Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số

BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a/ tại . b/ tại . c/ tại . d/ tại . Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: a/ b/ Bài 3: Chứng minh đẳng thức: a/ ; biết rằng . b/ ; biết rằng . Bài 4: Cho ba biểu thức: , , . Chứng minh rằng nếu thì . Bài 5: Chứng minh rằng: a/ b/ Bài 6: Cho . Chứng minh rằng: a/ b/ c/ d/ e/ Bài 7: Cho và . Tính giá trị của biểu thức . Bài 8: Cho và . Tính giá trị của biểu thức . Bài 9: Cho . Chứng minh rằng: Bài 10: Chứng minh rằng nếu thì . Bài 11: Cho . Tính giá trị của biểu thức: . Bài 12: Cho và . Hãy tính . Bài 13: a/ Tính tổng các hệ số của các hạng tử có chứa lũy thừa chẵn của x trong dạng khai triển của đa thức . b/ Tính tổng các hệ số của các hạng tử có chứa lũy thừa lẻ của x trong dạng khai triển của đa thức . c/ Tính tổng các hệ số của các hạng tử có chứa lũy thừa lẻ của x trong dạng khai triển của đa thức . PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 1. Các phương pháp đã học: Dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử, nhóm hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử. 2. Phương pháp thực hiện phép chia: Định lý Beout (Bê-Zu): Dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng f(a). Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho x – a. Vận dụng định lý Bê-Zu để phân tích đa thức f(x) thành nhân tử: Bước 1: Nhẩm nghiệm x = a của đa thức f(x). Bước 2: Theo định lý Bê-Zu thì . Lặp lại bước 1 với đa thức q(x) (nếu được). 3. Phương pháp xét giá trị riêng: Bước 1: Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức. Bước 2: Gán cho biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử. Giải: Giả sử thay x bởi y thì . Như vậy P chứa thừa số x – y. Lập luận tương tự, P cũng chứa thừa số y – z, z – x. Do đó P có dạng . Vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z và tích cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z nên k là hằng số. Mặt khác, đẳng thức đúng với mọi x, y, z nên thay , , ta được . Vậy . 4. Phương pháp hệ số bất định: Mệnh đề: Nếu các đa thức P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức bằng nhau. Bài tập: 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ b/ c/ d/ e/ f/ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ b/ c/ d/ e/ f/ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ b/ c/ d/ e/ f/ 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ b/ 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ b/ c/ d/ e/ BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC 1. Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa điều kiện . Chứng minh rằng: 2. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: 3. Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau: a/ b/ c/ d/ 4. Chứng minh rằng: a/ b/ c/ d/ 5. Rút gọn biểu thức: a/ b/ 6. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của các biểu thức sau cũng là số nguyên: a/ b/ 7. Rút gọn: a/ b/ 8. Cho . Chứng minh rằng: 9. Chứng minh rằng nếu thì 10. Cho và . Chứng minh rằng: 11. Cho . Tính: 12. Cho và . Rút gọn biểu thức: BẤT ĐẲNG THỨC – CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1. Bất đẳng thức cơ bản: Với mọi biểu thức A tùy ý ta luôn có A2 ≥ 0. Các dạng thường gặp: 1/ 2/ 3/ 2. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với mọi biểu thức A, B tùy ý ta luôn có: F . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng dấu. F. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si): a/ Cho 2 số a, b không âm, ta luôn có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. b/ Cho n số a1, a2, …, an không âm, ta luôn có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an. 4. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a/ Cho 2 bộ số (a, b) và (x, y) tùy ý, ta luôn có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . b/ Cho 2 bộ số (a1, a2, …, an) và (x1, x2, …, xn) tùy ý, ta luôn có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của . Giải: Điều kiện xác định: . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski có: . Suy ra Pmax = 10 khi và chỉ khi . Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: - Dùng định nghĩa. - Biến đổi tương đương. - Sử dụng các bất đẳng thức đã biết. - Phương pháp phản chứng, phương pháp chứng minh quy nạp… Bài tập: 1. Chứng minh rằng với mọi số a, b, c ta có: a/ b/ 2. Cho a và b là hai số dương. Chứng minh: a/ b/ 3. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh: 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a/ b/ 5. Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện xy = 1 và x > y. Chứng minh rằng: . 6. a/ Cho a, b là hai số dương. Chứng minh: b/ Cho m, n Î N và a + b > 0. Chứng minh: c/ Cho a, b là hai số dương. Chứng minh: 7. Cho . Chứng minh rằng: . 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có . 9. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có . 10. a/ Với x, y không âm; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của . 11. Cho hai số x, y thỏa mãn: . Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất. PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC A. Các dạng phương trình cơ bản: 1. Phương trình bậc nhất: Dạng tổng quát: Giải:  a ¹ 0: phương trình có nghiệm ‚ a = 0: phương trình có dạng b ¹ 0: phương trình vô nghiệm. b = 0: phương trình vô số nghiệm. 2. Phương trình bậc hai: Dạng tổng quát: Giải: Xét  D < 0: Phương trình vô nghiệm. ‚ D = 0: Phương trình có nghiệm kép ƒ D < 0: Phương trình có nghiệm Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình vô nghiệm nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Giải: . 3. Phương trình bậc ba: Dạng tổng quát: (a ¹ 0) Các dạng phương trình bậc ba thường gặp và phương pháp giải: a. Nhẩm được một nghiệm của phương trình: Giả sử nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình, sử dụng sơ đồ Hoocne hoặc chia đa thức (chia vế trái của phương trình cho x – x0) để hạ bậc phương trình. b. Phương trình bậc ba hồi quy: Dạng tổng quát (a, d ¹ 0, ac3 = db3)  Nếu c = 0 thì b = 0: suy ra phương trình có nghiệm ‚ Nếu c ¹ 0 thì b ¹ 0: điều kiện Û Đặt thì và . Khi đó phương trình trở thành Ví dụ: Giải phương trình . c. Phương trình có dạng . Trong đó và . Đặt ẩn phụ . Ví dụ: Giải phương trình . 4. Phương trình bậc bốn: a. Phương trình trùng phương: Dạng tổng quát: (a ¹ 0). Đặt y = x2 ³ 0, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai . b. Phương trình bậc bốn hồi quy: Dạng tổng quát: (a ¹ 0 và ad2 = eb2) (*)  Nếu b = 0 thì d = 0: phương trình trở thành phương trình trùng phương. ‚ Nếu b ¹ 0 thì d ¹ 0: điều kiện Û Đặt thì và . Phương trình (*) trở thành: (**) Do x = 0 không là nghiệm của phương trình (**) nên chia 2 vế phương trình (**) cho x2 ¹ 0 ta được (***) Đặt (điều kiện ) Þ . Phương trình (***) trở thành là phương trình bậc hai theo y, tìm được y suy ra tìm được x. Ví dụ: Giải phương trình . c. Phương trình bậc bốn dạng (c > 0) (*): Đặt , phương trình (*) trở thành: . Đặt để được phương trình gọn hơn: (**) là phương trình trùng phương theo y. Ví dụ: Giải phương trình d. Phương trình bậc bốn dạng (với ) (*) (*) Û . Đặt (**) ta được phương trình . Giải ra tìm y rồi thay vào phương trình (**) để tìm x. Ví dụ: Giải phương trình . e. Phương trình bậc bốn dạng (với ) (*) (*) Û (**). Xét trường hợp b ¹ 0. Khi đó x = 0 không là nghiệm của phương trình (**). Chia 2 vế của (**) cho x2 ¹ 0 ta được: . Đặt ta được phương trình: . Giải ra tìm y rồi thay vào phương trình (**) để tìm x. Ví dụ: Giải phương trình . 5. Phương trình hệ số đối xứng: Dạng tổng quát: . Trong đó , , , … Nếu phương trình có nghiệm x0 thì x0 ¹ 0 và cũng là nghiệm. a. Phương trình có bậc chẵn: Dạng tổng quát (*) Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (*), chia hai vế của (*) cho xn ¹ 0 ta được phương trình: (**). Đặt (điều kiện ) (***), biểu diễn , ,… theo y. Đưa (**) về phương trình theo y, giải tìm y rồi thay vào (***) tìm x. b. Phương trình có bậc lẻ: Luôn nhận là một nghiệm. Dùng phương pháp hạ bậc để đưa về phương trình đối xứng bậc chẵn. Ví dụ: Giải phương trình 6. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Phương pháp thường sử dụng là xét nghiệm trên từng khoảng dựa vào dấu của các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Giải phương trình B. Bài tập: 1. Giải phương trình: a. b. c. 2. Giải phương trình: a. b. c. d. e. f. 3. Giải phương trình: a. b. c. d. e. 4. Giải phương trình a. b. 5. Giải phương trình PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A. Một số tính chất cơ bản:  ‚ ƒ „ B. Một số dạng thường gặp: 1. Dạng (c > 0, d ¹ 0) (*) Điều kiện và . Đặt thì y > 0 và . Suy ra . Phương trình (*) trở thành: (**) Điều kiện của y là . Giải (**) tìm được y Þ tìm được x. Ví dụ: Giải phương trình 2. Dạng (*). Điều kiện: x ³ b. Đặt (y ³ 0), giải phương trình tìm y Þ tìm được x. Ví dụ: Giải phương trình C. Bài tập: 1. a. Chứng minh: . b. Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. c. Giải phương trình: 2. Giải phương trình: a. b. c. 3. Giải phương trình: a. b. 4. Giải phương trình: 5. Giải phương trình: a. b. 6. Tìm x, y, z thỏa mãn đẳng thức: 7. Giải phương trình: 8. Giải phương trình: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU A. Một số phương pháp giải: 1. Phương pháp khử phân thức: Mục đích của phương pháp này là thu gọn các phân thức để bài toán trở nên đơn giản hơn. Ví dụ: Giải phương trình 2. Phương pháp nhân tử hóa: Dùng để biến đổi các phân thức trong phương trình có chứa nhân tử chung bằng cách thêm bớt các lượng thích hợp. Ví dụ: Giải phương trình 3. Phương pháp lượng liên hợp: Ví dụ: Giải phương trình 4. Phương pháp chia xuống: Ví dụ: Giải phương trình 5. Phương pháp đánh giá: a. Sử dụng điều kiện xảy ra đẳng thức của các bất đẳng thức không chặt để tìm nghiệm. Ví dụ: Giải phương trình b. Dựa trên việc xét x > x0 và x < x0 để kết luận phương trình có nghiệm duy nhất (với x0 là nghiệm đã tìm được). Ví dụ: Giải phương trình Chú ý:  Với : , ‚ Với : , B. Bài tập: 1. Giải phương trình: a. b. c. 2. Giải phương trình: 3. Giải phương trình: 4. Giải phương trình: 5. Giải phương trình: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A. Ví dụ: 1. Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên không âm (1) Giải: Cách 1: . Vậy phương trình có nghiệm . Cách 2: Biến đổi để được , suy ra . Thay vào (1) giải tìm x, y. 2. Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên (2) Giải: 3. Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên (3) Giải: Đặt , ta có 4. Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên dương (4) Giải: Vì 3x + 5 và 3y + 2 đều chia 3 dư 2 nên 3x + 5 = 2, 3y + 2 = 17 hoặc 3x + 5 = 17, 3y + 2 = 2. Giải từng trường hợp để tìm x, y. B. Bài tập: 1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 2. Giải phương trình nghiệm nguyên 3. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 4. Giải phương trình nghiệm nguyên 5. Giải phương trình nghiệm nguyên dương (HD: Chứng minh rồi sử dụng bất đẳng thức với a, b, c, d là các số dương) 6. Giải phương trình nghiệm nguyên PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC