Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

Phần I:Đặt vấn đề Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh. Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số đó là “Số” và “Hàm số”. Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính vì vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy: “Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị”. Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan. Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau đây là nội dung đề tài. Phần II:Nội dung đề tài Một số vấn đề Lý thuyết cơ bản I/ Các hàm số trong chương trình THCS: Hàm số bậc nhất: Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, x Tính chất: + Tập xác định: + Tính biến thiên; a > 0 thì hàm số đồng biến trong R a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R Đồ thị: + Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x ) là đường thẳng đi qua điểm A(0,b) và điểm B(; 0) + Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm E(1; a). Hàm số bậc hai: Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y = ax2 + bx + c với a, b, c là các hằng số (a 0, x ) Tính chất: Tập xác đinh R Tính biến thiên: + a > 0 Hàm số đồng biến trong (; ) và nghịch biến trong (;) + a < 0 Hàm số nghịch biến trong (; ) và đồng biến trong (;) Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0, x ) là Parabol (P) có đỉnh là D(; ) nhận đường thẳng x = là trực đối xứng. Một số dạng bài tập Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số 1/ Đinh nghĩa: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa. Vì vậy : Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: ớ x R biểu thức trong căn 0ý 2/ Ví dụ: + Ví dụ 1: Hàm số y = 5x – 70 có TXĐ: R + Ví dụ 2: Hàm số y = có TXĐ + Ví dụ 3: Hàm số y = có TXĐ: 3/ Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số: a) y = b) y = c) y = Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số + Tập giá trị của hàm số : y = f(x) là tập giá trị của y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm x X 1/ Cách giải: + Cách 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y. + Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác định. 2/ Ví dụ: + Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x Giải Ta có x Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x là y + Ví dụ 2: tìm miền giá trị của hàm số y = Giải áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có: Vậy miền giá trị của hàm số y = với x R là y R, y1. + Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x Giải Hàm số y = x2 – 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x1 Vậy với x ta có y(2) y(3) Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x là + Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 –4 Giải TXĐ của hàm số là R Xét phương trình x2 - 4 + 3 = y Phương trình có nghiệm y+1 0 y -1 3/ứng dụng: ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số; Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2x – x2 – 4 Giải Ta có y = 2x - x2 – 4 = - (x2 – 2x + 1) – 3 = - (x – 1)2 – 3 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x =1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = (1) Giải Hàm số có tập xác định : R vì x2 + x + 2 = (x + )2 + Giả sử y là một giá trị của hàm số Phương trình = y có nghiệm (y - 1)x2 + (y – 1)x + 2y – 6 = 0 (2) Có nghiệm + Xét y = 1 phương trình (2) vô nghiệm + Xét y 1 Phương trình (2) có nghiệm (y –1)2 – 4(y – 1)(2y – 6) 0 (y – 1)(23 – 7y) 0 Vậy giá trị của hàm số là + Với y = ta có x = vậy hàm số có giá trị lớn nhất là Max y = tại x = + Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dưới dạng; Tìm x R để hàm số y = nhận giá trị nguyên y = 1 + Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z x2 + x + 2 nhận giá trị là ước nguyên của 4. Sai lầm trong lời giải ở chỗ x R nên x2 + x + 2 có thể nhận giá trị không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán. + Cách giải từ việc có miền giá trị ta chỉ ra y Z y = 2 hoặc y = 3 Giải phương trình = 2 x2 + x - 2 = 0 x = 1; x = -2 = 3 2x2 + 2x = 0 x = 0; x = -1 Vậy x thì y Z ứng dụng 2: Gải phương trình f(x) = g(x) (1) Nhiều phương trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung của chúng: Nếu với x D thì f(x) = g(x) (2) Nếu x0 D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x2 – 2 = (1) + Tập xác định : R + ta có VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x – 3) 2 7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=3 VP = 7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi + Vậy phương trình (1) x = 3 Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 Ví dụ 2: Giải phương trình –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x - ) = 0 (3) Ta có VT = –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 – 16 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = Đặt = t 0 =>x = t2 + 2 ta có VP = 16(t2 – t + 2) = 16 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t = Vậy phương trình (3) Kết luận nghiệm của phương trình là 4/ Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x2 – 3x + 1 trên đoạn: a. b. Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình Tìm a để xy có gia trị lớn nhất. Bài 4: Giải phương trình a. b. Dạng III: Xác định công thức hàm số 1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tương ứng 1-1 nên ta sẽ xác định được công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tương ứng. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d có tính chất: + Đi qua điểm A(x1; y1) và điểm B(x2; y2) Giải Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1 B(x2; y2) d nên ax2 + b = y2 Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta có a, b Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1) và điểm B(-1; 2) Giải Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1, B(x2; y2) d nên ax2 + b = y2 Ta có hệ phương trình: gải hệ phương trình đó ta có a, b Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1) và điểm B(-1; 2) Giải Vì A(1; 1) d nên a1 + b = 1, B(-1; 2) d nên a(-1) + b = 2 Ta có hệ phương trình: Kết luận hàm số cần tìm là y = - b. Đồ thị đi qua điểm A(x1; y1) và song song với đường thẳng d’ có phương trình y = a1x + b1 (a 0) Giải Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1 Vì d song song với d’ nên a = a1 => b = y1 – ax1 Kết luận hàm số cần tìm là y = a1x + y1 – ax1 Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; ) và song song với đường thẳng d’ có phương trình y = 2x - Giải Vì A(1; ) d nên a + b = Vì d song song với d’ nên a = 2 => b = - Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x - c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1; y1) và vuông góc với đường thẳng d’ có phương trình y = a1x + b1 (a 0) Giải Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1 Vì d vuông góc với d’ nên aa1 = -1 a = b = y1 + x1 Kết luận hàm số cần tìm là y = Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình y = -x + Giải Vì A(1; 1) d nên a + b = 1 Vì d vuông góc với d’ nên aa1 = -1 a = 2 b = -1 Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x – 1 d. Đồ thị qua điểm A(x1; y1) và tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x + c’ (a’ 0) Giải Vì A(1; 1) d nên ax1 + b = y1 (1) Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x+c’ nên phương trình hoành độ giao điểm : ax + b = a’x2 + b’x+c’ có nghiệm kép ú a’x2 + (b’ – a)x = c’ – b = 0 có nghiệm kép ú = (b’ – a)2 – 4a’(c’ – b) = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1;2) d nên –a + b = 2 (1) Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x2+1 nên phương trình hoành độ giao điểm : ax+b=x2+1 có nghiệm kép x2-ax+1-b=0 có nghiệm kép =(b’-a)2 – 4a’(c’-b)=0 (2) Ta có hệ phương trình: Vậy hàm số cần tìm là y=-2x III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) Đi qua 3 điểm phân biệt A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) Lời giải Vì A(x1,y1) (P) nên ax12 + bx1 + c = y1 (1) Vì B(x2,y2) (P) nên ax22+ bx2 + c = y2 (2) Vì C(x3,y3) (P) nên ax32+ bx3 + c = y2 (3) Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c Kết luận công thức hàm số Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua 3 điểm phận biệt A(-1;6), B(0;3), C(3;6). Lời giải Vì A(-1;6) (P) nên a-b+c=6 (1) Vì B(0;3) (P) nên c = 3 (2) Vì C(3;6) (P) nên 9a+3b+c = 6 (3) Ta có hệ phương trình Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = x2 – 2x + 3 (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x0, y0) và đi qua điểm A(x1, y1) Lời giải Vì A(x1, y1) (P) nên ax12 + bx1 + c = y1 (1) Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên (2); (3) Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1; 2). Lời giải: Vì A(1; 2) (P) nên a+ b+ c = 2 (1) Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên (2); (3) Ta có hệ phương trình Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 – 2x – 1 (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) và tiếp xúc với đường thẳng d: y = a’x+b’ Lời giải: Vì (P) có toạ độ dỉnh D(x0, y0) nên phương trình hoành độ : ax2 + bx + c = a’x+b’ có nghiệm kép ax2+(b-a)x +c-b’ = 0 có nghiệm kép = (b-a’)-4a(c-b’) = 0 (3) Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c. Ví dụ1: xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2. Lời giải : Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên ; (2) Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2 nên phương trình hoành độ ax2 + bx+c = 2x-2 có nghiệm kép. ax2 + (b-2)x+c+2 = 0 có nghiệm kép. = (b-2)2 –4ac(c+2) = 0 (3) Ta có hệ phương trình Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 – 2x + 2. III.2 Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm: Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+ ) = x2 – 1 và f(0) = 0 Giải: + Với x 0 ta đặt rồi rút x theo t ta có Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = ()2 – 1 Vì tương ứnghàm số không phụ thuộc vào ký hiệu nên coi f(x) = + Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm được ta có f(0) = 0 Vậy hàm số cần tìm là f(x) = Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết với x0 Từ công thức thay x bởi ta có + Ta có hệ điều kiện với f(x) như sau: Vậy công thức hàm số là Bài tập: Bài1: xác định biểu thức f(x) biết: a/ và f(1) = 0 b/ với x 1 và f(1) = 0 c/ và f(2) = -1 Bài2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết a/ b/ Dạng IV: Đồ Thị Hàm số 1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số: a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x TXĐ b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) là một đường thẳng. Cách vẽ: - Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số. Chẳng hạn A(0, b) và B(-; 0) - Vẽ đường thẳng đi qua A và B c/ Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c (a 0) là Parabol (P) có: + Đỉnh D + Trục đối xứng: x =- + bề lõm quay lên trên khi a>0 ; bề lõm quay xuống dưới khi a<0 d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y x với x0 Chẳng hạn: y = -x với x0 Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x hình 1d e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y = trong đó là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá x y x + Đồ thị hàm số y = với có dạng bậc thang như (hình 1e) -1 với y = 0 với 3 1 với 2 2 với 1 -1 0 1 2 3 -1 f/ Nhận xét: + Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung. + Hàm số y = f() có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần: Vẽ đồ thị y = f(x) với x0 Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung. + = x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ vẽ đường biểu diễn mối quan hệ. 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x+3 + TXĐ : x R + Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2 Nghịch biến với x<2 Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2 + Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4 y 3 0 -1 0 3 y x 0 3 2 1 1 2 3 4 Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đường thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên. Ví dụ2 : Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x - + Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến x với x 0 y = 2x- = 3 x với x < 0 + Bảng giá trị; x 0 1 -1 y 3 1 -3 Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y= Ta có y= Nên đồ thị là hai nhánh Parabol y=-x2+2x+2 với x y=-x2-2x+2 với x<0 -3 x y Đồ thị: 3 2 -2 -1 1 1 2 3 0 -1 Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x2 + 2 + 2 nhận trục tung làm trục đối xứng. 3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Nhận xét: Điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìm điểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị . Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất cua hàm số y = Giải 2x – 3 (x>2) Ta có y = 1 (1x2) -2x + 3 (x<1) Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x>2); y = 2x + 3 (x<1) và đoạn y = 1 (1x2) Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x2+2x+2 với x0 và y = -x2+2x+2 với x<0 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1 Ví dụ 3: Tìm giá lớn nhất của hàm số : y = - x2 - 2 + 1 Giải -x2 – 2x + 3 (x 1) Ta có y = -x2 + 2x+ 1 (x < 1) Nên đồ thị hàm số là 2 nhánh Parabol y = -x2 – 2x + 3 với (x 1) và y =-x2 + 2x+ 1 với (x < 1) x y -1 0 1 3/2 2 -1 -2 -9/4 -4 -5 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1 4/ Bài tập Bài 1: Cho hàm số y = a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm được. Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập hợp các điểm M(x; y) mà toạ độ (x; y thoả mãn . Dạng V: Vị trí tương đối giữa các đồ thị Cơ sở lý thuyết: + Điểm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) yM = f(xM). + Vị trí tương đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số điểm chung của hai đồ thị. Giả sử M(xM; yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x). M đồ thị hàm số y = f(x) và M đồ thị hàm số y = g(x). yM = f(xM) và yM = g(xM). (xM; yM) là nghiệm của hệ phương trình Vậy ví trí tương đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình 1/ Cách giải : bài toán xác định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc 2) + Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị các hàm số là nghiệm của hệ: (1) (2) + Phương trình hoành độ : f(x) = g(x) (3) + Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị các hàm số y=f(x) và y = g(x)f(x) và g(x) có bậc 2). Hai đồ thị cắt nhau phương trình (3) có hai nghiệm phận biệt Hai đồ thị tiếp xúc Phương trình (3) có nghiệm kép Hai đồ thị không cắt nhau phương trình (3) vô nghiệm. Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của phương trình (3). Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3) tìm hoành độ x = x0 , dựa vào phương trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ tương ứng y = y0. Kết luận chung: b. Chú ý: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (d): y = ax + b và d1: y=(2m-3)x+2 (a.a1 0) + d song song với d1 a = a1 ; b b1 + d cắt d1 a a1 + Đặc biệt d vuông góc với d1 a.a1 = -1 + d trùng với d1 a = a1 ; b = b1 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: cho đường thẳng d: y = m(x + 2) và d: y = (2m-3)x + 2 Biện luận theo m vị trí tương dối của hai đường thẳng Giải + d//d1 + d cắt d1 m 2m-3 m 3 + không có giá trị nào của m đẻ d trùng với d1 Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc. Xác định toạ độ điểm chung trong từng trường hợp. Giải + d vuông góc với d1 m(2m-3) = -1 2m2-3m+1 = 0 m =1 hoặc m = + với m =1 ta có d: y = x +2 và d1: y = -x + 2 vuông góc với nhau. Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ Vậy với m=1 hai đường thẳng vuông góc với nhau tại A(0; 2) + Với m= ta có d: y = và d1: y=-2x+2 vuông góc với nhau. Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ Vậy với m= hai đường thẳng vuông góc với nhau tại B Ví dụ2: Biện luận theo m vị trí tương đói của đồ thị các hàm số y = x2-4x+m (P) và y= 2x+1 (d). Trong trường hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc. (1)) (2) Giải Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ Phương trình toạ độ x2 –4x+m = 2x+1 x2-6x+m-1 = 0 (3) + (P) cắt (d) tai hai điểm phận biệt phương trình (3) có hai nghiệm phận biệt = 9-m+1 > 0 m<10 + (P) tiếp xúc với (D) Phuơng trình (3) có nghiệm kép = 9-m+1 = 0 m=10 Với m= 10 phương trình (3) trở thành x2 – 6x + 9 = 0 x=3 Thay vào (2) ta có y = 7 Vậy với m= 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điiểm A(3; 7). + (P) không giao với (d) Phương trinhg (3) vô nghiệm = 9-m+1 < 0 Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – 8 (P) và y=mx2 +(m+2)x + 8 (P’) có không quá một điểm chung. Giải + Toạ độ điểm chung (nếu có) của các đồ thị hàm số là nghiệm của hệ : y = x2 – 4x – 8 (1) y = mx2 + (m+2)x + 8 (2) + Phương trình hoành độ x2 – 4x – 8 = mx2+ (m+2)x + 8 (m-1)x2+(m+6)x+16=0 (3) + (P) và (P’) có không quá một điểm chung phương trình (3) có không qua một nghiệm. Xét m = 1, phương trình (3) có dạng 7x+16 = 0 x=- là nghiệm duy nhất. Vậy với m=1 (P) và (P’) cắt nhau tại một điểm. Xét m 1 (P) và (P’) có không qua một điểm chung . (m + 6)2 – 64(m - 1) 0 m2 – 52m + 100 0 m 1 Vậy (P) và (P’) có không quá một điểm chung . 3: ứng dụng: Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) Cơ sở lý thuyết: Giả sử phương trình (1) có nghiệm x = x0 khi đó giá trị tương ứng của các vế là f(x0) = g(x0) = y0. Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0; y0). Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độ thì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1). Cách giải bài toán: - Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp đồ thị. - Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C’) trên cùng mặt phẳng toạ độ. - Biện luận số nghiệm chung của â và (C’) => số nghiệm của phương trình. Ví dụ: Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình Giải 3 2 1 0 1 2 3 x y y = m + Vẽ đồ thị hàm số y = và y = m trên cùng một mặt phẳng toạ độ. + Theo đồ thị ta có m < 1 phương trình (1) vô nghiệm. m = 1 phương trình (1) có vô số nghiệm : m > 1 phương trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất (1) Giải Phương trình (1) Xét hai hàm sốy = và y = y x 2 -1 -4 -3 -2 -1 0 1 a y= y= Đồ thị hàm số có dạng Từ đồ thị ta có: - Nếu thì đồ thị cắt nhau tại hai điểm phận biệt nên phương trình (1) có 2 nghiệm phận biệt. - Nếu thì hai đồ thị không có điểm chung nên phương trình (1) vô nghiệm. - Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất hai đồ thị có một điểm chung duy nhất Ví dụ 3: -2 -1 0 1 2 -1 y=2k 5 