Sáng kiến kinh nghiệm - Phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình lớp 8

Phần mở đầu Lí do chọn đề tài “ Toán học là một môn thể thao của chí tụê ”. Trong trường THCS, môn Toán vừa là môn học cơ bản vừa là môn học công cụ, cung cấp những tri thức và kĩ năng Toán học, những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động cần thiết để học tập các môn học khác đồng thời để tiến hành những hoạt động trong đời sống thực tế. Môn Toán góp phần phát triển các năng lực trí tuệ và rèn luyện những phẩm chất của người lao động mới : Tính kiên trì, cẩn thận, chính xác, tinh thần vượt khó, thói quen tự kiểm tra ... Một trong những yêu cầu quan trọng bậc nhất trong dạy học toán ở THCS là rèn luyện các các kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số cho học sinh. Các loại toán để rèn luyện các kĩ năng biến đổi đồng nhất rất đa dạng trong đó có dạng toán phân tích đa thức đa thức thành nhân tử. Việc phân tích đa thức thành nhân tử là việc rất có ích trong học toán và giải toán, nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng biến đổi và còn là phương pháp giải cho nhiều loại toán như: Chứng minh hằng đẳng thức, rút gọn biểu thức, khi học về phân thức đại số ( rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức...), tính giá trị của biểu thức, chia hết, giải phương trình, bất phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của phương trình... Trong quá học tập học sinh gặp nhiều khó khăn về việc phân tích đa thức đa thức thành nhân tử vì nhiều lí do, sau đây tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình trong quá trình giảng dạy về các phương pháp phân tích đa thức đa thức thành nhân tử và một số dạng toán có liên quan. Phần hai Nội dung I. Một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy các phương pháp phân tích đa thức đa thức thành nhân tử ở chương trình lớp 8. Trong dạy học về các phương pháp phân tích đa thức đa thức thành nhân tử ngoài việc đưa ra các bài tập đa dạng để rèn luyện các thao tác cụ thể trong mỗi nội dung riêng rẽ, giáo viên cần lưu ý một số điều dưới đây: Thứ nhất. Trong khi giảng dạy và thực hành về phân tích đa thức đa thức thành nhân tử cần khai thác những nội dung có phần tương tự với các số, chỉ cho học sinh thấy sự tương tự đó để các em dễ hiểu, dễ nhớ, dễ vận dụng. Ví dụ - Khi dạy bài 6. Phân tích đa thức đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung cần khai thác tới tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Phần kiểm tra bài cũ giáo viên có thể nêu yêu cầu. + Nêu công thức tổng quát tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. ( chú ý nên viết theo dạng a.b + a.c = a (a + b) ) + Tính nhanh : a, 85 .12,7 + 15 .12,7 = ? b, 15 .137 - 15 .31 - 5 .18 = ? Sau khi hoàn thành kiểm tra miệng giáo viên nêu nhận xét : Để tính nhanh giá trị các biểu thức trên các em đã sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để viết một tổng đã cho thành một tích. Sau đó giáo viên đặt vấn đề vào bài. Với cách làm này học sinh dễ dàng tiếp cận với việc đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử. - Khi dạy bài 8. Phân tích đa thức đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử cần khai thác tính chất kết hợp của phép cộng. Phần kiểm tra bài cũ giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập yêu cầu sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng ta nhóm các hạng tử một cách thích hợp để có thể sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc phương pháp dùng hằng đẳng thức. (Bài 49. SGK trang 22) Thứ hai. Cần chú ý rèn luyện các thao tác biến đổi theo cả hai hướng ngược nhau : tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng, biến đổi áp dụng mỗi hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều từ vế trái sang vế phải và ngược lại. Điều này phải được chú trọng ngay khi học sinh được học các kiến thức trên và phải được rèn luyện thường xuyên. Làm được điều này học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận với kiến thức, ví dụ như khi học bài 7. Phân tích đa thức đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Trước đó học sinh được tiếp cận với nhiều bài toán viết dưới dạng tích một biểu thức đại số có sử dụng hằng đẳng thức. Đầu buổi học giáo viên nên cho học sinh làm yêu cầu sau: Viết các hằng đẳng thức dưới dạng A2 + 2AB + B2 = ........................ A2 - 2AB + B2 = ......................... A2 – B2 = ......................... A3 + 3A2B + 3AB2 +B3 = ......................... A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = ......................... A3 + B3 = ......................... A3 - B3 = ......................... Sau khi được làm một số ví dụ giáo viên cần cho học sinh rút ra nhận xét: Thực chất ta cần đưa đa thức cần phân tích về một trong các dạng của vế phải các hằng đẳng thức vế phải ở phần kiểm tra miệng, chú ý cách nhận dạng cho học sinh để biết áp dụng hằng đẳng thức cho phù hợp. Thứ ba. Như trên đã nêu thì sau khi học mỗi phương pháp giáo viên cho học sinh rút ra một số nhận xét có tính chất thuật toán - tri thức phương pháp, cho học sinh. Ví dụ - Sau khi thực hiện Ví dụ 1, 2 ở 6. cần cho học sinh rút ra cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên : Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử Các luỹ thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi luỹ thừa là số mũ nhỏ nhất của nó. - Khi sử dụng phương pháp nhóm thích hợp các hạng tử nên nhấn mạnh cần phải nhóm sao cho: * Mỗi nhóm đều có thể phân tích được (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức ) * Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục được. Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp thì thông qua các ví dụ SGK cần hướng dẫn học sinh rút ra được các bước thường làm như sau: Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhântử chung. Dùng hằng đẳng thức nếu có Nhóm nhiều hạng tử ( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “ - ” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử. Đây là cách thông thường khi phân tích đa thức thành nhân tử Ngoài các phương pháp nêu trên SGK có giới thiệu phương pháp thêm bớt và phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử (Bài tập 53, 57 SGK trang 24-25). Với phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử cần cho học sinh cách làm chung khi đa thức có dạng tổng quát: ax2 + bx + c, về cách giải dạng này xin giới thiệu ở phần sau. II. Một số dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử ngoài các phương pháp nêu ở SGK còn rất nhiều phương pháp khác. Sau đây xin nêu một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có dạng đặc biệt. Chú ý các phương pháp này có thể thực hiện ở lớp 8 khi chưa biết cách giải phương trình bậc hai. Trước hết ta cần biết các hằng đẳng thức (HĐT) cơ sở sau: Xét đa thức Q(y) = ay2 + by +c . Nếu có các số m,n sao cho m.n = a và m + n =b thì ay2 + by +c = ay2 + (m+n)y + m.n/a (*) Nói riêng khi a = 1 thì Trong trường hợp a, b, c nguyên thì trước hết phân tích số nguyên ac thành tích hai số nguyên m.n sao cho lml < b, lnl < b sau đó chọn m,n thoả mãn m+n = b. Trong thực hành ta có thể làm như sau: Bước 1 : Tìm tích ac. Bước 2 : Phân tích ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách. Bước 3 : Chọn hai thừa số có tích bằng ac nói trên mà có tổng bằng b. A. Phân tích đa thức có dạng ax2 + bx + c thành nhân tử Ví dụ 1. Phân tích P(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử. (Bài 53.b SGK/24) Lời giải. ở đây a = 1, b = 1, c = - 6. Tích ac = - 6 = -2.3 =2.