Tài liệu luyện thi vào lớp 10 THPT chuyên toán

Tài liệu luyện thi vào lớp 10 THPT chuyên toán ĐỀ SỐ I: (22 – 04 – 2010) Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức P = a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa và hãy rút gọn P. b/ Tính giá trị của P khi a = và b = . Hướng dẫn: a) P có nghĩa khi a > 0 ; b > 0 và a ¹ b P == = a - b b) Với a = = = = ç3 - ç+ ç3 - 2ç= 3 - + 2 - 3 = Với b = = 2 Do đó P = a - b = - 2 = - Bài 2 : (2 điểm) a/ Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 - 2x - y > 0. b/ Giải phương trình x2 - x - + - 10 = 0 Hướng dẫn: Cho hệ phương trình Từ(1) ta có x = 3m - my (3). Thay (3) vào (2): m(3m - my) - y = m2 - 2. Û 3m2 - m2y - y = 2(m2 + 1) Û (m2 + 1)y = 2(m2 + 1) Vì m2 + 1 > 0 với mọi m nên y = = 2. Thay y = 2 vào (3) ta có x = 3m - m.2 = m. Vậy nghiệm (x ; y) của hệ phương trình là (x = m ; y = 2) Để x2 - 2x - y > 0 thì m2 - m - 2 > 0 Û (m - 1)2 - ()2 > 0 Û (m - 1 -).(m - 1+) > 0 Û Û Û Vậy khi m > 1 + hoặc m 0. b) Giải phương trình x2 - x - + - 10 = 0 (1). Điều kiện x ¹ 0. Phương trình (1) Û (x2 +) - (x +) - 10 = 0 Û (x2 + + 2 ) - (x +) - 12 = 0 Û (x +)2 - (x +) - 12 = 0 (*). Đặt y = x +. Phương trình (*) trở thành : y2 - y - 12 = 0 Þ y1 = - 3 ; y2 = 4. Với y = - 3 Þ x + = - 3 Û x2 + 3x + 1 = 0 Þ x1 =  ; x1 =   Với y = 4 Þ x + = 4 Û x2 - 4x + 1 = 0 Þ x3 = 2 +  ; x4 = 2 -    Các giá trị của x vừa tìm được thỏa mãn x ¹ 0. Vậy nghiệm số của (1) là : x1 =  ; x1 =  ; x3 = 2 +  ; x4 = 2 -    Bài 3 : (2 điểm) Một ô tô đi quãng đường AB dài 80 km trong một thời gian đã định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh hơn dự định 10 km/h, quãng đường còn lại ô tô chạy chậm hơn dự định 15 km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng giờ quy định. Tính thời gian ô tô đi hết quãng đường AB. Hướng dẫn : Gọi x (km/h) là vận tốc dự định của ô tô đi từ A đến B ( x> 15) Thời gian ô tô dự định đi từ A đến B (h) Vận tốc ô tô khi đi ba phần tư quãng đường AB là x + 10 (km/h) Thời gian ô tô đi ba phần tư quãng đường AB là (h) Vận tốc ô tô khi đi một phần tư quãng đường AB là x - 15 (km/h) Thời gian ô tô đi một phần tư quãng đường AB là (h) Ô tô đến B đúng giờ quy định nên ta có phương trình : + = Û + = Û 3x(x - 15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x - 15) Û 4x2 - 35x = 4x2 - 20x - 600 Û 15x = 600 Þ x = 40 (thỏa mãn điều kiện) Do đó vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h. Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 80 : 40 = 2 (giờ). Bài 4 : (3 điểm) Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C ¹ A, C ¹ B). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I ¹ A), tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 1/ Chứng minh: a/ Tứ giác CPKB nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. b/ AI.BK = AC.BC c/ D APB vuông. 2/ Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C sao cho diện tích của tứ giác ABKI đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn: 1. a/ P nằm trên đường tròn tâm O1 đường kính IC Þ IPC = 900 P K I C B A 2 2 1 1 1 1 1 O2 01 x y x Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù) Þ CPK = 900 Do đó CPK + CBK = 900 + 900 = 1800 Nên CPKB nội tiếp đường tròn tâm O2 đường kính CK. b/ Vì ICK = 900 Þ C1 + C2 = 900 D AIC vuông tại A Þ C1 + A1 = 900 Þ A1 + C2 và có A = B = 900 Nên D AIC D BCK (g.g) Þ Þ AI . BK = AC . BC (1) c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt cùng chắn cung PC) Trong (O2) có B1 = K1 (gnt cùng chắn cung PC) Mà I2 + K1 = 900 (Vì D ICK vuông tại C) Þ A1 + B1 = 900, nên D APB vuông tại P. 2/ Ta có AI // BK ( vì cùng vuông góc với AB, nên ABKI là hình thang vuông.. Do đó SABKI = .AB.(AI + BK) Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi. Suy ra SABKI lớn nhất Û BK lớn nhất Từ (1) có AI . BK = AC . BC Þ BK = . Nên BK lớn nhất Û AC . BC lớn nhất. Ta có Þ AC + BC ³ 2 Û £ Û £ Û £ . Vậy AC . BC lớn nhất khi AC . BC = Û AC = BC = Û C là trung điểm của AB. Vậy SABKI lớn nhất khi C là trung điểm của AB. Bài 5 : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 Hướng dẫn: Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008. Cách 1 : Từ 1003x + 2y = 2008 Þ 2y = 2008 - 1003x Þ y = 1004 - Vì y > 0 Þ 1004 - > 0 Þ x < Suy ra 0 < x < và x nguyên Þ x Î {1 ; 2} Với x = 1 Þ y = 1004 - Ï Z nên x = 1 loại. Với x = 2 Þ y = 1004 - = 1 Î Z+ nên x = 2 thỏa mãn. Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = 2 ; y =1. Cách 2 : Vì x ; y là các số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 Þ 1003x < 2008 Þ x < < 3 . Do x Î Z+ Þ x Î {1 ; 2} Với x = 1 Þ 2y = 2008 - 1003 = 1005 Þ y = Ï Z+ nên x = 1 loại. Với x = 2 Þ 2y = 2008 - 2006 = 2 Þ y = 1 Î Z+ nên x = 2 thỏa mãn. Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = 2 ; y =1. ĐỀ SỐ2 :(26 – 04 – 2010) Bài 1 : (2 điểm) Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10. a/ Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b/ Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 khi m thay đổi. Bài 2 : (2 điểm) a/ Giải phương trình : b/ Chứng minh rằng : Với mọi a ; b không âm ta có a3 + b3 ³ 2ab. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức? Bài 3 : (2 điểm) Một phòng họp có 360 ghế ngồi, được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhưng do số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm mỗi hàng một ghế ngồi và thêm một hàng như thế nữa mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu ở trong phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế ngồi. Bài 4 : (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R). Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE của tam giác ABC. a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn này. b/ Vẽ đường kính AK của đường tròn (O ; R). Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng. c/ Giả sử BC = AK. Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R. Bài 5 : (1 điểm) Cho y = , Tìm tất cả giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên. Gợi ý và cách giải: Bài 1: a/ Hoành độ giao điểm của Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số của phương trình: x2 = 4mx + 10 Û x2 - 4mx - 10 = 0 (1) Phương trình (1) có D’ = 4m2 + 10 > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = - 10 F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 - 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 - x1x2 = 16m2 + 10 ³ 10 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 16m2 = 0 Û m = 0. Vậy GTNN của F = 10 khi m = 0. Bài 2: a/ Giải phương trình: Điều kiện x ³ 1 Û Û Û Û Û Û x - 1 = 0 Û x = 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là x = 1. b/ Với a , b ³ 0 ta có: Þ a + b ³ 2 Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b).[(a + b)2 - 3ab] ³ 2[(2)2 - 3ab] Þ a3 + b3 ³ 2(4ab - 3ab) = 2.ab = 2ab Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Vậy với mọi a, b không âm ta có a3 + b3 ³ 2ab. Bài 3: Gọi x (hàng) là số hàng ghế ban đầu trong phòng họp (x nguyên, dương) Do đó (ghế) là số ghế ban đầu của mỗi hàng . x + 1 (hàng) là số hàng ghế lúc dự họp trong phòng họp Do đó (ghế) là số ghế lúc dự họp của mỗi hàng Khi dự họp mỗi hàng kê thêm một ghế ngồi, ta có phương trình : - = 1 Û x2 - 39x + 360 = 0. Giải phương trình được x1 = 24 ; x2 = 15. Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện. Vậy ban đầu trong phòng họp có 24 hàng ghế, mỗi hàng có 15 ghế ngồi. Hoặc ban đầu trong phòng họp có 15 hàng ghế, mỗi hàng có 24 ghế ngồi. D B A O F I H K C E Bài 4: a/ Ta có BD và CE là hai đường cao cua DABC Nên BEC = BDC = 900 Suy ra BCDE nội tiếp đường tròn. b/ Ta có BH // CK (cùng vuông góc với AC). Và CH // BK (cùng vuông góc với AB). Nên BHCK là hình bình hành. Do đó hai đường chéo BC và HK giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm của BC Þ I cũng là trung điểm củaHK .Nên H, I, K thẳng hàng. c/ Gọi F là giao điểm của AH và BC. Ta có D ABF ∽ D AKC (g.g) Þ Þ AB. KC = AK. BF (1) Và D ACF ∽ D AKB (g.g) Þ Þ AC. KB = AK. CF (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta có: AB. KC + AC. KB = AK. BF + AK. CF = AK.(BF + CF) = AK.BC Mà BC = AK Þ AB. KC + AC. KB = AK. AK = AK2 = .(2R)2 = 3R2 Bài 5: Với x ¹ - 1 ta có y = = x - 2 + . Với x Î Z thì x + 2 Î Z. Để y Î Z thì Î Z Þ x + 1 Î {- 1 ; 1} x + 1 = - 1 Þ x = - 2 (thỏa mãn điều kiện). x + 1 = 1 Þ x = 0 (thỏa mãn điều kiện). Vậy y có giá trị nguyên khi x = - 2 ; x = 0 . Đề số 3 (28 – 04 – 2010) Câu I: (3 điểm) 1) Giải các phương trình sau: a) b) x(x + 2) – 5 = 0 2) Cho hàm số y = f(x) = a) Tính f(-1) ; b) Điểm có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì sao ? Câu II: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức P = với a > 0 và a 4. Câu III: (1 điểm) Tổng số công nhân của hai đội sản xuất là 125 người. Sau khi điều 13 người từ đội thứ nhất sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất bằng số công nhân của đội thứ hai. Tính số công nhân của mỗi đội lúc đầu. Câu IV: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D, E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O). Chứng minh DM AC. Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2. Câu V: (1 điểm)Cho biểu thức : B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008. Tính giá trị của B khi x = ĐÁP ÁN VÀ BÀI LÀM Câu I: 1) a) b) x(x + 2) – 5 = 0 x2 + 2x – 5 = 0 ’ = 1 + 5 = 6 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 = . 2) a) Ta có f(-1) = . b) Điểm có nằm trên đồ thị hàm số y = f(x) = . Vì . Câu II: 1) Rút gọn: P = = = = . 2) ĐK: ’ > 0 1 + 2m > 0 m > . Theo đề bài : . Theo Vi-ét : x1 + x2 = 2 ; x1.x2 = -2m. 1 + 4m2 + 4 + 4m = 5 4m2 + 4m = 0 4m(m + 1) = 0 m = 0 hoặc m = -1. Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = 0 (t/m). Vậy m = 0. Câu III: Gọi số công nhân của đội thứ nhất là x (người). ĐK: x nguyên, 125 > x > 13. Số công nhân của đội thứ hai là 125 – x (người). Sau khi điều 13 người sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất còn lại là x – 13 (người) Đội thứ hai khi đó có số công nhân là 125 – x + 13 = 138 – x (người). Theo bài ra ta có phương trình : x – 13 = (138 – x) 3x – 39 = 276 – 2x 5x = 315 x = 63 (thoả mãn). Vậy đội thứ nhất có 63 người. Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người). Câu V: Ta có x = . x2 = ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 = . Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2 = 4. + 4. - 5. + 5. - 2 1) Ta có (Vì FA AB). (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) . Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng 1800). 2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên sđ. Trong đường tròn (O) ta có sđ. Do đó . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AF // DM. Mặt khác AF AC nên DM AC. = = -1. Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 = (-1)2 + 2008 = 1 + 2008 = 2009 Câu IV: 3) Xét hai tam giác ACF và ECB có góc C chung , . Do đó hai tam giác ACF và ECB đồng dạng (1). Tương tự ABD và AEC đồng dạng (vì có chung, ). (2). Từ (1) và (2) AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2. Bài tập làm chơi J!!! C©u 1: (2 ®iÓm) cho biÓu thøc P=. Ch­ng minh P lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn v¬Ý mäi x,y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x> 0,y> 0,vµ x≠y C©u 2: (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i PT: 2) T×m x,y lµ c¸c sè nguyªn th¶o m·n ®¼ng thøc x- xy –y +2 = 0 C©u 3 : (3 ®iÓm ) . Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB. Gäi K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC. §­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ K c¾t (O)t¹i ®iÓm M ( M≠A ) . KÎ CH vu«ng gãc víi AM t¹i H . §­¬ng th¼ng OH c¾t ®­êng th¼ng BC t¹i N , ®­êng th¼ng MN c¾t (O) t¹i D (D≠M ) . CM : Tø gi¸c BHCM lµ h×nh b×nh hµnh. CM: ΔOHC vµ ΔOHM b»ng nhau . CM : 3 ®iÓm B,H,D th¼ng hµng C©u 4: ( 1 ®iÓm ). T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nhá h¬n -1 cña PT C©u 5 :( 1®iÓm ) Cho a,b lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n > T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc HÕT SỞ GD- ĐT LONG AN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007-2008 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 27/6/2007 Thời gian làm bài: 30 phút (không kể phát đề) PHẦN THI TRẮC NGHIỆM: Hai đường thẳng: và song song với nhau khi giá trị của m là: a/1 b/ 2 c/ –2 d/ –1 Phương tình bậc hai có hai nghiệm thoả thì giá trị của m là: a/ m = 3 b/ m = 4 c/ m = 1 d/ m=2 Phương trình có nghiệm là: a/ b/ c/ d/ Cho hàm số y = ax2 , có điểm E(2;-2) thuộc đồ thị hàm số. Điểm nào sau đây là điểm thuộc đồ thị hàm số trên? a/ A(1;) b/ B(1; ) c/ C(;1) d/ D(;1) Đồ thị hàm số y = ax +b đi qua hai điểm A(1;-1) , B(2;1) thì giá trị của a và b là: a/ a = -2; b = 3 b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = 3 d/ a =2;b = -3 Phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a/ b/ c/ d/ Giá trị của biểu thức bằng: a/ 4 b/ -4 c/ d/ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: a/ b/ c/ d/ Cho hàm số , khi x bằng thì giá trị của y là: a/ 2 b/ -2 c/ d/ xác định khi a/ b/ c/ d/ Cho đường tròn (O; 5 cm), dây AB = 8 cm. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến dây AB. Độ dài đoạn thẳng OH là: a/ 4 cm b/ 3 cm c/ 1 cm d/ 2 cm Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 4 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5 cm. Số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O) là: a/ 1 b/ 3 c/ 0 d/ 2 Một hình thang ABCD (AB // CD) có thì số đo của là: a/ 800 b/ 1000 c/ 1200 d/ 600 Cho tam giác ABC vuông tại A có . Ta có sin bằng: a/ b/ c/ d/ Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và . Số đo của bằng: a/ 800 b/ 600 c/ 1200 d/ 1000 Biết O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AB=BC=AC. Số đo của góc AOB bằng: a/ 900 b/ 1200 c/ 600 d/ 300 Một hình trụ có bán kính đáy 2 cm, chiều cao 6 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là: a/ b/ c/ d/ Biết điểm A thuộc đường tròn đường kính BC. Khi đó số của góc BAC bằng: a/ 900 b/ 300 c/ 1800 d/ 600 Biết độ dài đường tròn là cm. Vậy diện tích hình tròn đó bằng: a/ b/ c/ d/ Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a/ Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b/ Trong một đường tròn, dây nào nhỏ hơn thì dây đó gần tâm hơn. c/ Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn. d/ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây âý PHẦN THI TỰ LUẬN Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức Avới và a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tính giá trị của biểu thức A khi c/ Tìm giá trị của x để A > 1 Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai hàm số: y = x2 và y = –x +2 a/ Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ . b/ Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị đó. Câu 3: (1 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0 a/ Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn luôn có 2 nghiệm với mọi m. b/ Xác định m để hai nghiệm của phương trình đã cho thoả hệ thức Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 4 cm. Lấy điểm C trên đường thẳng AB sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OC. Kẻ các tiếp tuyến CD, CE của đường tròn (O) tại M và N. a/ chứng minh tứ giác CDOE là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này. b/ chứng minh tam giác CDE là tam giác đều. c/ Chứng minh CD2 = CM.CN. d/ Tính đọ dài cung DOE và diện tích hình tròn ngoại tiếp tư giác. ĐỀ 5 Bài 1( 2,0 điểm) Các câu dưới đây,sau mỗi câu có nêu 4 phương án trả lời ( A,B,C,D) Bài 2( 1,5 điểm) Cho biểu thức P = với x 0 Rút gọn P Tìm x để P < 0. Bài 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2mx + m – 1 = 0 Giải phương trình khi m = 2 Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt,với mọi m. Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương. Bài 4 ( 3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O;R) tai M và N.Gọi S là giao điểm của 2 đường thẳng BM và AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM lần lượt tại K và H. Hãy chứng minh: Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM KM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). Ba điểm H,N,B thẳng hàng. Bài 5 ( 1,5 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2.Giải phương trình .x4 = 2x4 – 2008x + 2008. ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/06/2008 Bài 1: (2 điểm) Giải phương trình: Giải hệ phương trình: Bài 2: (2 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 20 và ab + bc + ca ≤ 8. Chứng minh rằng: 0 < a + b + c ≤ 6 Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu A = 2 + là số nguyên thì A là số chính phương. Bài 3: (2 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + 2z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x2 + 2y2 – z2 Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm số là x1 và x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: A = a2c + ac2 + b3 – 3abc + 3 Bài 4: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) với R1>R2 cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho số đo góc O1AO2 lớn hơn 900.Tiếp tuyến của đường tròn (O1) tại A cắt đường tròn (O2) tại C khác A, tiếp tuyến của đường tròn (O2) tại A cắt đường tròn (O1) tại D khác A. Gọi M là giao điểm của AB và CD. Chứng minh: Gọi H, N lần lượt là trung điểm của AD, CD. Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác ABC. Tính tỉ số theo R1 và R2. Từ C kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn (O1) (E là tiếp điểm, E khác A). Đường thẳng CO1 cắt đường tròn (O1) tại F (O1 nằm giữa C và F). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng EF và J là trung điểm của AI. Tia FJ cắt đường tròn (O1) tại K. Chứng minh đường thẳng CO1 là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC. ĐỀ giải ngày 1-05-2010 Bµi 1: Rót gän biÓu thøc sau : P = Bµi 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh sau: a) b) Bµi 3: Chøng minh r»ng : Bµi 4 : BC lµ d©y cung kh«ng lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn t©m O . Mét ®iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho t©m O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC, c¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i H. a) Chøng minh c¸c tam gi¸c AEF vµ ABC ®ång d¹ng b) Gäi A' lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh AH = 2OA' c) Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, chøng minh : R.AA1 = AA'.OA' d) Chøng minh r»ng R(EF + FD + DE) = 2SABC tõ ®ã t×m vÞ trÝ cña A ®Ó tæng (EF + FD + DE) lín nhÊt. Bµi 5 : Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 ĐÁP ÁN, HƯỚNG CHẤM Bµi 1: (2,5 ®iÓm) Cã : A = cho 0,25 ®iÓm A = cho 0,25 ®iÓm T­¬ng tù cã: B = cho 0,25 ®iÓm Tõ ®ã TËp x¸c ®Þnh lµ x vµ cho 0,25 ®iÓm Ta cã P = A+B = = cho 0,5 ®iÓm = Cho 0,25 ®iÓm = Cho 0,25 ®iÓm VËy P = Víi x vµ x Cho 0, 25 ®iÓm Bµi 2 ( 4,5 ®iÓm) a, Tõ hÖ Þ xy +x (*) - NÕu y = 0 ta ®­îc : hÖ nµy v« nghiÖm cho 0,25 ®iÓm - NÕu y ≠ 0 ta cã : (*) Û 3 cho 0,25 ®iÓm Û hay Gi¶i hÖ ®Çu ta ®­îc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) HÖ sau v« nghiÖm VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = y = 1 hoÆc x = y = -1 b) §iÒu kiÖn - 4 £ x £ 1 Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : (v× c¶ 2 vÕ ®Òu kh«ng ©m) Û Û 4- 3x - x2 = 4 Û x2 +3x = 0 Û x(x + 3) = 0 Û x = 0 hoÆc x = -3 VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x = 0 hoÆc x = -3 Bµi 3 : (3®iÓm) Ta cã víi n ³ 1 th× cho 0,5 ®iÓm < cho 0,5 ®iÓm Tõ ®ã ta cã : Sn = < 1- cho 0,75 ®iÓm = 1- cho 0,5 ®iÓm VËy Sn < cho 0,25 ®iÓm ¸p dông cho n = 2007 ta cã S2007 < lµ ®iÒu ph¶i chøng minh ( 0,5 ®iÓm) Bµi 4 : H×nh vÏ ®óng cho 0,25 ®iÓm A x A1 E F H O B D C A' K a) Chøng minh DAEF ®ång d¹ng D ABC. Cã E, F cïng nh×n BC d­íi mét gãc vu«ng nªn E, F cïng thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC Cho 0,25 ®iÓm Þ gãc AFE = gãc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 ®iÓm Þ D AEF ®ång d¹ng D ABC (g.g) cho 0,25 ®iÓm b) VÏ ®­êng kÝnh AK Cã BE (gt) KC (V× gãc ACK = 90 ) cho 0,25 ®iÓm BE // KC cho 0,25 ®iÓm T­¬ng tù CH // BK cho 0,25 ®iÓm Do ®ã tø gi¸c BHCK lµ h×nh b×nh hµnh cho 0,25 ®iÓm HK lµ ®­êng chÐo nªn ®i qua trung ®iÓm A' cña ®­êng chÐo BC. H, A', K th¼ng hµng. cho 0,25 ®iÓm XÐt tam gi¸c AHK cã A'H = A'K OA = OK cho 0,25 ®iÓm Nªn OA' lµ ®­êng trung b×nh AH = 2 A'O cho 0,25 ®iÓm c, ¸p dông tÝnh chÊt: nÕu 2 tam g¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn t­¬ng øng, tØ sè gi÷a 2 b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng nªn ta cã: cho 0,25 ®iÓm D AEF ®ång d¹ng D ABC = cho 0,25 ®iÓm Trong ®ã R lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn t©m O R' lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp D AEF cho 0,25 ®iÓm còng lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AEHF cho 0,25 ®iÓm R. AA = R'. AA' = .AA' cho 0,5 ®iÓm = AA'. = AA'. OA' cho 0,25 ®iÓm VËy R.AA1 = AA'. OA' cho 0,25 ®iÓm d, Tr­íc hÕt ta chøng minh OA EF vÏ tiÕp tuyÕn Ax cña ®­êng trßn t©m O Ta cã OA Ax cho 0,25 ®iÓm V× gãc xAB = Gãc BCA mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt) gãc EFA = gãc xAB cho 0,25 ®iÓm EF// Ax cho 0,25 ®iÓm OA EF cho 0,25 ®iÓm Chøng minh t­¬ng tù cã OB DF vµ OC ED Ta cã S = S + S +S = OA. EF + OB. FD + OC.DE cho 0,25 ®iÓm = R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R) R (EF + FD + DE) = 2 S cho 0,25 ®iÓm EF + FD + DE = Nªn EF + FD + DE lín nhÊt S lín nhÊt cho 0,25 ®iÓm L¹i cã S = BC.h (h lµ ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn BC) Þ S lín nhÊt Û h lín nhÊt Û ABC lµ tam gi¸c c©n Û A lµ ®iÓm chÝnh gi­· cña cung AB