y Tìm tất cả giá trị thực của k để phương trình : (x-1)2 = 2 có bốn nghiệm phận biệt. Giải Ta có (x-1)2 = 2 x x-k = -x2 + 4 – 1 = 2k (1) x2 – 1 = 2k (2) Ta sẽ sử dụng phương pháp tương giao đồ thị để giải phương trình a. Ta xét hai hàm số y= -x2 + 4x – 1 và y = 2k Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ * y= -x2 + 4x – 1 là Parabol (P1) có giao với trục tung là (0; - 1) nhận S(2;3) là đỉnh. * y = 2k là đường thẳng (d) song song với Ox. Xét hàm số y = x2 + 1 và y = 2k Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ * y = x2 + 1 là Parabol (P2) có đỉnh là S’(0;1) * y = 2k là đường thẳng song song vơi Ox. Khi đó phương trình (x-1)2 = 2 có 4 nghiệm phận biệt (d) cắt (P1) và (P2) tại 4 điểm phận biệt 4/ Bài tập: Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm. a. (P): y = x2 và (D): y = 4x –4 b. (C): y = x2 – 2x – 3 và (C’) y = 2x2 + 2x + 1 Bài 2: Chứng minh (P) : y = mx2 – 2mx + (m – 1) tiếp xúc với mọi đường thẳng cố đinh với mọi m0. Hướng dẫn: Các đường thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a. Nên đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b Vậy đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m0 (2m+a)2 –4m(m-1-b) = 0 4m(a+1+b) + a2 = 0 Vậy đường thẳng y = -1 luôn tiếp xúc với (P): y = mx2 – 2mx+ (m-1) . Dạng VI: Điểm cố định ( Chùm đường thẳng, chùm Parabol ) Cơ sở lý thuyết: + Điểm M(x0; y0) đồ thị hàm số y = f(x) y0 = f(x0) + Hàm ssố y = f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) luôn đi qua điểm M(x0; y0) y0 = f(x0) với mọi m. + Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nhiều hơn hai nghiệm 1/ Cách giải: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) ( có phụ thuộc vào tham số m) đi qua với mọi m. Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) đi qua với mọi m. Ta có : y0 = f(x0) (1) đúng với mọi m. + Biến đổi (1) về phương trình chính tắc ẩn m ( coi x0 ; y0 là tham số) có nghiệm với mọi m suy ra các hệ số của phương trình băng 0 (2) Giải hệ điều kiện (2) tìm x0 ; y0 + (Thử lại) kết luận điểm cố định. 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 đi qua với mọi m. Giải Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với . y0 = (2m+1)x0-3m+2 đúng với 2mx0 – 3m + x0 – y0 + 2 = 0 đúng với (2x0 – 3)m + (x0 – y0 + 2) = 0 đúng với Vậy đường thẳng đi qua điểm M() với . Ví dụ 2: Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): (-m2+m-2)y=(m2+m-3)x+2m-5 đi qua với Giải Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với . (-m2+m-2)y0=(m2+m-3)x0+2m-5 đúng với (x0+y0)m2 + (x0+y0+2)m-3x0+2y0 –5 = 0 đúng với Vậy đường thẳng đi qua điểm M(-1;1) với . Ví dụ3: Tìm điểm cố định mà Parabol (P): y=(m2 – m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1 đi qua với mọi m. Giải Giả sử M(x0; y0) là điểm cố dịnh mà (P) đi qua với mọi m. y0 = (m2 – m+2) x20+(2m+3)x0-4m2+1 đúng với (x20-4)m2-(x02-2x0)m+2x02+3x0+1-y0 = 0 đúng với Vậy (P) đi qua điểm M(2;15) với mọi m. Bài Tập Bài 1: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng đi qua với mọi giá trị của tham số (d): y = (2m+ 1)x - 3m + 2 (b): (a - 1)x + (2a + 1)y = 3 (a): (2m + 1)x + (3m - 1)y = 4 Bài 2: Tìm m để các đường thẳng đồng quy (d1): 2x - 3y = -1 (d2): (m - 1)y = (m + 1)x – 2 (d3): (2m + 1)x + (3m –1)y = 4 Dạng VII: Quỹ tích đại số Cơ sở lý thuyết + Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM = f(xM) thì M thuộc đồ thị hàm số y = f(x) + Hàm số và đồ thị của nó tương ứng là 1-1. 1/ Cách giải bài toán: Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m. Giải + Biểu diễn tạo độ của M theo tham số + Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM). + Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số y = f(x) Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra điều kiện của x để giới hạn quỹ tích. 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm tập hợp giáo điểm nếu có của hai đường thẳng (d1): (m-1)x + 2y = 3 (d2); mx + y = - 4 Giải + Toạ độ điểm chung M của (d1), (d2) là nghiệm của hệ: ( m1) Ta có => yM- xM = 7 => yM = xM + 7 Vậy tập hợp giao điểm M của (d1) và (d2) là đường thẳng y = x + 7 với m1 Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d): y = mx - cắt Parabol (P): y = x2 tại hai điểm phận biệt A và B . Tìm tập hợp trung điểm I của AB. Giải (1) (2) Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ Phương trình hoành độ x2 = mx - 4x2 – 4x + 1 = 0 (3) (P) cắt (d) cắt nhau tai hai điểm phận biệt phương trình (3) có hai nghiệm phận biệt Với (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phận biệt A và B có hoành độ xA, xB là nghiệm của phương trình (3) nên