Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

DẠNG 1 – GIẢI PHƯƠNG TRèNH 1. 2. 3. x4 + = 2006 4. x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0 5. = 2 6. = 4 7. + = -5 – x2 + 6x 8. + x-1=0 9. + = 10 10. 2) = x2 - 12x + 38. b) =3+2 + = 3 b, . + = 2 a. - = - 1, - = (3x-1) = : x2 +3x +1 = (x+3) DẠNG 2 – RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN PHỤ Bài 1 (2đ): 1. Cho biểu thức: A = a. Rút gọn biểu thức. b. Cho Tìm Max A. Câu 2: Cho biểu thức : A =~ a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A > -6. Bài 1: (4đ). Cho biểu thức: P = a, Rút gọn biểu thức P. b, Tính giá trị của P với x = 14 - 6 c, Tìm GTNN của P. Bài 1 B = 1.Tìm điều kiện xác định của B 2. Rút gọn B 3. Tìm x để B<2 Bài 2 (5đ) Cho biểu rhức P= a, Rút gọn P. b, Chứng minh rằng nếu 0 0. c , Tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức : A = Câu 1 ( 2. 5 điểm ) Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Chứng minh: Với x > 1 thì P (x) . P (- x) < 0 Bài 4: Cho B = a, Tìm các số nguyên a để B là số nguyyên. b, Chứng minh rằng với a = thì B là số nguyên. c, Tìm các số hữu tỷ a để B là só nguyên. DẠNG 3 – TÍNH TOÁN 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: từ đó tính tổng: S = Bài 1: Chứng minh: -1 = - + Câu 2(2đ): a, Thực hiện phép tính : Câu3: Rút gọn biểu thức: a A = (-1) b B =++....++ Câu I : Tính giá trị của biểu thức: A = + ++ .....+ Câu I : 1) Rút gọn biểu thức : A= 2) Chứng minh : Câu I : Rút gọn biểu thức A = Tớnh:; + Câu 2 Tính giá trị biểu thức tại x = Rút gọn biểu thức : A = Câu I: (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau. A = - ; B = - P = B = P = - P = Cho A= + + .+ .Chứng minh rằng A < 0,4 Câu 1(2đ) Cho x = . Tính giá trị của biểu thức : A = x3 + 3x – 14 DẠNG 4 – HÀM SỐ BẬC NHẤT Câu 1 (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số) 1. Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = ? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) và tia Ox. 2. Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất? Câu 2:. Cho đường thẳng y = (m-2)x + 2 (d) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1. Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất Câu3: (2 điểm) Cho hàm số y = ( 2m – 1) x + n –2 a. Xác định m, n để đt (1) đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đtcó pt 2x – 5y = 1 b.Giả sử m, n thay đổi sao cho m+n = 1 Chứng tỏ rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định. Câu 4(2đ) : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho ABC có các đường cao có phương trình là : y = -x + 3 và y = 3x + 1. Đỉnh A có toạ độ là (2;4). Hãy lập pt các cạnh của ABC. Câu 5 (2 điểm): C/minh khi m thay đổi, các đt có pt: (2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua 1 điểm cố định. DẠNG 5 – ĐƯỜNG TRềN Câu 1:. Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. ; gọi E; F; M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều. Câu 2:. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF, A,E ẻ (O); B, F ẻ (O’) a. Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b. Chứng minh: AE BF c. Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng. Câu 3 : Cho ABC : Góc A = 900 . Trên AC lấy điểm D . Vẽ CE BD. a, Chứng minh rằng : ABD ∾ ECD. b, Chứng minh rằng tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp được . c, Chứng minh rằng FD BC (F = BA CE) d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a . Tính AC, đường cao AH của ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. Câu 4 : Cho đường tròn (O,R) và điểm F nằm trong đường tròn (O) . AB và A'B' là 2 dây cung vuông góc với nhau tại F . a, Chứng minh rằng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chứng minh rằng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gọi I là trung điểm của AA' . Tính OI2 + IF2 Câu 5: Cho ABC nội tiếp (O) , H là trực tâm của tam giác , I là trung điểm của cạnh AC . phân giác của góc A cắt đường tròn tại M , kẻ đường cao AK của tam giác . Chứng minh : a) Đường thẳng OM đi qua trung điểm N của BC b) c) AHM ~ NOI và AH = 2ON. Câu 6 : Cho đtròn (O) đường kính AB. vẽ hai tiếp tuyến Ax và By; gọi M là 1 điểm tuỳ ý trên cung AB vẽ tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tai C và D. Chứng minh : AC.BD=R2 Tìm vị trí của M để chu vi OCD là bé nhất. Câu 7 : Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC. Các đường tròn đường kính AM, BC cắt nhau tại N ( khác B). BN cắt CD tại L. Chứng minh rằng : ML vuông góc với AC. Câu 8: Cho nửa (O) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax và By và nửa đtròn cùng thuộc một nửa mp bờ AB). Gọi M là 1 điểm bkì thuộc nửa đtròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax; By theo thứ tự ở C; D. a) CMR: Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. b) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn (0) để ABDC có chu vi nhỏ nhất. c) Tìm vị trí của C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm. Biết AB = 4cm. Câu 9 : Cho (O; 4cm) và (O’; 3cm) nằm ngoài nhau. OO’ = 10cm, tiếp tuyến chung trong tiếp xúc với (O) tại E và (O’) tại F. OO’ cắt (O) tại A và B, cắt (O’) tại C và D (B, C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N. Chứng minh rằng: MN ^ AD Câu 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB, xy là tiếp tuyến tại B với đường tròn, CD là một đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC và AD với xy theo thứ tự là M, N. a) Chứng minh rằng: MCDN là tứ giác nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN c) Gọi I là đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Khi đường kính CD quay quanh tâm O thì điểm I di chuyển trên đường tròn nào ? Câu 11: Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến kể qua A và cắt đường tròn (O) ở C và (O’) ở D. gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AD. a) Chứng minh : MN=CD b) Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với CD tại I đi qua 1 điểm cố định khi cát tuyến CAD thay đổi. c) Trong số những cát tuyến kẻ qua A , cát tuyến nào có độ dài lớn nhất. Câu 12: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với AC < AB; AH là đường cao kẻ từ đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với (O) ngoại tiếp ABC cắt nhau tại M. Đoạn MO cắt cạnh AB ở E. Đoạn MC cắt đường cao AH tại F. Kộo dài CA cho cắt đường thẳng BM ở D. Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N. Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của BD Chứng minh EF // BC Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN Cho OM =BC = 4cm. Tính chu vi tam giác ABC. Câu 13: Cho (O;2cm) và đường thẳng d đi qua O. Dựng điểm A thuộc miền ngoài đường tròn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đường tròn cắt đường thẳng d tại B và C tạo thành tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Câu 14: Cho đường tròn (O; R) nội tiếp ABC, tiếp xúc với BC tại D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh: M, O, N thẳng hàng Câu 15 : Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O . Trên cùng một nửa mphẳng bờ AB , dựng nửa đường tròn (O,AB) và ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠ O ). Tia OM cắt (O) tại C . Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’). a/ Chứng minh rằng AMD cân . b/ Tiếp tuyến C của (O) cắt tia OD tại E. Xđịnh VTTĐ của đt EA đối với (O) và (O’). c/ Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng. d/ Tại vị trí của M sao cho ME // AB hãy tính OM theo a . Câu 16 : Cho đường tròn (O;R). I là điểm nằm trong đường tròn, kẻ hai dây MIN và EIF. Gọi M’; N’; E’; F’ thứ tự là trung điểm của IM; IN; IE; IF. Chứng minh: IM.IN = IE.IF. Chứng minh tứ giác M’E’N’F’ nội tiếp đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. M’E’N’F'. Giả sử 2 dây MIN và EIF vuông góc với nhau. Xác định vị trí của MIN và EIF để diện tích tứ giác M’E’N’F’ lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. Biết OI = . Câu 17: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, xy là tiếp tuyến tại B với đường tròn, CD là một đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC và AD với xy theo thứ tự là M, N. a) Chứng minh rằng: MCDN là tứ giác nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN c) Gọi I là đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Khi đường kính CD quay quanh tâm O thì điểm I di chuyển trên đường tròn nào ? Câu 18 : Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH . Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật; b) Chứng minh AE.AB = AF. AC; c) Đt qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Cminh: I là trung điểm của đoạn BC d) Chứng minh rằng nếu diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân. Câu 20: Cho nửa đ tròn tâm O có đkính AB = 2R, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đtròn và tia OZ vuông góc với AB (các tia Ax, By, OZ cùng phía với nửa đtròn đối với AB). Gọi E là điểm bất kỳ của nửa đtròn. Qua E vẽ tiếp tuyến với nửa đtròn cắt Ax, By, OZ theo thứ tự ở C, D, M. Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì: a. Tích AC . BD không đổi b. Điểm M chạy trên 1 tia c. ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật. Tính diện tích nhỏ nhất đó. Câu 21: Cho nửa đường tròn tâm 0, đường kính AB. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó ( M khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với đường kính AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến (d1; d2) tiếp xúc với đường tròn tâm M tại C và D. CM: 3 điểm: C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến với đường tròn tâm 0 tại M. AC + BD không đổi. Khi đó tính tích AC.BD theo CD. Giả sử: CD AB = { K }. CM: OA2 = OB2 = OH.OK. Câu 7 ( 3. 0 điểm) Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đtròn ( o ), M là điểm trên cung nhỏ BC; AM cắt BC tại E. a) Nếu M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, chứng minh : BC2 = AE . AM. b) Trên AM lấy D sao cho MD = BM. Chứng minh: DBM = ACB và MA= MB + MC. Câu 8 ( 2. 0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh : MB đi qua trung điểm của CH. Câu IV: ( 5đ) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Trên cung nhỏ BC lấy điểm K . AK cắt BC tại D a , Chứng minh AO là tia phân giác của góc BAC . b , Chứng minh AB2 = AD.AK c , Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ BC sao cho độ dài AK là lớn nhất . d, Cho góc BAC = 300 . Tính độ dài AB theo R. Câu V: (6đ) Cho ABC vuông góc ở A, lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc vơi BD. 1, Chứng tỏ các tam giác ABD và BCD đồng dạng. 2, Chứng tỏ tứ giác ABCE là một tứ giác nội tiếp. 3, Chứng minh FD BC (F là giao điểm của BA và CE) 4, Cho ABC = 600; BC = 2a; AD = a Tính AC, đường cao AH của ABC và bán kính đtròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. Câu 9(3đ) : Cho đtròn (O) đkính AB. Một điểm M thay đổi trên đtròn ( M khác A, B). Dựng đtròn tâm M txúc với AB tại H. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến AC, BD đến đtròn tâm M. Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O). Chứng minh tổng AC+BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD Lấy điểm N có định trên (O) . Gọi I là trung điểm cuả MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tính quỹ tích của P. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011 – 2012 Bài 1: ( 2,0 điểm) Cho 3 số a, b, c nguyờn. Chứng minh rằng: nếu chia hết cho 4 thỡ : chia hết cho 4 Bài 2: (4,0 điểm) Cho biểu thức : với a, Rỳt gọn P b, Tớnh giỏ trị của P tại c, Tỡm giỏ trị của x để Bài 3: ( 3 điểm) Cho hàm số . Tỡm a sao cho: a, Đường thẳng (d) đi qua điểm . Tớnh khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d). b, Đường thẳng (d) cắt đường thẳng tại điểm cú hoành độ là 3. Bài 4: (3,5 điểm) a, Giải phương trỡnh: b, Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng: Bài 5: (7,5 điểm) Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R khụng đổi, 2 đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Lấy điểm I thuộc đoạn OC ( I khỏc O và C ). Vẽ đường trũn tõm I bỏn kớnh IA, đường trũn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M và N ( khỏc điểm A). a, Xỏc định vị trớ của 2 đường trũn tõm O và tõm I. b, Chứng minh 3 điểm I, M, N thẳng hàng. c, Từ M kẻ MK song song với AC ( K thuộc CD ). Chứng minh: và d, Chứng minh: tổng cú giỏ trị khụng phụ thuộc vào vị trớ điểm I. 2. Cho tan. Tớnh giỏ trị của: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013 Bài 1 (2,0 điểm) Tỡm số bị chia nhỏ nhất khi chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11. Bài 2 (3,5 điểm) Cho biểu thức: với ; Rỳt gọn . Chứng minh rằng . Tỡm x thỏa món: . Bài 3 (5,0 điểm) Tỡm , thỏa món : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức Cho . Chứng minh bất đẳng thức: Bài 4 (2,5 điểm) Trờn mặt phẳng tọa độ cho điểm , , . Xỏc định dạng của tam giỏc . Viết phương trỡnh trục đối xứng của tam giỏc . Bài 5 (7,0 điểm) 1. Cho đường trũn và đường thẳng khụng giao nhau. Từ một điểm tựy ý trờn đường thẳng kẻ tiếp tuyến và với đường trũn tõm (, là cỏc tiếp điểm). Dõy cung cắt tại K. a) Chứng minh bốn điểm cựng thuộc một đường trũn. b) Chứng minh: Tớch khụng phụ thuộc vị trớ của trờn đường thẳng . c) Chứng minh:đường thẳng luụn đi qua 1 điểm cố định khi di chuyển trờn . d) Tỡm vị trớ của sao cho diện tớch tứ giỏc nhỏ nhất. e) Đường thẳng cắt đường trũn tõm tại . Kẻ cỏt tuyến với nằm giữa và , kẻ và vuụng gúc với cỏt tuyến (nằm trờn ). Chứng minh: . 2. Cho tam giỏc vuụng tại A, đường cao AH. Qua H dựng đường thẳng cắt cạnh AB và đường thẳng AC lần lượt tại E và G. Vẽ đường thẳng vuụng gúc với đường thẳng tại H, cắt cạnh AC và đường thẳng AB lần lượt tại F và D. a) Chứng minh EF vuụng gúc với DG. b) Tỡm điều kiện của hai đường thẳng và thỏa món đường thẳng vuụng gúc với đường thẳng tại H để EF là ngắn nhất. .Hết.