Sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện phương pháp chứng minh hình học

I. Đặt vấn đề. Hình học là môn khoa học suy diễn. Nó giúp học sinh rèn luyện các phép đo đạc, tính toán, suy luận lôgíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đặc biệt đối với học sinh lớp 8 việc hướng dẫn cho các em chứng minh một bài toán hình học đồng thời mở rộng, nâng cao bài toán là một yêu cầu rất cần thiết. Đặc biệt là sử dụng thành thạo các phương pháp chứng minh vào từng bài toán cụ thể, cách vẽ hình chính xác, lập luận để hiểu cặn kẽ nội dung của bài toán. Trong thời gian trực tiếp giảng dạy ở lớp 8, tôi nhận thấy học sinh rất lúng túng khi sử dụng một phương pháp chứng minh nào đó, nhiều bài hình học sinh không biết cách vẽ hình chính xác vì không hiểu được bản chất của bài toán, vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng một số bài toán điển hình, nhằm thông qua bài toán này để dạy các phương pháp chứng minh khác nhau cho học sinh để học sinh có thể so sánh, khắc sâu và ghi nhớ được các phương pháp chứng minh đó. Đồng thời biết cách khai thác bài toán dựng hình để vẽ hình chính xác trong những trường hợp khó và mở rộng khai thác bài toán đảo của nó. II. Nội dung 1. Sử dụng một bài toán để dạy các phương pháp chứng minh. Trong giải bài toán hình học, việc giúp các em nắm bắt được phương pháp chứng minh một bài toán là hết sức cần thiết. Song qua một bài toán bằng sự gợi mở khéo léo, tinh tế của người thầy mỗi bài toán có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, với những cách giải khác nhau. Từ đó giúp các em củng cố được nhiều đơn vị kiến thức, đồng thời nắm được các phương pháp chứng minh khác nhau, so sánh được các phương pháp chứng minh đó. Sau đây là một ví dụ. Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD có A = D và AB = CD. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. Sau khi cho học sinh đọc và tìm hiểu đề bài, giáo viên yêu cầu học sinh chỉ ra hướng giải là cần chứng minh AD // BC. Sau dây là một số phương pháp giải. 1.1. Phương pháp chứng minh suy diễn. B C D K A H Cách 1: Vẽ BK ^ AD CH ^ AD Suy ra BK // CH (1) Xét 2 tam giác vuông AKB và DHC có A = D, AB = CD ị DABK = D DHC (cạnh huyền, góc nhọn) ị BK = CH (2) Từ (1) và (2) suy ra BKHC là hình bình hành. Do đó BC //AD ị tứ giác ABCD là hình thang cân. Cách 2: Kẻ BE // CD (1) B C D E A Suy ra E = D (đồng vị) Mà A = D (gt) Suy ra A=E vậy D ABE cân nên AB = BE (2) Từ (1) và (2) suy ra BEDC là hình bình hành, vậy BC//AD hay tứ giác ABCD là hình thang cân. B C D H A K Cách 3: Dựng KH là trung trực của đoạn thẳng AD ta thấy A đối xứng với D qua KH. Vì A = D, AB = CD nên B và C đối xứng nhau qua KH hay BC ^ KH. Vậy BC//AD suy ra tức giác ABCD là hình thang cân. 1.2. Dùng phương pháp chứng minh phản chứng. C' B C D A Giả sử BC không song song với AD. Vậy từ B kẻ BC'//AD suy ra tứ giác ABC'D là hình thang cân (do A =D) Suy ra AB = DC' Nhưng theo gt AB = DC vậy suy ra DC = DC' hay CºC', vậy BC//AD hay tứ giác ABCD là hình thang cân. 1.3. Dùng phương pháp chứng minh quy nạp. Trong phương pháp này ta chia bài toán thành hai trường hợp: a) Trường hợp 1: Nếu A = D = 1 V. D C B A Suy ra AB//CD mà AB = CD (gt) Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành Vậy BC//AD do đó tứ giác ABCD là hình thang cân b) Nếu A = B ạ 1V. Suy ra AB không song song với DC Do đó AB cắt CD tại M Khi đó D MAD cân (A = D) Suy ra MA = MD mà AB = CD Nên MB = MC D A B C M Nên D MBC cân, vậy B = C Mà D MBC và D MAD có M chung Vậy B = A ị BC//AD hay tứ giác ABCD là hình thang cân 2. Rèn luyện vẽ hình chính xác, khai thác bài toán đảo: Để học sinh vẽ hình tương đối chính xác, đối với những bài toán vẽ hình khó là một việc làm hết sức cần thiết, vì vậy có thể thông qua một bài toán dựng hình để học sinh có thể vẽ hình một cách tương đối chính xác là một trong những yêu cầu cần thiết. Sau đây là một ví dụ: Bài toán 2: (Bài tập 6.tr13 SGK HH8) Cho hình thang ABCD (AB//CD) Trong đó phân giác góc A và B cắt nhau tại K A B C K D (K ẻ CD). Chứng minh tổng 2 cạnh bên bằng đáy CD của hình thang. Đây là bài toán không có, học sinh chỉ cần chỉ ra D ADK và D BCK cân và suy ra điều cần chứngminh. Song trong nhiều năm giảng dạy, tôi thấy điều mà học sinh lúng túng đó chính là cách vẽ hình sao cho tương đối chính xác theo yêu cầu bài toán đã cho, nếu không hiểu cặn kẽ bài toán, học sinh vẽ hình sẽ không chính xác khi thoả mãn điều kiện K ẻ DC vì vậy có thể chuyển thể nó thành bài toán sau. Bài toán 2.1: Cho DSDC dựng một đường thẳng cắt SD và SC tại A và B sao cho AD+BC = DC. K d S D C B A Khi giải được bài toán này, học sinh sẽ biết được cách vẽ bài toán 2 sao cho chính xác bằng cách chỉ cần dựng phân giác D và C chúng cắt nhau tại K, qua K kẻ đường thẳng d//DC cắt SD tại A và SC tại B thì d là đường thẳng cần dựng, đến đây thì học sinh chắc chắn sẽ biết cách vẽ hình bài toán 1 sao cho chính xác. Ta tiếp tục khai thác bài toán 2 bằng bài toán đảo của nó. B A D F E C (h1) K Bài toán 2.2: Chứng minh rằng nếu hình thang ABCD (AB//CD) thoả mãn DC=AD+BC thì các đường phân giác góc A và B sẽ gặp nhau trên đáy DC. Ta chứng minh bằng phản chứng K A B Giả sử đường phân giác A và B cắt nhau tại K ẽ BC thì K thuộc miền trong (h1 và h2) hoặc miền ngoài (h3) của hình thang khi đó AK và BK cắt BC tại E và F ta có DADE cân ị AD = DE (1) h2 F E Tương tự D CBF cân ị CB=CF (2) C D (1)+(2): AD + BC = DE + CF > DC (h2) B A D C F E K (h3) AD+BC = BE + CF < DC (h3) Điều này trái với giả thiết vậy E º F º K ẻ DC Bài toán được chứng minh III. Kết luận: Sau một thời gian đưa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh khối 8 tôi tự nhận thấy và rút ra một số kết luận sau đây. 1- Mức độ yêu thích môn hình học của học sinh được nâng lên, các em đã không còn thấy ngại môn hình học nữa mà trở nên hứng thú say sưa hơn. 2- Đa số các em đã nắm được các phương pháp chứng minh, biết sử dụng các phương pháp chứng minh hợp lý vào từng bài cụ thể. 3- Biết cách vẽ, có suy luận hợp lý để vẽ hình thang trong những trường hợp vẽ hình khó. 4- Từng bước khai thác bài toán đã cho thành bài toán khó hơn nhằm mở rộng và rèn luyện kiến thức. Trong thời gian ngắn và phạm vi hẹp trong bài viết này tôi chỉ đề cập đến một phần nhỏ trong quá trình giảng dạy hình học ở trường THCS, rất mong sự góp ý của đồng nghiệp./. Ngày 20 tháng 4 năm 2008 Người thực hiện Lê Hữu Quý  Phòng giáo dục huyện ngọc lặc Trường THCS phúc thịnh -------------------@&?------------------- Giáo viên: Lê Hữu Quý Đơn vị: Trường thcs phúc thịnh Ngọc lặc - Thanh Hoá Một vài ý kiến về dạy phương pháp hình học cho học sinh thông qua một số bài toán ***************** Tháng 4 năm 2008 **********