Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

phòng giáo dục đào tạo huyện quỳnh phụ Giải pháp công nghệ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Năm học 2010 - 2011 Mã trường: Phần I: Mở đầu Trong quá trình dạy học sinh môn toán lớp 8, đặc biệt trong khi bồi dưỡng HSG có những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa xét hết các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức, cũng như các hằng bất đẳng thức,chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải đối với từng dạng bài tập.Mặt khác sách giáo khoa lại chưa đề cập nhiều về cách giải, do đó HS chưa có được phương pháp giải những bài tập này. Vì thế trong quá trình dạy về vấn đề này tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức để phân chia được các dạng, tìm ra được phương pháp giải đối với từng dạng bài. Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phương pháp giải nhanh gọn, hợp lí .Chính vì những lí do trên mà tôi chọn và trình bày kinh nghiệm: “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức” Phần II: Nội dung A. Cơ sở thực tiễn Học sinh chưa nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức, cũng như các hằng bất đẳng thức,chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải đối với từng dạng bài tập .Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thường ngại, lúng túng không tìm được hướng giải và khi giải hay mắc sai lầm. B. giải pháp I. Những kiến thức cơ bản 1/ Định nghĩa bất đẳng thức Hệ thức dạng a > b ( hoặc a < b, a b, a ≤ b ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 2/ Các tính chất Tính chất bắc cầu: a > b; b > c a > c Tính chất đơn điệu của phép cộng: a> b a + c > b + c Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b ; c > d a + c > b + d Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b ; c b – d Tính chất đơn điệu của phép nhân + Nhân hai vế của BĐT với cùng số dương: a > b; c > 0 ac > bc + Nhân hai vế của BĐT với cùng số âm : a > b; c < 0ac < bc Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm a > b 0, c > d ac > bd Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: a > b > 0 an > bn a > b an > bn với n lẻ. | a | > | b | an > bn với n chẵn. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương: Nếu m > n > 0 thì: a > 1 am > an a = 1 am = an 0 < a < 1 am < an Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: a> b, ab > 0 < Chú ý : Trong các tính chất trên, nhiều dấu >(hoặc <)có thể thay bởi (hoặc ≤). 3/ Các hằng bất đẳng thức a2 0, - a2 ≤ 0 | a | 0. Xảy ra đẳng thức khi a = 0 | a | a. Xảy ra đẳng thức khi a 0 | a + b | ≤ | a | + |b |. Xảy ra đẳng thức khi ab 0 | a - b | | a | - |b |. Xảy ra đẳng thức khi ab > 0 và | a| |b | a2 + b2 2ab ( )2 ab hay ( a + b )2 4 ab ( bất đẳng thức CoSi) + với a, b > 0 + 2 với a, b > 0 (a2 + b2 )( x2 + y2) ( ax2 + by2) ( bất đẳng thức Bu-nhi – a – cốp- xki) II.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1/ Phương pháp dùng định nghĩa. Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B là số dương. Ví dụ 1: Chứng minh x + 2 nếu x > 0 Giải Xét hiệu x + - 2 = = Vì x > 0,( x – 1 ) 20 nên x + - 2 0 Vậy x + 2 với x > 0.Dấu “ = ” xảy ra khi x= 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng ( x – 1) ( x – 2 ) ( x- 3) ( x – 4) - 1 Giải Xét hiệu: ( x – 1)(x – 2) ( x- 3)(x – 4) –(-1) = (x2 – 5x + 4 ) (x2 – 5x + 6)+ 1. Đặt x2 – 5x + 5 = y, biểu thức trên bằng ( y – 1)( y + 1)+ 1 = y2 0 Vậy ( x – 1) ( x – 2 ) ( x- 3) ( x – 4) - 1 2/ Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + 1 ab + a + b Giải Ta có: a2 + b2 2ab ( 1) b2 + 1 2b ( 2) a2 + 1 2a ( 3 ) Cộng từng vế của (1); (2) và (3): : 2a2 + 2b2 + 2 2 ab + 2a + 2b a2 + b2 + 1 ab + a + b Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = 1 Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức với a, b, c là các số dương. a) ( a + b + c) ( + + ) 9 b) + + 1,5 Giải a) Ta có A = ( a + b + c) ( + + ) = 1 + + + +1 + + + +1 = 3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) Dễ dàng chứng minh + 2 với x, y dương. Do đó A 3 + 2 + 2 + 2 = 9. Vậy A 9 Dấu “ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c b) áp dụng bất đẳng thức câu a ta có ( x + y + z) ( + + ) 9 trong đó x, y, z > 0 Với x= b + c, y = a + c, z = a + b ta được: 2( a + b + c) ( + + ) 9 ( a + b + c) ( + + ) 4,5 + + 4,5 + 1 + + 1 + +1 4,5 + + 1,5 Dấu “ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Ví dụ 3: Cho x 0, y 0, z 0. Chứng minh rằng: ( x + y ) (y + z ) ( z + x ) 8xyz. (1) Giải Hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1), ta sẽ chứng minh (x + y )2(y + z )2(z + x )2 64 x2 y2 z2 Ta có : (z + x )2 4xz (x + y )2 4xy (y + z )2 4yz Hai vế của bất đẳng thức trên đều không âm, nhân từng vế ta được (x + y )2(y + z )2(z + x )2 64 x2 y2 z2 [( x + y ) (y + z ) ( z + x )] 2 [8xyz]2 Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều không âm nên ( x + y ) (y + z ) ( z + x ) 8xyz Dấu “ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = z Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 + + + . . . + < Giải Gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội: để chứng minh A < B, ta làm trội A thành C ( A < C ) rồi chứng minh C ≤ B. Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu, ta có: < = = Do đó: A < + + + . . . + = + + + . . . + . Đặt C = + + + . . . + Nhận xét rằng - = nên C = - + - + - + ..... + - = - = - < Vậy + + + . . . + < . Chú ý: Khi làm trội một biểu thức, có trường hợp ta phải chia biểu thức thành nhiều nhóm ròi làm trội trong trừng nhóm. Xét ví dụ sau: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2: 1 + + + . . . + < n Giải Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là A, ta có: A = 1+(+)+( + ... +) + ( + .... + ) + ... + ( + ... + ) ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất trong nhóm, ta được: A < 1 + . 2 + . 4 + . 8 + ... + . 2 n-1 = 1 + 1 +1 + .... + 1 = n Vậy 1 + + + . . . + < n 3/ Phương pháp : Dùng phương pháp phản chứng. Ví dụ: a) Chứng minh bất đẳng thức (a + b)2 4ab b) Cho a2 + b2 ≤ 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2 Giải Gải sử (a + b)2 < 4ab thì a2 + 2ab + b2 < 4ab a2 - 2ab + b2 < 0 (a - b)2 < 0 ( Vô lí ) Giả sử sai Vậy (a + b)2 4ab b)Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế ta được: a2 + 2ab + b2 > 4 ( 1) Mặt khác ta có 2ab ≤ a2 + b2 a2 + 2ab + b2 ≤ 2 (a2 + b2 ) Mà 2 (a2 + b2 ) ≤ 4 ( giả thiết), do đó a2 + 2ab + b2 ≤ 4 mâu thuẫn với ( 1) Vậy a + b ≤ 2 4/Phương pháp : Dùng các phép biến đổi tương đương. Ví dụ: Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng ( 1 + )( 1 + ) 9 Giải ( 1 + )( 1 + ) 9 ( 1) . 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì ab > 0) a + b + 1 8 ab 2 8 ab (vì a + b = 1 ) 1 4 ab ( a + b )2 4 ab (vì a + b = 1 ) ( a - b )2 0 ( 2 ) Bất đẳng thức ( 2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức ( 1) được chứng minh. Dấu “ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b Chú ý : Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, ví dụ a2 > b2 a > b với a, b > 0 m > n am > an với m, n nguyên dương, a > 1. Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương. 5/Phương pháp : Dùng phương pháp quy nạp toán học Ví dụ1: Chứng minh rằng: 2n > n3 với mọi số tự nhiên n 10 Giải + Bất đẳng thức đúng với n = 10 vì 210 = 1024 > 103 + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có 2k > k3 ( k 10). Ta cần chứng minh 2k+1 > (k+1)3 Xét hiệu 2k+1 - (k+1)3 = 2. 2k - k3 – 3k2 – 3k – 1 = 2 (2k – k3 ) + k3 – 3k2 – 3k – 1 Theo giả thiết quy nạp 2k > k3 ta cần chứng minh k3 – 3k2 – 3k – 1 > 0. Ta có: k3 – 3k2 – 3k – 1 = k( k2 – 3k – 3) -1= k [ k( k-3) – 3 ] – 1 Do k 10 k ( k – 3) 70 k [ k( k-3) – 3 ] – 1 669 > 0 2k+1 > (k+1)3 Vậy 2n > n3 với mọi số tự nhiên n 10 Ví dụ2: Chứng minh +++ ... +>với mọi số tự nhiên n 2 Giải + Bất đẳng thức đúng với n = 2 vì S = + = > + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có S k> ( k 10). Ta cần chứng minh S k+1> Ta có Sk = +++ ... +> Sk+1 = +++ ... + Do đó Sk+1 - Sk = + - = > 0 Sk+1 > Sk, mà S k> S k+1> Vậy +++ ... +>với mọi số tự nhiên n 2 III. Vài điểm chú ý khi chứng minh bất đẳng thức. Chú ý 1: Khi chứng minh bất đẳng thức , nhiều khi ta cần đổi biến. Ví dụ : Cho a + b + c = 1. chứng minh rằng a2 + b2 + c2 Giải Đặt a = + x, b = + y , c = + z. Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0 Ta có: a2 + b2 + c2 = ( + x)2 + ( + y)2+ ( + z)2 =( + x + x2) + ( + y + y2) + ( + z + z2) = + ( x + y + z) + x2 + y2 + z2 = + x2 + y2 + z2 Dấu “ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x= y = z = 0 a = b = c = Chú ý 2: Với các bất đẳng thức mà các biến có vai trò như nhau, ta có thể sắp thứ tự các biến. Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức abc ( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c ) với a, b, c là các số dương. Giải. Do vai trò của a, b, c như nhau, ta giả sử rằng a b c. Xét hai trường hợp * b + c ≤ a khi đó vế trái của bất đẳng thức là số dương, còn vế phải không dương. Bất đẳng thức được chứng minh. * b + c > a khi đó hai vế của bất đẳng thức đều dương. Ta có ( b + c – a) ( b + a –c) = b2 – ( c- a )2 ≤ b2 ( a + c – b) ( b + c –a) = c2 – ( a- b )2 ≤ c2 ( b + a – c) ( c + a –b) = a2 – ( b- c )2 ≤ a2 Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được [( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c )]2 ≤ [ abc]2 Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên abc ( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c ) Dấu “ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Chú ý 3: Khi chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều trường hợp ta cần xét từng khoảng giá trị của biến. Ví dụ: Chứng minh rằng x8 – x7 + x2 – x + 1 > 0 Giải. Đặt A= x8 – x7 + x2 – x + 1 = x7 ( x – 1 ) – ( x – 1) + x2 = ( x – 1 ) (x7 – 1) + x2 Nếu x 1 thì x7 1, do đó ( x – 1 ) (x7 – 1) 0 còn x2 0 nên A > 0 Nếu x 0 còn x2 0 nên A > 0 III/ Kết luận: Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy, học sinh lớp tôi dạy đã biết cách làm các bài chứng minh bất đẳng thức.Học sinh không còn lúng túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này. Cụ thể khi làm phiếu điều tra hai lớp 8A và 8B trường THCS với đề bài sau: Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ x2 + xy + y2 > 0 2/ x8 – x7 + x4 – x + 1 > 0 3/ + + + .... + < 1 ( n nguyên dương ) Bài 2: Cho ba số a, b, c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c )2. Bài 3: Cho a, b, c, là ba cạnh của một tam giác. chứng minh rằng + + < 2 Kết quả nhận được như sau: Học sinh của tôi không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng dạng bài trên. Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn. Hầu hết đã trình bày được lời giải chặt chẽ. Kết quả cụ thể như sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém 8A 31,8% 50,1% 13,6% 4,5% 8B 33,33% 46,67% 13,3% 6,7% Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số bài học cho bản thân trong việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi. Những bài học đó là: 1 – Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy. 2 – Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải loại toán đó. 3 – Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập. 4 – Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. Sưu tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp xếp thành từng loại để khi dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán. Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh khá, giỏi lớp 8 giải một dạng toán. Rất mong được sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để tôi có những kinh nghiệm nhiều hơn trong việc dạy các em học sinh giải toán. Tôi xin chân thành cảm ơn! Quỳnh Phụ ngày 24 tháng 4 năm 2011 Tài liệu tham khảo 1)Sách giáo khoa Toán 8 – NXB Giáo dục – 2004 2)Vũ Hữu Bình – Nâng cao và phát triển Toán 8- NXB Giáo Dục – 2010 3)Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng khanh:Tuyển tập các bài toán hay và khó - 2004 4) Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng khanh - Tuyển chọn 400 bài tập toán 8 5)Vũ Hữu Bình – Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8- NXB Giáo dục – 2007.