Tài liệu ôn Phương trình bậc hai

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I- CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (CÓ HỆ SỐ b = 0 HOẶC c = 0) 1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng : Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và . Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai : a) 5x2 - 3x - 2 = 0 có a = 5, b = - 3, c = - 2 b) 7x2 - 7 = 0 có a = 7, b = 0, c = -7 c) 9x2 - 9x = 0 có a = 9, b = -9, c = 0 2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0 * Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = 0 Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa về phương trình tích: A.B = 0 Ta có: ax2 + bx = 0 VD 1: Giải phương trình: 4x2 – 8x = 0 Giải 4x2 – 8x = 0 4x( x-2) = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2 *Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0 Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa phương trình về dạng x2 = rồi giải, ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1,2= Víi c = 0, ph­¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x = 0. + NÕu b = c = 0 (ph­¬ng tr×nh khuyÕt b vµ c) th× ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ng ax2 = 0 + NÕu b; c ¹ 0: C1: §­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch ®èi víi häc sinh líp 7, 8. C2: NhÈm nghiÖm b»ng viÐt. C3: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän (D/). C4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän (D)... VD 2: Phương trình x2 + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0 VD 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0 Giải: 5x2 – 100 = 0 5x2 = 100 x2 = 20x = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = ; x2 = - 3. VÝ dô ¸p dông: Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c BT: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó: a)4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 b) 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 c) 7x2 + 2x = 3 + 2x d) Giải : a) Phương trình 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 6x2 + 2x – 3 - 4x2 - 3 = 0 2x2 + 2x - 6 = 0 Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6 c) Phương trình 7x2 + 2x = 3 + 2x 7x2+2x -3 -2x = 0 7x2 – 3 = 0 Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3 d) Phương trình - 2x2 + x = 0 Là phương trình bậc hai có a = -2, b = , c = 0 Dạng 2: Giải phương trình: BT: Giải các phương trình sau: a) 2x2 + 5x = 0, b) 5x2 - 15 = 0, c) x2 + 2010 = 0 Giải a) 2x2 + 5x = 0 x (2x + 5 ) = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = b) 5x2 - 15 = 0 5x2 = 15 x2 = 3 x = Vậy phương trình có hai nghiệm : x = và x = - c) x2 + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0. Vậy phương trình vô nghiệm. 4. Bài tập đề nghị Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c của chúng. a) 2x2 + 5x + 1 = 0, b) 2x2 – 2x = 0 c) = 0, d) 4x + 5 = 0 Giải: a, 2x2 + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1. b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0. c) = 0 là phương trình bậc hai có a = -, b = 0, c = 0. d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai. Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng và giải các phương trình đó: a) 5x2 + = , b) Giải Vậy phương trình có hai nghiệm và b, Vậy phương trình có hai nghiệm và II. ¸p dông c«ng thøc nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm thu gän ®Ó xÐt sè nghiªm ph­¬ng tr×nh bËc hai. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax+bx+c=0(a0) .NÕu b =2b th× = b- ac 1. Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi . Ta cã thÓ xÐt hai tr­êng hîp: +Tr­êng hîp 1: NÕu a = 0,ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=. +Tr­êng hîp 2 :hoÆc 2.