Tài liệu dạy ôn của câu lạc bộ Toán THCS - Buổi 7: Tính chất chia hết của một tổng

GV: Dương Tiến Mạnh Ngày dạy: Buổi 7 tính chất chia hết của một tổng a. mục tiêu Củng cố cho học sinh hai tính chất chia hết của một Vân dụng hai tính chất đó vào giải bài tập. b. nội dung Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho M 45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để M 45 Û M 5 và 9 Xét M 5 Û b ẻ {0 ; 5} Nếu b = 0 ta có số M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9 ị a + 11 M 9 ị a = 7 Nếu b = 5 ta có số M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9 ị a + 16 M 9 ị a = 2 Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560 a = 2 và b = 5 ta có số 2560 Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó chia hết cho 9. Giải Gọi số đã cho là a Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư ị 5a - a M 9 ị 4a M 9 mà (4 ; 9) = 1 ị a M 9 (Đpcm) Ví dụ 3: CMR số M 81 Giải Ta thấy: 111111111 M 9 Có = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) Mà tổng 1072 + 1063 + … + 109 + 1 có tổng các chữ số bằng 9 M 9 ị 1072 + 1063 + … + 109 + 1 M 9 Vậy: M 81 (Đpcm) Bài tập tương tự Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho a. M 4 và 9 b. M 17 Bài 2: Cho số N = CMR a. N M 4 Û (a + 2b) M 4 b. N M 16 Û (a + 2b + 4c + 8d) M 16 với b chẵn c. N M 29 Û (d + 2c + 9b + 27a) M 29 Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó. Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A = 192021…7980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao? Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao? Bài 6: Chứng tỏ rằng số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Hướng dẫn - Đáp số Bài 1: a. x = và y = 2 x = và y = 6 b. = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)M17 Û x = 2 Bài 2: a. NM4 Û M4 Û 10b + aM4 Û 8b + (2b + a) M4 ị a + 2bM4 b. NM16 Û 1000d + 100c + 10b + aM16 Û (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) M16 ị a + 2b + 4c + 8dM16 với b chẵn c. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - M29 mà (1000, 29) =1 M29 ị (d + 3c + 9b + 27a) M29 Bài 3: Gọi là số có 2 chữ số Theo bài ra ta có: = 10a + b = 2ab (1) M2 ị b ẻ{0; 2; 4; 6; 8} thay vào (1) a = 3; b = 6 Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 M 4 và 5 ị AM 4 và 5 Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Có 279 + 279 = 558 M 9 ị A M 9 279 - 279 = 0 M 11 ị A M 11 Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2. Có 46 số tự nhiên liên tiếp ị có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ ị tổng 23 cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46. Bài 6: Có = Mà = 3. ị = (Đpcm)