Sáng kiến kinh nghiệm - Khai thác kết quả từ một bài toán

Phòng GD Quỳnh Phụ Trường THCS Quỳnh Minh ------------***-------------- Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ---------***--------- Khai thác kết quả từ một bài toán Người viết: Nguyễn Văn Chính Đơn vị: Trường THCS Quỳnh Minh Trình độ đào tạo: Đại học sư phạm Toán Năm vào ngành: 2000 Năm học : 2007 – 2008 Quỳnh Minh, ngày 20 tháng 4 năm 2008. I- Đặt vấn đề Quá trình giải toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo. Là môn thể thao trí tuệ. Đòi hỏi người thầy giáo phải tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Nghị quyết TW 2 khúa VIII đó khẳng định: “Đổi mới mạnh mẽ phương phỏp giỏo dục - đào tạo khắc phục lối truyền thụ một chiều, rốn luyện thành nếp tư duy sỏng tạo của người học phỏt triển mạnh phong trào tự học tự đào tạo thường xuyờn và rộng khắp trong toàn dõn” và trong dự thảo văn kiện trỡnh đại hội Đảng toàn quốc lần thứ IX về GD - ĐT đó nhấn mạnh: “Đổi mới phương phỏp dạy và học, phỏt huy tư duy sỏng tạo và năng lực tự đào tạo của người học, coi trọng thực hành, ngoại khúa, làm chủ kiến thức, trỏnh nhồi nhột, học vẹt, học chay”. Trong các tiết học trên lớp nhất là tiết luyện tập, học sinh có nhiều điều kiện phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo qua việc khai thác các bài toán. Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa nếu biết khai thác chúng thì chúng ta có thể thu được nhiều kết quả phong phú và nhiều điều thú vị bằng cách phát hiện những tính chất mới của bài toán hoặc diễn đạt bài toán dưới các hình thức khác nhau. Có thể nói bất cứ bài toán nào khi khai thác ta cũng thu được những kết quả nhiều khi bất ngờ. Để có được điều này người thầy giáo luôn phải tích luỹ. Các bài tập ra cho học sinh cần được chọn lọc để tìm đúng bài cần thiết, ra đúng thời điểm cần thiết. Bài dễ chuẩn bị cho bài khó, bài trước là một gợi ý cho cách giải bài sau. Cứ như thế, học sinh có thể tự mình giải quyết được những vấn đề mới đặt ra. Tự mình làm công việc của người khám phá. Chính vì mục đích trên nên tôi đã chọn đề tài “Khai thác kết quả từ một bài toán”. ở đây tôi chỉ xin nêu một vài ví dụ minh chứng cho điều đó. II- Nội dung. 1. Nghiên cứu vấn đề “ Khai thác kết quả từ một bài toán”. - Nội dung cụ thể: Trong các dạng toán phần đại số như đa thức, phân thức, phương trình và bất phương trình. Tôi chọn nội dung phần đa thức là dạng toán mà các em đã được làm quen ở lớp 7. 2. Thực trạng vấn đề. - Khai thác kết quả một bài toán là một dạng khó, do vậy chỉ một số học sinh có tư duy tốt, có tính sáng tạo, có khả năng phân tích, tổng hợp và định hướng được các cách làm. - Phần học sinh còn lại do tư duy chậm, lười suy nghĩ ngại khó, chưa tự giác trong học tập, liên hệ giữa lí thuyết với thực hành yếu, học vẹt. 3. Phân tích thực trạng. - Nhiều học sinh lười làm bài tập ở nhà chỉ chờ giáo viên chữa bài hoặc chép bài dẫn đến không hiểu bài. - Học sinh làm bài thụ động, máy móc không sáng tạo, không biết suy luận và không biết móc nối các kiến thức với nhau. 4. Một số giải pháp. - Kiểm tra thường xuyên bài tập về nhà của trò và tận dụng đầu giờ để kiểm tra và phần củng cố để hướng dẫn những bài tập khó, bài tập nâng cao. Đặc biệt là phần hướng dẫn học sinh nghiên cứu kiến thức cho bài học mới. - Chọn bài có nội dung phù hợp với các đối tượng trong lớp. - Mỗi dạng, giáo viên hướng dẫn cụ thể để học sinh nắm được phương pháp làm. - Đối với học sinh có kĩ năng làm tốt thì giáo viên đưa ra những bài tập có nội dung tổng hợp để nâng cao khả năng tư duy. - Đối với học sinh chậm, lười... giáo viên cần tỉ mỉ cụ thể từng bước, diễn giải ngắn gọn dễ hiểu. 5. Thực hiện. Trong sách giáo khoa toán 8 tập 1 có bài tập sau: Bài 18 SGK trang 11 Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ: x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2; ... – 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2; Hãy nêu một đề bài tương tự. Lời giải: * Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những đơn thức thì ta có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên như sau: a) x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2; b) x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y )2 (hoặc x2 – 10xy + 25y2 = (5y – x)2) . * Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những biểu thức thì ta có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên bằng rất nhiều cách khác nhau như sau: Ví dụ 1: a) x2 + 6xy + (2xy + 16y2 ) = [(x + y) + 3y]2 tức là x2 + 8xy + 16y2 = (x + 4y)2 ; (x2 + 4xy – 16y2) – 10xy + 25y2 = (x – 3y)2 tức là x2 - 6xy + 9y2 = (x – 3y)2; Ví dụ 2: a) x2 + 6xy + (4xy + 25y2 ) = [(x + 2y) + 3y]2 tức là x2 + 10xy + 25y2 = (x + 5y)2 ; (x2 + 8xy – 24y2) – 10xy + 25y2 = (x – y)2 tức là x2 - 2xy + y2 = (x – y)2; .......................................................................... .......................................................................... Đề bài tương tự là: Hãy tìm cách giúp bạn Bình khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ: x2 + 10xy + ... = ( ... + 5y)2; ... – 6xy + 9y2 = ( ... - ... )2; Trở lại nội dung bài 18 SGK trang 11 thì ta có nhận xét là không thể đưa ra được một lời giải tối ưu bởi vì có rất nhiều cách để giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ. Để giúp học sinh đỡ lúng túng khi trình bày lời giải bài toán thì giáo viên nên thay đổi nội dung câu hỏi một chút để có được lời giải tối ưu cho bài toán như sau: Bài toán 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ bằng cách điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống (...): x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2; ... – 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2; Hãy nêu một đề bài tương tự. Bài toán 2: Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức a) x2 + 6xy + * ; b) * – 10xy + 25y2 trở thành bình phương của một nhị thức *Việc đưa ra nội dung bài toán 2 lại giúp hình thành trong tôi một ý tưởng là tiếp tục khai thác lời giải của bài toán 2, ta có ví dụ 1 Ví dụ 1: Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức A = x2 – 10x + * trở thành bình phương của một nhị thức. Giải: Đây là bài toán quen thuộc mà học sinh lớp 8 đều làm được: A = x2 – 10x + * = x2 – 10x +25 = x2 – 2.x.5 + 25 = (x - 5)2 Nhận xét: Trường hợp dấu * là một số cho trước Chẳng hạn * = -1 ta có ví dụ 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 – 10x - 1 Giải: A = x2 – 10x - 1 = x2 – 10x +25 – 26 = (x - 5)2 – 26 Vì (x - 5)2 0 với mọi x thuộc R nên (x - 5)2 – 26 -26 với mọi x thuộc R Giá trị nhỏ nhất của A là -26 khi và chỉ khi x – 5 = 0 hay x = 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -26 khi x = 5 Nhận xét: Nếu ta đổi dấu của biểu thức A nói trên ta có -A = -x2 + 10x + 1 = - (x2 – 10x +25) + 26 = - (x - 5)2 + 26 26 Giá trị lớn nhất của A là 26 . Ta có ví dụ 3 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1 + 10x – x2 Giải: B = 1 + 10x – x2 = - (x2 – 10x) + 1 = - (x2 – 10x + 25) + 26 = - (x - 5)2 + 26 Vì (x - 5)2 0 với mọi x thuộc R nên - (x - 5)2 0 với mọi x thuộc R Do đó - (x - 5)2 + 26 26 với mọi x thuộc R Giá trị lớn nhất của B là 26 khi và chỉ khi x – 5 = 0 hay x = 5 Vậy giá trị lớn nhất của B là 26 khi x = 5. Nhận xét: Tổng quát bài toán trong ví dụ 2 ta có ví dụ 4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ax2 + bx + c với a > 0 Giải: Giá trị nhỏ nhất của P là khi và chỉ khi Tương tự tổng quát bài toán trong ví dụ 3 ta có ví dụ 5 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ax2 + bx + c với a < 0 Giải: Tương tự như ví dụ 4 ta được giá trị lớn nhất của biểu thức P là khi và chỉ khi Nhận xét: Kết hợp ví dụ 4 và ví dụ 5 ta có tam thức ax2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất nếu a > 0 ; có giá trị lớn nhất nếu a < 0. Trong nhiều trường hợp, ta cần đổi biến đưa biểu thức về dạng tam thức bậc hai đối với biến mới. Ví dụ 6 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = (3x - 1)2 – 4. + 5 Giải: Đặt = y , ta có: M = y2 – 4y + 5 = (y - 2)2 + 1 1 Giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi y – 2 = 0 hay y = 2. Với y = 2 ta có: = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = x(x - 3)(x – 4)(x – 7) Giải: Biến đổi N = x(x - 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12) Cách 1: Đặt x2 – 7x = y ta có: N = y(y + 12) = y2 + 12y = (y + 6)2 – 36 -36 Giá trị nhỏ nhất của N bằng -36 khi và chỉ khi y + 6 = 0 y = - 6 Với y = - 6 ta có x2 – 7x = - 6 x = 1 hoặc x = 6 Cách 2: Đặt x2 – 7x + 12 = y ta có: N = (y – 6 )(y + 6) = y2 – 36 -36 Giá trị nhỏ nhất của N bằng - 36 khi và chỉ khi y = 0 Khi đó x = 1 hoặc x = 6 6. Kết quả Những học sinh từ trung bình khá trở lên say sưa học môn toán. Tự mình tìm tòi được nhiều cách giải và bước đầu tự mình khai thác bài toán, nắm chắc được mối quan hệ kiến thức giữa các bài, các phần với nhau. và kết quả đạt 70%. 7. Phân tích thực trạng. Là dạng toán khó đòi hỏi các em phải biết suy luận nên kĩ năng làm bài chưa tốt. Kết quả 30% các em chưa làm đúng phương pháp, một phần do giáo viên chưa biết động viên tính tích cực của học sinh. Một phần do các em ngại khó, tư duy lười suy nghĩ, suy luận còn yếu. Sau khi hướng dẫn cụ thể và động viên được nhiều đối tượng tham gia thì kết quả đã đựơc nâng lên. 8. So sánh kết quả. Những năm chưa tiến hành thực nghiệm. Học sinh làm bài thụ động, rời rạc chưa biết tổng hợp kiến thức đã học. Sau khi tiến hành thực nghiệm (5 năm gần đây) từ học sinh trung bình trở lên đã tự mình làm chủ trong quá trình giải toán và giải bằng nhiều cách, biết sử dụng nhiều kiến thức. Động viên được nhiều đối tượng tham gia. 9. Rút ra kết luận. Sau khi tiến hành thực nghiệm tôi thấy đa phần học sinh đã biết khai thác bài toán đã cho từ một bài toán đơn giản thành một bài toán khó hơn. 10. Đánh giá ưu điểm, nhược điểm. - Ưu điểm: + Phát triển tư duy, suy luận toán học. + Động viên tích cực vốn kiến thức của trò. + Phát huy tính chủ động, sáng tạo. + Giúp học sinh hệ thống được kiến thúc và khắc sâu lý thuyết. - Nhược điểm: + Là dạng toán khó nên đối tượng tham gia không nhiều. + Nhiều bài có nội dung tổng hợp nên nhiều em lúng túng trong quá trình giải. 11. áp dụng đề tài. Các đối tượng trung bình khá trở lên trong lớp Học sinh khá: Phân tích sơ lược giúp học sinh hình thành nhanh, chính xác, chặt chẽ. Học sinh trung bình: Cần cụ thể với mức độ bài toán đơn giản hơn. 12. Những kiến nghị khi áp dụng. Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống khả năng nhận thức, tư duy chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn nhất là những bài toán có nội dung tổng hợp. Do vậy cần có thời gian và áp dụng thường xuyên liên tục cần có nhiều tài liệu tham khảo chuyên đề phần này. III- Kết luận. Muốn dạy học sinh biết cách khai thác kết quả một bài toán. Bản thân giáo viên phải thường xuyên tự mình tìm tòi, có kế hoạch cho từng ngày, từng giờ lên lớp. Kết quả thấy rằng, những học sinh học lực khá trở lên đã đạt kết quả cao trong học tập. Các em say sưa học toán, tự mình tạo ra những bài toán và hướng giải quyết. Mặc dù vậy với phạm vi của đề tài này thì đây cũng chưa phải là tất cả cho học sinh trong lớp. Do thời gian không nhiều và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng mình tôi nên nội dung của đề tài này chắc chắn còn nhiều điều thiếu sót, rất mong được sự giúp đỡ và đóng góp ý kiến bổ sung của các đồng chí để giúp tôi có bài viết hoàn chỉnh hơn. Người viết: Nguyễn Văn Chính