Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Một số phương pháp giảI phương trình vô tỉ I - đặt vấn đề. 1. Lý do chọn đề tài: Các bài toán về phương trình vô tỉ là những bài toán khó. Để giải được các bài toán đó, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của biểu thức chứa căn còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ta phải căn cứ vào các đặc thù của từng bài toán mà sử dụng phương pháp cho thích hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải kết hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí. Các phương pháp thường hay được sử dụng đó là phương pháp dùng định nghĩa, phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết, phương pháp phản chứng, phương pháp chứng minh quy nạp Trong môn đai số ở trường trung học cơ sở do kiến thức học sinh (HS) tích lũy được chưa nhiều, vậy nên giáo viên (GV) cần phải chú ý hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm sư pham, phải có lòng tận tâm và phương pháp đúng đắn. đây là một cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức phương pháp, phương pháp chứng minh các bài toán về bất đẳng thức nói riêng và phương pháp giải các bài toán đại số nói chung. Nhằm rèn luyện và phát triển cho HS năng lực tư duy khoa học. Biết đề ra cho HS đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo, linh hoạt bằng gợi ý. Chứng minh bài toán như thế nào là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình dạy học Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đối tượng học sinh Khá, Giỏi bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán và tìm ra các phương pháp giải hợp lí nhất dễ hiểu, dễ vận dụng nhất. Nhằm bộ trợ và nâng cao kịp thời cho các em những kiến thức cần thiết. ở bất đẳng thức mỗi bài toán, với những đặc điểm riêng, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp . Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo của người học. Do đó mà các bài toán về bất đẳng thức có mặt trong đề thi các kì thi tuyển học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trên toàn quốc rất nhiều. Không những thế chứng minh bất đẳng thức là một đề tài lí thú của Đại số, mãi mãi là đối tượng nghiên cứu của Toán học. Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó. Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “ Bất đẳng thức và ứng dụng ”. Nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu nhất để có một phương án đúng đắn, hợp lí giúp học sinh tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức và ứng dụng của nó một cách chủ động, sáng tạo và có hiệu quả có hứng thú nhất trong quá trình học. Bất đẳng thức và ứng dụng của nó rất phong phú về dạng toán, nhưng ở đề tài này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình và phương pháp giải cơ bản cho từng dạng toán đó. 2. Phạm vi và giới hạn bài viết: Bài viết giới thiệu bất đẳng thức và ứng dụng dành cho các đối tượng học sinh lớp 8, lớp 9 góp phần nâng cao chất lượng đại trà và bồi dưỡng học sinh khá giỏi. (Để bài viết không quá dài, tôi không trình bày chi tiết lời giải, đối với một số bài toán đặc trưng sẽ được phân tích cụ thể và khai thác bài toán). I. Lí do chọn đờ̀ tài. II. Mục đớch của đề tài Trờn cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tọ̃p của học sinh, tỡm ra những phương pháp giải phương trình vụ tỉ mụ̣t cách hiợ̀u quả nhṍt III. Phạm vi nghiờn cứu Để thực hiện đề tài này, tụi thực hiện nghiờn cứu tại đơn vị cụng tác là Trường THCS. Cụ thờ̉ là những học sinh tham gia đụ̣i tuyờ̉n học sinh giỏi Toán của trường và của Huyợ̀n IV. Cơ sở nghiờn cứu Cỏc tài liệu về phương phỏp giảng dạy, cỏc tài liệu bồi dưỡng thường xuyờn, sỏch giỏo khoa, sỏch bài tập, sỏch tham khảo của bộ mụn Toỏn bậc trung học cơ sở V. Phương phỏp nghiờn cứu Thực hiện đề tài này, tụi sử dụng cỏc phương phỏp sau đõy: – Phương phỏp nghiờn cứu lý luận – Phương phỏp khảo sỏt thực tiễn – Phương phỏp phõn tớch – Phương phỏp tổng hợp – Phương phỏp khỏi quỏt húa – Phương phỏp quan sỏt – Phương phỏp kiểm tra – Phương phỏp tổng kết kinh nghiệm VI. Thời gian nghiờn cứu Đề tài được thực hiện từ ngày 05.09.2009đến ngày 30.3.2010 VII. Giới hạn của đề tài Đờ̀ tài được sử dụng trong viợ̀c bụ̀i dưỡng đụ̣i tuyờ̉n học sinh giỏi các cṍp, với đụ́i tượng là những học sinh giỏi bụ̣ mụn Toán PHẦN II Nệ̃I DUNG Đấ̀ TÀI I. Khảo sát tình hình thực tờ́ Năm học 2008 – 2009, tụi được phõn cụng bồi dưỡng học sinh giỏi. Thực hiợ̀n cụng tác bụ̀i dưỡng học sinh giỏi hai mụn Toán và giải toán trờn máy tính cõ̀m tay. Đõy là mụ̣t cơ hụ̣i rṍt tụ́t đờ̉ tụi thực hiợ̀n đờ̀ tài này, phương trình vụ tỉ là mụ̣t trong những dạng phương trình khó. Trong quá trình giải toán học sinh còn rṍt lúng túng, kờ̉ cả những học sinh tham gia trong hai đụ̣i tuyờ̉n thì những dạng phương trình vụ tỉ cũng là mụ̣t dạng toán mới. Trước khi bụ̀i dưỡng học sinh giỏi, tụi đã thực hiợ̀n viợ̀c khảo sát mụn toán trờn 33 học sinh của lớp 9B. Kờ́t quả thu được như sau: Giỏi: 10 em Khá: 12 em Trung bình: 11 em Đụ̣i tuyờ̉n học sinh giỏi mụn Toán do tụi phụ trách đõ̀u tháng 7 gụ̀m 14 học sinh, qua quá trình bụ̀i dưỡng, chọn lọc trực tiờ́p. Tụi đã chọn ra được 8 em vào đõ̀u tháng 9 đờ̉ tiờ́p tục bụ̀i dưỡng cho các em trong năm học này Đụ̣i tuyờ̉n học sinh giỏi mụn giải toán trờn máy tính cõ̀m tay do tụi phụ trách và chọn lọc từ đõ̀u tháng 9 gụ̀m 11 em II. Mụ̣t sụ́ phương pháp giải phương trình vụ tỉ 1. Phương pháp nõng lờn lũy thừa a) Dạng 1: Û Ví dụ. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Vọ̃y: phương trình đã cho có mụ̣t nghiợ̀m x = 3 b) Dạng 2: Ví dụ. Giải phương trình: (2) Giải. Với điờ̀u kiợ̀n x ≥ 2. Ta có: (2) Û Û Û Û Vọ̃y: phương trình đã cho có mụ̣t nghiợ̀m x = 6 c) Dạng 3: Ví dụ. Giải phương trình: (3) Giải: Với điờ̀u kiợ̀n 7 ≤ x ≤ 12. Ta có: (3) Û Û Û Û 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 Û 5x2 – 84x + 352 = 0 Û x1 = ; x2 = 8 Vọ̃y: phương trình đã cho có hai nghiợ̀m x1 = ; x2 = 8 d) Dạng 4: Ví dụ. Giải phương trình: (4) Giải: Với điờ̀u kiợ̀n x ≥ 4. Ta có: (4) Û Û Û Û Û 45 + 14x + 14 = 0 Với x ≥ 4 ị vờ́ trái của phương trình luụn là mụ̣t sụ́ dương ị phương trình vụ nghiợ̀m. 2) Phương pháp trị tuyợ̀t đụ́i hóa Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: (1) Giải: (1) Û Với điờ̀u kiợ̀n x ≤ 8. Ta có: (1) Û |x – 2| = 8 – x – Nờ́u x < 2: (1) ị 2 – x = 8 – x (vụ nghiợ̀m) – Nờ́u 2 ≤ x ≤ 8: (1) ị x – 2 = 8 – x Û x = 5 HD: Đỏp số: x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trỡnh (2) Giải: (2) Û Û Đặt y = (y ≥ 0) ị phương trình đã cho trở thành: – Nờ́u 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại) – Nờ́u 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3 – Nờ́u y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vụ nghiợ̀m) Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8 Vọ̃y: phương trình đã cho có mụ̣t nghiợ̀m là x = 8 3) Phương pháp sử dụng bṍt đẳng thức a) Chứng tỏ tọ̃p giá trị của hai vờ́ là rời nhau, khi đó phương trình vụ nghiợ̀m Ví dụ 1. Giải phương trình Cách 1. điờ̀u kiợ̀n x ≥ 1 Với x ≥ 1 thì: Vờ́ trái: ị vờ́ trái luụn õm Vờ́ phải: ≥ 1 ị vờ́ phải luụn dương Vọ̃y: phương trình đã cho vụ nghiợ̀m Cách 2. Với x ≥ 1, ta có: Û Û Vờ́ trái luụn là mụ̣t sụ́ õm với x ≥ 1, vờ́ phải dương với x ≥ 1 ị phương trình vụ nghiợ̀m b) Sử dụng tính đụ́i nghịch ở hai vờ́ Ví dụ 2. Giải phương trỡnh: (1) Giải: Ta có (1) Û Û Ta có: Vờ́ trái ≥ . Dṍu “=” xảy ra Û x = –1 Vờ́ phải ≤ 5. Dṍu “=” xảy ra Û x = –1 Vọ̃y: phương trình đã cho có mụ̣t nghiợ̀m x = –1 c) Sử dụng tính đơn điợ̀u của hàm sụ́ (tìm mụ̣t nghiợ̀m, chứng minh nghiợ̀m đó là duy nhṍt) Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: Giải: điờ̀u kiợ̀n x ≥ Dờ̃ thṍy x = 2 là mụ̣t nghiợ̀m của phương trình – Nờ́u : VT = . Mà: VP > – Nờ́u x > 2: VP = 2x2 + > 2.22 + = . VT < Vọ̃y: phương trình đã cho có mụ̣t nghiợ̀m duy nhṍt là x = 2 Ví dụ 2. Giải phương trỡnh: Giải: Thử với x = 2. Ta có: (1) Û Nếu x > 2: VT < VP Nếu x VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh Ví dụ 3. Giải phương trỡnh: Giải: ĐK: x < 2. Bằng cỏch thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trỡnh. Ta cần chứng minh đú là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < : và ị . Tương tự với < x < 2: Ví dụ 4. Giải phương trỡnh: (1) Giải: (1) Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thỡ cỏc biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trỡnh. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng . Ta chứng minh đú là nghiệm duy nhất. Với : 3x < –2x – 1 < 0 ị (3x)2 > (2x + 1)2 ị Suy ra: ị (1) khụng cú nghiệm trong khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) khụng cú nghiệm khi d) Sử dụng điờ̀u kiợ̀n xảy ra dṍu “=” ở bṍt đẳng thức khụng chặt Ví dụ. Giải phương trình Giải: điờ̀u kiợ̀n Áp dụng bṍt đẳng thức với ab > 0 Với điờ̀u kiợ̀n . Nờn: . Dṍu “=” xảy ra Û Û 4. Phương pháp đưa vờ̀ phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đú, nhõn lượng liờn hợp vào hai vế của phương trỡnh: Û ị PT vụ nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trỡnh: (1) Giải. ĐK: | x | ≤ 1: (1) Û Û x1 = 0; x2 = Ví dụ 3. Giải phương trỡnh: (1) Giải. Chỳ ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). (1) Û Û x = 2 5) Phương pháp đặt õ̉n phụ a) Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: (1) Giải. Đặt = y (y ≥ 0) ịy2 = x + 1 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2 