(- 3) = -1.6 = 1.(-6) , tìm hai số mà tổng bằng 1 đó là -2 và 3 . Ta có x2 + x - 6 = x2 + 3x - 2x - 6 = x (x + 3) - 2(x + 3) = (x + 3) (x - 2). Tương tự có thể giải bằng cách này với nhiều bài khác cùng dạng Tìm được lời giải một bài toán thì thật sung sướng nếu quá vui mà dừng lại để toạ hưởng thì thật là đáng tiếc vì còn biết bao điều mới lạ vẫn còn ẩn dấu trong đó. Nếu ta biết khai thác bài toán vừa giải bằng cách xét các trường hợp tương tự, khái quát hoá thì chắc chắn sẽ khám phá được những bài toán mới thú vị. Khái quát dạng toán trên ta có dạng toán sau : B. Phân tích một số đa thức bậc bốn thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử, cách thông thường là khéo léo phân tích đa thức đó thành các hạng tử có nhân tử chung. Việc tìm nhân tử chung không dễ dàng đối với đa thức bậc bốn. Phần này trình bày phương pháp phân tích một số dạng đa thức bậc bốn thành nhân tử nhờ cách đặt biến phụ một hoặc nhiều lần khiến cho quá trình phân tích tìm nhân tử dễ dàng hơn. Dưới đây ta xét một số dạng đa thức bậc bốn có thể phân tích đa thức thành nhân tử nhờ cách đặt biến phụ và sử dụng hằng đẳng thức (*) trên. 1. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx2 + c Cách giải. Đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*). Ví dụ 1. Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử. Lời giải. Đặt y = x2 có Q(y) = 6y2 + 19y + 15 . Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19. Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10 ta có 6y2 + 19y +15 = 6y2 + 9y +10y +15 =3y (2y + 3) +5(2y + 3) =(2y + 3)(3y + 5). Từ đó P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = (2x2 + 3)(3x2 + 5) Ví dụ 2. Phân tích P(x) = 6x4 + x2 - 15 thành nhân tử. Lời giải. Đặt y = x2 có Q(y) = 6y2 + y - 15 . Tìm m, n sao cho m.n = -90 và m + n = 1. Chọn được m = 10, n = -9. Từ đó Q(y) = 6y2 + y - 15 = 6y2 + 10y – 9y - 15 = 2y (3y +5) - 3(3y +5) =(3y +5)(2y -3). Từ đó P(x) = (3x2 +5)(2x2 -3) 2. Đa thức dạng P(x) = (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) + e với a+b = c+d Cách giải. Đặt biến phụ y = (x + a) (x + b) và áp dụng HĐT (*). Có thể đặt y = (x + a) (x + b) hoặc y = x2 + (a + b)x Ví dụ 3. Phân tích đa thức P(x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 15 thành nhân tử. Cách giải. Với a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 thì a+b = c + d. Biến đổi P(x) = (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 4) - 15 = ( x2 + 5x + 4) ( x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = (x + 1) (x + 4) = x2 +5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y (y + 2) – 15 = y2 + 2y - 15. áp dụng HĐT (*) với m = 5, n = 3 có Q(y) = (y + 5) (y - 3). Từ đó P(x) = ( x2 + 5x + 9) ( x2 + 5x + 1) Tổng quát nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2) (b1x + b2) (c1x + c2) (d1x + d2) + e Thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 + c2d1 thì đặt y = (a1x + a2) (b1x + b2) rồi biến đổi như trên. Xét P(x) / a1b1c1d1 3. Đa thức