Tài liệu bồi dưỡng máy tính casio1

Dạng 1. TÝnh to¸n trªn m¸y kÕt hîp trªn giÊy Dạng 2: Tìm ước, bội của một số Cơ sở: Muốn tìm ước ta chia a cho các số không vượt quá a. Quy trình: -1 → A A + 1 → A: a A Muốn tìm bội ta nhân số đó lần lượt với 0, 1, 2, Quy trình: (-2) à A A + 1 à A: aA = VD1: Tìm tất cả các ước của 60? -1 → A A + 1 → A:60 A bấm = xuất hiện số 1 và kết quả 60 thì ta có 2 ước là 1 và 60 Bấm đến khi đế lần thứ 30 thì dừng lại. Vậy Ư(60) = Ví dụ 2: Tìm các bội của 30 (-2) à A A + 1 à A: 30A = ta được các số là 0, 30, 60, 120, Ví dụ 3: Tìm bội của 206 nhỏ hơn 2006 Ta thực hiện quy trình như trên và chỉ chọn các bội là 0; 206; 412; 618; 824, 1030; 1236; 1442; 1648; 1854 Ví dụ 4: Tìm các bội của 45 nhỏ hơn 2000 và chia hết cho 35 Vì số cần tìm bội của 45 nên có dạng 45A nên ta lập quy trình sau: -2 à A A + 1 à A:45A ÷ 35:45A bấm = màn hình xuất hiện 0 = 0 = 0 nghĩa là 45.0:35 = 0 Ta nhấn tiếp nếu màn hình xuất hiện 45A÷ 35 là số nguyên thì thì trong lần kế tiếp chính là số thỏa mãn điều kiện. Vậy ta tìm được 315; 630; 945; 1260; 1575; 1890 khi kết quả lớn hơn 2000 thì dừng lại. Ví dụ 5: Tìm BCNN của 45 mà khi chia cho 41 thì dư 10 Vì số này chia cho 41 dư 10 nên lấy số đó trừ 10 thì chia hết, ta sẽ đưa về dạng bài toán trên: -2 à A A + 1 à A: (45A – 10) ÷ 41: 45A = (ta chỉ chọn 2 số nguyên liên tiếp) với A = 23 và 25 và 1035. Vậy số đó là 1035 Dạng 3: Xác định một số là số nguyên tố: * Với nguyên tắc mọi số nguyên tố đều là số lẻ Và một số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố Cách 1: (-1) à A A + 2 à A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = cho đến số cần dừng, nếu kết quả không là số nguyên thì số đó không phải là nguyên tố. Cách 2: Gán số đó vào B; Tính = .. (điểm dừng) B ÷ 3 = B ÷ (B ÷ Ans + 2) = đến điểm dừng Ví dụ: Số 647 là số nguyên tố không? (-1) à A A + 2 à A:647 ÷ A bấm = .. đến A = 27 thì thương là 23,9.. Vậy 647 không chia hết cho A => 647 là số nguyên tố Ví dụ 2: Xét xem 10007 nguyên tố hay hợp số? 10007 à B = 100, 034 B ÷ 3 = B ÷ (B ÷ Ans + 2) = đến điểm dừng Ví dụ: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số? Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố. Ví dụ: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số? 5. Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số. Bài tập: Số nào sau đây là số nguyên tố: 403; 569; 1361; 1363 (ĐS: 569 và 1361) Dạng 4: Tìm UCLN, BCNN A. Phương pháp giải toán Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của hai số nguyên dương A và B (A < B). Thuật toán: Xét thương . Nếu: 1. Thương cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết quả dưới dạng số thập phân mà có thể đưa về dạng phân số tối giản (a. b là các số nguyên dương) thì: ƯCLN(A, B) = A:a = B;b; BCNN(A, B) = A.b = B.a 2. Thương cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân số tối giản thì ta làm như sau: Tìm số dư của phép chia . Giả sử số dư đó là R (R là số nguyên dương nhỏ hơn A ) thì: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B)) Đến đây ta quay về giải bài toán tìm ƯCLN của hai số A và R . Tiếp tục xét thương và làm theo từng bước như đã nêu trên. Sau khi tìm được ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) bằng cách áp dụng đẳng thức: ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) = Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN của ba số nguyên dương A, B và C. Thuật toán: 1. Để tìm ƯCLN(A,B,C) ta tìm ƯCLN(A, B) rồi tìm ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] ... Điều này suy ra từ đẳng thức: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = = ƯCLN[ƯCLN(A, C), B] 2. Để tìm BCNN(A, B, C) ta làm tương tự. Ta cũng có: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = ƯCLN[ƯCLN(A, C), B] B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN của 220887 và 1697507 Giải: Ta có: Suy ra: ƯCLN(220887, 1697507) = 220887:2187 = 101; BCNN(220887, 1697507) = 220887.16807 = 3712447809 Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN của 3995649 và 15859395 Giải: Ta có: Ta