ị (2) Û (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0. Từ đú suy ra tập nghiệm của phương trỡnh là: Ví dụ 2. Giải phương trỡnh: (1) HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt = y (1) Û Û y3 + y2 – 2 = 0 Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 Û y = 1 Û x = 1 b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: 2(x2 + 2) = 5 (3) Giải. Đặt u = , v = (ĐK: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đú: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1. ị (3) Û 2(u2 + v2) = 5uv Û (2u - v)(u - 2v) = 0 Giải ra, xỏc định x. Kết quả là: x ẻ Ví dụ 2. Giải phương trỡnh: (1) Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) Û Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0)ị u2 – v2 = 3. (1) Û (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất Ví dụ 3. Giải phương trỡnh: (1) Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0): (1) Û b – a = a2 – b2 Û (a – b)(a + b + 1) = 0 Mà a + b + 1 > 0 ị a = b Û x = là nghiệm duy nhất của phương trỡnh. Ví dụ 4. Giải phương trỡnh: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) (1) Û Û u – (v2 – u2) – v = 0 Û (u – v)(1 + u + v) = 0. Vỡ 1 + u + b > 0 nờn: u = v. Giải ra ta được: x = 2 c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1 Giải phương trỡnh: (1) Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) Û Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1) Û ab + c = b + ac Û (a – 1)(b – c) = 0 Û a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh Ví dụ 2. Giải phương trỡnh : Giải. Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0) ị x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu Từ đú ta cú hệ: Nhõn từng vế của (1), (2), (3) ta cú : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vỡ u ; v ; t ≥ 0 nờn: (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta cú: (8) Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta cú: d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trỡnh Ví dụ 1. Giải phương trỡnh Cỏch 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5 Cỏch 2: Đặt và . Ta cú hệ: Û Û x = 5. Ví dụ 2 Giải phương trỡnh: Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt = u , (u, v ≥ 0): ịGiải ra ta cú x = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trỡnh: Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) ị Û . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 4. Giải phương trỡnh: Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt (u, v ≥ 0) ị ị Ví dụ 5. Giải phương trỡnh: Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt (u, v ≥ 0) ị Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đú thế ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ 6. Giải phương trỡnh: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) ị (1) Û Ví dụ 7. Giải phương trỡnh: Giải. Đặt (1) Û ị kết quả 6) Giải và biợ̀n luọ̃n phương trình vụ tỉ Ví dụ 1. Giải và biợ̀n luọ̃n phương trình: Giải. Ta có: Û – Nờ́u m = 0: phương trình vụ nghiợ̀m – Nờ́u m ≠ 0: . Điờ̀u kiợ̀n đờ̉ có nghiợ̀m: x ≥ m Û ≥ m + Nờ́u m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 4 Û + Nờ́u m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 4 Û m ≤ –2 Tóm lại: – Nờ́u m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có mụ̣t nghiợ̀m – Nờ́u –2 2: phương trình vụ nghiợ̀m Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trỡnh với m là tham số: (Đờ̀ thi học sinh giỏi cṍp tỉnh năm học 1999 – 2000) Giải. Ta có: – Nờ́u m = 0: phương trình vụ nghiợ̀m – Nờ́u m ≠ 0:. Điờ̀u kiợ̀n đờ̉ có nghiợ̀m: x ≥ m Û + Nờ́u m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 3 Û + Nờ́u m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 3 Û m ≤ Tóm lại: – Nờ́u hoặc . Phương trình có mụ̣t nghiợ̀m: – Nờ́u hoặc : phương trình vụ nghiợ̀m Ví dụ 3. Giải và biợ̀n luọ̃n theo tham sụ́ m phương trình: Giải. Điờ̀u kiợ̀n: x ≥ 0 – Nờ́u m < 0: phương trình vụ nghiợ̀m – Nờ́u m = 0: phương trình trở thành ị có hai nghiợ̀m: x1 = 0, x2 = 1 – Nờ́u m > 0: phương trình đã cho tương đương với + Nờ́u 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiợ̀m: x1 = m; x2 = + Nờ́u m > 1: phương trình có mụ̣t nghiợ̀m: x = m II. Kờ́t quả thực hiợ̀n Qua viợ̀c bụ̀i dưỡng học sinh giỏi hai mụn: Toán và giải toán trờn máy tính cõ̀m tay. Tụi đã áp dụng các nụ̣i dung của đờ̀ tài vào viợ̀c bụ̀i dưỡng cho các em. Kờ́t quả đạt được như sau: 1. Mụn Giải toán trờn máy tính cõ̀m tay a) Cṍp Huyợ̀n: Tụ̉ng sụ́ học sinh tham dự kì thi học sinh cṍp Huyợ̀n: 11 em Sụ́ học sinh đạt giải: 9 em (1 giải nhṍt, 2 giải nhì, 3 giải ba và 3 giải khuyờ́n khích) khích) b) Học sinh được tham dự kì thi học sinh giỏi cṍp Quụ́c gia: 1 em (Đạt giải ................) 2. Mụn Toán a) Cṍp Huyợ̀n: Tụ̉ng sụ́ học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cṍp Huyợ̀n: 8 em Sụ́ học sinh đạt giải: 5 em (2 giải nhṍt, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải khuyờ́n khích) Sụ́ học sinh được chọn tham dự kì thi học sinh giỏi cṍp Tỉnh: 5 em III. Bài học kinh nghiợ̀m Qua viợ̀c thực hiợ̀n chuyờn đờ̀ giải phương trình vụ tỉ trong chương trình của cṍp THCS và viợ̀c bụ̀i dưỡng học sinh giỏi hai mụn Toán và Giải toán trờn máy tính cõ̀m tay. Bản thõn tụi đã rút ra được mụ̣t sụ́ bài học kinh nghiợ̀m như sau: 1. Vờ̀ cụng tác chỉ đạo Đõy là mụ̣t cụng tác quan trọng hàng đõ̀u trong viợ̀c bụ̀i dưỡng học sinh giỏi. Trong năm học vừa qua, nhọ̃n được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tõm thường xuyờn từ phía Ban giám hiợ̀u Nhà trường . Cụng tác bụ̀i dưỡng học sinh giỏi đã và đang gặt hái được những thành cụng lớn. 2. Vờ̀ phía học sinh. Đờ̉ gặt hái được những thành tích cao trong cụng tác mũi nhọn. Học sinh là nhõn vọ̃t trung tõm trong viợ̀c bụ̀i dưỡng đào tạo, đõy là nhõn tụ́ giữ vai trò quyờ́t định trong sự thành cụng hay thṍt bại của mụ̃i giáo viờn làm cụng tác giảng dạy, bụ̀i dưỡng. Vì chính các em mới là người học, là người đi thi và là người đem lại những thành tích đó Tuy nhiờn, đờ̉ giúp cho học sinh có thờ̉ gặt hái được những thành cụng, đòi hỏi các em phải có mụ̣t sự nụ̃ lực rṍt lớn. Mụ̣t sự quyờ́t tõm học tọ̃p trờn 100% khả năng của bản thõn mình. Chính vì vọ̃y, sự đụ̣ng viờn, quan tõm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viờn tham gia làm cụng tác bụ̀i dưỡng là rṍt lớn. Nhṍt là đụ́i với lứa tuụ̉i học sinh lớp 9, đặc điờ̉m tõm lí lứa tuụ̉i của các em có tác đụ̣ng khụng nhỏ đờ́n viợ̀c học tọ̃p của các em. Nhọ̃n thức rõ điờ̀u đó, mụ̃i giáo viờn làm cụng tác bụ̀i dưỡng cõ̀n phải dành mụ̣t sự quan tõm rṍt lớn đờ́n các em, thường xuyờn đụ̣ng viờn, uụ́n nắn kịp thời đờ̉ giúp cho các em có thờ̉ có mụ̣t sự quyờ́t tõm lớn trong cụng viợ̀c học tọ̃p của mình. Đặc biợ̀t là với những học sinh tham gia học tọ̃p bụ̣ mụn Toán, đõy là mụ̣t mụn học khó, có rṍt ít học sinh lựa chọn tham gia thi mụn này. Cũng chính vì lí do này, cụng tác bụ̀i dưỡng học sinh giỏi mụn Toán càng trở nờn khó khăn hơn rṍt nhiờ̀u 3. Vờ̀ phía giáo viờn tham gia trực tiờ́p cụng tác bụ̀i dưỡng học sinh giỏi Nờ́u học sinh giữ vai trò trung tõm trong cụng tác bụ̀i dưỡng học sinh giỏi thì vị trí của người thõ̀y lại giữ vai trò chủ đạo. Đờ̉ thực hiợ̀n thành cụng viợ̀c đào tạo bụ̀i dưỡng học sinh giỏi, đặc biợ̀t với mụn Toán thì khó khăn hơn rṍt nhiờ̀u so với các mụn học khác. Những giáo viờn tham gia bụ̀i dưỡng đụ̣i tuyờ̉n học sinh giỏi Toán cõ̀n phải có thời gian bụ̀i dưỡng nhiờ̀u hơn, phải đõ̀u tư thời gian, cụng sức, tiờ̀n bạc nhiờ̀u hơn so với những giáo viờn tham gia bụ̀i dưỡng những mụn học khác. Vṍn đờ̀ là thời gian, vì học sinh khụng phải là những cái máy, chúng ta khụng thờ̉ cùng mụ̣t lúc nhụ̀i nhét vào đõ̀u các em mọi vṍn đờ̀ mà chúng ta cho rằng các em nờn học. Mà viợ̀c tiờ́p thu, học tọ̃p của các em là cả mụ̣t quá trình bờ̀n bỉ, lõu dài thì mới mong đạt được hiợ̀u quả. Bản thõn tụi là giáo viờn tham gia cụng tác bụ̀i dưỡng học sinh giỏi mụn Toán năm nay là năm thứ hai, nói vờ̀ kinh nghiợ̀m thì chưa nhiờ̀u. Song tụi cũng nhọ̃n thṍy rằng, đờ̉ bụ̀i dưỡng được mụ̣t đụ̣i tuyờ̉n đi thi có giải là cả mụ̣t vṍn đờ̀ nan giải, khó khăn. Ở đõy tụ̀n tại hai vṍn đờ̀: Mụ̣t là, kiờ́n thức của người thõ̀y, giáo viờn giảng dạy toán phải là người có mụ̣t cái nhìn tụ̉ng quát vờ̀ mụn toán trong bọ̃c học của mình, phải là người giải toán thường xuyờn, cặp nhọ̃t thường xuyờn những thuọ̃t toán, những thủ thuọ̃t giải toán hiợ̀u quả. Nói tóm lại là kiờ́n thức của thõ̀y phải vững vàng, thõ̀y thực sự phải là người giỏi toán Hai là, cõ̀n phải lờn được kờ́ hoạch giảng dạy mụ̣t cách chi tiờ́t, chuõ̉n mực. Cặp nhọ̃t thường xuyờn những kiờ́n thức mới mà các em vừa học đờ̉ bụ̀i dưỡng ngay, đặc biợ̀t là phải kích thích được các em say sưa học tọ̃p, tự giác học tọ̃p, phát huy được những tụ́ chṍt tụ́t nhṍt của các em đờ̉ cụng viợ̀c học tọ̃p của các em đạt được hiợ̀u quả cao PHẦN III Kấ́T LUẬN Trờn đõy là mụ̣t sụ́ phương pháp giải phương trình vụ tỉ trong khuụn khụ̉ chương trình cṍp THCS, mà cụ thờ̉ là những phương pháp giải phương trình vụ tỉ của lớp 9. Ngoài những phương pháp mà tụi chắt lọc nờu trờn, chắc chắn còn nhiờ̀u phương pháp giải khác mà bản thõn tụi, do năng lực còn hạn chờ́ và thời gian nghiờn cứu chưa nhiờ̀u nờn đờ̀ tài của tụi khụng thờ̉ khụng còn những sơ suṍt. Chính vì vọ̃y, tụi rṍt mong có sự đóng góp, bụ̉ xung của các đụ̀ng nghiợ̀p đờ̉ đờ̀ tài hoàn thiợ̀n hơn. Lê Đăng Năm