dạng P(x) = (a1x + a2) (b1x + b2) (c1x + c2) (d1x + d2) với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 Cách giải. Đặt biến phụ y = (a1x + a2) (b1x + b2) và áp dụng HĐT (*). Có thể đặt y = (c1x + c2) (d1x + d2) Ví dụ 4. Phân tích đa thức P(x) = (3x + 2) (3x - 5) (x - 1) (9x + 10) + 24x2 thành nhân tử. Lời giải : Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 1.9 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) = (-1).10 = c2d2 P(x) = (9x2 - 9x - 10) (9x2 +x - 10) + 24x2 Đặt y = (3x + 2) (3x - 5) = (9x2 - 9x - 10) thì Q(y) =y (y + 10) + 24x2 = y2 + 10xy + 24x2. Từ m.n =24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x và n = 4x. áp dụng HĐT (*) ta được Q(y) = (y + 6x) (y + 4x) , suy ra P(x) = (9x2 - 3x - 10) (9x2 - 5x - 10) . 4. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1 Cách giải : Đặt biến phụ y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*) Ví dụ 5 . Phân tích đa thức P(x) = 2x4 + 3x3 - 9x2 - 3x + 2 thành nhân tử. Lời giải : Đặt y = x2 - 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1 Biến đổi P(x) = 2 (x4 – 2x2 + 1) + 3x2 - 5x2 - 3x = 2 (x2 – 1)2 + 3x (x2 -1) - 5x2 Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy - 5x2 Tìm m, n sao cho m.n = -10x2 và m + n = 3x. Chọn m = 5x và n = -2x ta có Q(y) = 2y2 + (5x – 2x)y - 5x2 = 2y2 - 2xy + 5xy - 5x2 = 2y (y - x) + 5x (y - x) = (y - x) ( 2y+ 5x) Từ đó P(x) = (x2 - 1 - x) (2x2 - 2 + 5x) 5. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/ b2 Cách giải : Đặt biến phụ và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*) Ví dụ 6 . Phân tích đa thức P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử. Lời giải : Dễ thấy b = -1 , d = 2 , e = 4 . Đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 1. Biến đổi P(x) = x4 - 4x2 + 4 - x3 - 6x2 + 2x = (x2 - 2)2 - x (x2 - 2) – 6x2 Từ đó Q(y) = y2 - xy – 6x2. Tìm m, n sao cho m.n = -6x2 và m + n = -x . Chọn m = 2x và n = -3x ta có Q(y) = y2 + (2x - 3x)y – 6x2 = y2 + 2xy - 3xy - 6x2 = y(y + 2x) - 3x(y +2x) - 6x2 = (y + 2x) (y- 3x) Từ đó P(x) = (x2 - 2x + 2) (x2 - 2 – 3x) Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức theo cách làm trên. 6. Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c Cách giải : Đặt biến phụ và biến đổi P(x) về dạng mx4 +nx2 + p Ví dụ 7. Phân tích P(x) = (x - 3)4 + (x - 1)4 - 16 ra thừa số. Lời giải : Đặt y = x - 2 .Lúc đó P(x) trở thành Q(y) = (y - 1)4 + (y + 1)4 – 16 = 2y4 + 12y2 - 14 = 2 (y4 + 6y - 7) = 2 (y2 + 7) (y2 - 1) = 2 (y2 + 7) (y - 1) (y + 1) nhờ sử dụng HĐT (*) Suy ra P(x) = 2 (x2 - 4x - 11) (x - 3) (x - 1) Sau đây là một số bài tập ta có thể sử dụng các phương pháp trên để làm: Bài tập : Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử A(x) = (48x2 + 8x - 1) (3x2 + 5x + 2) - 4 B(x) = (12x - 1) (6x - 1) (4x - 1) (3x - 1) - 330 C(x) = 4(x2 + 11x + 30) (x2 + 22x + 120) – 3x2 D(x) = (7 - x)4 + (5 - x)4 - 2 E(x) = x4 - 9x3 + 28x2 - 36x + 16 F(x) = x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 Phần ba Kết luận Trên đây là một số một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy các phương pháp phân tích đa thức đa thức thành nhân tử và một số dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thông qua một số ví dụ cụ thể. Rất mong được sự tham gia góp ý của các đồng nghiệp để bài viết được đầy đủ và hoàn thiện hơn, sát thực tế hơn, có thể áp dụng trong quá trình giảng dạy để học sinh có thể học tiếp thu kiến thức phần này tốt hơn và nâng cao chất lượng giáo dục. Người viết Nguyễn Hữu Duyệt