không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Vậy ta phải dùng phương pháp 2. Số dư của phép chia là 3872428. Suy ra: ƯCLN(15859375, 3995649) = ƯCLN(3995649, 3872428) Ta có: = 0,9691612051 Ta cũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Ta tiếp tục tìm số dư của phép chia: . Số dư tìm được là 123221. Suy ra: ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221) Ta có: . Suy ra: ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203, BCNN = = 312160078125 Ví dụ 3: Tìm ƯCLN của ba số 51712, 73629 và 134431 Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101, và ƯCLN(101, 134431) = 101 => ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101 C. Bài tập vận dụng 1. Tìm ƯCLN và BCNN của: a. 43848 và 8879220 b. 1340022 và 622890625 c. 1527625 và 4860625 d. 1536885 và 24801105 2. Tìm ƯCLN và BCNN của 416745, 1389150 và 864360. 3. Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 và 51135438. ĐS : 678 Dạng 5: Tìm số dư của phép chia - Ứng dụng của quan hệ đồng dư A. Phương pháp giải toán Bài toán 1: Tìm số dư của phép chia số nguyên dương A cho số nguyên dương B ( B có tối đa 10 chữ số). Thuật toán: 1. Nếu số các chữ số của A không vượt quá 10. Ta làm như sau: Tìm phần nguyên của thương A : B. Gọi phần nguyên đó là N. Thì số dư của phép chia A: B ( Kí hiệu là R) là: R = A – N.B 2. Nếu số các chữ số của A lớn hơn 10. Ta làm như sau: Giả sử A có dạng: Đầu tiên ta tìm số dư của phép chia cho B bằng cách 1. Giả sử số dư này là R1 ( R1 ít hơn 10 chữ số). Tiếp theo ta tìm số dư cảu phép chia cho B (có 10 chữ số). Giả sử số dư này là R2 . Cứ làm như thế cho đến khi ta tìm được số dư của phép chia cho B ( không quá 10 chữ số). Giả sử số dư đó là R. Thì R cũng là số dư của phép chia A cho B. Bài toán 2: Tìm số dư của phép chia AN cho số nguyên dương B. ( Trong đó A và N cũng là số nguyên dương). Thuật toán: Để tìm số dư của phép chia AN cho B ta tìm số R < 0 sao cho: AN R(modB) Thì R chính là số dư của phép chia trên. Để giải dạng toán này ta cần có một số kiến thức về quan hệ đồng dư. 1. Định nghĩa quan hệ đồng dư Cho 2 số nguyên A và B. Ta nói A có quan hệ đồng dư theo modulo M với B, kí hiệu là khi và chỉ khi M là ước số của (A – B), trong đó M là số nguyên dương Ví dụ: ; 2. Một số tính chất i. ii. iii. iv. v. vi. M là số nguyên tố và ƯCLN(A,M) = 1 thì: vii. M là số nguyên tố thì: B. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 123456789 cho 9876 Giải: Ta có: 123456789:9876 = 125082,8663 => R = 123456789 – 125082.9876 = 855 Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 135792468013579 cho 24680 Giải: Ta tìm số dư của phép chia 1357924680 cho 24680 Kết quả là 6400. Tiếp tục tìm số dư của phép chia 640013579 cho 24680 Kết quả là 11819. Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia 52008 cho 2003 Giải: Vì 2003 là số nguyên tố và ƯCLN (5; 2003) = 1. Nên ta có: . Suy ra: Vậy số dư của phép 52008 cho 2003chia là 1064 Ví dụ 4: Tìm số dư của phép chia 199140 cho . Giải: Cách 1: Ta có: ; => => => Vậy số dư của phép chia 199140 cho 2008 là 713 Cách 2: Ta có: => => Ta tính: => C. Bài tập vận dụng 1. Tìm số dư của các phép chia sau: a. 199119921993 cho 2008 b. 537624161 cho 12547 c. 9876543210123456789 cho 2468013579 d. 132462574134 cho 29 2. Tìm số dư của các phép chia sau: a. 520 cho 12345 b. (22000 – 1) cho 12345 c. 19911999 cho 191 d. 51991 + 51999 + 52007 cho 467 e. 740 + 1140 + 1940 cho 2000 f. 5.19917 + 25311 + 2002 cho 1993. 3. Tìm thương và dư của phép chia (320+1) cho (215+1)? (thương là 106 404. số dư là 31 726) 4. Tìm số dư trong các phép chia sau: a/ 9124565217 cho 123456 (55713) b/ 987896854 cho 698521 (188160) 5. Tìm số dư của phép chia a/ 2345678901234 cho 4567. (2203) b/ 983637955 cho 9604325 (4005985) c/ 903566896235 cho 37869. (21596) d/ 1234567890987654321 cho 123456 (8817) 6/ Tìm số dư của phép chia a/ 126 cho 19 b/ 2004376 cho 1975 (246) c/ 138 cho 27 d/ 2514 cho 65 e/ 197838 cho 3878. f/ 20059 cho 2007 g/ 715 cho 2001 Dạng 6: Tìm chữ số hàng chục, trăm, đơn vị của một lũy thừa Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002 