Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán

Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán ---------------------------- Đặt vấn đề. 1. lý do chọn đề tài. Trong chương trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán. Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường T.H.C.S tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Đứng trước vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh. 2. đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp T.H.C.S. Do đó chỉ đề cập đến một số loại bài toán đó là: a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn. c) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh. d) áp dụng định lý Viét giải phương trình và hệ phương trình. e) Định lý Viét với bài toán cực trị. B. nội dung. Định lý Viét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) thì: * Hệ quả: (trường hợp đặc biệt) a) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là: x1 = 1 còn nghiệm kia là: x2 = b) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là: x1 = - 1 còn nghiệm kia là: x2 = * Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện: thì u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0. điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P ³ 0. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải một số dạng toán. I. ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện Bài giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép): m ạ 0 ; D' ≥ 0 D' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4 D' ³ 0 Û m Ê 4. Với 0 ạ m Ê 4, theo định lý Viét, các nghiệm x1; x2 của phương trình có liên hệ: x1 + x2 = ; x1.x2 = Do đó: 1 = = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = - Û m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m Û m2 - 10m + 16 = 0 Û m = 2 hoặc m = 8 Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 ạ m Ê 4 Vậy với m = 2 thì = 1 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn Bài giải: Ta phải có: (1) Û D' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 Û m < (2) Û m2 + 2m - 3 ạ 0 Û (m - 1)(m + 3) ạ 0 Û m ạ 1; m ạ - 3 (3) Û @ Trường hợp: x1 + x2 = 0 Û x1 = - x2 ị m = 2 không thoả mãn điều kiện (1) @ Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0 Û x1.x2 = 5 Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 Û (m - 2)(m + 4) = 0 Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3 b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài giải: (1) (2) (3) (4) a) Ta phải có: Từ (1) và (3) tính được: Thay vào (2) được Û 2m2 - 17m + 8=0 Giải phương trình 2m2 - 17m + 8 = 0 được m = 8; m = thoả mãn điều kiện (4). Vậy với m = 8 hoặc m = thì các nghiệm của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3. b) Theo hệ thức Viét: x1 + x2 = 2 + x1 + x2 = 1 - (*) Thay = x1 + x2 - 2 vào (*) được x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2) Vậy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2) Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2 + 2x + m = 0 (1) x2 + mx + 2 = 0 (2) Bài giải: Gọi x0 là nghiệm chung nào đó của 2 phương trình khi đó ta có Trừ theo từng vế hai phương trình ta được (m - 2)x0 = m - 2 Nếu m = 2 cả hai phương trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm Nếu m ạ 2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3 Với m = - 3: (1) là x2 + 2x – 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 và x2 = - 3 Và (2) là x2 - 3x + 2 = 0; có nghiệp x3 = 1 và x4 = 2 Rõ ràng với m = - 3 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1. 2. Bài tập: Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2. Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 3: a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. II. ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn số: 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho x1 = ; x2 = Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 Ta có: x1 = ; x2 = = Nên x1.x2 = . = x1 + x2 = + = Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x2 - x+ = 0 Hay 2x2 - 2x + 1 = 0 Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1) Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1) Cách giải: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1 Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có: y1 + y2 = y1..y2 = Ta có: = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – 2 = 727 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1 Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0 Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: x2 + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn hệ: Các giải: Điều kiện D = p2 - 4q ³ 0 (*) ta có: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. Từ điều kiện: Û Û Û Giải hệ này tìm được: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6 Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*) 2) Bài tập: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là + và Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện: Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và + = Bài 3: Xác định có số m, n của phương trình: x2 + mx + n = 0 Sao cho các nghiệm của phương trình làm m và n. Iii. ứng dụng của định lý viét trong giải toán chứng minh. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0 Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6. Hướng dẫn học sinh giải. Đây không phải là một bài toán chứng minh đẳng thức thông thường, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của 2 phương trình và hệ số của các phương trình đó. Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý Viét vào trong quá trình biến đổi vế của đẳng thức, để suy ra hai vế bằng nhau. Cách giải: a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có: và Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm) Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = - 2 (1); a2 + b2 + c2 = 2 (2) Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn khi biểu diễn trên trục số: Cách giải: Bình phương hai vế của (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4 Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1 ị bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1 Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình: X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*) Để (*) có nghiệm thì ta phải có: D = (a+2)2 - 4(a2+2a+1) ³ 0 Û a(3a + 4) Ê 0 Û - Ê a Ê 0 Chứng minh tương tự ta được: - Ê b Ê 0; - Ê c Ê 0 2. Bài tập: Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ()200 dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9. iii. áp dụng định lý viét giải phương trình và hệ phương trình. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: =6 Hướng dẫn: ĐKXĐ: {xẻR ẵ x ạ - 1} Đặt: ị Tính: u, v, rồi từ đó tính x. Bài giải: ĐKXĐ: {x ẻ R ẵ x ạ - 1} Đặt:(*) ị ị u, v là nghiệm của phương trình: x2 - 5x + 6 = 0 D = 25 – 24 = 1 x1 = = 3 x2 = = 2 u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3 Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 2x + 3 = 0 D' = 1 – 3 = - 2 < 0 Phương trình vô nghiệm: Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0 Suy ra: x1 = 1; x2 = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2. Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình: a) b) Bài giải: a) x,y là nghiệm của phương trình: x2 - 11x +31 = 0 D=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0 Phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. b) Đặt x + y = S và xy = P Ta có hệ: Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0. Giải phương trình này được t = 4 và t = 3. + Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: u2 - 4u + 3 = 0 ị u = 1 và u = 3 Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1) + Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: v2 – 3v + 4 = 0 Phương trình này vô nghiệm vì D = 9 - 16 = - 7 < 0 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1) 2. Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0 Bài2: Giải các hệ phương trình sau: a) b) V. Định lý viét với bài toán cực trị: 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất Bài giải: Xét: D = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0 Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2 ị = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) =4m2 - 6m + 5 = (2m - )2 + ³ Dấu “=” xảy ra khi m = Vậy Min(x12 + x22) = khi m = Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =ẵx1x2 - 2x1 - 2x2ẵ Cách giải: Để phương trình đã cho có nghiệm thì: D' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ³ 0 ị - 5 Ê m Ê - 1 (*) Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - 1 x1 .x2 = Do đó: A = ẵẵ Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7) Ê 0. Suy ra: A = = Ê Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4 Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: khi m = - 4, giá trị này thoả mãn điều kiện (*). Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y ³ 0; x + y = Cách giải: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1 Ta có: x + y = ị x2 + y2 = 10 - 2xy ị x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2 ị x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 Đặt : xy = t thì x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do đó A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101 a) Tìm giá trị nhỏ nhất: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 ³ 45 Min(A) = 45 Û t = 2, khi đó xy = 2; x + y = nên x và y là nghiệm của phương trình X2 - X + 2 = 0. Tức là x = ; y = hoặc x = ; y = b) Tìm giá trị lớn nhất: Ta có: 0 Ê xy Ê == ị 0 Ê t Ê (1) Viết A dưới dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101. Do (1) nên t3 Ê ; 2t Ê 5 ị t3 + 2t - 40 Ê + 5 - 40 < 0 còn t ³ 0 nên A Ê 101 Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = hoặc x = ; y = 0 2. Bài tập: Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 10x1x2 + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. C. Kết luận. ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau. Nghiên cứu đề tài “ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ và kiến thức khoa học. Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Ngày 25 - 4 - 2006.