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi .hoÆc => x1= x2= hoặc x1 = ; x2= 3.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.hoÆc => x1= x2= - hoặc x1= x2= - 4. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.hoÆc VD1:Cho ph­¬ng tr×nh 2x-(4m+3)x+2m-1=0.Víi m lµ tham sè,t×m gi¸ trÞ m ®Ó ph­¬ng tr×nh. a.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm b.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt c.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Gi¶i:=(4m+3)-4.2(2m-1)=24m+17. a.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi .m b.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi. c.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi. d. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm khi. VD 2 :Cho ph­¬ng tr×nh mx-2(m-1)x+(m-4)=0 .Víi m lµ tham sè,t×m gi¸ trÞ m ®Ó ph­¬ng tr×nh. a.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm b.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt c.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Gi¶i: Ta cã :a0m,= b-ac=-m(m-4)=m-2m+1-m+4m=2m+1 a.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi . +Tr­êng hîp 1: NÕu a=0 m=0 ,ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x==2. +Tr­êng hîp 2 : b.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi. c.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi. d. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm khi. III- Cách giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b,c phụ thuộc tham số m 1/ Dạng toán 1 : Biện luận sự có nghiệm của phương trình (1) a/ Phương pháp giải: Xét hệ số a * Nếu a =const ( hằng số ) Lập biệt thức = b2- 4ac hoặc ’ = b’2 – ac + Nếu > 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2= +Nếu =0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có nghiệm kép x1= x2= - + Nếu < 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) vô nghiệm trên R * Nếu hệ số a có chứa tham số ta xét : + Giả sử a = 0 m = mophương trình (1) trở thành bx +c = 0 (2) - Nếu b0 ( với m = mo) thì (2) có 1 nghiệm x = - cũng là nghiệm của (1) - Nếu b = 0 và c = 0 ( với m = mo) (2) vô định (1) vô định - Nếu b = 0 và c 0 ( với m = mo) (2) vô nghiệm(1) vô định + Nếu a 0 Lập biệt thức = b2- 4ac hoặc ’ = b’2 – ac - Nếu > 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2= -Nếu =0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có nghiệm kép x1= x2= - - Nếu < 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) vô nghiệm trên R Sau đó tóm tắt phần biện luận trên . b/ Ví dụ : VD1 Biện luận sự có nghiệm của phường trình sau theo tham số m: x2 – 4x + m = 0 (1) Giải: Ta có ’ = b’2 – ac = 4 – m + Nếu ’ > 0 4 – m > 0 m < 4 (1) có hai nghiệm phân biệt x1= ; x2= + Nếu ’ = 0 4 – m = 0 m = 4 (1) có nghiệm kép x1=x2=- = 2 + Nếu ’ < 0 4 – m < 0 m < 4 (1) vô nghiệm Vậy :Với m < 4 phương trình đã cho có his nghiệm phân biệt x1= ; x2 = Với m = 4 phương trình có nghiệm kép x1=x2 =2 Với m > 4 phương trình vô nghiệm VD2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (m+1) x2 + 2mx + m -3 =0 (1) Giải *Nếu (m+1) = 0 m = -1 phương trình (1) trở thành -2x – 4 = 0 x =- = - 2 là nghiệm của (1) *Nếu m +1 0 m - 1 Ta có ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 + Nếu ’ > 0 2m + 3 > 0 m > - thì phương trình có hai nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu ’ = 0 2m + 3 = 0 m =- thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - + Nếu ’ < 0 2m +3 < 0 m < - thì phương trình vô nghiệm Vậy : Với m =-1 phương trình (1) có một nghiệm x =-2 Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . x1= ; x2 = Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép x1 = x2 = - Với m < - phương trình (1) vô nghiệm (Trong qua trình thực hiện HS