Là PT có dạng: at2 + bt + c = 0 (a ạ 0) b)Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác. Đặt ĐK t (nếu có) Giải PT bậc 2 nhận được theo t. Kiểm tra ĐK, từ đó giảI pT LG cơ bản. 3. Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu. a) Định nghĩa: Là PT có dạng: asinu + bcosu + c = 0 (a, b, c ạ 0 và u là niểu thức theo x) b) Cách giải: Cách 1: (PPLG) Nếu a ạ 1, ta có PT: Gọi a là góc sao cho: thì PT đã cho viết thành: ĐK để PT có nghiệm là: Với ĐK trên ta đặt: , ta sẽ có PT: Cách 2: (PP đại số) Chia cả hai vế của PT cho: , ta được: , do: Đặt : Và PT trở thành : Đưa về PT cơ bản. Cách 3: Nếu , ta đặt: PT có dạng: GiảI PT bậc hai nhận được theo t. * Chú ý: ĐK PT asinu + bcosu + c = 0 có nghiệm là 4. Phương trình bậc hai theo sinu và cosu. a) Dạng TQ: asin2u + bsinu.cosu + ccos2u = d. b) Cách giải: Cách 1: áp dụng CT nhân đôi: PT trở thành: Ta có PT bậc nhất đối với sin 2u và cos 2u. Cách 2: Nếu , chia cả hai vế của PT cho: cos2u Giải PT bậc 2 nhận được theo hàm số tanu: 5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx a) Dạng TQ: (1) (2) b) Cách giải: Đặt : PT trở thành PT bậc hai theo t : Kết hợp ĐK giải PT cơ bản nhận được PT (2) giảI tương tự. B. Các dạng toán: Dạng 1: Phương trình bậc nhất, bậc hai và một số PT đưa về PT bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Ví dụ 1: Giải các PT sau: a) b) c) d) Ví dụ 2: Giải các PT sau: a) b) c) Ví dụ 3: Giải các PT sau: a) b) c)