Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn luyện khả năng tư duy trong khai thác lời giải một số bài toán Hình học 9

A- ĐẶT VẤN ĐỀ I- Lời mở đầu. Trong chương trỡnh THCS, toỏn học chiếm một vai trũ rất quan trọng. Với đặc thự là mụn khoa học tự nhiờn, toỏn học khụng chỉ giỳp học sinh phỏt triển tư duy, úc sỏng tạo, khả năng tỡm tũi và khỏm phỏ tri thức, vận dụng những hiểu biết của mỡnh vào trong thực tế cuộc sống mà toỏn học cũn là cụng cụ giỳp cỏc em học tốt cỏc mụn học khỏc và gúp phần giỳp cỏc em phỏt triển một cỏch toàn diện. Việc tỡm kiến thức lời giải cho một bài toỏn rốn luyện phương phỏp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong giải quyết cỏc vấn đề,... và qua đú rốn luyện trớ thụng minh sỏng tạo, phỏt triển năng lực và phẩm chất trớ tuệ. Việc tỡm ra lời giải của một bài toỏn khú, phương phỏp mới, độc đỏo của một bài toỏn gõy nờn sự hoà hứng, phấn chấn, khoỏi trỏ,... điều đú cú ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp lũng say mờ học toỏn và ước mơ vươn tới vinh quang trong lĩnh vực nghiờn cứu, khỏm phỏ, phỏt minh những vấn đề mới. Đối với học sinh khỏ giỏi, việc rốn luyện cho cỏc em tớnh linh hoạt, tớnh độc lập, tớnh sỏng tạo, tớnh phờ phỏn của trớ tuệ là những điều kiện cần thiết vụ cựng trong việc học toỏn. Chớnh vỡ vậy, bồi dưỡng học sinh khỏ, giỏi khụng đơn thuần chỉ cung cấp cho cỏc em một số vốn hiểu biết thụng qua việc làm bài tập càng nhiều, càng khú mà cần phải rốn luyện khả năng tư duy cho học sinh trong khai thỏc lời giải bài toỏn. II- Thực trạng của vấn đề nghiờn cứu. Trường THCS Thanh Sơn là một trường vựng cao của huyờn Như Xuõn, tất cả học sinh là con em dõn tộc thiểu số, trỡnh độ nhận thức của cỏc em cũn nhiều hạn chế. Vỡ vậy, cú được học sinh giỏi cấp huyện mụn Toỏn là một điều rất hiếm và khú, tuy nhiờn cú rất nhiều nguyờn nhõn cả khỏch quan và chủ quan. Xuất phỏt từ đú, ngay từ đầu những năm mới ra trường, tụi đó luụn cố gắng tỡm tũi, tham khảo tài liệu với mục đớch nõng cao chất lượng học toỏn đại trà và đặc biệt là chất lượng mũi nhọn. Trong quỏ trỡnh giảng dạy và nghiờn cứu tụi rất chỳ trọng đến việc rốn luyện khả năng tư duy Toỏn cho học sinh. Do đú, dạy cho học sinh khỏ, giỏi biết cỏch khai thỏc lời giải những bài toỏn hỡnh học là việc làm đặc biệt quan trọng mà bản thõn tụi luụn đặt lờn vị trớ hàng đầu. Mặc dự với cương vị mới, khụng cũn trực tiếp bồi dưỡng học sinh khỏ, giỏi lớp 9 nữa, xong bản thõn tụi trong quỏ trỡnh chỉ đạo chuyờn mụn vẫn rất tõm đắc với những bài toỏn được giải dưới nhiều cỏch khỏc nhau. Mục đớch của phương phỏp này là rốn luyện khả năng tư duy Toỏn học cho học sinh. Trước mỗi bài toỏn, học sinh biết khai thỏc tỡm nhiều cỏch giải khỏc nhau trờn cơ sở gợi ý, hướng dẫn và định hướng của giỏo viờn. Từ đú, học sinh tự tỡm ra cỏch giải hợp lý nhất, phỏt hiện ra được cỏch giải tương tự và khỏi quỏt phương phỏp chung. Vỡ lẽ đú, qua thời gian dài tỡm tũi, nghiờn cứu và đỳc rỳt kinh nghiệm, tụi mạnh dạn đưa ra đề tài: “Rốn luyện khả năng tư duy trong khai thỏc lời giải một số bài toỏn Hỡnh học 9” nhằm gúp một phần nhỏ trong việc nõng cao chất lượng đại trà và bồi dưỡng học sinh khỏ, giỏi lớp 9. B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ RẩN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TRONG KHAI THÁC LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HèNH HỌC 9 I- Cỏc giải phỏp thực hiện: 1) Tỡm tũi cỏch giải: Để học sinh nhỡn nhận một bài toỏn dưới nhiều khớa cạnh, từ đú tỡm ra nhiều cỏch giải khỏc nhau, thỡ việc gợi ý, định hướng của giỏo viờn là đặc biệt quan trọng. Dưới đõy là một số vớ dụ được khai thỏc lời giải dưới nhiều cỏch khỏc nhau: Vớ dụ 1: Chứng minh rằng khoảng cỏch từ một đỉnh của tam giỏc đến trực tõm của tam giỏc đú bằng hai lần khoảng cỏch từ tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đến cạnh đối diện với đỉnh đú. * Khai thỏc lời giải: nội tiếp đường trũn (O; R), H là trực tõm của ; OM là khoảng cỏch từ O đến BC. Dễ thấy, M là trung điểm của BC. Cỏch giải 1: (Hỡnh 1) C N • A B H O M (Hỡnh 1) Kẻ đường kớnh BON Tứ giỏc AHCN cú: AH BC (Vỡ H là trực tõm của ) NC BC (Vỡ nội tiếp chắn nửa (O)) AH // NC (1) Tương tự ta cú: CH // NA (2) Từ (1) và (2) suy ra: tứ giỏc AHCN là hỡnh bỡnh hành Do đú AH = NC (*) Dễ thầy OM là đường trung bỡnh của OM = CN (**) Từ (*) và (**) ta cú: OM = AH hay AH = 2OM (Đpcm) Cỏch giải 2: (Hỡnh 2) Gọi N và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua BC và AC. Gọi E là trung điểm của AC. Dễ thấy OF cắt AC tại E. EM là đường trung bỡnh của EM // AB; EM = AB (1) • A B H O M (Hỡnh 2) E F N C EM là đường trung bỡnh của OFN EM // NF; EM = NF (2) Từ (1) và (2) suy ra: AB // NF; AB = NF Mặt khỏc OF // BH (Vỡ cựng vuụng gúc với BC). Suy ra Tương tự ta cú . Do đú OFN = HBA (g.c.g) AH = NO Vậy AH = 2OM (vỡ ON = 2OM) (Đpcm) C • A B H O M (Hỡnh 3) D N Cỏch giải 3: (Hỡnh 3) Gọi D và N lần lượt là trung điểm của AC và CH OD AC (t/c đường kớnh và dõy cung) BH AC (vỡ H là trực tõm của ABC) OD // BH (1) Mặt khỏc MN là đường trung bỡnh của CBH nờn MN // BH (2) Từ (1) và (2) suy ra: OD // MN (*) Chứng minh tương tự ta cú: DN // OM (**) Từ (*) và (**) suy ra: tứ giỏc OMND là hỡnh bỡnh hành. Do đú OM = DN, mà DN là đường trung bỡnh của CHA nờn DN = AH. Vậy OM = AH hay AH = 2OM (Đpcm). Cỏch giải 4: (Hỡnh 4) Gọi N, P và Q lần lượt là trung điểm của AC, AH và HB. PQ là đường trung bỡnh của ABH nờn PQ // AB; PQ = AB MN là đường trung bỡnh của ABC nờn MN //AB; MN = AB MN // PQ; MN = PQ ON // BH (vỡ cựng vuụng gúc với AC) . C • A B H O M (Hỡnh 4) P Q N Tương tư ta cú: Dễ dàng suy ra HPQ = OMN (g.c.g) Do đú HP = OM mà AH = 2HP Vậy AH = 2OM (Đpcm) Cỏch giải 5: (Hỡnh 5) Gọi N là trung điểm của AC Do đú MN là đường trung bỡnh của ABC nờn MN //AB; MN = AB (*) C • A B H O M (Hỡnh 5) N Xột OMN và HAB cú: ON // BH (vỡ cựng vuụng gúc với AC) tương tự ta cú: OMN ~ HAB (g.g) = (suy ra từ (*)) Vậy AH = 2OM (Đpcm) * Khai thỏc bài toỏn: Trong cỏc cỏch giải trờn, ta chỉ xột đến ABC nhọn. Vậy cỏc trường hơp cũn lại của tam giỏc ABC sẽ như thế nào?: a) Tam giỏc ABC vuụng: (Hỡnh 6): Dễ thấy OM là đường trung bỡnh của ABC C (Hỡnh 6) A BH C M O C B A (Hỡnh 7) M OH • • O A B H M (Hỡnh 8) • AH =2OM b) Tam giỏc ABC cõn: Chứng minh như 5 cỏch trờn c) Tam giỏc ABC đều: (Hỡnh 7): AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phõn giỏc, vừa là đường trung trực của tam giỏc ABC. M nằm trờn AH nờn AH = 2OM. d) Tam giỏc ABC tự: (Hỡnh 8): H nằm ngoài đường trũn: Chứng minh tương tự đối với tam giỏc nhọn. D C B A (Hỡnh 9) H K Vớ dụ 2: Cho D ABC nội tiếp trong đường trũn tõm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bỏn kớnh OA. Chứng minh . * Khai thỏc lời giải: Cỏch giải 1: (Hỡnh 9) Kẻ đường kớnh AOD, hạ CK ^ AD Ta cú: (1) (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) (2) (gúc nội tiếp cựng chắn ) B A C H (Hỡnh 10) M I Cộng từng vế của (1) và (2), ta được: Mà (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) ị Vậy: (Đpcm) Cỏch giải 2: (Hỡnh 10) Kẻ OI ^ AC cắt AH ở M Ta cú: (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) C B A (Hỡnh 11) H I 1 2 K (cựng bằng sđ) Xột DOAM: (Gúc ngoài tam giỏc) Hay Vậy: (Đpcm) Cỏch giải 3: (Hỡnh 11) Kẻ OI ^ BC và OK ^ AB. Ta cú: (1) (so le trong) (2) (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) B D C A (Hỡnh 12) H K Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:  Mà (Cựng bằng sđ ) ị Vậy (Đpcm) C B A (Hỡnh 13) H x y Cỏch giải 4: (Hỡnh 12) Kẻ đường kớnh AOD, hạ DK ^ BC Ta cú: (1) (so le trong) (2) (gúc nội tiếp cựng chắn ) Cộng từng vế của (1) và (2), ta được: Mà (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) ị Vậy (Đpcm) C B A D (Hỡnh 14) M H Cỏch giải 5: (Hỡnh 13) Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đường thẳng Ay // BC Ta cú: (1) (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) (2) (so le trong) Cộng từng vế của (1) và (2), ta được: Mà (gúc nội tiếp cựng chắn ) ị Vậy (Đpcm) Cỏch giải 6: (Hỡnh 14). Kẻ đường kớnh AOD, nối C với D, đường cao AH kộo dài cắt CD tại M. Ta cú: (1) (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) (2) (gúc nội tiếp cựng chắn ) Trừ từng vế của (1) và (2), ta được: D A (Hỡnh 15) B H C H Mà: (gúc ngoài tam giỏc AMD) Vậy (Đpcm) Cỏch giải 7: (Hỡnh 15) Kẻ tiếp tuyến với đường trũn tại A cắt BC ở D. Ta cú: (1) (Cựng chắn ) (2) (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) Cộng từng vế của (1) và (2) ta được: Mà (gúc ngoài tam giỏc) ị Vậy: (Đpcm) * Khai thỏc bài toỏn: Ta đi khai thỏc đến những trường hợp mà bài toỏn cú thể xảy ra: 1) Chứng minh bài toỏn: Khi BC là đường kớnh của đường trũn. Trong trường hợp này hóy xỏc định vị trớ của đỉnh A để AO và AH chia gúc BAC thành 3 phần bằng nhau (Hỡnh 16). 2) Với bài toỏn đó cho khi nào thỡ dõy AB lớn nhất ? Tại sao? Trong đường trũn này bài toỏn cú gỡ đặc biệt? (Hỡnh 17) A H C B CH B A C B A (Hỡnh 16) (Hỡnh 17) (Hỡnh 18) H ● ● ● 3) Chứng minh bài toỏn khi dõy AB và AC cựng ở về một phớa của tõm? (Hỡnh 18) Vớ dụ 3: Cho đường trũn (O; R) cú đường kớnh AE; cung AB và cung AC cú số đo lần lượt là 900 và 1200. Tia AE nằm giữa hai tia AB, AC. Tớnh độ dài BC theo R. A O B E C D (Hỡnh 19) • * Khai thỏc lời giải: Cỏch giải 1: (Hỡnh 19) Kẻ đường kớnh BOD, dễ thấy BCD vuụng tại C sđ( Trong tam giỏc vuụng BCD ta cú: BC = BD.cos = BD.cos150 = 2R.cos150 2R.0,9659. Vậy BC 1,9318.R. A O B E C D (Hỡnh 20) • I Chỳ ý: Trường hợp kẻ đường kớnh COD, cỏch giải tương tự. Cỏch giải 2: (Hỡnh 20) OBC cõn tại O cú (1) Gọi I là một điểm thuộc BO sao cho Sđ OB là đường trung trực của AE IA = IE IAE cõn tại I và (2) Từ (1) và (2) suy ra OBC IAE (g.g) BC = BC = (*) (Hỡnh 21) A O B E C D • H Mặt khỏc IOA vuụng tại O và nờn IA = thay vào (*) ta được: BC = = 2R.cos150 2R.0,9659. Vậy BC 1,9318.R Cỏch giải 3: (Hỡnh 21) Kẻ đường kớnh BOD. Hạ CH BD (H BD) Dễ thấy BCD vuụng tại C và DC = BD.sin = 2R.sin150 (Cặp gúc nhọn cú cạnh tương ứng vuụng gúc) Xột DHC vuụng tại H HC = DC.cos = 2R.sin150.cos150 Xột BHC vuụng tại H và BC = Vậy BC = 2R.cos150 1,9318.R A O B E C (Hỡnh 22) • H Cỏch giải 4: (Hỡnh 22) Vẽ AH BC (H BC) Sđ = 900 AB là cạnh của hỡnh vuụng nội tiếp (O; R) AB = R AHB vuụng tại H và sđ = 600 BH = AB.cos = R.cos600 = R. = AH = AB.sin = R.sin600 = R. = AHC vuụng tại H và sđ = 450 AHC vuụng cõn tại H A O B E C (Hỡnh 23) • M N Do đú HA = HC = Vậy BC = BH + HC = + = () 1,9318.R Cỏch giải 5: (Hỡnh 23) Tiếp tuyến tại E của (O; R) cắt cỏc đường thẳng AB và AC lần lượt tại M và N MN AE AEM vuụng tại E và sđ AEM vuụng cõn tại E ME = AE = 2R AEN vuụng tại E và sđ EN = AE.tg300 = 2R. AN = = = = MN = ME + EN = 2R + = () Xột ABC và ANM cú chung; ABC ANM (g.g) A O B E C D • H (Hỡnh 24) BC = 1,9318.R Cỏch giải 6: (Hỡnh 24) Kẻ đường kớnh BOD. Từ C hạ CH BD (H BD) OHC vuụng tại H và = sđ HC = OC.sin = R.sin300 = Áp dụng định lý Pitago ta cú: OH2 = OC2 – HC2 = R2 - = OH = BH = BO + OH = R + = Áp dụng đinh lý Pitago trong BHC vuụng tại H ta cú: BC2 = BH2 + HC2 = + = = = = . Vậy BC = 1,9318.R * Khai thỏc bài toỏn: Trong 6 cỏch giải trờn ta chỉ xột trong trường hợp B và C nằm khỏc phớa so với đường kớnh AE. Nếu B và C nằm cựng phớa so với đường kớnh AE thỡ kết quả như thế nào? Xột trường hợp B và C nằm cựng phớa so với đường kớnh AE (Hỡnh 25): A E B O • C H (Hỡnh 25) Nhận thấy BOC cõn tại O và . Hạ đường cao OH của BOC OH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phõn giỏc của tức là BH = CH và BHO vuụng tại H BH = OB.sin = = R.sin150. mà BC = 2BH BC = 2R.sin150 2R.0,2588 Vậy BC 0,5176.R Vớ dụ 4: Cho đường trũn (O; R) và một điểm E nằm ngoài đường trũn sao cho EO = 2R. Đường thẳng EO cắt đường trũn tại A và B. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By của (O) và tiếp tuyến thứ ba đi qua E tiếp xỳc với đường trũn (O) tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Tớnh độ dài CD theo R. * Khai thỏc lời giải: Cỏch giải 1: (Hỡnh 26) EM là tiếp tuyến của (O) và M O EM MO MOE vuụng tại M • O E A C M H D y x B (Hỡnh 26) Ta cú, sin = 300 Ax AB; By AB Ax // By Từ C kẻ CH By (H By) Tứ giỏc CABH là hỡnh chữ nhật. Do đú CH = AB = 2R. Mặt khỏc (Vỡ AB // CH). DHC vuụng tại H cos = CD = Vậy CD = Cỏch giải 2: (Hỡnh 27) Xột EOM và EDB cú chung, B • O E A C M H D y x (Hỡnh 27) EOM EDB (g.g) ED = (1) EOM vuụng tại M và MO = EO EM = EO.cos = 2R.cos300 = R Do đú ED = 2R Mặt khỏc EAC vuụng tại A EC = EC = Vậy CD = ED – EC = 2R - = Cỏch giải 3: (Hỡnh 27) EAC vuụng tại A và = 300 AC = AE.tg = AE.tg300 = R. mà AC = CM (Vỡ hai tiếp tuyến của (O) cựng xuất phỏt từ C) Tương tự EBD vuụng tại B BD = EB.tg = 3R.tg300 = R mà DM = DB (Vỡ 2 tiếp tuyến của (O) cựng xuất phỏt từ D) CD = CM + MD = R. + R = Cỏch giải 4: (Hỡnh 27) EAC vuụng tại A và = 300 EC = EBD vuụng tại B AC // BD. Theo định lý Talet ta cú: CD = Cỏch giải 5: (Hỡnh 28) EOM vuụng tại M và . Do đú B • O E A C M H D y x (Hỡnh 28) MOD vuụng tại M và MD = Tương tự MOC vuụng tại M và MC = MO.tg = R.tg300 = Vậy CD = CM + MD = + R = Cỏch giải 6: (Hỡnh 28) Theo cỏch 5 ta cú: MOC MDO (g.g) MC.MD = MO2 = R2 ODE cú ME = MD = R (Theo cỏch 2) Do đú: MC = Vậy CD = CM + MD = Cỏch giải 7: (Hỡnh 28) ODE cõn tại O OD = OE = 2R Dễ dàng chứng minh được CEO cõn tại C CE = CO mà CE = (Theo cỏch 2) CO = Mặt khỏc COD vuụng tại O (Vỡ ) S = mà S CD = Vậy CD = B • O E A C M D y x (Hỡnh 29) N Cỏch giải 8: (Hỡnh 28) COD CAE (g.g) (Vỡ ; ) CD = Mà CE = (Theo cỏch 2) OD = 2R (Theo cỏch 7) Do đú: CD = Cỏch giải 9: (Hỡnh 29) Kẻ AN //CD (N By) Dễ thấy AN = CD (Đồng vị) ABN vuụng tại B AN = . Vậy CD = 2) Định hướng cỏc cỏch giải cho một bài toỏn: Dưới đõy là một số bài toỏn cú thể giải bằng nhiều cỏch, tụi khụng đi giải cụ thể mà chỉ gợi ý từng cỏch để học sinh tự tỡm lời giải cho mỗi cỏch đú: Bài toỏn 1: Cho tam giỏc ABC nhọn, nội tiếp đường trũn (O). Đường trũn đường kớnh BC cắt AB tại D, cắt AC tại E. BE cắt CD tại H. Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cựng thuộc một đường trũn. * Gợi ý cỏc cỏch giải: - Cỏch giải 1: (Hỡnh 30) Tổng hai gúc đối của tứ giỏc ADHE bằng 1800: - Cỏch giải 2: (Hỡnh 30) Tổng hai gúc đối của tứ giỏc ADHE bằng 1800: B C A H D E • O • (Hỡnh 30) (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc) - Cỏch giải 3: (Hỡnh 30) Chứng minh - Cỏch giải 4: (Hỡnh 30) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IA = ID = IH = IE O • • O’ B C A x y (Hỡnh 31) Bài toỏn 2: Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài nhau tại A. Vẽ một cỏt tuyến qua A cắt (O), (O’) lần lượt ở B, C. Chứng minh rằng cỏc tiếp tuyến tại B và C song song với nhau. * Gợi ý cỏc cỏch giải: - Cỏch giải 1: (Hỡnh 31) Chứng minh OB // O’C Bx OB; Cy OB Bx // Cy - Cỏch giải 2: (Hỡnh 31) Chứng minh Bx // Cy - Cỏch giải 3: (Hỡnh 