Giải: (Ta tìm đồng dư mod10) Vậy . Chữ số tận cùng của 172002 là 9 Cách 2: Dùng chức năng TABLE Ví dụ: Tìm chữ số cuối cùng của 72005 + Khởi động chế độ TABLE: MODE 4 + Trên mày sẽ hiệ f(X) ta nhập hàm: 7 xo ANPHA ) (x) (do đây là lũy thừa của 7) + Ấn tiếp : = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 = Theo trên các số cuối cùng lần lượt là 7, 9, 3, 1 chu kỳ là 4 Mặt khác 2005 = 4x501 + 1 => 72005 có số cuối cùng 7 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của 42008 Ấn MODE 4 Nhập hàm 4 xo ANPHA ) (x) Ấn tiếp: = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 = Ta được bảng các giá trị và thấy các số cuối lần lượt là 4, 6 chu kỳ là 2 Mà 2008 = 2.1004 => số cuối cúng là 6 Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005. Giải + Tìm chữ số hàng chục của số 232005 (Ta tìm đồng dư mod100) Do đó: Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43) + Tìm chữ số hàng trăm của số 232005 (Ta tìm đồng dư mod1000) Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343) Tìm số mũ của một lũy thừa: Ví dụ: Tìm số mũ tự nhiên n sao cho: 2n = 64 Ấn MODE 4 Nhập hàm 2 xo ANPHA ) (x) Ấn tiếp: = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 = Máy xuất hiện một bảng, tra bảng thấy x = 6 là giá trị cần tìm Bài tập: 1/ Tìm a/ Chữ số tận cùng của số 29999 b) Chữ số hàng chục của số 29999 c/ . d/ . Kq: a/ 8 b/ 8 c/ 743. d/ 2256 Tính số lẻ thập phân thứ n sau dấu phảy. Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13 Giải: + Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.(307692) Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số. Ta có 105 = 6.17 + 3 () Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7 Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19 Giải: Ta có . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 : 19 Ấn 17 : 19 = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số. Ta có Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân. Kết quả : số 8 Ví dụ 3: Cho . T×m ch÷ sè thø sau dÊu ph¶y cña A. TÝnh ®­îc Ta cã sè chia 18 d­ 8 nªn ch÷ sè thø sau dÊu ph¶y cña A lµ ch÷ sè 7. Bài tập: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia: 1 chia cho 49 b/ 10 chia cho 23 Dạng 7: Tính toán cơ bản trên dãy các phép tính cồng kềnh. Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số: Kiến thức bổ sung cần nhớ: Cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số. Nhận xét: Cách đổi chung: Đổi số tuần hoàn sang số thập phân: mỗi chữ số tuần hoàn là 1 số 9 dưới mẫu (nếu sau dấu phảy có một con số thì thêm 1 chữ số 0 bên phải số 9), trên tử lấy nguyên số trừ phần trước tuần hoàn Ví dụ: 4,(37) = = ; 3,5(26) = Bài tập: Đổi ra phân số: a/ 3,08(078) b/ 0,(123) c/ 4,(35) d/ 2,45(736) e/ 0,8(945) f/ 0,82(345) g/ 0,13(456) h/ 3,15(321) Tính giá trị biểu thức cồng kềnh: Cách 1: Ta ghi vào màn hình biểu thức, hoặc có thể tính từng thành phần sau đó thực hiện tính Cách 2: Sử dụng gán vào các chữ: VD1: Tính giá trị của biểu thức. (Tính chính xác đến 0,000001) a. A = (ĐS:) b. B = (ĐS:) Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh A = Kq: A = 10 Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A =23% cña Kq: A =-109,3409047 Bµi 3: TÝnh a) b) c) Kq: a) A =-0,700213952 B = 1,224443667 C = 0,323640831 Bµi 4: a/ 5% cña A = b/ 5% cña c/ a) KQ = 0,125 b) KQ = 9,1666666667 c) KQ = 4,70833333 Bµi 5: TÝnh Kq: A2,636966185 Bµi 6: TÝnh A = B = 12% cña . BiÕt: Kq: A = 100 Bµi 7: TÝnh chÝnh x¸c ®Õn 0,0001 KQ: N =53,2293 8/ 9/ Tính và làm tròn đến 6 chư4 số thập phân: Dạng 8: Giải phương trình 1/ Phương trình bậc nhất: VD 1: Tìm x. (Tính chính xác đến 0,0001) a. (x = -20,384) Ta gán: cho A; cho B; cho C Ta có A: (x:1,3 + B) = C => x = (A:C – B).1,3 = -20,384 Bài tập: 1/ (x= 6) 2/ Kq: 3/ Kq: x = -1,449181224 4/ Kq: x = 5/ Kq: -0,1630 6/ Kq: -9,7925 7/ Tìm x và làm tròn đến 4 chữ số thập phân: 8/ Tìm y bieát: 2/ Dạng phương trình bậc hai: Ta sử dụng chức năng giải phương trình bậc hai: Bấm MODE chọn đến EQN chọn giải phương trinh bậc hai và nhập các hệ số a, b, c bấm =, = Chuù yù: Khi giaûi baèng chöông trình caøi saün treân maùy neáu ôû goùc traùi maøn hình maùy hieän thì nghieäm ñoù laø nghieäm phöùc Bài tập: Giải các phương trình: a/ (x = ) b/ (x – 4)2 + (2x + 1)2 = 25 – 5x (x = ) c/ 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0 (2308233881; 0,574671173) d/ 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0 (x1 = - 0,873138407, x2 = 1,528193632) e/ 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0 f/ 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0 3/ Phöông trình baäc ba: AÁn nhaäp caùc heä soá a, b, c, d vaøo maùy, sau moãi laàn nhaäp heä soá aán phím giaù trò môùi ñöôïc ghi vaøo trong boä nhôù cuûa maùy tính. Ví duï: Tìm taát caû caùc nghieäm gaàn ñuùng vôùi 5 chöõ soá thaäp phaân cuûa phöông trình x3 – 5x + 1 = 0. Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) AÁn caùc phím Bài tập: a/ x3 + x2 – 2x – 1 = 0 b/ 1.4. 4x3 – 3x + 6 = 0 Dạng 9: Tính toán với đa thức: 1/ Tính giá trị của biểu thức đại số. Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x – 2006 tại a) x = 1; b) x = -2; c) x = ; d) x = ; Cách làm: Gán 1 vào ô nhớ X: Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1 997) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: Rồi dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết quả. (Ghi kết quả là -1 904) Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) ; d) -2006,899966). Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 20Ans2 – 11Ans – 2006 = VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y - y3 tại: a/ x = 2; y = -3. b/ x = ; y = -2 c/ x = y = Cách làm: Gán 2 vào ô nhớ X: Gán -3 vào ô nhớ Y: Nhập biểu thức đã cho vào máy (Ghi kết quả là - 4 ) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: Dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết quả. (Ghi kết quả là 25,12975279) Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết quả là -2,736023521) Bài tập: 1/ Tính khi x = 1,8165 (Kq: 1.498465582) 2/ Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 3/ a. Tính khi x = 1,35627 b. Tính khi x = 2,18567 4/ . Tính ; . Kq: 2/ Tìm dư của 2 đa thức f(x) và g(x) và điều kiện chia hết: a/ f(x) : g(x) thì tồn tại q(x) và r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x). Nếu r(x) = 0 thì f(x) chia hết cho g(x). b/Định lí Bezoul: Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a R trong biểu thức của f(x). Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a). gọi là giá trị của f(x) tại a. Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a. Định lí Bezoul: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là hằng số bằng f(a). VD1: Chia f(x) = x3 + 4x2 - 5 cho g(x) = x – 1. Ta có số dư là f(1) = 13 + 4.12 – 5 = 0 VD2: Chia f(x) = x5 +2x3 – x + 4 cho g(x) = x + 1. Ta có dư f(-1) = (-1)5 +2.(-1)3 – (-1) + 4 = 2 - Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là hằng số bằng f. VD3: Chia f(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 7 cho g(x) = 2x + 1. Ta có số dư là: f VD4: Chia f(x) = 3x4 + 5x3 – 4x2 + 2x – 7 cho g(x) = 4x – 5. Ta có số dư là f * Khi chia ña thöùc P(x) + m cho nhò thöùc ax + b ta luoân ñöôïc P(x) = Q(x)(ax + b) + m + r. Muoán P(x) chia heát cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P() Ví dụ 5: Tìm a ñeå chia heát cho x + 6. Ta có: a = -f(-6) = 222 Ta có thể thực hiện: Ta nhập biểu thức : X4 + 7X3 + 2X2 + 13X +A = 0 Ấn: SHIFT SOLVE = X ? nhập -6 Ấn tiếp: SHIFT SOLVE máy hiện: A = 222. Vậy : a = 222. Ví dụ 6: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho đa thức g(x) = x2 – x – 2. C1: Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư và đặt số dư bằng 0 để tìm k. Ta có: f(x) = (x2 – x – 2)(x2 – 8x + 15) +k +30 = 0 Vậy để f(x) g(x) thì k + 30 = 0. Suy ra k = -30 C2: Ta có g(x) = x2 – x – 2 = x2 – 2x + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1) Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 hoặc x = 2 vào f(x), ta được f(-1) = 0 k = - 30. Ví dụ 7: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. a/ Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9) b/ Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là số nguyên. Giải: Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2. Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25. Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x). Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 62. Suy ra P(6) = 62 + 5! = 156. Tương tự P(7) = 72 + 6! = 769. P(8) = 82 + = 2584. P(9) = 92 + = 6801. b)P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) + x2. P(x) = x5 – 15x4 + 85x3 – 284x2 + 274x – 120. Bài tập: 1/ Tìm soá dö trong pheùp chia: P= (Kq: r = 85,92136979) 2/ Tìm soá dö trong pheùp chia 3/ Cho . Tìm phaàn dö r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 vaø x – 3. Tìm BCNN(r1,r2)? 4/ T×m sè d­ cña phÐp chia : a) (Kq: a) r = 2403 ; b) r = -46 ; c) r = ) 5/ Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a ñeå P(x) + a2 chia heát cho x + 3? Soá dö a2 = - => a = (Kq: a = 27,51363298) 6/ Tìm m để f(x) = 2x4 + 3x2 – 5x + 2005 – m chia hết cho x – 12. (KQ: m = 43849) 7/ Cho đa thức f(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – x + m. a/ Xác dịnh m để f(x) chia hết cho x – 2 b/ Với m tìm được ở câu a. Xác định đa thức thương và số dư của f(x) chia cho x + 3. KQ: a) m = - 46. b)Q(x) = 3x3 – 10x2 + 32x – 97 và r = 245. 8) Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m. a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003. b) Tính giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5 c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu? (Kq: r =2144,406250; b/ m = -141,40625 c/ m = - 46) 9)Cho hai đa thức: P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m. Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n. a) Tìm giá trị của m và n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2. b)Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm được. Hãy chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất. KQ: a/ m = -46, n = -40 b) Ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6. Vì P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 nên R(x) = P(x) – Q(x) cũng chia hết cho x – 2. Do đó ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6 = (x – 2)(x2 + x + 3) Mà x2 + x + 3 = x2 + 2.x + + = (x + )2 + > 0 x ( hay tam thức bậc hai x2 + x + 3 có nên vô nghiệm ) Suy ra R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 2. 10/ Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m. a)Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3. b)Với m tìm được ở câu a. Hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho 3x – 2. c)Với m tìm được ở câu a. Hãy p.tích đa thức P(x) ra tích của các thừa số bậc 1. d)Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x - 2 e)Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích của các thừa số bậc nhất. 11/ Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và cho biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính các giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13). Giải như ví dụ 7: Xét đa thức P(x) = Q(x) – (2x + 3). Ta tính được Q(10) = 3047. Q(11) = 5065. Q(12) = 7947. Q(13) = 11909. 12/ Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). Giải: Đặt Q(x) = 2x2 + 1 . Khi đó Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, Q(5) = 51. Kq : P(7) = 819 ; P(8) = 2649 P(9) = 6883 P(10) = 15321 P(11) = 30483 13/ Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51. Tính giá trị của P(-2) + 7 P(6). Ta tính : P(-2) = 951 và P(6) = 23. Vậy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112. 14/ Cho ®a thøc , vµ lµ phÇn d­ cña phÐp chia P(x) cho Q(x). T×m vµ . 