Sáng kiến kinh nghiệm Những sai lầm thường gặp trong giải toán

I/Đặt vấn đề Trong chương trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan trọng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình Bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 ở tất cả các ban và là bất đẳng thức được vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chương trình THPT. Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT cũng biết, cũng nhớ nhưng để vận dụng được một cách có hiệu quả thì lại là cả một vấn đề. Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề. Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học bất đẳng thức Cauchy sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một bài toán theo bất đẳng thức Cauchy. Nội dung bài viết gồm: I/ Đặt vấn đề II/Nội dung III/Biện pháp thực hiện. IV/Kết quả V/Kết luận Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong được sự góp ý chân thành của đọc giả! Thạch Thành, ngày 20/04/2008 Giáo viên Đỗ Duy Thành. II/Nội dung Bài 1: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của bất biểu thức: S = a + Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: S = a + . Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 mâu thuẫn với giả thiết . Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của a, và S để dự đoán Min S a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ´´´ ´´´ ´´´ 30 ´´´ ´´´ ´´´ S 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ´´´ ´´´ ´´´ 30 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng Min S = đạt tại “Điểm rơi: a = 3” Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau, nên tại “Điểm rơi: a = 3” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho 2 số a và vì . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số sao cho tại “Điểm rơi: a = 3” thì tức là ta có lược đồ “Điểm rơi” sau đây Sơ đồ: Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ “Điểm rơi” được nêu ở trên. Lời giải đúng: S = a + = Với a = 3 thì Min S = Bài 2: Cho a 2. Tìm giá trị hỏ nhất của biểu thức: S = a + Bình luận và lời giải Sơ đồ điểm rơi : Sai lầm thường gặp: S = a + = . Với a = 2 thì Min S = Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a = 2 và Min S = là đáp án đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: “Nếu a 2 thì là đánh giá sai” Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao cho khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ khử hết biến số a ở mẫu số. Lời giải đúng: S = a + Với a = 2 thì Min S = Bài 3: Cho a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = Bình luận và lời giải Sơ đồ điểm rơi: Lời giải đúng: S = = ==36 + 3 Với a = 6 thì Min S = 36 + 3 Bài 4: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: S = 2a + = a + a + Nguyên nhân sai lầm: Min S = 3 mâu thuẫn với giat thiết Phân tích và tìm tòi lời giải: Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S. a 2.a 1 100 81 64 49 36 25 16 9 4 S 100 81 64 49 36 25 16 9 5 Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự đoán khi thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Sơ đồ điểm rơi 1: Cách 1: 2a + = . Với a = thì Min S = 5. Sơ đồ điểm rơi 2: Cách 2: S = 2a + = = . Với a = thì Min S = 5. Bài 5: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab + Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: S = ab + Min S = 2. Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 : Vô lý Phân tích và tìm tòi lời giải: Biểu thức của S chứa biến số a, b nhưng nếu đặt t = ab hoặc t = thì S = t + là biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là: Đặt t = và t = Bài toán trở thành: Cho t . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t + Sơ đồ điểm rơi: Lời giải tổng hợp: S = t + =. Với t = 4 hay a = b = thì Min S = . Lời giải thu gọn: Do t = 4 nên biến đổi trực tiếp S như sau: S = ab + . Với a = b = thì Min S = . Bài 6: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểi thức S = abc + Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: S = abc + Min S = 2 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 Vô lí. Phân tích và tìm tòi lời giải: Biểu thức của S chứa 3 biến sô a, b, c nhưng nếu đặt t = abc hoặc t = thì S = t + là biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến só ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là: Đặt t = và t = Bài toán trở thành: Cho t 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t + Sơ đồ điểm rơi: Lời giải tổng hợp: S = t + Với t = 27 hay a = b = c = thì Min S = . Lời giải thu gọn: Do t = 27 a = b = c = nên biến đổi trực tiếp S như sau: S = abc + = Với a = b = c = thì Min S = . Bài 7: Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: S = Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: S = Min S = 2 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 = 1 .Vô lí Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b nên dự đoán Min S đạt tại a = b >0 Sơ đồ điểm rơi: Lời giải đúng: S = = . Với a = b>0 thì Min S = Bài 8: Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a+b+c+ Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: S = a+b+c+Min S = 6. Nguyên nhân sai lầm: Min S = 6 =1 trái với giả thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c = Sơ đồ điểm rơi 1: Cách 1: S = a+b+c+ = = =3+ Với a=b=c= thì Min S = Sơ đồ điểm rơi 2: Cách 2: S = a+b+c+ = = Với a=b=c= thì Min S = Bài 9: Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a2 + b2 + c2 + Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: S = a2 + b2 + c2 ++= Min S = Nguyên nhân sai lầm: Min S = trái với giả thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c = Sơ đồ điểm rơi: Lời giải đúng: S = a2 + b2 + c2 += = = Với a = b = c = thì Min S = Bài 10: Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: S = Min S = Nguyên nhân sai lầm: Min S = a = b = c = trái với giả thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c = Sơ đồ điểm rơi: Lời giải 1: S = = = Với a = b = c = thì Min S = Phối hợp với điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarzi: Xét dạng đặc biệt nới n = 2: . Dấu bằng xảy ra ý nghĩa: Chuyển đổi một biểu thức toán học ở trong căn bậc hai thành một biểu thức khác ở ngoài căn để nhận được một biểu thức linh động hơn. Xét đánh giá giả định với các số Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S = S0 tại điểm rơi a = b = c = , khi đó tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau: Sơ đồ: Kết hợp với biến đổi theo “Điểm rơi” trong Cauchy ta có lời giải sau: Lời giải 2: = Với a = b = c = thì Min S = Bài 11: Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = sinA + sinB + sinC + Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: sinA + sinB + sinC + Min T = 6 Nguyên nhân sai lầm: Min T = 6 Mâu thuẫn với A + B + C = Phân tích và tìm tòi lời giải: Bổ đề: sinA + sinB + sinC áp dụng: Dự đoán điểm rơi của Min T là sinA + sinB + sinC Sơ đồ điểm rơi: Lời giải đúng: T = T = Với hay A = B = C = thì Min T = Bài 12: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Min S = 8. Sai lầm thường gặp 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho 8 số: S = 8 Min S = 8. Nguyên nhân sai lầm: Min S = 8 Vô lý. Phân tích và tìm tòi lời giải: Để tìm Min S ta cần lưu ý S là một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó Min S (hoặc Max S) nếu có thường đạt tại “Điểm rơi tự do” : a = b = c = d > 0. Vậy ta cho trước a = b= c= d > 0 và dự đoán Min S = Từ đó suy ra các đánh giá của bất đẳng thức bộ phận phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0 Sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > 0 ta có: Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: + Với a = b= c= d > 0 thì Min S = 13 Cách 2: Đặt Với a = b= c= d > 0 thì Min S = 13 Bài 13: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bình luận và lời giải Sai lầm thường gặp: Nguyên nhân sai lầm: Min S = Vô lý Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c, d nên dự đoán Min S đạt tại Điểm rơi tự do: a = b = c = d > 0, khi đó Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Với a = b= c= d > 0 thì Min S = Cách 2: Với a = b= c= d > 0 thì Min S = Bài 14: Cho Chứng minh rằng: S = Giải Biến đổi và sử dụng 2 lần bất đẳng thức Cauchy cho 9 số ta có: S = Bài 15: Cho Chứng minh rằng: S = Giải Dự đoán S = 1 tại điểm rơi: a = b =c = Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: S = III/Biện pháp thực hiện -Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút. -Dạy trong các tiết bài tập. -Thông qua báo bảng với chuyên mục “Sai lầm ở đâu?” -Ngoại khóa. -Dạy vào tiết tự chọn. IV/kết quả Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở 2 lớp 10C3 và 10C4. Đối với lớp 10C4 tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải và tìm chỗ sai và cách khắc phục như thế nào. Kêt quả 90% học sinh lớp 10C4 có thể định hướng và vận dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy một cách có hiệu quả. Trong khi đó ở lớp đối chứng 10C3 tỉ lệ này chỉ đạt 45% V/Kết luận Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy được những sai lầm thường gặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra được cho bản thân cách dạy, cách học như thế nào cho hiệu quả nhất. Trong bài viết có sử dụng một số tài liệu 1/500 Bất đẳng thức-GS: Phan Huy Khải. 2/Tuyển tập đề thi từ 1990-2005- TS: Trần Phương. 3/Đại số 10.