Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải các bài toán dựng hình

PHẦN I : MỞ ĐẦU NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học có vai trò, ý nghĩa rất quan trọng đối với đời sống và các ngành khoa học khác. Toán học được vận dụng thường xuyên trong thực tế đời thường. Học toán đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó khăn riêng của mình. Nguyên nhân là học sinh chưa nắm vững các khái niệm cơ bản, các định ly,ù tính chất của các hình đã học. Một số chỉ “học vẹt” mà không biết cách vận dụng như thế nào vào giải bài tập. Bên cạnh đó sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cơ bản nhưng không có các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc các dạng khác nhau. Đối với bộ môn hình học thì ngoài các bài toán về chứng minh hình học còn có các bài toán dựng hình, quỹ tích là những dạng toán đặc biệt khó, mà thời gian để học các môn này trên lớp không nhiều. Học sinh ít được luyện tập ở lớp cũng như ở nhà nên khi gặp các bài toán loại này thường rất lúng túng nảy sinh tâm lý né tránh. Một số bài toán chứng minh hình học, đòi hỏi phải vẽ hình bằng các dụng cụ có thể vẽ được. Nhưng để dựng hình chỉ bằng thước và compa, học sinh không biết dựng yếu tố nào trước, yếu tố nào sau. Mà chủ yếu là học sinh không nắm được các phép dựng cơ bản. Chính vì những lý do trên thôi thúc tôi chọn đề tài “Phương pháp giải các bài toán dựng hình” 2/ Mục đích nghiên cứu : Dựa vào các điều kiện đã biết bằng các dụng cụ cho phép dùng phương pháp hình học hợp lý chính xác dựa theo các tiên đề để dụng một hình cần thiết. Thông qua các bài toán dựng hình mà phát triển tư duy logic góp phần cũng cố và phát triển tri thức hình học, phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh. Các bài toán dựng hình nhằm cũng cố và phát triển kỉ năng, sử dụng thành thạo các dụng cụ vẽ hình, kiến thiết hình để vận dụng vào đời sống. 3/ Nhiệm vụ nghiên cứu : Nghiên cứu phương pháp dựng hình bằng thước và compa, cấu trúc của một bài toán dựng hình bằng thước và compa. Đề xuất những vấn đề, biện pháp giúp học sinh hiểu và biết cách dựng hình bằng thước và compa. 4/ Đối tượng nghiên cứu : Một số bài toán dựng hình cơ bản, phương pháp giúp học sinh hiểu được bài toán dựng hình bằng thước và compa. 5/ Khách thể nghiên cứu : Quá trình học các tiết dựng hình môn toán lớp 8 của học sinh lớp 8E trường THCS Trần Hưng Đạo - Ayunpa - Gia Lai. 6/ Phạm vi nghiên cứu : Thực trạng và một số biện pháp giúp học sinh hiểu và biết cách dựng hình bằng thước và compa. 7/ Giả thiết khoa học : Để dạy và học toán đòi hỏi ở người dạy và người học phải nắm được các kiến thức cơ bản và phải có một tư duy nhất định. Đặc biệt đối với bộ môn hình học phải có trí tưởng tượng không gian, tư duy logic, trí tưởng tượng thế giới hình học xung quanh. Riêng về các bài toán dựng hình là những dạng toán đặc biệt khó nên khi gặp các dạng toán này cả giáo viên và học sinh nảy sinh tâm lý lúng túng. Do vậy giáo viên cần có biện pháp dạy học phù hợp nhằm giúp học hiểu được và biết cách dựng hình bằng thước và compa. 8/ Phương pháp nghiên cứu : Nghiên cứu đề tài này, tôi đã chọn một trong các biện pháp sau : - Phương pháp quan sát : Nhằm quan sát những mặt tích cực, tiêu cựu của học sinh trong quá trình dựng hình bằng thước và compa. - Phương pháp điều tra : Để biết được hiện trạng và biện pháp của học sinh trong việc dựng hình. - Phương pháp nghiên cứu tài liệu : Tôi nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến các phương pháp dựng hình. - Phương pháp thực nghiệm đối chứng : để kiểm tra lại quá trình tiếp thu bài của học sinh. - Phương pháp thống kê toán học : Nhằm rút ra các số liệu cụ thể cho đề tài này. PHẦN II : NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1/ Cơ sở lý luận : Khi giới thiệu một khái niệm hình học ta phải chứng minh sự tồn tại của khái niệm đó trước hay sau khi nêu định nghĩa và nghiên cứu tính chất của hình. Dựng hình chính là chứng minh sự tồn tại của khái niệm đó. Mặc khác dựng hình cũng là một phương pháp quy nạp toán học và có chiều vận dụng trong thực tế rất bổ ích. Theo quan điểm giáo dục “học đi đôi với hành”, “lý luận gắn liền với thực tiễn” thì toán dựng hình là phương pháp tốt nhất để rèn luyện và giáo dục học sinh về năng lực tư duy, năng lực tưởng tượng thế giới hình học xung quanh. 2/ Các tiên đề dựng được Tất cả những dữ liệu : điểm, đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng cho trong đề bài, coi là”dựng được”. Những điểm lấy tuỳ ý trong mặt phẳng xem như “dựng được”. Nếu hai đường thẳng “dựng được” mà cắt nhau thì giao điểm của chúng coi như “dựng được”. Một đường tròn xác định bởi một tâm “dựng được” và một bán kính dựng được thì xem như “dựng được” (tiên đề về cái compa). Một đường thẳng xác định bởi hai điểm “dựng được” thì xem như dựng được (tiên đề về cái thước). 3/ Các phép dựng hình cơ bản : Muốn giải được bài toán dựng hình trước hết học sinh phải nắm thật vững các phương pháp dựng hình cơ bản. Bản thân mỗi học sinh phải tự rèn luyện cho thuần thục các phương pháp cơ bản đó cùng với các dụng cụ thước và compa thì các phép dựng hình cơ bản cũng xem như là các công cụ để học sinh hoàn thành công việc của mình. Tôi giới thiệu tóm tắt một số phép dựng hình cơ bản mà học sinh lớp 8 cần nắm để làm được bài toán dựng hình : Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước. Dựng một góc bằng một góc cho trước. Dựng tia phân giác của một góc cho trước. Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước (hay tìm trung điểm của một đường thẳng cho trước). Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Dựng một tam giác khi biết : - Ba cạnh (c.c.c) - Hai cạnh và một góc xen giữa (c.g.c) - Một cạnh và hai góc kề cạnh đó (g.c.g) - Hai góc và một cạnh đối của 1 trong 2 góc đó - Hai cạnh và một góc đối của 1 trong 2 cạnh đó Các phép dựng hình cơ bản trên đây đều đã được học trong sách giáo khoa đòi hỏi người học phải rèn luyện cho thành thạo khi vận dụng vào giải các bài tập dựng hình, ta không cần trình bày lại các phép dựng hình cơ bản này nữa. 4/ Các bước giải một bài toán dựng hình Giải một bài toán dựng hình thông thường gồm 4 bước : phân tích, cách dựng, chứng minh và biện luận. Học sinh cần nắm vững nội dung công việc của mỗi bước và mối liên hệ, sự phụ thuộc giữa các bước. Từ bước phân tích ta suy ra cách dựng tức là bước dựng hình phụ thuộc vào phân tích. Dựa trên cơ sở cách dựng để chứng minh. Dựa trên cơ sở cách dựng, phân tích và điều kiện của bài ra để biện luận. * Công việc cụ thể như sau : Phân tích : vào đầu bước phân tích, để nắm vững đề bài học sinh phải tự trả lời các câu hỏi sau : - Đầu bài yêu cầu dựng cái gì? - Dựng hình đó với những điều kiện nào? Để trả lời hai câu hỏi đó học sinh vẽ các dữ kiện của bài cho và vẽ một hình vẽ tạm tương tự với hình mà đầu bài yêu cầu. Hoàn tất hai câu hỏi này tương đương với việc xác định được giả thiết kết luận trong bài toán chứng minh hình học. Để làm tốt bước phân tích cần chú ý những ý sau : - Tô đậm những yếu tố đầu bài cho trên hình vẽ tạm. - Đánh dấu những yếu tố bằng nhau ( nếu co ù) chỉ ra được mối quan hệ phụ thuộc giữa các điều kiện đã biết và chưa biết trong hình, có khi phải thêm hình phụ mới thấy được mối quan hệ giữa chúng. Cách dựng : Dựa theo nội dung đã phân tích ở trên, ta trình bày cách dựng theo đúng thứ tự đã phân tích, không được trình bày lộn xộn và càng không được khác với nội dung đã phân tích. Bước dựng hình có 2 phần : + Phần trình bày ngôn ngữ. + Phần dựng hình bằng thước và compa. Hình vẽ phải chính xác đúng với yêu cầu đầu bài cho. Trên hình dựng phải để lại những đường nét phụ cần thiết ( thường là vẽ mờ bằng bút chì ). Chứng minh : Cơ sở chủ yếu để chứng minh là dựa theo cách dựng, cũng có khi phải kết hợp với nội dung đã phân tích ta chứng minh hình dựng được là phù hợp với điều kiện của bài ra. Đối với những bài dựng đơn giản như dựng điểm, dựng một đường thẳng, dựng tam giác.... ta chỉ cần chứng minh rằng : điểm, đường thẳng, tam giác......dựng được đó có thoả mãn các điều kiện đề bài cho hay không. Đối với những bài toán dựng hình tứ giác phức tạp : Dựng hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.....thì bước chứng minh phải gồm hai bước : - Một là : Chứng minh cho hình dựng được là đúng dạng của hình mà đầu bài yêu cầu. - Hai là : Chứng minh cho hình đó có đầy đủ các điều kiện đầu bài cho. d/ Biện luận : Nội dung các bước biện luận là chỉ ra với những dữ kiện của bài cho ta có thể vẽ được hình hay không và vẽ được bao nhiêu hình, nghĩa là bài toán có bao nhiêu nghiệm hay vô nghiệm. Cơ sở biện luận là các dữ kiện và mối quan hệ giữa các dữ kiện mà đầu bài cho, cùng với nội dung phân tích và cách dựng. Ta có thể tóm tắt mối quan hệ giữa các bước giải bài toán dựng hình bằng sơ đồ sau : Dữ kiện và hình vẽ Phân tích Cách dựng Chứng minh Biện luận V/ Một số bài toán : Bài toán 1 :dựng hình thang ABCD biết cạnh đáy AD = 5 cm, cạnh bên AB =3 cm, CD = 4 cm, góc ADB = 350. Phân tích : Giả sử hình thang ABCD đã dựng được với đầy đủ điều kiện của đề bài (hình 1 ). Ta nhận thấy : - êABD dựng được ( vì biết 3 yếu tố : hai cạnh và một góc đối của một trong hai cạnh đó ). Như vậy ta đã xác định được ba đỉnh A; B và D của hình thang. Ta còn xác định đỉnh C. Đỉnh C phải thoã mãn hai điều kiện : + Nằm trên tia Bx // AD ( tia Bx và AD nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). + Cách D một khoảng 4 cm tức là C nằm trên đường tròn tâm D bán kính 4 cm. Cách dựng : - Dựng êABD với AD = 5 Cm, AB = 3 Cm, ADB = 350 ( theo cách dựng cơ bản ). - Dựng tia Bx // AD (theo cách dựng cơ bản ). - Dựng đường tròn tâm D, bán kính bằng 4 Cm. Đường tròn vừa dựng cắt tia Bx tại C. Nối C với B và D ta được tứ giác ABCD là hình phải dựng ( hình 2 ). Chứng minh : Tứ giác ABCD có BC // AD ( theo cách dựng ) nên ABCD là hình thang. Hình thang ABCD có AD = 5 cm, AB = 3 cm, CD = 4 cm ADB = 350 ( theo cách dựng ). Vậy hình thang ABCD đúng là hình phải dựng. d. Biện luận : Với các dữ kiện đã cho ta luôn vẽ được hai hình nghĩa là bài toán có hai nghiệm hình vì đường tròn tâm D bán kính bằng 4 cm cắt Bx tại C vàC’. Hai nghiệm hình là hình thang ABCD và hình thang ABC’D. Bài toán 2 : dựng hình thang cân ABCD, biết đáy CD = 6 cm, đường chéo BD = 6 cm, BCD = 700 . a. Phân tích : Giả sử hình thang ABCD đã dựng được với đầy đủ điều kiện của đề bài ( hình 3 ). Ta nhận thấy : êBCD dựng được ( vì biết 3 yếu tố : hai cạnh và một góc đối của một trong hai hình đó ). Như vậy ta đã xác định được ba đỉnh B, C và D của hình thang. Ta còn xác định đỉnh A. Đỉnh A phải thoã mãn : + Nằm trên tia Bx // CD ( tia Bx và CD nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BC ). + ADC = 700 hoặc AC = 6 cm. b. Cách dựng : - Dựng êBCD với CD = 6 cm, BD = 6 cm, BCD = 700 ( theo cách dựng cơ bản ). - Dựng tia Bx // CD ( theo cách dựng cơ bản ). ( tia Bx ; CD nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BC ). Dựng đỉnh A có 2 cách dựng : + Dựng đỉnh A thuộc tia Bx sao cho ADC = 700 ( cách dựng cơ bản). + Dựng đường tròn tâm C, bán kính bằng 6 cm cắt Bx tại A. + Nối A với B và D ta được tứ giác ABCD là hình phải dựng (hình4). c. Chứng minh : Tứ giác ABCD có AB // CD ( theo cách dựng ) nên tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang ABCD có AB = CD = 6 cm ( theo cách dựng ) nên hình thang ABCD là hình thang cân có BD = 6 Cm, CD = 6 cm, BCD = 700 . Vậy hình thang ABCD đúng là hình phải dựng . d. Biện luận : Với các dữ liệu đã cho ta luôn vẽ được một hình. Vậy bài toán có một nghiệm hình. PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. Kết luận : Dựng hình chính xác, lý luận chặt chẽ là yêu cầu không được thiếu của bài toán dựng hình. Do vậy học sinh cần nắm được các phép dựng hình cơ bản và cách trình bày một bài toán dựng hình. Khi đó giáo viên có thể truyền đạt kiến thức nhẹ nhàng hơn. II. Kiến nghị : Đối với giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh ôn tập các phép dựng hình cơ bản đã học ở lớp 6 ;7. Đối với học sinh cần nhớ các phép dựng hình cơ bản đã học ở lớp 6, 7 để khi gặp bài toán dựng hình học sinh dễ dàng lĩnh hội tri thức và vận dụng giải bài tập. MỤC LỤC Phần I : Mở Đầu Lý do chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Khách thể nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Giả thiết khoa học Phần II : Nội dung nghiên cứu Cơ sở lý luận Các tiên đề dựng được Các phép dựng hình cơ bản Các bước giải một bài toán dựng hình Phần III : Kết luận và kiến nghị Kết luận : Kiến nghị : TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phương pháp dạy học hình học ( chủ biên :Hoàng Chúng ) NXB Giáo Dục - 2002. 2. Dựng hình và phương pháp giải các bài toán dựng hình (chủ biên Nguyễn Phúc Trình ) - NXB TPHCM - 10/ 1998. 3. Sách giáo khoa Toán 8 - Tập 1 ( Tổng chủ biên :Phan Đức Chính ) NXB Giáo Dục -2005