3/ Tìm thương của phép chia đa thức:Trong trường hợp chia một đa thức Pn(x) cho một nhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau: Giả sử khi chia đa thức Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + + a1x + a0 cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + + b1x + b0 thì giữa các hệ số an , an-1 , an-2 , , a1 , a0 và bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ sau đây: bn-1 = an bn-2 = m. bn-1 + an-1 .. . . . .. .. . .. .. . . b0 = m.b1 + a1 và số dư r = m.b0 + a0 an an-1 an-2 a1 a0 m bn-1 = an bn-2 = m.bn-1 + an-1 bn-3 = m.bn-2 + an-2 b0 = m.b1 + a1 r = m.b0 + a0 Ví dụ 1: Tìm thương và số dư của đa thức f( chia cho Ta ghi: 2 0 -3 4 -5 -2 2 -4 5 -6 7 Vậy đa thức thương Q và số dư r = 7 Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức chia cho 3 5 -4 2 -7 3 6 Vậy đa thức Q và số dư r = 6. Bài tập: 1/ Tìm số dư và đa thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau: a/ f(x) = (x4 + x3 + 2x2 – x + 1) và g(x) =(x – 3) b/ f(x) = (x3 – 9x2 – 35x + 7) và g(x) = (x – 12) c/ f(x) = (2x3 + x2 – 3x + 5) và g(x) = (x + 11) d/ f(x) = (4x5 + 3x3 – 4x + 5) và g(x) = (2x + 11) f/ f(x) = (3x4 + 5x3 – 4x2 +2x – 7) và g(x) = ( -3x + 2) g/ (x) = (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) và g(x) = (3x – 1) 4/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử. Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được dưới dạng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)”. “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ thì p là ước của a0, q là ước của a0”. Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có a1 = 1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a0”. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a). Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3. Khi đó ta viết được: x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x3 + 3x2 - 13 x - 15 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1. Khi đó ta viết được: x3 + 3x2 - 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1). Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 11 x - 10 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2. Nên ta biết được đa thức x3 - 5x2 + 11 x - 10 chia hết cho (x - 2). Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3 - 5x2 + 11 x - 10 cho (x - 2) ta có: Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 2). Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x2 - 3x + 5) Tam thức bậc hai x2 - 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa. Vậy x3 - 5x2 + 11 x - 10 = ( x - 2)(x2 - 3x + 5) Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60). Ta có Ư(60) = {1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức: Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - 3). Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20) * Ta lại xét đa thức g(x) = x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20 Nghiệm nguyên là ước của 20. Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {1;2;4;5;10;20} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x): Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5). Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x3 - 3x2 + 6x - 4) Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của h(x) = x3 - 3x2 + 6x - 4 Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1)(x2 - 2x + 4). Ta thấy đa thức (x2 - 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử. Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x2 - 2x + 4) Một số dạng bài tập: Bài tập 1: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1) (Kq: P(x) = (2x - 1).) Bµi 2: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®a thøc P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hÕt cho Q(x) = 3x +2 Bµi 3: Cho hai ®a thøc P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. T×m m, n ®Ó hai ®a thøc trªn cã nghiÖm chung Bµi 4: Chia x8 cho x + 0,5 ®­îc th­¬ng q1(x) d­ r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 ®­îc th­¬ng q2(x) d­ r2. T×m r2? () Bài 5: Cho P(x) = . Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5. Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân. Bài 6: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3 (Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân) Dạng 10: Toán liên phân số Ví dụ 1: Biểu diễn A ra dạng phân số thường và số thập phân: Ví dụ 2: Tính a, b biết (a, b nguyên dương) Bài tập: 1/ Biểu diễn B ra phân số 2/ Tính a, b biết (a, b nguyên dương) (a = 7; b = 2) 3/ Biểu diễn M ra phân số: