Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn luyện tư duy lôgic và tính sáng tạo của học sinh thông qua cách giải một số bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng đạo hàm

Đặt vấn đề Lời mở đầu: 1. Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ từ một nước nông nghiệp lạc hậu về cơ bản trở thành nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế. Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc đổi mới này là con người, là nguồn nhân lực Việt Nam được phát triển về số lượng và chất lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao. Việc này cần được bắt đầu từ giáo dục phổ thông. Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng dân chủ, văn minh. Về giáo dục phải khuyến khích tự học, phải áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Nghị quyết TW lần thứ 2( khoá VIII-1997) khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh’’. Muốn đào tạo được con người tự chủ, năng động và sáng tạo thì phương pháp giáo dục cũng phải hướng vào việc khơi dậy, rèn luyện vvà phát triển khả năng nghĩ và làm một cách tự chủ, năng động sáng tạo ngay trong học tập và lao động ở Nhà trường. 2. Lý do chọn đề tài: Sau nhiều năm giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 3, điều làm tôi suy nghĩ là nhiều học sinh khi giải toán có thói quen không tốt là hễ có bài toán là cứ ghi ghi, chép chép và nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình sẽ giải quyết cái gì và những phép tính của mình phục vụ cho yêu cầu nào. Một bài toán giải quyết được thì hoặc là bài toán dễ do có đường lối rõ ràng hoặc là do kết quả ngẫu nhiên của quá trình mò mẫm. Điều này khiến cho việc đánh giá năng lực của học sinh khó chính xác. Trong khi đó một trong những nhiệm vụ của người giáo viên dạy toán ở trường phổ thông là dạy cho học sinh biết vận dụng, khai thác các kiến thức mới được lĩnh hội vào giải toán,rèn luyện kỹ năng giải toán. Hoạt động này vừa có tác dụng gợi động cơ học tập kiến thức mới, trang bị cho học sinh thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức khác nhau, thấy được nhiều phương pháp để giải quyết một bài toán. Với lý do đó tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Rèn luyện tư duy lôgic và tính sáng tạo của học sinh thông qua cách giải một số bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng đạo hàm”. 3. Mục đích nghiên cứu: - Rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh. - Rèn luyện tư duy lôgic và tính sáng tạo của học sinh. 4. Đối tượng nghiên cứu: Cách giải một số bài toán tìm GTLN,GTNN của hàm số bằng đạo hàm. thực trạng của vấn đề nghiên cứu: Đặc điểm kinh tế xã hội và giáo dục địa phương: Trường THPT Triệu Sơn 3 ở phía tây Huyện Triệu Sơn, địa bàn tuyển sinh của Trường là 9 xã thuần nông ( 4 xã miền núi). Kinh tế chung của địa phương khó khăn, phần lớn bố mẹ của học sinh đều làm nông nên việc tạo điều kiện về mặt thời gian cho con học còn rất hạn chế. Đa số các em học sinh của Trường đi học một buổi trong ngày, thời gian còn lại thường giúp đỡ công việc của gia đình nên không có nhiều thời gian để học tập nghiên cứu, để tạo được hứng thú trong học tập. Mặt khác theo nếp cũ các em học sinh học tập thụ động, chủ yếu là ghi nhớ kiến thức để đối phó với kiểm tra, thi cử. Thực trạng: Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở cấp THPT, tôi thấy ở các Trường THPT còn rất nhiều bất cập, nhất là chất lượng và hiệu quả. Trình độ kiến thức, kỹ năng thực hành, phương pháp tư duy khoa học của đa số học sinh còn yếu. Có nhiều nguyên nhân để dẫn đến tình trạng như : học sinh giải toán kém, không phát huy được tính tư duy sáng tạo của mình, học tập thụ động, đối phóĐiều này liên quan đến người dạy, người học và nhiều vấn đề khác nữa. Nhưng theo tôi nguyên nhân chủ yếu nhất là do học sinh kém, mất căn bản về phương pháp và kiến thức, hơn nữa lại thiếu cố gắng trong