có thể mắc sai lầm như sau Ta có ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 + Nếu ’ > 0 2m + 3 > 0 m > - thì phương trình có hai nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu ’ = 0 2m + 3 = 0 m =- thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - + Nếu ’ < 0 2m +3 < 0 m < - thì phương trình vô nghiệm Vậy : Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . x1= ; x2 = Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép x1 = x2 = - Với m < - phương trình (1) vô nghiệm Như vậy h/s đã bỏ sót nghiêm “trong trương hợp m = - 1” là x = - 2 ) VD3: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh : (m - 1)x2 + (2m – 3 0 x + m + 2 = 0 (1) Giải:TH1: NÕu m – 1 = 0 Û m = 1 Lóc ®ã (1) Û - x + 3 = 0 Û x = 3 TH2: NÕu m - 1 ¹ 0 Û m ¹ 1 th× ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi x cã D = (2m - 3)2 – 4 (m – 1) (m+ 2) = - 16m + 17 NÕu th× ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm NÕu th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp: x1= x2 = NÕu th× ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: x1,2 = VËy... VD4: BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x3 - m (x + 2) + 8 = 0 (1) theo m Giai: Bµi to¸n nµy míi nh×n häc sinh cho lµ ph­¬ng tr×nh bËc 3 ch­a biÕt c¸ch gi¶i. H­íng dÉn c¸c em ®­a (1) vÒ d¹ng tÝch trong ®ã cã mét nh©n tö bËc nhÊt vµ mét nh©n tö bËc hai. (1) Û (x + 2) (x2 - 2x + 4 - m) Nh­ vËy sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sÏ phô thuéc vµo sè nghiÖm cña: F(x) = x2 - 2x + 4 - m C¸c em ph¶i biÖn luËn D' = m - 3 NÕu m < 3 ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = -2 NÕu m = 3 vµ th× (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = -2, x = 1; m = 3 NÕu m > 3 th× f(x) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c - 2 khi ®ã (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. 2 / Dạng toán 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có nghiệm a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có nghiệm thì : Hoặc (I) hoặc (II) (Nếu hệ số a là hằng số thì ta giải hệ (II) ,nếu hệ số a có chứa tham số ta phải giải cả (I) và (II) các giá trị của m cần tìm là tất cả các giá tri của m thoả mãm (I) hoặc (II) b/ Ví dụ VD1: Với những giá trị nào của m thì phương trình x2 + 3x – m = 0 có nghiệm Giải Ta có : = b2- 4ac = 9 + 4m Để phương trình trên có nghiệm thì : 0 9 + 4m 0 m - Vậy với m - thì phương trình (4) luôn có nghiệm VD2 Tìm điều kiện của m để phương trình (m+1) x2 – (2m + 1)x + m = 0 (4) có nghiệm Giải: Để phương trình (4) có nghiệm thì : Hoặc (I) hoặc (II) Giải (I) ta có m+1=0 m = - 1, và -(2m+1) 0 suy ra m - phương trình có nghiệm Giải (II) Ta có m +10 m -1 = (-(2m+1))2 – 4(m+1)m 0 4m2 + 4m +1 – 4m2 – 4m 0 0 m Vậy với m - hoặc m -1 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm VD3: Cho ph­¬ng tr×nh: (m2 - 4) x2 + 2 x + 1 = 0 (1) a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. Giai: §Ó gi¶i c©u (a) cÇn l­u ý häc sinh xÐt tr­êng hîp a = 0 v× khi ®ã hÖ sè a chøa tham sè. A = 0 Û m = ± 2 Khi nµy (1) chØ cã nghiÖm khi m = 2 cßn m = - 2 th× (1) v« nghiÖm §Ó gi¶i c©u (b); th­êng häc sinh chØ xÐt tr­êng hîp: Bá qua tr­êng hîp Mµ ë c©u (a) tr­êng hîp m = 2 th× a = 0 vµ b ≠ 0. Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi m = 2 VD4 Cho ph­¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham sè m) a) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm b) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm duy nhÊt? t×m nghiÖm duy nhÊt ®ã? c) T×m m ®Ó (1) cã 1 nghiÖm b»ng 2? khi ®ã h·y t×m nghiÖm cßn l¹i(nÕu cã)? Gi¶i a) + NÕu m-1 = 0 Û m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 Û x = (lµ nghiÖm) + NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: D’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cã nghiÖm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ + KÕt hîp hai tr­êng hîp trªn ta cã: Víi m ³ th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm b) + NÕu m-1 = 0 Û m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 Û x = (lµ nghiÖm) + NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: D’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cã nghiÖm duy nhÊt Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = (tho¶ m·n m ≠ 1) Khi ®ã x = +VËy víi m = 1 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = víi m = th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3 c) Do ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 2 nªn ta cã: (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = VËy m = vµ nghiÖm cßn l¹i lµ x2 = 6 3/Dạng toán 3 Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm phân biệt a/ Phương pháp giải Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi b/ Ví dụ VD1: Tìm điều kiện của m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = 0 (5) có hai nghiệm phân biệt GiảiPhương trình (5) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Ta có m +3 0 m - 3 và = (-(2m+1))2 – 4(m+3)m > 0 4m2 +4m + 1 – 4m2 – 12m > 0 - 8m +1 > 0 m < Vậy với m - 3 và m < thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt VD2: Tìm điều kiện của m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = 0 (6) có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt thì > 0 Thật vậy ta có = (-3)2 – 4.2(m+1) > 0 9 – 8m – 8 > 0 m < Vậy với m < thì phương trình (6) luôn có hai nghiệm phân biệt 4/ Dạng toán 4 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có một nghiệ a/ Phương pháp giải Phương trình (1) có một nghiệm khi và chỉ khi hoặc b/ Ví Dụ VD1 : tìm điều kiện của m để phương trình mx2 + (m + 1 )x +3m = 0 (7) có một nghiệm Giải: Phương trình (7) có một nghiệm khi và chỉ khi (I) hoặc (II) Giải (I): Giải (II):Ta có m0 và = (m + 1)2 – 4m3m =0 m2 +2m +1 – 12m2 = 0 -11m2 +2m +1 = 0 (*) Có = 12 –(-11)1 = 12 suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt m1= ; m2 = Vậy với hoặc m0 và m1= ; m2 = thì phương trình đã cho có một nghiệm VD2 : Với giá trị nào của m thi phương trình x2 – 2mx +4 = 0 (8) có một nghiệm Giải: Phương trình (8) có một nghiệm khi và chỉ khi = 0 m2 – 4 = 0 (m +2 )( m – 2 ) = 0 m = 2 hoặc m = - 2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thi phương trình (8) có một nghiệm 5/ Dạng toán 5 : Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu a/ Phương pháp giải ` Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì : và P > 0 b/ Ví Dụ VD: Tìm điều kiện của m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = 0 (9) có hai nghiệm cùng dấu Giải: Phương trình (9) có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi : Ta có = (- 3)2- 4.2 (m + 1 ) 0 9 – 8m – 8 0 - 8m + 1 0 m Và P = > 0 m + 1 > 0 m > - 1 Vậy với -1 < m thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu 6/ Dạng toán 6 : Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm dương a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm dương thi : b/ Ví Dụ VD: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 – 4x +m = 0 (10) có hai nghiệm dương Giải: Để phương trình (10) có hai nghiệm dương thì : (1) 4 – m 0 m 4 (2) m > 0 (3) 4 > 0 m Vậy với 0 < m 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương 7/ Dạng toán 7: Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm âm a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm âm thì : b/ Ví Dụ VD: Tìm điều kiện của m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = 0 (11) có hai nghiệm âm Giải: Phương trình (11) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi : (1) (-(2m + 1))2 – 4(m + 3 )m 0 4m2+ 4m + 1 -4m2 – 12m 0 - 8m +1 0 m (2) > 0 m (m + 3 ) > 0 (I) hoặc (II) (I) m > 0 và m + 3 > 0 m > - 3 (II) m < 0 và m + 3 < 0 m < -3 Vậy m(m + 3 ) > 0 m > 0 hoặc m < - 3 (3) < 0 - ( 2m + 1 ) (m + 3 ) < 0 (*) hoặc (**) (*) 2m + 1 > 0 m > - và m + 3 > 0 m > - 3 (**) 2m + 1 < 0 m < - và m + 3 < 0 m < - 3 Vậy -(2m + 1 )( m + 3 ) - hoặc m < - 3 Vậy phương trình trên có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ; 0 < m hoặc m < - 3 8/ Dạng toán 8 Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm trái dấu a/ Phương pháp giải Phương trinh (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi :>0 và P < 0 hoặc a.c < 0 b/ Ví Dụ VD1 : Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x2 + 3x + m + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu Giải Phương trình trên có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi : Ta có = 32 - 4.2(m+1) > 0 9 – 8m – 8 > 0 -8m + 1 > 0 m < Và < 0 m + 1 < 0 m < - 1 hoặc 2( m+ 1) < 0 m < - 1 Vậy để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : m < -1 VD2 : Với giá trị nào của m thì phương trình : mx2 + 2(m+1)x + (m – 1) = 0 có hai nghiêm trái dấu Giải Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : Ta có ’= (m+1)2 – m(m-1) > 0 m2 + 2m + 1 – m2 + m > 0 3m + 1 > 0 m > - Và P = < 0 < 0 (m-1)m < 0 hoặc hoặc +, +, Vậy với - < m < 0 hoặc 0 < m < 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu VD3: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm kh«ng ©m : x2+ mx + (2m – 4 ) = 0 (1) Giai: C¸ch 1: Ta cã D = (m- 4)2³ 0 P = 2m – 4 S = -m Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®Òu ©m khi: VËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm kh«ng ©m lµ m£ 2 C¸ch 2: D = (m- 4)2³ 0 P = 2m – 4 S = -m NÕu P£ 0 Û m £ 2 th× ph­¬ng tr×nh (1) lu«n $ nghiÖm kh«ng ©m. NÕu P > 0 th× ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm cïng dÊu. §Ó tho¶ m·n bµi to¸n th× S > 0 Do ®ã (kh«ng x¶y ra) VËy m £ 2 C¸ch 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1): D = (m- 4)2³ 0 x1 = 2 - m x2 = - 2 ph¶i cã x1 ³ 0 Û m £ 2 VËy m £ 2 9/Dạng toán 9 Tìm điều kiện của tham số để (1) có một nghiệm x = x1 tìm nghiệm kia a/ Phương pháp giải Thay x = x1 vào (1) ta có: ax12 + bx1+ c = 0 m = mo Thay giá trị m = mo vào (1) x1,x2 Hoặc tính x2= S – x1 hoặc x2 = b/ Ví Dụ VD1 Định m để phương trình x2 +3x – m = 0 có một nghiệm bằng -2 .Tìm nghiệm kia Giải+ Do phương trình trên có một nghiệm bằng -2 nên ta có : (-2)2 + 3(-2) – m = 0 4 – 6 – m = 0 m = - 2 Vậy với m = -2 thì phương trình trên có một nghiệm bằng – 2 + Tìm nghiệm còn lại Cách 1 : Thay m = -2 vào (1) ta được x2 + 3x + 2 = 0 Phương trình trên có dạng a-b + c = 0 nên có hai nghiệm -1 và -2 . Vậy nghiệm thứ hai là x = - 1 Cách 2:Ta có x1 + x2 = -3 x2= - 3 – x1 = -3 –(-2) = - 1 Cách 3:Ta có : x1x2= -m = 2 x2 = = - 1 VD2: Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 + mx +3 = 0 có một nghiệm bằng 1 ? Tìm nghiệm kia Giải* Do phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 nên ta có : 12 + m.1 + 3 = 0 m + 4 = 0 m = - 4 Vậy với m = - 4 thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 * Tìm nghiệm còn lại Ta có : x1+x2 = - m = 4 x2 = 4 – x1 = 4 -1 = 3 VD3 : Biết rằng phương trình : x2 + 2(d – 1)x + d2 + 2 = 0 (Với d là tham số ) có một nghiệm x = 1 . Tìm nghiệm còn lại của phương trình này. Giải * Do phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 nên ta có : 12 + 2( d- 1 ) 1 + d2 + 2 = 0 d2 + 2d + 1 = 0 (d + 1 )2 = 0 d = - 1 *Tìm nghiệm còn lại Ta có x1 + x2 = - 2(d- 1) = -2 (-1 – 1 ) = 4 x2 = 4 – x1 = 4 – 1 = 3 x2 = 4 10/Dạng toán 10: BiÓu thøc ®èi xøng cña hai nghiÖm. - Nh¾c l¹i biÓu thøc F (x1; x2) gäi lµ ®èi xøng. - NÕu F (x2; x2) ®èi xøng biÓu diÔn qua hai biÓu thøc ®èi xøng c¬ b¶n S = x1 + x2 vµ P = x1x2 - NÕu ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã hai nghiÖm th×: S = x1 + x2 vµ vµ P = x1x2 = c/a. VD 1 cho f(x) = 2x2 + 2 (m + 1) x + m2 + 4m + 3 Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña f(x). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = êx1x2 - 2x1 - 2x2 ê Giai:- Häc sinh th­êng m¾c sai lÇm kh«ng cÇn xem xÐt f(x) cã nghiÖm hay kh«ng mµ ¸p dông lu«n hÖ thøc: S = x1 + x2 = - (m + 1) vµ P = - CÇn l­u ý c¸c em f(x) cã nghiÖm Û D ≥ 0 Û (m + 1) (-m-5) ≥ 0 Û - 5 ≤ m ≤ -1 Khi ®ã ¸p dông hÖ thøc. S = -(m +1) vµ P = BiÓu thÞ A theo S vµ P A = §Õn ®©y häc sinh l¹i quªn mÊt ®iÒu kiÖn cã m khö dÊu trÞ tuyÖt ®èi V× - 5 ≤ m ≤ -1 nªn m2 + 8m + 7 ≤ 0 do ®ã A = - X¶y ra dÊu b»ng khi m = -4. VËy mµ A = khi m = -4 VD 2: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: 3x2 + 4 (m-1)x + m2 - 4m + 1 = 0 Cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n. Giai: Víi bµi to¸n nµy häc sinh còng bá qua kh«ng xÐt xem víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm mµ ¸p dông lu«n hÖ thøc. S = x1 + x2 = - vµ P = Tr­íc hÕt ph¶i xÐt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm Û D' > 0 Û m2 + 4m + 1 > 0 Û m - 2 + (*) §iÒu kiÖn thø 2 lµ P ≠ 0 ®Ó cã Û m ≠ +2 ± Mét sai lÇm häc sinh th­êng m¾c ph¶i ®ã lµ khi tÝnh Û 2(x1+x2) = (x1+x2)x1x2 hai vÕ cña ®¼ng thøc x1 + x2 liÒn rót gän ®i §iÒu ®ã kh«ng thÓ ®­îc v× cã thÓ cã gi¸ trÞ cña m lµm cho x1 + x2 = 0 - Nh¾c cho häc sinh ph¶i chuyÓn vÕ ®­a vÒ d¹ng tÝch: Û (x1 + x2)(2 - x1x2) = 0 Û 4(m - 1)(-m2 + 4m + 5) = 0 m = 1 Û m = -1 Lo¹i v× §K (*) m = 5 VËy m = 1 hoÆc m = 5 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n ®Çu bµi. 11/Dạng toán 11: Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + x2 = (*) a/ Phương pháp giải Để (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: 0 (**) và (1) (2) (3) Giải hệ x1,x2 Thay các giá trị của x1 và x2 vào (2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (**) b/ Ví Dụ VD1 Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : 2x1 + 3x2 = 0 (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì (1) = (a – 2 )2 – 4.1.( - 2a) 0 và (2) (3) a2 + 4a + 4 0 (a + 2 )2 0 a R Từ (1) và (2) ta có hệ x2 = - 2(a – 2 ) Thay x2 vào (1) ta được x1 = 3(a – 2 ) Thay x1,x2 vào (2) ta được -2(a – 2 )3(a – 2) = - 2a 6(a – 2 )2 = 2a 6a2 – 24a + 24 = 2a 6a2 – 26a + 24 = 0 3a2 – 13a + 12 = 0 Có = 132 -4.3.12 = 169- 144 = 25 = 5 a1 = , a2 = - 3 Vậy với a = hoặc a = -3 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD2: Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 -8x + m + 5 = 0 (I) có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 10 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) là: ’ = (-4)2 – (m+5) 0 và (1) (2) (3) Ta có ’ 0 (-4)2 –(m + 5) 0 16 - m – 5 0 11 – m 0 m 11 Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình x2=- 6 thay x2 vào phương trình (1) ta được x1 = 14 Thay x1,x2 vào phương trình (2) ta có 14(-6) = m + 5 m = -89 kết hợp với (1’) vậy giá trị m cần tìm là : m = -89 VD3 Tìm m để phương trình : mx2 +2(m- 1)x +m – 2 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn 3x1 – x2 = 2 (*) Giải: Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: ’ = (m- 1 )2 – m(m- 2) 0 và (1) (2) (3) (3) Ta có ’ 0 m2 – 2m +1 – m2 +2m 0 1 0 m (1’) Từ (1) và (3) ta cóv hệ phương trình 4x1 = 2 - 2 4x1 = x1= thay x1 vào (3) ta được x2 = Thay x1,x2 vào (2) ta được : . = 3 – 4m = 2m(m-2) 2m2 =3 m = Kết hợp với (1’) suy ra giá trị m cần tìm là m = VD4 : T×m m sao cho: x2 - (2m + 1)x + m2 + 1 = 0 cã 2 nghiÖm x1, x2 víi 1 = 2x2 Giai: Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm Û D ≥ 0 Û 4m - 3 ≥ 0 Û m ≥3/4 BiÓu thÞ Rót x2 theo m ®­îc hÖ thøc m2 - 8m + 7 = 0 Tõ ®ã ta cã m = 1 hoÆc m = 7 VD5: Chøng minh hÖ thøc: (k + 1)2 ac = kb2 (víi k ≠ -1) Giai: Lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã nghiÖm ®ång thêi nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia. H­íng dÉn häc sinh x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cÇn, ®iÒu kiÖn ®ñ cña bµi to¸n. + §iÒu kiÖn cÇn: Ph­¬ng tr×nh ax2 + bx = c = 0 (a ≠ 0) Gi¶ sö cã nghiÖm x1, x2 vµ x1 = kx2 Th× ta cã hÖ thøc: (k + 1)2 ac = kb2 (víi k ≠ -1) BiÓu thÞ S = x1 + x2 = -b/a P = x1 x2 = c/a (Sö dông ®iÒu kiÖn x1 = kx2) Khö x2 ®­îc hÖ thøc cÇn chøng minh: (k + 1)2 ac = kb2 +§iÒu kiÖn ®ñ: Ta cã hÖ thøc (k + 1)2 ac = kb2 Ph¶i chøng minh ph­¬ng thøc ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã nghiÖm x1 = kx2 Rót ac tõ hÖ thøc ®· cã (liªn quan ®Õn D). V× k ≠ - 1 khi ®ã ac = Do ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. D = x1 = x2 = VËy x1 + kx2 VD6: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: mx2 - 2 (m - 1) x + 3 (m - 2) = 0 Cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 tho¶ m·n x1 + 2x2 = 1 Giai: BiÓu thÞ BiÓu thÞ x1 theo x2 tõ hÖ thøc x1 + x2 = 1 TÝnh x2 theo m ®Ó khö x2 ®­îc: 3m2 - 8m + 4 = 0 Û m = 2 hoÆc m = 2/3 12/Dạng toán 12: Tìm điều kiện của m để phương trình (I)có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 = k (*) a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì : 0 và (1) (2) (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có : S2- 2P = k (4) giải (4) m .Chọn m thoả mãn (*’) b/ Ví Dụ VD1: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : x2 +mx +m +7 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn GiảiĐiều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 = m2- 4(m + 7) 0 m2 – 4m – 28 0 (+) Ta có : = 10 (1) mà (2) Thay (2) vào (1) ta được : m2 - 2(m+7) = 10 m2 – 2m - 14 = 10 m2 – 2m – 24 = 0 (4) Phương trình (4) có hai nghiệm là m1=6 , m2= - 4 Thay các giá trị của m vao (+) ta có : Với m1= 6 thay vào (+) ta có : 62 - 4.6 – 28 0 vô lý Với m2 =-4 thay vào (+) ta có : 42 – 4.(-4) -28 =4 0 Vậy với m = -4 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD2: Hảy xác định các giá trị của m để phương trình : x2 + (m- 2 )x - (m2 + 1) = 0 (I) có hai nghiệm thỏa mãn : 5 (*) Giải : Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là: 0 (m – 2)2 + 4(m2 + 1) 0 m (**) phương trình (I) luôn có hai nghiệm phân biệt Ta có : (x1+ x2)2 – 2x1.x2 = 5 (1’) trong đó x1+ x2 = –(m-2) và x1.x2 =-(m2 + 1 ) thay vào (1’) ta được : (m – 2)2 + 2(m2 + 1) = 5 m2 – 4m + 4 + 2m2 +2 – 5 = 0 3m2 – 4m + 1 = 0 m1 = 1 V m2 = Kết hợp với (**) Vậy giá trị m cần tìm là : m = 1 V m = VD3: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : =8 (*) Giải: Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 (a- 2)2 – 4.1.(-2a) 0 a2- 4a +4 + 8a 0 a2 + 4a + 4 0 (a + 2 )2 0 a R Ta có = (x1+x2 )2 – 2x1x2 = 8 (1) trong đó x1+x2 = a-2 và x1.x2 = - 2a Thay vào (1) ta được : (a- 2)2 – 2(-2a) = 8 a2 – 4a +4 + 4a = 8 a2 = 4 a = 2 Vậy với a = 2 hoặc a = - 2 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) 13/ Dạng toán 13 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn = n (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 0 (1’) và = n x1+x2 = nx1.x2 (1’’) Trong đó x1+x2 =- , x1.x2 = Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy ra điều kiện của m b/ Ví Dụ VD1 Tìm các gia trị của m để phương trình : (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – 2 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn : = (*) Giải: Điều kiện để (I) có hai nghiệm là : 0 (m – 1)2 – (m+1)(m-2) 0 m2 – 2m +1 – m2 +m +2 0 - m + 3 0 m 3 (1’) Ta có = 4(x1 + x2) = 7x1x2 (2’) Mà x1+ x2 = và x1x2 = thay v