Tài liệu dạy tự chọn môn toán 8 - Chủ đề I: Tìm cách giải và trình bày lời giải bài toán chứng minh hình học

Chủ đề I: tìm cách giảI và trình bày lời giảI bài toán Chứng minh hình học Thời lượng 6 tiết I/ Mục tiêu: */ Cung cấp cho HS những kỹ năng chứng minh HH cơ bản ( Đọc đề – Vẽ hình- Tìm hiểu đề và định hướng lời giải – Trình bày lời giải – Khai thác kết quả và mở rộng thành bài toán mới – Các loại câu hỏi HH ) */ Làm quen với một số phương pháp chứng minh HH Lưu ý Đối với các bài toán phải kẻ thêm đường phụ dây là những bài toán khó Giáo viên có thể tuỳ theo khẳ năng của HS mà tìm cách giảm yêu cầu về tư duy hay kỹ năng bằng cách thay đổi loại hình câu hỏi, tăng số lượng câu hỏi gợi ý trong bài, đưa đường phụ vào trong giả thiết.... Tiết 1: Vấn đề 1 : Phương pháp tìm lời giải bài toán hình học I.Mục tiêu : thông qua các bài toán điển hình thầy giaó trang bị cho học sinh những thao tác tư duy khi giải bài toán hình học . Hình thành tư duy thuật toán cho học sinh . II. Các bài toán điển hình A/ Đọc đề – Tìm hiểu đề và định hướng lời giải Ví dụ 1/ Cho tam giác cân ABC tại A. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC, Hạ ME và MF vuông góc với AB và AC. Gọi BH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng ME + MF = BH Phân tích Hướng dẫn HS đọc đề: -Đọc từng câu ghi nội dung bằng kí hiệu và trả lời câu hỏi: “ GT này còn cho ta thêm điều gì ?” - Ghi kết quả khai thác -Đọc kết luận và trả lời câu hỏi : “ Kết luận này có nghĩa là gì ? còn có thể hiểu theo những nghĩa nào khác không ? có thể có quan niệm khác về các yếu tố trong kết luận không ? - Tiếp tục khai thác GT Nếu cần Ví dụ: “ Tam giác ABC cân tại A à AB =AC , Góc B = Góc C .... ME và MF vuông góc với AB và AC ( chưa biết khai thác được gì...) BH là đường cao thuộc cạnh bên à Hai đường cao thuộc hai cạnh bên bằng nhau KL: ME + MF = BH có nghĩa là: C1 / Tổng hai đoạn ME và MF bằng BH à Cần tiến hành cộng hai đoạn này ( hình H2 ) C2 / Đoạn BH được chia thành hai đoạn ME và MF à Cần chia đoạn BH một đoạn bằng MF đoạn còn lại C/m bằng ME ( hình H2 ) C3 / Quan niệm ME , MF là hai đường cao của hai tam giác à cần C/m tổng hai đường cao của hai T/g bằng đường cao của T/g thứ ba à chọn diện tích là trung gian ....... */ Chọn C2 ta có cách giải sau: ( chọn điểm D có thể đặt đoạn HD = MF hoặc hạ MD vuông góc với BH) Hạ MD vuông góc với BH à MDHF là hcn à MF = HD và T/g BEM = T/g MDB à BE = BD à ME + MF = BH */ Chọn C1 ta có cách giải sau: ( chọn điểm Q có thể đặt đoạn MQ = ME hoặc hạ BQ vuông góc với MF ) */ Chọn C3 ta có cách giải sau: Vì M thuộc đoạn BC nên dt( ABM) + dt( ACM) = dt( ABC) ú AB. ME + AC. MF = AC. BH ú ME + MF = BH ( vì AB =AC ) B/ Đề xuất bài toán mới từ một bài toán đã giải được Có nhiều cách đề xuất bài toán mới Ví dụ: 1/ Thay đổi loại hình câu hỏi ( đổi KL) 2/ Đặc biệt hoá hình cơ sở ( như bài trên thay ABC là T/g đều) 3/ Xét hình cơ sở tổng quát (như bài trên thay ABC là T/g thường à KL mới) 4/ Giữ hình cơ sở nhưng thay đổi một vài vị trí của một số yếu tố trong bài (như bài trên thay M trên cạnh BC bằng M thuộc đường thẳng BC à KL mới) Ví dụ Sau khi đã giải xong bài toán trên GV có thể đề xuất một số bài toán như sau: Bài1/ (Thay đổi loại hình câu hỏi) Cho tam giác cân ABC tại A. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC, Hạ ME và MF vuông góc với AB và AC. Chứng minh rằng ME + MF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC Bài 2/ (Giữ hình cơ sở nhưng thay đổi một vài vị trí của một số yếu tố trong bài) Cho tam giác cân ABC tại A. M là điểm bất kỳ trên tia đối tia BC, Hạ ME và MF vuông góc với AB và AC. Gọi BH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng M - ME = BH Bài 3/ (Xét hình cơ sở tổng quát) Cho tam giác ABC có A B > AC. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC, Hạ ME và MF vuông góc với AB và AC. Gọi BH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng ME + MF < BH Bài 4/ (Đặc biệt hoá hình cơ sở) Cho tam giác ABC đều. M là điểm bất kỳ trong T/g, Hạ ME ; MF và MG vuông góc với AB ;AC và BC. Gọi BH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng ME + MF + MG = BH ...... Tiết 2: Vấn đề 2: Phương pháp giải các bài toán có nhiều hình vẽ I. Bài toán có nhiều hình vẽ A. Mục tiêu : Trong quá trình giải bài tập HH chúng ta thường gặp bài toán có nhiều trường hợp hình vẽ. Đây là một vấn đề khó đối với HS nhưng những bài toán này luôn đem lại hứng thú cho HS đồng thời là những bài tạp rèn tư duy tổng hợp và trừu tượng đặc biệt là tính linh hoạt sáng tạo rất tốt. 1/ Nguyên nhân gây ra bài toán có nhiều trường hợp hình thông thường do việc xác định vị trí của các đối tượng HH không rõ ràng điển hình là ở trong các bài toán “ cộng góc”, “ cộng đoạn thẳng” , “cộng diện tích”... đòi hỏi phải biết vị trí tia nằm giữa hai tia, điểm nằm giữa hai điểm, điểm nằm trong một hình, Trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn-tù- vuông nằm trong; nằm ngoài hay nằm trên cạnh tam giác... 2/ Cách trình bày lời giải: Cách 1/ Trình bày mỗi trường hợp hình là một bài toán riêng Cách 2/ Trình bày phần chung ( luôn luôn đúng trong các trường hợp) sau đó trình bày các phần riêng của từng trường hợp Cách 3/ Trình bày theo suy luận tương tự ( đánh giá vai trò như nhau của các đối tượng HH) (H1) (H2) (H3) Ví dụ 1/ Cho tam giác ABC không vuông có các đường cao AD, BE, CF trực tâm H. Cho biết AH = BC tính góc BAC HD/ Đây là bài toán có liên quan đến trực tâm mà không rõ tam giác ABC là tam giác nhọn hay tù nên đương nhiên ta phải xét các trường hợp hình theo việc định dạng tam giác ABC . Trong bài này thì đỉnh B và đỉnh C có vai trò như nhau Nên chỉ còn ba trường hợp T/h 1 tam giác ABC nhọn (hình H1) T/h 2 tam giác ABC tù tại B hoặc C ( hình H2) , T/h 3 tam giác ABC tù tại A ( hình H3) Cách trình bày lời giải 1: T/h 1 – hình H1 ta có: T/g AHE và T/g BCE vuông tại E và AH = BC . HAE = EBC ( cùng phụ với BCA) à T/g AHE = T/g BCE ( c.h – g.n) àAE = BE à T/g BAE vuông cân tại E à BAC = 450. T/h 2 – hình H2 ta có: T/g AHE và T/g BCE vuông tại E và AH = BC . HAE = EBC ( cùng phụ với BCA) à AE = BE à T/g BAE vuông cân tại E à BAC = 450. T/h 3- Hình H3 ta có: T/g AHE và T/g BCE vuông tại E và AH = BC . HAE = EC B ( cùng phụ với AHC) à T/g AHE = T/g CBE à AE = CE à T/g ECA cân vuông tại E à ECA = 450 à BAC =1350 Cách trình bày lời giải 2 Trong cả ba trường hợp hình vẽ H1, H2, H3 ta đều thấy: T/g AHE và T/g BCE vuông tại E và AH = BC (*) T/h 1/ và T/h 2 ta có HAE = EBC ( cùng phụ với BCA) . Kết hợp với (*) à T/g AHE = T/g BCE ( c.h – g.n) àAE = BE à T/g BAE vuông cân tại E à BAC = 450 T/h 3 Ta có HAE = EC B ( cùng phụ với AHC) .Kết hợp với (*) à T/g AHE = T/g CBE à AE = CE à T/g ECA cân vuông tại E à ECA = 450 à BAC =1350 Cách trình bày lời giải 3 T/h 1 – hình H1 ta có: T/g AHE và T/g BCE vuông tại E và AH = BC . HAE = EBC ( cùng phụ với BCA) à T/g AHE = T/g BCE ( c.h – g.n) àAE = BE à T/g BAE vuông cân tại E à BAC = 450. T/h 2 Lời chứng minh hoàn toàn như trường hợp 1 T/h 3 Ta thấy Điiểm A trong hình 1 có vai trò như điểm H trong hình H2, Điểm H tronh hình H1 có vai trò như điểm A trong hình H2 nên tương tự T/h 1 ta có T/gEHA = T/g EBC à EA =EC à T/g ECA cân vuông tại E à ECA = 450 à BAC =1350 Nhận xét: Mỗi cách trình bày có một thế mạnh riêng, cách trình bày 1 là đơn giản nhất , ít maqức sai lầm Cách trình bày 2/ đòi hỏi phải có khả năng tổng hợp và lựa chọn cách chứng minh hợp lý thuận lợi cho nhiều T/h hình Cách trình bày 3 rất khó trình bày đòi hỏi tính sáng tạo rất cao đồng thời phải rất nhuần nhuyễn khi chứng minh. Tiết 3 Vấn đề 3: Biến đổi đại số trong hình học A . Mục tiêu ứng dụng trong các bài toán tính số đo góc, chứng minh góc bằng nhau, chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh các hệ thức HH, các bất đẳng thức HH Cơ sở của PP là: Xuất phát từ một hệ thức đúng , dùng các kỹ năng biến đổi đại số như: thay thế , rút gọn... thông qua pp này cho học học sinh nhìn được sự liên kết hình học và đại số B. Bài toán điển hình Ví dụ 1/ Cho tam giác ABC , Gọi AD, BE , CF là các đường phân giác của T/g ABC chúng cắt nhau tại Q. Hạ QG vuông góc với AB a/ Chứng minh rằng góc BQC = 900 + 1/2 A b/ Chứng minh rằng 2AG = AB + AC - BC HD a/ Mục tiêu biến đổi là “ chuyển từ Góc BQC về góc A” ta xuất phát từ một đẳng thức có chứa góc BQC b/ Mục tiêu biến đổi là “ chuyển từ AG về AB, AC, BC ” ta xuất phát từ một đẳng thức có chứa AG là: AG = AB – BG tới đây cần chuyển đoạn BG ta hạ QI vuông góc với BC --> BG = BI ta có AG = AB – BG = AB – BI = AB – ( BC – CI) = AB – BC + CI = AB – BC + CH = AB – BC + CA – CH hay AG = AB – BC + AC – AG --> 2AG = AB – BC + AC Ví dụ 2/ Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD , Chứng minh rằng BC + AD > AB + AC HD/ Từ T/c của T/g vuông ta có các hệ thức BC2 = AB2 + AC2 và dt(ABC) = AB.AC = BC. AD (*) Có: BC + AD > AB + AC > AB + AC (BC + AD)2 > (AB + AC)2 BC2 + 2BC.AD + AD2 > AB2 + 2AB.AC + AC2 đúng theo (*) ****************************************************************** Tiết 4 :Vấn đề 4 Phản chứng- chứng minh gián tiếp ( “ Điểm giả- Điểm thật”) Mục tiêu : Nhằm xây dựng cho học sinh pp chứng minh hình học mới , rèn luyện tư duy linh hoạt trong chứng minh hình học . Các bài toán điển hình Ví dụ1/ Cho hình vuông ABCD ( 4 cạnh bằng nhau, 4 góc vuông) Lấy điểm G thuộc cạnh BC , E thuộc cạnh DC . Chứng minh rằng GA là phân giác của góc BGE khi và chỉ khi góc GAE = 450. HD/ -->) Giả sử GA là phân giác của góc BGE hạ AQ vuông góc với GE thì C/m được AG là phân giác của góc BAQ và AG =AB --> T/g AGQ = T/g ADE --> AE là phân giác của QAD --> GAE = GAQ + QAE = 1/2 BAQ + 1/2 QAD = 1/2 BAD = 450 GAE = GAE’ mà E và E’ cùng phía đối với AG nên tia GE trùng với GE’ , E và E’ cùng thuộc cạnh DC nên E trùng E’. Ví dụ 2/ Cho hình vuông ABCD ( 4 cạnh bằng nhau- 4 góc vuông). Lấy điểm E trong hình vuông sao cho EAB = EBA Chứng minh rằng T/g CDE đều khi và chỉ khi EAB = EBA = 150 à ) Giả sử T/g EDC đều à AD = ED = EC = BC à T/g ADE cân tại D và ADE = 300 à DAE = 750 à EBA = 150, tương tự có EBA = 150 à ò) Giả sử EAB = EBA = 150 (1) . Lấy điểm E’ trong hình vuông sao cho T/g E’DC đều . Theo C/m trên thì E’BA = 150, và E’BA = 150 (2). Lại có E và E’ cùng một nửa mặt phẳng bờ AB (3). Từ (1); (2); (3) ta có E trùng với E’ hay T/g EDC đều. Nhận xét: Ví dụ 1 việc chứng minh E trùng với E’ thành công là do điểm E xác định duy nhất theo t/c góc GAE = 450 và E trên cạnh BC Ví dụ 2 việc chứng minh E trùng với E’ thành công là do điểm E xác định duy nhất theo t/c điểm E trong hình vuông sao cho EAB = EBA = 150 E/ Bài tập áp dụng Bài 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A , trung tuyến AD. M là một điểm bất kỳ trên đoạn BC, đường thẳng Mx song song với AD, Mx cắt AB và AC tại E và F. Chứng minh rằng ME + MF = BC Bài 2/ Cho hình bình hành ABCD, Vẽ ra ngoài hình bình hầnhBCD các tam giác đều ABE và ADF . Chứng minh rằng CE = CF và Tam giác CEF là tam giác đều. Bài 3/ Cho tam giác ABC, các đường phân giác góc ngoài đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại I . Chứng minh rằng góc AIC = 1/2 góc ACB Bài 4/ Cho tứ giác ABCD có góc A + góc C = 1800 , AD cắt BC tại E và AB cắt DC tại F. Các đường phân giác của góc DEC và góc DFA cắt nhau tại I. Tính góc EIF. Bài 5/ Cho góc xOy = 600 , phân giác Om. Lấy M thuộc Om , hạ MA và MB vuông góc với Ox và Oy. Gọi K là một điểm thuộc đoạn OB và H thuộc tia đối tia AO. Chứng minh rằng Nếu một trong các khẳng định sau đúng thì các khẳng định còn lại đều đúng. Khẳng định 1/ AH = KB Khẳng định 2/ Tam giác MHK cân tại M Khẳng định 3/ góc HMK = 1200 Khẳng định 4/ AB cắt KH tại trung điểm của KH Bài 6/ Cho góc xOy = 600 , phân giác Om. Lấy M thuộc Om , hạ MA và MB vuông góc với Ox và Oy. Gọi K là một điểm thuộc đoạn MA và E thuộc đoạn MB . Chứng minh rằng KO là phân giác của góc AKE khi và chỉ khi góc KOE = 300 Chủ đề II: Dựng hình bằng thước và compa Thời lượng 3 tiết Thời gian dạy sau tuần 7 I/ Mục tiêu - Giúp HS hiểu thế nào là bài toán dựng hình bằng thước và compa; thực hiện tốt bốn bước của bài toán dựng hình - Rèn luyện cho HS biết cách phân tích bài toán bước đầu biết kẻ thêm đường phụ tạo ra hình có thể dựng được, - Giúp HS có kỹ năng trình bày một bài toán dựng hình II/ Nội dung A/ Những vấn đề lý thuyết cơ bản a/ Tác dụng của thước và compa - Tác dụng của thước: */ Dựng đường thẳng và một bộ phận của đường thẳng */ Lấy giao của một đường thẳng hoặc một bộ phận của đường thẳng với một hình khác - Tác dụng của Compa */ Dựng đường tròn và cung tròn */ Lấy một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước */ Lấy giao của một đường tròn với một hình đã có b/ Các bài toán dựng hình cơ bản ( đã dựng được – không cần trình bày lại các bước dựng trong bài luận) 1/ Các hình đã cho là dựng được 2/ Dựng đường thẳng đi qua hai điểm 3/ Dựng trung trực của một đoạn và trung điểm của một đoạn 4/ Dựng đường tròn khi biết tâm và bán kính hoặc biết đường kính hoặc ngoại tiếp một tam giác 5/ Lấy giao của hai đường đã có 6/ Dựng tam giác trong các trường hợp C-G –C ; G-C-G ; C-C-C ; C.h- G.n ; C.h-C.g.v 7/ Dựng phân giác của một góc 8/ Dựng dường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng khác. 9/ Dựng một góc (một đoạn) bằng một góc(một đoạn) cho trước hay biết số đo 10/ Lấy đối xứng trục ( tâm) của một hình đã biết khi biết trục ( tâm ) đối xứng B/ Yêu cầu trình bày của một bài toán dựng hình. * Bước phân tích: ( đảm bảo tính không thiếu các hình mà ta dựng ) Trình bày vắn tắt những suy luận dẫn tới cách dựng * Bước dựng hình: nêu thứ tự các bước dựng hình dựa vào các phép dựng hình cơ bản đồng thời thể hiện các bước dựng đó trên hình vẽ Lưu ý: Mỗi bước dựng hình chỉ nên dựng một hình ( có thể dựng nhiều hình trong một bước nếu các hình này chắc chắn dựng được và chỉ có một nghiệm hình duy nhât) * Bước Chứng minh ( đảm bảo tính không thừa của các hình mà ta dựng )dùng lập luận chứng tỏ rằng với cách dựng hình như trên thì hình dựng được thoả mãn yêu cầu bài Lưu ý: Giả thiết lấy từ cách dựng – Kết luận là yêu cầu bài * Bước Biện luận: Chỉ rõ trong trường hợp nào thì bài toán dựng được và có bao nhiêu nghiệm hình Lưu ý: + cách biện luận đơn giản nhất là biện luận theo từng bước dựng hình và mỗi bước đó trả lời hai câu hỏi “ 1/ ở bước này với điều kiện nào thì dựng được? 2/ Nếu dựng được thì có bao nhiêu hình? + Nếu bài toán không qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình dã cho thì những hình bằng nhau ( chỉ khác nhau về vị trí ) thoả mãn ĐK bài thì được coi là một nghiệm hình, còn nếu bài toán có qui định về vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì mỗi vị trí của hình phải tìm được xem là một nghiệm hình B/ Các phương pháp cơ bản Phương pháp 1/ Dựng hình lấy tam giác làm cơ sở đay là một phương pháp được sử dụng nhiều trong chương trình HH lớp 7 và lơp 8. Cơ sở của phương pháp này là “ Tìm cách tạo ra một tam giác dựng được – từ đó đưa việc dựng các yếu tố còn lại về các phép dựng hình cơ bản” Cần lưu ý các trường hợp dựng được của tam giác là C-G –C ; G-C-G ; C-C-C ; C.h- G.n ;C.h-C.g.v và một trường hợp đặc biệt G- C- C ( có thể có 0; 1; 2 nghiệm) Ví dụ 1 Dựng tam giác ABC biết đường cao AE = 4cm; Trung tuyến AD = 5cm; AC = b BG/ 1/ Phân tích: Giả sử bài toán đã dựng được ta nhận thấy T/g AED dựng được ngay khi đó C là giao của (A; b) với DE từ đó dễ dàng dựng được B 2/ Cách dựng: B1 - Dựng tam giác ADE ( có AE = 4 cm; AD = 5 cm; AED = 900) B2 - Dựng (A; b) B3 - Lấy C là giao của (A; b) và ED B4 - Lấy B sao cho D là trung điểm của BC Tam giác ABC là cần dựng 3/ Chứng minh: Từ B1 và B4 ta có đường cao AE = 4 cm và trung tuyến AD = 5 cm của T/g ABC Từ B3 à AC = b và A; B; C không thẳng hàng Vậy T/g ABC dựng được thoả mãn yêu cầu bài 4/ Biện luận: ở bước B1 ; B2 ; B4 luôn dựng được và có một nghiệm hình à số nghiệm bài toán phụ thuộc vào bước B3 Nếu b> 4 thì B3 có hai nghiệm nên bài toán có hai nghiệm hình Nếu b = 4 thì B3 có một nghiệm nên bài toán có một nghiệm hình Nếu b< 4 thì B3 vô nghiệm nên bài toán vô nghiệm hình Nhận xét T/g AED dựng được chính là cơ sở để ta dựng được điểm C và B Ví dụ 2/ Dựng hình thang ABCD biết hai đáy AB = 2cm; CD = 4cm; hai đường chéo AC = 4 cm; BD = 3,5 cm 1/ Phân tích Giả sử bài toán đã dựng được, kẻ BE // AC ( E thuộc DC ) thì EC = AB = 2 và BE = AC = 4 à T/g BDE dựng được ngay từ đó dễ dàng dựng được hình thang ABCD. 2/ Cách dựng: B1/ Dựng tam giác DBE ( có DB = 3,5cm; BE = 4 cm; DE = 6cm) B2/ Dựng dường thẳng Bx // DE B3/ Trên Bx , ở nửa mặt phẳng bờ BE có chứa D lấy A sao cho AB = 2cm B4/ Dựng Am // BE và lấy giao của Am với DE là C Hình ABCD là cần dựng 3/ Chứng minh: Từ B3 và B4 ta có tứ giác ABCD và tứ giác ABCD là hình thang Từ B2 và B4 à ABEC là hbh à CE = AB = 2 cm và AC = BE = 4 cm BD = 3,5 và CD = DE – CE = 4 cm ( từ B1) Vậy hình đã dựng được thoả mãn yêu cầu bài 4/ Biện luận ở các bước B1; B2 ; B3 ; B4 luôn dựng được và có một nghiệm hình nên bài toán luôn dựng được và có một nghiệm hình.s Phương pháp 2/ Dựng hình bằng quỹ tích tương giao Cơ sở của phương pháp này là “ Để dựng điểm M thoả mãn hai t/c T1 và T2 thì: từ T1 và T2 ta tìm ra 2 quĩ tích của M là Q1 và Q2 à M là giao của Q1 và Q2” Ví dụ 1/ Cho đoạn thẳng BC = 6 cm và một đường thẳng m song song với BC cách BC một khoảng 2 cm. Dựng điểm A trên m sao cho T/g ABC vuông tại A 1/ Phân tích: Ta thấy Tam giác ABC vuông tại A nên A thuộc đường tròn tâm O đường kính BC ( vẽ trung tuyến AO ) à A là giao của (O) và m 2/ Cách dựng: 3/ C/m 4/ Biện luận Nhận xét Phương pháp này là bản chất của các phương pháp khác. đặt vấn đề coi đây là một phương pháp riêng chỉ nhằm mục đích ch HS dễ nhận biết mà thôi. phương pháp này đề cập nhiều ở lớp 8 và đặc biệt ở lớp 9. Ta có thể sử dụng tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm và một số phép biến hình khác để tìm quỹ tích của một điểm chẳng hạn trong ví dụ sau: Ví dụ 2/ Cho đoạn thẳng AB và hai đường thẳng phân biệt m; k ( AB không thuộc m và k). Dựng hình thang cân ABCD ( AB // CD )sao cho C thuộc m và D thuộc k 1/ Phân tích: Giả sử bài toán đã dựng được ta nhận thấy x là trục đối xứng của hình thang dựng được ngay. Do C đối xứng với D qua x và C thuộc m nên D thuộc m’ đối xứng với m qua x từ đó ta có cách dựng sau: 2/ Cách dựng: b1/ dựng x là trung trực của AB b2/ Dựng m’ đối xứng với m qua x b3/ Lấy giao của m’ và k là D b4/ Lấy C đối xứng với D qua x Hình BACD là cần dựng. 3/ Chứng minh: Từ b1 và b4 à ABCD là hình thang có trục đối xứng là trung trực hai đáy nên hình thang ABCD là hình thang cân Từ b3 à D thuộc k và D thuộc m’ đối xứng với m qua x, mà C đối xứng với D qua x nên C thuộc m 4/ Biện luận/ Các bước b1, b2, b4 luôn dựng được và có một nghiệm hình nên số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào bước b2 và D ở bước này có thuộc AB hay không. Bài toán có thể có 0; 1 hay vô số nghiệm nếu m’ và d không cắt nhau hoặc cắt nhau trên AB; Cắt nhau tại một điểm hay trùng nhau. Nhận xét ở đây ta sử dụng T/c “ a đối xứng với m qua x, B đối xứng với C qua x. B thuộc a khi và chỉ khi C thuộc m” để xác định quỹ tích của các điểm. Bài tập áp dụng ( Tài liệu dạy học theo các chủ đề – BGD) Chủ đề III: Biểu thức đại số Thời lượng 6 tiết Thời gian dạy sau tuần 10( phần BT nguyên) và sau tuần 19 (phần phân thức) I/ Mục tiêu: Giúp HS thành thạo các kỹ năng thực hiện phép tính trên các biểu thứ đại số ( chủ yếu là biểu thức nguyên- đa thức). - Giúp HS linh hoạt và sáng tạo khi sử dụng các HĐTĐN, phân tích đa thức thành nhân tử ... - HS giải quyết được một số dạng toán đòi hỏi kỹ năng và tư duy tốt khi vận dụng các T/c đã học từ đó nâng cao khả năng tư duy cho HS. II/ Nội dung A/ Những vấn đề lý thuyết cần lưu ý a/ Bổ sung hằng đẳng thức: 1/(a+b+c)2 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 2/a3 + b3 = ( a+b)3 - 3ab 3/( a+b)2 + ( a-b)2 = 2(a2 + b2) --> (a+b)2 2(a2+b2) với mọi a,b - đẳng thức xảy ra khi a = b 4/ (a + b)2 - (a-b)2 = 4ab --> (a+b)2 4ab 5/ A2 + B2 = 0 khi và chỉ khi A =B = 0 Bài 1/( Bài toán khai triểnvà rút gọn) Rút gọn các biểu thức sau: A = ( 2x - 3y)(2x + 3y)( 4x2 + 9y2) - 16x4 B = ( 2x + y)( -4x2 + 2xy - y2) + 4(x2 - y2) C = (2x +1)3 + (2-2x)3 - 8x D = ( a+ b +c)2 + ( a+ b -c)2 + ( a- b +c)2 + (- a+ b +c)2 – 4( a2 + b2 + c2) Bài 2/ ( Bài toán tính giá trị biểu thức có điều kiện ràng buộc của các biến) a/ Ví dụ: Cho x thoả mãn x2 - x = 3. Tính M= x4 - 2x3 + 3x2 -2x - 10 Cách 1/ Từ ĐK biến đổi làm xuất hiện một phần điều kiện của biể thưc: Ta có: x2 - x = 3 --> (x2 - x)2 = 9 --> x4 - 2x3 + x2 = 9 (*) Lại có M = M= x4 - 2x3 + 3x2 -2x - 10 = x4 - 2x3 + x2 + 2x2 -2x -10 = 9 +2(x2 - x) -10 = 9 + 2. 3 -10 = 5 Cách 2/ Từ biểu thức biến đổi làm xuất hiện điều kiện hoặc một phần điều kiện Ta có M= x4 - 2x3 + 3x2 -2x - 10 = (x4 - x3 ) - (x3 - x2) + 2( x2 -x) -10 = x2(x2 -x) -x(x2 -x) + 2.3 -10 = x2.3 - x.3 - 4 = 3(x2 -x) - 4 = 5 Lưu ý: ta có thể biến đổi ĐK bằng cách giải ĐK tìm giá trị của biến và thay số hoặc biến đổi ĐK theo một dạng khác: Ví dụ Từ x2 - x = 3 --> x2 - x + 1 = 4 --> (x2 - x + 1)2 = 16 --> x4 + x2 + 1 -2x3 + 2x2 - 2x =16 --> x4 - 2x3 + 3x2 -2x - 10 = 5 hay M=5 b/ Bài tập Bài 2.1 Cho x thoả mãn x2 -2x -2 = 0. Tính A = x4 + 2x2 - 4x3 + 4x - 17 Bài 2.2 Cho a, b, c thoả mãn a + b+ c = 0. Tính giá trị các biểu thức sau: I = b(a+c)2 + c(a+c)2 + abc G = (a+b)2 ab + (a+c)2 ac + (b+c)2 bc F = a3 + a2c – abc + b2c + b3 E = a3 + b3 + c3 - 3abc H = (a2 + b2 - c2)2 c + (a2 + c2 - b2) b + 4a3bc K = (a2 + b2 + c2)2- 2(a4 + c4 + b4) Bài 2.3/ Cho a và b thoả mãn a + b = 3 và a.b =1. Tính a2 + b2 , a3 + b3, a4 + c4 ; ( a +2)(b+2) Bài 3/ Viết các biểu thức sau thành tổng các bình phương các biểu thức: Ví dụ: A= x2 - 2xy + 3y2 - 4y + 2 = (x -y)2 + 2(y-1)2 B = x2 - 4xy + 5y2 + 6y + 9 C = x2 - 3x + 5 ( Mục đích của bài này là cho HS có kỹ năng Viết các biểu thức thành tổng các bình phương các biểu thức trongcác bbài toán tìm x , y... khi đưa về dạng tổng không âm bằng không, bài toán xét dấu của một biểu thức + chứng minh bất đẳng thức + tìm giá trị lớn nhát, nhỏ nhất; rút gọn BT chứa căn bậc 2.. v . v.) Bài 4/ Tìm x , y biết a/ x2 - 2xy + 3y2 - 4y + 2 = 0 b/ x2 + xy + y2 + 3y + 3 = 0 Bài 5/ Chứng minh rằng: a/ x2 - 2x + 2 > 0 b/ x2 + 4xy + 5y2 0 c/ x2 - 3x + 3 > 0 Bài 6/ a/ Cho a; b; c thoả mãn a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0.Chứng minh rằng a =b =c b/Cho a; b; c thoả mãn 4a2 + 5b2 + c2 =4 ab +4bc.Chứng minh rằng c = 2b = 4a Bài 7/ a/ Tính giá trị biểu thức Q = ( 2ab2 + b3) : (a2b + a3) biết 3a2 +3b2 = 10ab (a,b khác 0) b/ Tính M = (5a - 3b + 4c)(5a - 3b- 4c) - (3a -5b)2 biết a2 = b2 + c2 c/ Tính H = x100.y100 + 298.y biết x2 +xy + y2 + 3y + 3 = 0 Bài 8/ a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: A = x2 + 4x + 6 B = x2 - 6xy - 4y + 10y2 + 12 C* = 3x2 - 4x + 1 b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E = - 4x2 + 4x - 3 F = 13 - 2x2 + 4y + 4xy - 3y2 Phần bài tập về phân thức 1/ Thực hiện dãy phép tính: Bài 1/ Cho biểu thức : a/ Rút gọn A b/ Cmr A> 0 với mọi giá trị của a > 0 Bài 2/ Cho a/ Rút gọn B b/ Chứng minh rằng B> 4 nếu a,b là các số dương khác nhau thoả mãn a + b =1. Bài 3/ Cho a/ Rút gọn M b/ Tính giá trị của M khi x thoả mãn c/ Tìm x để M > 0 d/ Tìm x nguyên để M đạt giá trị nguyên 2/ Tính giá trị biểu thức có điều kiện ràng buộc của các biến Bài 4/ Cho a, b, c thoả mãn Bài 5/ Cho a, b, c thoả mãn Bài 5/ Rút gọn phân thức sau Bài 6/ Cộng các phân thức Bài7/ thu gọn phép tính Bài 8/ Thực hiện các phép tính sau Bài 9/ 1/ Trong các trường hợp có thể hãy viêt các phân thức sau đây ở dạng tổng của hai phân thức : 2/Với giá trị nào của A, B ta có các đồng nhất thức : 3/ Cho biết Tính tổng Bài10/ Thu gọn các phép tính sau đây Bài 11. 1/ Cho xyz = 1 . Tính 2/ So sánh với 3/ Một học sinh đã thu gọn phân thức như sau : Kết quả trùng với đáp số .Hãy giải thích tại sao kết quả trùng với đáp số 4/ Cho P= a/ Thu gọn P b/ Với các giá trị tự nhiên nào của p , x thì P có gí trị nguyên Bài 12/ Thu gọn các phép tính sau Với a + b + c = 0 Bài 13/ Thu gọn các biểu thức sau đây Bài 14/ Chứng minh các đẳng thức sau : Bài 15/ Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức sau là một số nguyên : Bài 16/ Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng không : Bài 17/ Cho biểu thức : a/ Tìm điều kiện của x để giá trị của M được xác định b/Tìm giá trị của x để biểu thức M có giá trị bằng c/ Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 1 d/ Tính giá trị của khi Bài18/ Tìm điều kiện của biến để giá trị của mỗi biểu thức sau xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến Bài 19/ Cho biểu thức : a/ Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức sau xác định b/ Tìm giá trị của A với x = 2005 c/Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng – 1002 Bài 20/ Chứng minh rằng : a/ Với mọi x khác 1 biểu thức : luôn có giá trị dương b/ Với mọi x , biểu thức : luôn có giá trị âm Bài21/ a/ Cho y > x >0 và Tí