lín. cho 0,25 ®iÓm Bµi 5: (3 ®iÓm) V× a, b, c lµ 3 c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi lµ 2 nªn ta cã: 0 < a; b, c (cho 0,25 ®iÓm) Þ a - 1 0 ; b - 1 0; c-1 0 cho 0,25 ®iÓm Þ ( a -1) (b -1) (c -1) 0 Û ( ab - a - b +1) ( c -1) 0 cho 0,25 ®iÓm Û abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 1 0 cho 0,25 ®iÓm Û 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) 2 cho 0,25 ®iÓm Û 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 2 cho 0,25 ®iÓm Û 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) 2 cho 0,5 ®iÓm Û 2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc) 2 (cho 0,25 ®iÓm) Û 2abc + a + b + c 2 (®pcm) cho 0,25 ®iÓm ĐỀ TỰ GIẢI 5-05-2010 Câu 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 2x2 + 3x – 5 = 0 (1) b) x4 – 3x2 – 4 = 0 (2) c) (3) Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –x2 và đường thẳng (D): y = x – 2 trên cùng một cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính. Câu 3: Thu gọn các biểu thức sau: a) A = b) B = (x > 0; x ≠ 4). Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để . Câu 5: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. a) Chứng minh MA2 = MC.MD. b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I , B cùng nằm trên một đường tròn. c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của góc CHD. d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng. MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP CHUYÊN, CHỌN HAY VÀ KHÓ 1. Chøng minh lµ sè v« tØ. 2. a) Chøng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chøng minh bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : S = x2 + y2. 4. a) Cho a 0, b 0. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Cauchy : . b) Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng : c) Cho a, b > 0 vµ 3a + 5b = 12. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch P = ab. 5. Cho a + b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : N = a + b. 7. Cho a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng. Chøng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 8. T×m liªn hÖ gi÷a c¸c sè a vµ b biÕt r»ng : 9. a) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. Chøng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 10. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho : a) | 2x 3 | = | 1 x | b) x2 4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1. 12. T×m c¸c sè a, b, c, d biÕt r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biÓu thøc M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001. Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. 14. Cho biÓu thøc P = x2 + xy + y2 3(x + y) + 3. CMR gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 0. 15. Chøng minh r»ng kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x, y, z tháa m·n ®¼ng thøc sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0 16. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : 17. So s¸nh c¸c sè thùc sau (kh«ng dïng m¸y tÝnh) : a) b) c) d) 18. H·y viÕt mét sè h÷u tØ vµ mét sè v« tØ lín h¬n nhng nhá h¬n 19. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : . 20. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x2y víi c¸c ®iÒu kiÖn x, y > 0 vµ 2x + xy = 4. 21. Cho . H·y so s¸nh S vµ . 22. Chøng minh r»ng : NÕu sè tù nhiªn a kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng th× lµ sè v« tØ. 23. Cho c¸c sè x vµ y cïng dÊu. Chøng minh r»ng : a) b) c) . 24. Chøng minh r»ng c¸c sè sau lµ sè v« tØ : a) b) víi m, n lµ c¸c sè h÷u tØ, n 0. 25. Cã hai sè v« tØ d­¬ng nµo mµ tæng lµ sè h÷u tØ kh