32) Vẽ tiếp tuyến chung của (O) và (O’) tại A, cắt Bx tại D và cắt Cy tại E O • • O’ B C A y (Hỡnh 32) E D x Chứng minh x Bài toỏn 3: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O; R). Đường cao BD và đường cao CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng OA DE. • B A C O E D H I (Hỡnh 33) * Gợi ý cỏc cỏch giải: Gọi I là giao điểm của AO và DE - Cỏch giải 1: (Hỡnh 33) Chứng minh AIE vuụng tại I Thật vậy OAB cõn tại O 2. (Vỡ ) Hay (*) Tứ giỏc BEDC nội tiếp mà kết hợp với (*) ta cú: AIE vuụng tại I OA DE - Cỏch giải 2: (Hỡnh 34) Kẻ tiếp tuyến Ax của (O). • B A C O E D H I (Hỡnh 35) M N • B A C O E D H I (Hỡnh 34) x Chứng minh Ax // DE - Cỏch giải 3: (Hỡnh 35) Vẽ BD cắt (O) tai M (M B); CE cắt (O) tại N (N C). Chứng minh MN AO và MN // ED 3) Những bài toỏn cú thể giải bằng nhiều cỏch: Dưới đõy là một số bài toỏn cú thể giải bằng nhiều cỏch khỏc nhau, trong quỏ trỡnh giảng dạy, tụi chỉ hướng dẫn cho học sinh một cỏch giải và yờu cầu cỏc em tỡm cỏch giải tương tự, sỏng tạo ra cỏc cỏch giải khỏc: Bài 1: Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R và dõy cung AB với gúc AOB = 1200. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường trũn cắt nhau tại C. Trờn cỏc đoạn BC, CA, AB lần lượt lấy cỏc điểm I, J, K (K A; K B) sao cho . Chứng minh rằng AJ.BI . Hướng dẫn: Chứng minh . Từ đú ỏp dụng tớnh chất của bất đẳng thức để suy ra điều phải chứng minh. Bài 2: Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn (O; R). I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC. AI cắt (O) tại D (D A). Chứng minh rằng tam giỏc DBI cõn tại D Hướng dẫn: Chỳ ý I là giao điểm của 3 đường phõn giỏc. Từ đú sử dụng phương phỏp cộng gúc để suy ra hoặc DI = DB. Bài 3: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC) và một đường trũn tiếp xỳc với cạnh AB, AC lần lượt ở B, C. Từ điểm M trờn cung BC nằm trong tam giỏc vẽ cỏc đường vuụng gúc với BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng MD2 = ME.MF Hướng dẫn: Chứng minh DEM FDM Hoặc chứng minh BEM CDM và CFM BDM . Từ đú suy ra điều phải chứng minh. Bài 4: Cho tam giỏc ABC đều nội tiếp đường trũn (O; R), M là điểm trờn cung BC. Xỏc định vị trớ của điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giỏ trị lớn nhất. Hướng dẫn: Gọi I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh MBIMAC và ABMCIM MA = MB + MC. Vậy MA + MB + MC = 2.MA 2.2R. M là điểm chớnh giữa của . II- Kết quả đạt được: Năm học qua, tụi đó cho ỏp dụng sỏng kiến trờn trong giảng dạy mụn Toỏn, với mục đớch rốn luyện năng lực tư duy giải toỏn Hỡnh học cho học sinh. Phần lớn cỏc em học sinh đó thực sự cú hứng thỳ học Toỏn, đó tự độc lập tỡm tũi ra nhiều cỏch giải khỏc nhau mà khụng cần sự gợi ý của giỏo viờn. Kết quả thu được rất khả quan, cụ thể: Lớp Số HS Khảo sỏt đầu năm học Khảo sỏt cuối năm học Giỏi Khỏ TB Yếu Giỏi Khỏ TB Yếu SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % 9A 27 5 18,5 18 66,7 4 14,8 4 14,8 8 29,6 14 51,9 1 3,7 9B 27 3 11,1 17 63,0 7 25,9 2 7,4 5 18,5 18 66,7 2 7,4 Đặc biệt, ỏp dụng sỏng kiến trờn đõy trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, tụi tin rằng sẽ mang lại hiệu quả cao ngoài sự mong đợi. III- Cỏc biện phỏp để tổ chức thực hiện: 1) Đối với nhà trường: Cần tạo mọi điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị, đồ dựng dạy học, sỏch giỏo khoa, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh khỏ, giỏi. Phõn cụng lao động, phõn cụng chuyờn mụn hợp lý, cú chớnh sỏch ưu tiờn đối với những giỏo viờn bồi dưỡng học sinh khỏ, giỏi. 2) Đối với giỏo viờn và học sinh: Để ỏp dụng phương phỏp trờn đõy đạt được hiệu quả cao, học sinh hiểu bài và tự mỡnh sỏng tạo ra cỏc cỏch giải toỏn, thỡ: - Giỏo viờn phải tỡm ra hoặc sưu tầm được những bài toỏn cú thể giải bằng nhiều cỏch để đưa ra cho học sinh tự tỡm lời giải. - Sau đú, giỏo viờn hướng dẫn, định hướng cỏc cỏch giải để học sinh tự tỡm ra lời giải khỏc nhau cho mỗi cỏch. - Sau khi giỏo viờn định hướng cho học sinh khai thỏc lời giải cho một bài toỏn xong, giỏo viờn nờn đặt những cõu hỏi cú liờn quan để học sinh tự tổng hợp kiến thức và trả lời, như: 1) Sau cỏc cỏch chứng minh trờn những kiến thức nào đó được sử dụng? 2) Cú những cỏch chứng minh nào tương tự nhau. Khỏi quỏt đường lối chung của cỏc cỏch ấy? 3) Hóy tỡm xem bài toỏn cũn cỏch chứng minh nào khỏc khụng?. Nếu cũn, hóy chứng minh theo cỏch riờng vừa tỡm được. - Giỏo viờn tổng hợp cỏc cỏch giải và đưa ra một cỏch giải dễ hiểu nhất, hay nhất. Sau đú giỏo viờn yờu cầu học sinh tỡm lời giải cho những bài toỏn tương tự. C- KẾT LUẬN Giảng dạy ỏp dụng sỏng kiến trờn đõy đó mang lại hiệu quả cao trong việc nõng cao chất lượng đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi mụn toỏn. Nhiều học sinh đó chủ động tỡm tũi, định hướng và sỏng tạo ra nhiều cỏch giải toỏn khụng cần sự hướng dẫn của giỏo viờn. Từ đú, cỏc em phỏt triển năng lực tư duy độc lập, khả năng sỏng tạo, tớnh tự giỏc học tập, phương phỏp giải toỏn nhanh, kỹ năng phỏt hiện tốt. Để làm được như vậy, mỗi giỏo viờn cần nghiờn cứu, tỡm tũi, tham khảo nhiều tài liệu để tỡm ra cỏc bài toỏn hay, với nhiều cỏch giải khỏc nhau. Đối với học sinh của trường THCS Thanh Sơn, việc ỏp dụng phương phỏp trờn đó làm thay đổi nhận thức học Toỏn của học sinh. Phần lớn cỏc em thớch và say mờ với Toỏn học hơn, đó cú nhiều học sinh giỏi Toỏn và nhiều em thi vào cấp 3 đạt điểm cao mụn Toỏn. Trờn đõy là vài kinh nghiệm nhỏ ỏp dụng cho việc bồi dưỡng học sinh khỏ, giỏi mụn Toỏn. Nhưng dự sao đú cũng chỉ là những phương phỏp mà cỏ nhõn học hỏi, đỳc kết kinh nghiệm và tham khảo trong một số tài liệu, chắc chắn nú chưa được hoàn chỉnh và sẽ cũn nhiều chỗ khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự gúp ý chõn thành của quý thầy, cụ và đồng nghiệp. Tụi xin chõn thành cảm ơn! Thanh Sơn, ngày 20 thỏng 03 năm 2011 Người viết SKKN Lờ Sỹ Hiệu