học tập, học tập đối phó, chưa có ý thức học tập một cách tích cực, chủ động, biết phát hiện và giải quyết vấn đề, Do tình trạng học tập môn Toán ở cấp THPT của nhiều em học sinh chỉ mang tính chất đối phó dẫn đến năng lực cảm thụ “ cái hay, cái đẹp ’’ của môn Toán trong từng bài học gần như thụ động lúng túng. Đây chính là điều khiến cho các giáo viên dạy Toán rất băn khoăn, suy nghĩ. Từ những nguyên nhân này dẫn đến các tình trạng như: 2.1) Tiếp thu kiến thức chưa được nhanh,vận dụng lý thuyết vào giải toán chậm. 2.2) Việc chuẩn bị bài ở nhà của nhiều em học sinh còn mang tính chất đối phó, không chịu nghiên cứu làm bài tập mà giở sách giải ra chép. 2.3) Trong giờ kiểm tra, nhiều học sinh không chịu tư duy suy nghĩ mà có tư tưởng chép bài của những bạn khá giỏi. 2.4) Định hướng lời giải cho một bài toán chưa rõ ràng. 2.5) Nhiều học sinh không chịu tìm tòi nghiên cứu các tài liệu môn Toán để nâng cao kiến thức của mình. Những thực trạng trên ảnh hưởng rất lớn đến kết quả và chất lượng học tập môn Toán của các em học sinh ở cấp THPT, trong đó Trường THPT Triệu Sơn 3 – Thanh Hoá, đơn vị tôi công tác là một minh chứng. Kết quả của thực trạng trên: Từ thực trạng trên dẫn tới: - Một số học sinh chưa hứng thú học tập môn Toán. - Sau khi học,nhiều học sinh rất nhanh quên kiến thức. - Chưa thành thục kỹ năng, ứng dụng vào giải toán. Sách giáo khoa giải tích 12 (chỉnh lý hợp nhất năm 2000) đã đưa ra các bước xác định GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng, trên một đoạn bằng công cụ đạo hàm. Khi thăm dò các em học sinh ở 3 lớp 12B, 12H,12K vào tháng 12 năm 2005 về kiến thức ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số tôi nhận thấy: Khi tôi yêu cầu các em làm bài toán sau: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a) trên đoạn [-1;1]. b) trên đoạn [-3;0]. c) . d) thì kết quả đạt được như sau: Lớp Câu 12B(sĩ số 52) 12H(sĩ số 50) 12K(sĩ số 47) Làm được Không làm được Làm được Không làm được Làm được Không làm được SL % SL % SL % SL % SL % SL % a 50 96.2 2 3.8 45 90 5 10 37 78.7 10 21.3 b 48 92.3 4 7.7 44 88 6 12 32 68.1 15 31.9 c 28 53.8 24 46.2 20 40 30 60 1 2.2 46 97.8 d 10 19.2 42 80.8 5 10 45 90 0 0 47 100 Dựa vào kết quả thăm dò ở trên ta thấy các em học sinh chưa phát huy được tư duy lôgic và tính sáng tạo của mình qua bài học tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng công cụ đạo hàm. Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 12 tôi đã mạnh dạn cải tiến nội dung, phương pháp dạy học trong tiết bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm số. Tôi nhận thấy các em học sinh linh hoạt tích cực chủ động phát hiện và giải quyết vấn đề và phát triển được tư duy lôgic và tính sáng tạo của mình. giải quyết vấn đề: Các giải pháp thực hiện: Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng tích cực học tập của học sinh. Hệ thống các biện pháp phải mang tính khả thi, thực hiện tốt nội dung chương trình sách giáo khoa và phù hợp với điều kiện thực tiễn của trường, phải đảm bảo tính vừa sức giữa chung và riêng. Trong quá trình thực hiện cần đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy với vai trò tự giác tích cực, độc lập của học sinh. Các biện pháp thực hiện: Đưa ra bài tập để củng cố khắc sâu kiến thức: Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) trên đoạn [0;1]. b) trên đoạn [-3; 0]. c) trên đoạn [0 ;1]. d) Để học sinh giải bài tập 1 được linh hoạt, GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ: ? Nêu các bước xác định GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn? Lời giải: a) ; ; Vậy . b) y(-3)= -3; y(0) = -3; y(-1) = -2 Vậy: tại x=-1 tại c) Biến đổi Ta có: Bảng biến thiên: x 0 1 y’ + 0 - y Vậy: tại tại x=1. d) GV yêu cầu học sinh tìm tập xác định của hàm số : Khi đó học sinh sẽ nhận biết được đây là bài toán tương tự các bài toán trên. Bảng biến thiên x 2 3 4 y’ + 0 - y Vậy: tại x=3 tại 2) Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề để cho vấn đề trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh. Tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải là ngay tức khắc làm được nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán mà phải trải qua quá trình tích cực suy nghĩ, đòi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có Bài toán đưa ra cần làm cho học sinh thấy rõ tuy chưa có ngay lời giải nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và các em học sinh tin rằng nếu tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư duy thì sẽ giải quyết được. Bài tập 2: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi : . Sau khi nghiên cứu yêu cầu của bài toán, học sinh sẽ thấy: là hàm số có TXĐ là:.Tích cực suy nghĩ, huy động tri thức thì học sinh sẽ chuyển bài toán về dạng: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn (Dạng bài đã được nghiên cứu ở bài tập 1) Bài tập tương tự: a) Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x: (1) b) Tìm tập giá trị của hàm số: (2) Nhận xét: 2.1) Bất đẳng thức (1) đúng với mọi x, nếu ta chứng minh được hàm số: có GTNN là . Như vậy ta đã chuyển được bài toán chứng minh bất đẳng thức thành bài toán tìm GTNN của hàm số. 2.2) Tìm tập giá trị của hàm số: ta tìm GTLN, GTNN của hàm số: . 3) Vận dụng lý thuyết định hướng tìm lời giải của bài toán: Việc rèn luyện giải toán có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn luyện khả năng tìm lời giải của bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện giải toán. Do vậy, khi dạy học sinh giải toán, giáo viên ngoài việc cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư duy tìm ra con đường hợp lý để giải toán.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần xem xét đến mối liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài toán. Bài tập 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a) b) Đối với bài tập này, nếu học sinh tính ngay đạo hàm thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn.Trong trường hợp này, giáo viên đặt câu hỏi gợi mở đòi hỏi học sinh phải tích cực suy nghĩ, phát huy tính sáng tạo và tư duy của mình để tìm ra lời giải của bài tập trên bằng cách đặt ẩn phụ đưa bài toán về dạng quen thuộc ở bài tập 1. Lời giải: a) Đặt Ta có hàm số: Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-1;1]. Khi đó ta có: ; Vậy: tại tại b) Đặt Ta có hàm số: Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên đoạn [0; 1] Suy ra Vậy tại tại Khi làm bài tập, giáo viên cần đưa ra hệ thống bài tập, dẫn dắt giúp học sinh phát hiện ra hướng giải quyết bài toán, tạo được một nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Giáo viên nhận xét: Trong thực tế có một số bài toán nếu ta biết cách thay đổi hình thức của bài toán thì sẽ dễ giải hơn hoặc có lời giải tốt hơn. Cụ thể là ta thườngchuyển bài toán có dạng đại số sang lượng giác, lượng giác sang đại số hoặc đại số sang hình học Với bài tập 3 ta đã chuyển đổi hình thức bài toán nên ta thấy ngay lời giải của bài. Bài tập tương tự: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a) b) c) Hướng dẫn: a) Đặt Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNNcủa hàm số: trên [0;1]. b) Đặt . Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: trên [-sin1;sin1]. c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số ta chuyển về tìm GTLN, GTNNcủa hàm số Đặt X=sinx+cosx . Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: trên . 4) Tuần tự nâng cao yêu cầu: Nhờ việc tổ chức hoạt động, đặc biệt là phân bậc hoạt động trong dạy học mà giáo viên có thể điều khiển quá trình dạy học trên lớp, có thể tuần tự nâng cao yêu cầu. Đối với học sinh khá, giỏi thì giáo viên dạy cần đưa ra những bài tập đòi hỏi tính sáng tạo cao, và dẫn dắt giúp học sinh phát hiện ra hướng giải quyết của bài toán, tạo được một nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Bài tập 4: a) Giả sử x,y thay đổi thoã mãn và x+y=1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: b) Cho .Tìm GTNN của biểu thức: Lời giải: a)Biến đổi: Đặt t=xy . Bài toán đưa về: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên [0;1/4]. Ta có: . hàm số f(t) luôn nghịch biến trên đoạn Bảng biến thiên: t 0 f’(t) - f(t) 1 Suy ra: minf(t)=f(1/4)=2/3. maxf(t)=f(0)=1. Vậy minP=2/3 khi x=y=1/2. maxP=1 khi b) Đặt Khi đó: Bài toán đưa về: Tìm GTNN của hàm số: trên miền Ta có: luôn đồng biến. Vậy: Với ta có f(x) luôn đồng biến Với ta có f(x) luôn nghịch biến Bảng biến thiên: x -2 2 f’(t) - -11 13 + f(t) -2 2 Từ bảng biến thiên, ta có: , đạt được khi Tuần tự nâng cao yêu cầu đối với học sinh trong dạy học sẽ phát huy được tính tích cực, tính sẵn sàng học tập và sự phát triển trí tuệ của học sinh. 5) Xây dựng hệ thống bài toán như một cơ sở kiến thức và kỹ năng để giải toán. Muốn giải toán, trước hết cần phải phân tích kỹ để nắm được đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố cấu tạo nên bài toán đó. Công việc sáng tạo các bài toán mới, trước hết có thể đi từ việc thay đổi các điều kiện đã cho của một bài toán để tìm kết quả mới. Để phát triển tư duy của học sinh trong quá trình dạy học người giáo viên có thể từ một bài toán bằng cách thay đổi hình thức, chuyển hoá nội dung để đưa thành nhiều bài toán khác. Ví dụ: Từ bài toán: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ta có thể chuyển thành những bài toán như sau: a) Chứng minh rằng: b) Tìm tập giá trị của hàm số . c. Kết luận I. Kết quả nghiên cứu: Qua thực tế giảng dạy năm học 2006 – 2007 ở trường THPT Triệu Sơn 3 tôi nhận thấy: những tiết bài tập ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN, GTNN của hàm số lớp học sôi nổi hơn, học sinh hiểu bài sâu sắc hơn. Kết quả nghiên cứu và thăm dò đối với 2 khoá học sinh lớp 12 vào tháng 12 năm 2005 và tháng 12 năm 2006 về kiến thức ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số( với cùng một đề) như sau: Kết quả thăm dò các em học sinh của 3 lớp 12B, 12H, 12K vào tháng 12 năm 2005 : Lớp Câu 12B(sĩ số 52) 12H(sĩ số 50) 12K(sĩ số 47) Làm được Không làm được Làm được Không làm được Làm được Không làm được SL % SL % SL % SL % SL % SL % a 50 96.2 2 3.8 45 90 5 10 37 78.7 10 21.3 b 48 92.3 4 7.7 44 88 6 12 32 68.1 15 31.9 c 28 53.8 24 46.2 20 40 30 60 1 2.2 46 97.8 d 10 19.2 42 80.8 5 10 45 90 0 0 47 100 Kết quả thăm dò các em học sinh của 3 lớp 12C, 12D, 12H vào tháng 12 năm 2006: Lớp Câu 12C(sĩ số 53) 12D(sĩ số 52) 12H(sĩ số 49) Làm được Không làm được Làm được Không làm được Làm được Không làm được SL % SL % SL % SL % SL % SL % a 53 100 0 0 50 96.2 2 3.8 45 91.8 4 8.2 b 50 94.3 3 5.7 48 92.3 4 7.7 40 81.6 9 18.4 c 37 69.8 16 30.2 35 67.3 17 32.7 25 51 24 49 d 30 56.6 23 43.4 30 57.7 22 42.3 15 30.6 34 69.4 II. Kiến nghị đề xuất: 1) Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về mặt thời gian để sinh hoạt tổ chuyên môn nhằm trao đổi với nhau về đổi mới phương pháp, về kiến thức. 2) Đối với Sở giáo dục và đào tạo: - Các chuyên đề triển khai hàng năm nên tổ chức để mọi giáo viên Toán tham gia. - Đưa tiêu chuẩn trường có đủ phương tiện dạy học,có các phòng học bộ mônvào tiêu chuẩn xét thi đua của trường. 3) Những khai thác về ứng dụng của đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số mà tôi trình bày ở đây có thể chưa đầy đủ.Song bài viết này tôi mong muốn được chia sẻ cùng với đồng nghiệp những suy nghĩ, trăn trở của mình về việc rèn luyện kỹ năng giải toán, rèn luyện tư duy lôgic và tính sáng tạo của học sinh thông qua cách giải một số bài toán tìm GTLN,GTNN của hàm số. Vì điều kiện thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên bài viết không thể tránh được những thiếu sót.Rất mong được các bạn độc giả góp ý. Triệu Sơn, ngày 20 tháng 5 năm 2007. Tác giả.