Tài liệu bồi dưỡng Giải toán trên máy tính Casio

A. đặt vấn đề Máy tính điện tử là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán. Nhờ có máy tính điện tử mà nhiều vấn đề được coi là khó trong dạy học toán ( ví dụ giải phương trình bậc hai, phương trình ba, phương trình vô tỷ, chuổi số, các định lý số học...) ta có thể giảng dạy cho học sinh THCS một cách dễ dàng. Các quy trình thao tác trên máy tính điện tử bỏ túi có thể coi là bước tập dượt ban đầu để học sinh dần dần làm quen với thuật toán và lập trình trên máy tính cá nhân. Bộ Giáo Dục và Đào tạo đã tổ chức cho THCS và THPH các kỳ thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính casio”. Phòng Giáo Dục và đào tạo Cẩm xuyên đã tổ chức các kỳ thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính casio” cấp huyện và tham gia kỳ thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính casio” cấp Tĩnh song kết quả còn khiêm tốn so với các huyện mạnh như Can Lộc,Hồng lĩnh, TP Hà Tĩnh... Một số bài dự thi của học sinh kết quả còn thấp, hoặc bài làm thiếu tính chính xác, cách trình bày sời sạc, ngẫu hứng, các thuật toán trên máy tính chưa được vận dụng vào bài làm... Với lý do đó và niềm đam mê toán học trên máy tính và thực trạng qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi mạnh dạn biên soạn tập tài liệu bồi dưỡng HSG giải toán trên máy tính Casio này lưu hành nội bộ. Mục đích của tài liệu ngoài hướng dẫn chi tiết các thao tác tính toán, Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay mà còn trình bày ý nghĩa toán học của các bài toán.Vì vậy nhiều kiến thức toán học ngoài chương trình vẫn được đưa vào.Việc trình bày các kiến thức toán học, tính chính xác kết quả trong từng phép tính được đặc biệt chú trọng. Bởi đó là điều cơ bản và cốt lỏi của việc sữ dụng máy tính. Người viêt xin được trao đổi cùng bạn đọc qua đề tài: “giải toán trên máy tính casio” Đề tài gồm ba phần: Phần I: Hướng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS Phần II: Các dạng bài tập: ”Giải toán trên máy tính Casio” Phần III: Một số đề thi Giải toán trên máy tính Casio ( hệ THCS ) Trong khi biên soạn mặc dù đã rất cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn Cẩm xuyên, ngày 07/10/2010 TrươngNgọcBôn B. nội dung Phần I: Hướng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS A/.máy tính casio Fx:500 MS I/ Các phím và cách bấm máy sử dụng chung cho cả máy Fx:500 MS và Fx:570 MS : Các loại phím: + Phím trắng: Bấm trực tiếp ( ví dụ: ta ấn 5 = ) + Phím vàng: Bấm SHIFT + Phím vàng (Ví Dụ: , ta bấm 4 SHIFT 81 = ) + Phím đỏ: Bấm ALPHA + Phím đỏ (ví dụ: A, ta bấm ALPHA A 2) Mở tắt máy: + Mở máy: Bấm ON + Tắt máy: Bấm SHIFT + OFF + Xoá màn hình khi làm tính : - Bấm AC - Bấm SHIFT CLR 2 = - Bấm SHIFT CLR 3 = + Để kiểm tra lỗi ta dùng các phím + Để sữa lỗi: - Dùng phím di chuyển. - Bấm phím DEL xoá ký tự đang nhấp nháy - Bấm phím SHIFT + IN S chèn ký tự đánh sót II/ .máy tính casio Fx:500 MS: *) Chế độ Mode: Nhằm ấn định ngay từ đầu loại hình tính toán, loại đơn vị đo,dạng số biểu diễn kết quả, chữ số có nghĩa,sai số làm tròn...phù hợp với giã thiết của bài toán a) Bấm Mode ( 1 lần) + Bấm Mode 1 Làm các phép tính thường + Bấm Mode 2 Làm thống kê một biến + Bấm Mode Làm thống kê hai biến b) Bấm Mode Mode( 2 lần) ( giải phương trình ) + Bấm Mode Mode 1 UNKNO S ( ẩn )  - Bấm tiếp 2 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Bấm tiếp 3 Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn + Bấm Mode Mode 1 Degree (bậc) - Bấm tiếp 2 Giải phương trình bậc hai một ẩn - Bấm tiếp 3 Giải phương trình bậc ba một ẩn c) Bấm Mode Mode Mode ( 3 lần) + Bấm Mode Mode Mode 1 Chọn đơn vị đo góc là độ + Bấm Mode Mode Mode 2 Chọn đơn vị đo góc là rađian + Bấm Mode Mode Mode 1 Chọn đơn vị đo góc là grad d) Bấm Mode Mode Mode Mode ( 4 lần) Bấm Mode Mode Mode Mode 1 Có chọn số số lẻ thập phân Bấm Mode Mode Mode Mode 2 Có chọn hiện số dạng : a.10 Bấm Mode Mode Mode Mode 3 Có chọn số dạng thường e) Bấm Mode Mode Mode Mode Mode( 5 lần) Bấm tiếp 1 + Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 kết quả dưới dạng hổn số + Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 kết quả dưới dạng phân số + Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 + Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (.) + Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (,) III/. Cách làm một bài thi “ Giải toán trên máy tính casio" *Quy định: 1. Yêu cầu các em dự thi chỉ dùng máy Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio fx 500 ES, Casio fx 570 ES để giải. 2. Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phảiviết đủ 10 chử số hiện trên màn hình máy tính. 3. Trình bày bài giải theo các bước sau : - Sơ lược lời giải ( lời giải vắn tắt) - Thay số vào công thức (nếu có) - Viết quy trình ấn phím - Kết quả *Nhận xét : Qua các đề thi tỉnh, khu vực tổ chức các năm gần đây. Chúng ta có thể nhìn đề thi ‘ Giải toán trên máy tính Casio  theo các định hướng sau đây : 1. Bài thi học sinh giỏi" Giải toán trên máy tính Casio " phải là một bài thi Học sinh giỏi toán có sự trợ giúp của máy tính để thử nghiệm tìm ra các quy luật toán học hoặc tăng tốc độ tính toán. 2. Đằng sau các bài toán Giải trên máy tính Casio ẩn chứa những định lý, thuật toán, thậm chí cả một lý thuyết toán học ( số học, dãy tru hồi...) ` 3. Phát huy được vai trò tích cực của toán học và máy tính trong giải các bài toán thực tế Phần II: Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay I/. Một số dạng toán xác định số (số học): 1/ . Loại 1. Tính chính xác kết quả phép tính : .Phương pháp: Dựa vào các tính chất sau: Số = . 10+ Tính chất của phép nhân: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC + BD Kết hợp tính trên máy và làm trên giấy. .Mục tiêu: Chia số lớn thành nhữngsố nhỏmà không tràn màn hình khi thực hiện trên máy ví dụ1: tính chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375 b) Tính chính xác A c) Tính chính xác của số: B = 1234567892 d) Tính chính xác của số: C = 10234563 Giải: a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm như sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 ị 12578.103.14375 = 180808750000 * Tính trên máy: 963.14375 = 13843125 Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 Vậy A = 12578963 x 14375 = 180822593125 b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 Tính trên máy: 123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521 Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 46090521 = 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 Tính trên máy: 10233 = 1070599167; 3.10232.456 = 1431651672 3.1023.4562 = 638155584; 4563 = 94818816 Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000 1431651672000000 + 638155584000 94818816 = 1072031456922402816 Bài tập áp dụng: Bài 1 : Tính kết quả đúng của các tích sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bài 2: Tính kết quả đúng của các phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432 Bài 3: Tính chính xác tổng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! +... + 16.16! * Hướng dẫn: Ta có n.n! = ( n + 1 – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! –n! * Đáp số: S = 355687428095999 Bài 4: a) Tính bằng máy tính: Q = 1 + 2+ 3+ . . . + 10. Có thể dùng kết quả đó để tính tổng : K = 2 mà không dùng máy tính .hãy trình bày lời giải ấy. Đáp số: a) Q = 385; b) K = 1540 Bài 5: Tính chính xác của số A = Nhận xét: là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4 là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6 * Ta dễ dàng CM được và tính được kết quả là: A = 111111111111555555555556 2/. loại 2: Tìm số dư của phép chia của số a cho số b * Phương pháp: 1/. Đối với số bị chia tối đa có 10 chữ số: Thì số dư của A: B = A - B. (trong đó là phần nguyên của A cho 2/. Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số: Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số ta ngắt ra thành hai nhóm. Nhóm đầu 9 chữ số đầu( kể từ bê trái). tìm được số dư như phần 1). Rồi viết tiếp sau số dư còn lại tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì làm liên tiếp như vậy. *Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ạ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho: a = bq + r và 0 Ê r < |b| * Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b: a SHIFT STO A b SHIFT STO B ALPHA AALPHA B = () ALPHA B - ALPHA B =(Kquả: r =...) Ví dụ1: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975 Tính số dư b) Tìm số dư trong phép chia: 815 cho 2004 Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 3041975 (6,213716089) 6 (650119) Vậy số dư là: r = 650119 b) Ta phân tích: 815 = 88.87 Ta có: 881732(mod2004) 87 968(mod2004) ị 815 1732 x 968 (mod2004) 1232(mod2004) Vậy số dư là: r = 1232 Bài tập áp dụng: Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. b) Tìm số dư đó.Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456 Bài 2: Tìm số dư trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789 Đáp số: r = 9 3/. loại 3: Tìm UCLN – BCNN của a và b: *Phương pháp: 1.Với các số a và b nhỏ hơn 10 chữ số thì ta dùng tính chất rút gọn phân số Trong đó (a; b ) = 1. Khi đó UCLN (a;b) = m 2. Với các số a và b lớn hơn 10 chữ số thì ta dùng thuật toán ƠLE: Tìm UCLN(a;b) với a b ta có thuật toán sau : Số dư cuối cùng khác 0 là r chính là UCLN (a;b) hay : r= UCLN (a;b) * Chú ý: BCNN(a;b) = Ví dụ 1: Tìm UCLN của hai số: a = 24614205, b = 10719433 Giải: *C 1: +) Ta có: Trong đó (a; b ) = 1. Khi đó UCLN (a;b) = m +) Quy trình ấm máy: 24614205 SHIFT STO A ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311) Vậy UCLN(a;b) = 21311 *C 2:  +)Theo thuật toán Ơle tìm số dư trong phép chia số a cho b ta được: +) quy trình ấm máyliên tục: (Bạn đọc có thể dể dàng làm được và kết quả UCLN(a, b) = 21311) 3. Xác định số ước số của một số tự nhiên n *:Định lí : Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được: với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn: 1 < p1 < p2 <...< pk Khi đó số ước số của n được tính theo công thức: t (n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1) Ví dụ2: Hãy tìm số các ước dương của số A = 6227020800. Giải: Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta được: A = 210.35.52.7.11.13 áp dụng định lí trên ta có số các ước dương của A là: t (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584 Vậy số các ước dương của số A = 6227020800 là: 1584 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của: a = 75125232 và b = 175429800 Đáp số: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) = Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của: N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004 Đáp số: 46080 4/. loại 4: Tìm chữ số x của số n = m với m N * Phương pháp: 1) Dựa vào các dấu hiệu chia hết của 2,3,4,5,6,7,8,9,11... 2) Thay x lần lượt từ 0 đến 9 sao cho n m Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng chia hết cho 7 *Sơ lược lời giải: - Số lớn nhất dạng chia hết cho 7 sẽ là: . Lần lượt thay z = ta được số lớn nhất dạng chia hết cho 7 là: ,thương là 275622 - Số nhỏ nhất dạng chia hết cho 7 sẽ là: . Lần lượt thay z = ta được số nhỏ nhất dạng chia hết cho 7 là: , thương là 145762 Ví dụ 2: Tìm tất cả các số n dạng: chia hết cho 24. *Sơ lược lời giải: Vì N 24 ị N 3 ; N 8 ị (37 + x + y) 3 ; 8. ị y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1) 3 và 8, ta có: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng: chia hết cho 13. Số 2: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng chia hết cho 25 Số 3: Tìm chữ số a biết rằng chia hết cho 2009 Số 4: Tìm chữ số x biết rằng chia hết cho 2009 * loại 4: Tìm chữ số tận cùng của số n = với n N . Phương pháp: (Vận dụng các tính chất sau) Những số có chữ số tận cùng là: 0;1;5;6 khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào cũng có chữ số tận cùng là: 0;1;5;6 Những số cố chữ số tận cùng là: 2;4;6 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận cùng là: 6 Những số cố chữ số tận cùng là: 3;7;9 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận cùng là: 1 Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến). Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 0 thì tích đó có chữ số tận cùng là: 0 Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 và nhân với số lẻ thì tích đó có chữ số tận cùng là: 5 Số chính phương chỉ chứa các số tận cùng là: 0;1;4;5;6;9 Tìm 2 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số dư khi chia số đó cho 10 (hoặc bội của 10 bé hơn 100) Tìm 3 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số dư khi chia số đó cho 100 (hoặc bội của 100 bé hơn 1000) Thử trên máy lần lượt các số thoả mãn điều kiện bài toán thì ta chọn 10 Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến). 12) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến). 13) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến). Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số: a) 9 và b) 14 *Sơ lược lời giải:: Ta thấy 9là số lẻ nên 9= 2.k + 1 9= 9 nên tận cùng là số 9 ta thấy 14chẳn nên 14=2.k 14=14=196nên chữ số tận cùng là số: 6 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số: 14 *Sơ lược lời giải: Ta có: 7- 1 = 2400 7- 1 100 7- 1 100 7 có 2 chữ số là : 01 Mặt khác : 14= 2.7 Nhưng: 2: 20 dư 4 (vì : 2- 1 =(2)- 1: (2- 1) =15; 4.(2- 1 ): 20 ) Và : 7: 20 dư 9 ( vì :7- 1 : 100 7-1 : 100 7: 20 dư 17: 20 dư 9 ) Vậy : 14 : 20 dư 4.9 = 36 14 : 20 dư 10 14có 2 chữ số tận cùng là:16 Ví dụ 3: Tìm Các số x ; y sao cho  : có thương là 16 dư r. Còn  : có thương là 16 dư r -2000 *Sơ lược lời giải: Theo bài ra ta có: = 16. + r = 16 . + r - 2000 Lấy trừ ta được : = 16. + 2000 10.x = 16.y + 2 5.x = 8.y + 1 y = ( vì x; y Z ; 0 x;y 9 ) x = 5: y = 3 Ví dụ 4: Tìm các số khi bình phương sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số khi bình phương có tận cùng là bốn chữ số 4 ? *Sơ lược lời giải: Chữ số cuối cùng của x2 là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên máy bình phương của số: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta chỉ có các số:12, 62, 38, 88. khi bình phương lên có tận cùng là hai chữ số 4. Tính trên máy bình phương của các số: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta được: 462, 962, 38, 538 khi bình phương có tận cùng là 444. * Tương tự cách làm trên, ta có kết luận: không có số N nào để N2 kết thúc bởi bốn chữ số tận cùng là : 4444. Bài tập áp dụng: Bài 5: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn: 1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị 2) Là số chính phương. Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng như 655 đều có số dư là 210. Bài 7: Tìm các chữ số x, y, z để chia hết cho 5, 7 và 9. Bài 8: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất sau: 1) Viết dưới dạng thập phân a có tận cùng là số 6. 2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trước các chữ số còn lại sẽ được một số gấp 4 lần chữ số ban đầu. Bài 9: Tìm số tự nhiên n sao cho: a) 2n + 7 chia hết cho n + 1 b) n + 2 chia hết cho 7 - n Bài 10: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều là số 1. Bài 11: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89 b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thể khác nhau). Bài 12: Với giá trị tự nhiên nào của n thì: 1,01n - 1 n. Bài 13: Tìm tất cả các số tự nhiên: x ; x ; ... ; x Sao cho = Đáp số – Hướng dẫn lời giải: Bài 1: Đáp số: - Số lớn nhất là 129304; - Số nhỏ nhất là 1020344 Số 2: Đáp số: - Số lớn nhất là 2939475; - Số nhỏ nhất là: 1030425 Số 3: Đáp số: a = Số 4: Đáp số: x = Bài 5: *Sơ lược lời giải:: Gọi số cần tìm là: . - Đặt . Khi ấy và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x. Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái. Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số: n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716. Bài 6: *Sơ lược lời giải: Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 ị x -210 chia hết cho 393 x = 655.q2 + 210 ị x -210 chia hết cho 655 ị x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965 ị x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210 - Từ giả thiết 10000 < x < 15000 ị 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 ị 5 Ê k < 8. Tính trên máy: Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035 Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000 Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 Bài 7: *Sơ lược lời giải: Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z sao cho chia hết cho 5.7.9 = 315. Ta có = 579000 + = 1838.315 + 30 + ị 30 + chia hết cho 315. Vì 30 Ê 30 + < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029): - Nếu 30 + = 315 thì = 315 - 30 = 285 - Nếu 30 + = 630 thì = 630 - 30 = 600 - Nếu 30 + = 945 thì = 945 - 30 = 915 Vậy ta có đáp số sau: x y z 2 8 5 6 0 0 9 1 5 Bài 8: *Sơ lược lời giải: - Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số. - Từ điều kiện 1) số đó dạng: - Từ điều kiện 2), ta có: = 4. (*) - Đặt , thì: = 10a + 6 = 6.10n + a - Khi đó (*) trở thành: 6.10n + a = 4.(10a + 6) Û 2.(10n - 4) = 13a (**) Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13. Vì (2 ; 13) = 1 nên: 10n - 4 chia hết cho 13. Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để (10n - 4) chia hết cho 13, khi đó tìm ra số a và số cần tìm có dạng: 10a + 6. Thử lần lượt trên máy các giá trị n = 1; 2;... thì (10n - 4) lần lượt là: 6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996. Khi đó a = 15384 ị Số cần tìm là: 153846. Bài 9: *Sơ lược lời giải:: a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lượt n = 0, 1, 2,... ta được n = 0 và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1. Chứng minh với mọi n ³ 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy: (2n + 7) (n + 1) ị [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) ị 5 (n + 1) ị n Ê 5. Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4. b) Tương tự ta có: n = 4 hoặc n = 6. Bài 10: *Sơ lược lời giải:: Nhận xét: 1) Để n3 có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số:11, 21, 31,...81, 91 được duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba có tận cùng là 11. 2) Để n3 có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471. (Thử trên máy với các số: 171, 271, 371,...871, 971 ) 3) Để n3 có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471. (Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 ) - Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111: + Nếu m = 3k, k ẻZ+, thì: 111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4 () ị Tính trên máy: 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1 Do đó, với k ³ 1. Cho k = 1 ta được n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là: n = 103...8471 ị Số nhỏ nhất trong các số đó là: n = 1038471 + Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta được các số này đều vượt quá số 1038471 Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó: (tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111 Bài 11: *Sơ lược lời giải:: a) Trước hết ta tìm số n2 có tận cùng là 89: - Vì n2 có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7. - Thử trên máy các số: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tìm được: để n2 có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau: 17, 33, 67, 83 (*) * Bây giờ ta tìm số n2 bắt đầu bởi số 19: - Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng: 19 x 10k Ê n2 < 20 x 10k Û (1) + Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành: Û 4,3588989.10m Ê n < 4,472135955.10m (2) Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy): ta được n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447 + Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành: Û 13,78404875.10m Ê n < 14,14213562.10m (3) Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy): ta được n có thể là: 14, 138, 139, ... , 141 1379, 1380, 1381, ... , 1414 Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là: 14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**) Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mãn bài toán. b) Ta có: 2525 x 108 Ê x2 < 2526 x 108 Û 50,24937811 x 104 Ê x < 50,25932749 x 104 Vậy : 502493 < x < 502593 Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là: 502517, 502533, 502567, 502583. Bài 12:*Sơ lược lời giải: Ta có: 1,01512 ằ 163,133... < 512 1,011024 ằ 26612,56.. > 1024 Vậy: 512 < n < 1024 Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng phương pháp chia đôi: - Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có: Vậy lại có: 512 < n < 768 Sau một số bước chia đôi như thế đi đến: 650 < n < 652 Cuối cùng ta có: 1,01651 = 650,45... < 651 1,01652 = 656,95.. > 652 ị n = 652 * Quy trình trên MT Casio fx: 500 MS (Thuật toán: Xét hiệu 1,01A - A , gán cho A các giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,... dừng lại khi hiệu trên chuyển từ (-) sang (+)) - Gán cho ô nhớ giá trị tự nhiên đầu tiên: 0 - Lập công thức tính hiệu 1,01A - A và gán giá trị ô nhớ bởi số tự nhiên kế tiếp: 1,01 1 - Lặp lại công thức trên: ... Bài toán kết thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652. Bài 13:*Sơ lược lời giải: Ta có: 10.000.000 = 99999999 57 99 Ta ghi lên mà hình không thoả mãn ở vị trí x; x Dùng phím để sửa và thử các số từ 57; 58; ...;98; 99. ta được 3 số : 65; 86; 91 Vậy ta có 3 bộ số x ; x ; ... ; x là : 65= 17850625 ; 86= 54700816 ; 91= 68574961 II. đa thức: * Kiến thức bổ rung: 1) Cho đa thức P (x) bậc n: P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + ... + a1. x +a0 (*) Trong đó: an ; an-1 ; ...a1; a0 /R ; an 0 Khi đó: an; an-1; an-2; an-3;... ; a1; a0 gọi các hệ số N ếu x0 mà P(x0) = 0 thì x0 là nghiệm của P(x) 2) Khi chia đa thức P (x) cho (x - ) luôn tồn tại một đa thức thương Q(x) và số dư r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (x - ) + r * Chú ý: (Định lý Bezout) 1) N ếu x = là nghiệm của P(x) P(x) (x - ) 2) Nếu x0 là nghiệm nguyên của P(x) thì x0 ước của a0 3) N ếu tổng các hệ số bằng 0 thì P(x) = 0 có nghiệm là x = 1 ( Hay P(x) ( x - 1) ) 4) Nếu tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) = 0 có nghiệm là x = -1 (Hay P(x) ( x + 1) ) * Sơ đồ Horner: (đối với đa thức một biến) Khi chia đa thức P(x) cho ( x - ) thương là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1và có số dư là: r . Khi đó ta có sơ đồ như sau: an an-1 an-2 an-3 ...... a1 a0 bn bn-1 bn-2 bn-3 ....... b1 r = b0 Trong đó: bn = an bn-1 = . bn + an-1 bn-2 = . bn-1 + an-2 .......................... b1 = . bn-1 + a1 b0 = . b1 + a0. Khi đó: 1). P () = b0 2). Nếu P () = 0 thì P(x) (x - ) 3). Nếu P (x) 0 thì P (x) : (x - ) có số dư là: r = P () Và có thương là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1 1/.Loại 1: Tính giá trị của đa P(x,y,) khi x = x0, y = y0; *Phương pháp: 1). Tính trực tiếp (Thay trực tiếp các giá trị của x, y vào biểu thức rồi tính kết quả. 2). Sử dụng sơ đồ Horner ( chỉ sử dụng khi bài toán yêu cầu tìm thương và giá trị của đa thức tại x = ( r = P() = b0 ) *Trên máy tính: 1). - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M. - Rồi thực hiện quy trình 2). -Tính nhờ vào biến nhớ Ví dụ 1: Tính A = khi x = 1,8165 Giải: *Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Bấm phím: 1 8165  Kết qủa: 1.498465582 *Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ Bấm phím: 18165 Kết qủa: 1.498465582 * Chú ý: Trong các kỳ thi HSG thường vẫn hay có dạng toán này. Đặc biệt các cuộc thi cấp huyện. Khản năng tính toán dẫn đến sai số thường không nhiều. Nhưng biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán. Tránh tình trạng phép tính vượt quá giới hạn nhớ của máy tính. Sẽ dẫn đến kết quả sai ( Kết quả đã quy tròn trên máy tính trong quá trình thực hiện, có trường hợp kết quả sai hẳn). Do vậy không có điểm trong trường hợp này. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a. A(x) = khi x = 1,23456 b. khi x = 2,18567 2/.Loại 2: Tìm dư trong phép