Tài liệu ôn tập các bài toán về quỹ tích

PHẦN II- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Định nghĩa quỹ tích. Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất (hay tập hợp của những điểm M có tính chất ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất . Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình H. Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất . Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình H. 2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích. Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v.... như thế nào? Dưới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác tư duy chuẩn bị cơ bản nhất. 2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng: Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm. Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v... Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”. Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v.... Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB. Trong bài toán này thì: + Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy. + Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB. + Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của AB cũng thay đổi. Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi. Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định...” thì ta hiểu rằng tâm của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dài không đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây. Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C. Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy: + Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b. + Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C. Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể giải được bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng dạng ra như sau: - Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn là một số không đổi. Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán. Đoán nhận quỹ tích Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích. Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng. Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn. Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau: Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N. Đoán nhận quỹ tích - Khi M B thì BM O do vậy AN O hay NA. Vậy A là một điểm của quỹ tích. - Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên NI. Vậy I là một điểm của quỹ tích. - Khi M A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn tại điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích. Do 3 điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường tròn đường kính AB’. Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên Oy. Người ta dựng hình chữ nhật OAMB. Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trước. Đoán nhận quỹ tích Dễ thấy MA +MB = p Khi A O thì B D trên Oy, mà OD = p Khi B O thì A C trên Ox, mà OC = p. Dự đoán tập hợp của M là đoạn thẳng CD. Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Một góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và Az cắt Oy ở C. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC. Dự đoán quỹ tích - Khi BO thì điểm C sẽ dần đến vị trí điểm C1 thuộc Oy và điểm M đến vị trí M1 sao cho M1O=M1C1=M1A M1 nằm trên đường trung trực của OA. - Khi CO thì điểm B sẽ dần đến vị trí B1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí M2 sao cho M2O=M2B1=M2A M2 nằm trên đường trung trực của OA. Dự đoán quỹ tích là đoạn M2M1 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc xOy. 3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào? Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo. Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này. 3.1 Chứng minh phần thuận Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau: Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy. Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng b một khoảng l. Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O, bán kính r. Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng ( không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn AB). Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất ’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất ’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy ’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không đổi”; “ cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v...). Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M() bằng việc xét mệnh đề M(’) mà M() M(’) Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AD. Đoán nhận quỹ tích Nếu DB thì M P, mà AP=BP. P là một điểm thuộc quỹ tích. Nếu D C thì MQ, mà AQ=QC. Q là một điểm thuộc quỹ tích. Nếu DH (với AHBC tại H) thì M I, mà IH=AH. H là một điểm thuộc quỹ tích. Do 3 điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M là đoạn thẳng PQ, là đường trung bình của tam giác ABC. Phân tích phần thuận Từ M kẻ MK BC và kẻ đường cao AH của ABC. Dễ thấy MK=. ABC cố định nên AH không đổi suy ra MK không đổi. - Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng . Ta có thể thấy ở đây là: M(): M là trung điểm của AD. M(’): M cách BC một đoạn không đổi. Như vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN, bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi bằng , mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài toán quỹ tích cơ bản thứ 3. Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E và đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng EF. Phân tích phần thuận Vì DF//AE và DE//AF nên tứ giác AEDF là hình bình hành, hai đường chéo EF và AD giao nhau tại trung điểm, vậy M là trung điểm của EF cũng là trung điểm của AD. Bài toán được đưa về việc tìm quỹ tích của trung điểm M của đoạn thẳng AD. Tính chất ở đây là: M() M là trung điểm của EF. Tính chất ’ ở đây là: M(’) M là trung điểm của AD. Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đưa về quỹ tích cơ bản trong ví dụ 6. Cần lưu ý là khi thay các điểm M() bằng các điểm M(’) mà M() M(’) thì tập hợp các điểm M() chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của tập hợp các điểm M(’), như trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M(’) là hai đường thẳng song song và cách đường thẳng BC một đoạn , còn tập hợp các điểm M() là đường trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC mà thôi. Trong nhiều trường hợp ta không thành công trong việc đưa về các quỹ tích cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một đường cố định nào đó. Trong trường hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa các điểm của quỹ tích là một hình cố định. Ví dụ 8: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm P di động trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O của nửa đường tròn, tại điểm M. Tìm tập hợp các điểm M. Phân tích phần thuận Nối MB; do OM//AP nên (đồng vị) (so le trong) Mặt khác (vì OA=OP) Vậy mà (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm). Vậy AB cố định, điểm B cố định mà MBAB M luôn chạy trên tia At vuông góc với AB tại B. Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận, ta cần tìm ra cho được mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố định, tìm cách sử dụng các yếu tố không đổi và việc biểu diễn các liên hệ đó. Nếu trong đầu bài có một điểm cố định, ta có thể nghĩ đến tập hợp điểm cần tìm là một đường tròn. Nếu trong đầu bài có hai điểm cố định A, B thì ta nối điểm cần tìm tập hợp M với A, B và thử tính góc AMB hoặc thử chứng minh MA=MB. Nếu trong đầu bài xuất hiện một đường thẳng cố định thì ta thử tính khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đường thẳng cố định ấy. Nếu trong đầu bài xuất hiện hai đường thẳng song song thì hãy liên tưởng đến tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song Ví dụ 9: Cho một đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm P ở ngoài đường tròn, một điểm N di chuyển trên đường tròn. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng PN. Phân tích phần thuận P cố định, O cố định, suy ra trung điểm I của OP cũng cố định. Nối IM. Trong tam giác PON thì IM==không đổi. - Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính . Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình (H’) chứa các điểm M có tính chất , nhưng do những điều kiện hạn chế khác của bài toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình (H’). Trong trường hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn quỹ tích. Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích. Ta có thể coi phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận. Ta cũng có thể đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng biệt, ngang với phần thuận và phần đảo. Trong quá trình dạy học sinh, tôi đặt giới hạn vào trong phần thuận. Làm như vậy sẽ tránh được việc chọn nhầm phải những điểm không thuộc quỹ tích khi tiến hành chứng minh phần đảo. Thông thường, ta tìm các điểm giới hạn của quỹ tích bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trường hợp giới hạn, như trong ví dụ sau: Ví dụ 10: Cho một góc vuông xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có một điểm A cố định và trên cạnh Oy có một điểm B cố định. Một điểm C thay đổi di chuyển trên đoạn thẳng OB. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC. Tìm tập hợp các điểm H. Giải 1) Phần thuận. Vì H là hình chiếu của B trên AC nên Hai điểm A, B cố định. Điểm H luôn luôn nhìn hai điểm A, B dưới một góc vuông nên H nằm trên đường tròn đường kính AB. Chú ý: Đường tròn này cũng đi qua đỉnh O của góc vuông xOy. Giới hạn: Vì điểm C di chuyển trong đoạn OB nên điểm H không thể di chuyển trên cả đường tròn đường kính AB. Ta phải tìm giới hạn. Khi điểm C đến vị trí điểm B thì điểm H cũng đến vị trí điểm B. Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút của đoạn thẳng OB, thì điểm H cũng đến vị trí điểm O. - Vậy khi điểm C di chuyển trên đoạn OB thì điểm H di chuyển trên cung OHB của đường tròn đường kính AB. Như vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, vì điểm C chỉ di chuyển trong đoạn thẳng OB nên ta xét các điểm của quỹ tích khi điểm C dần đến các đầu nút của đoạn thẳng OB, tức là khi CB và khi CO. Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho: Tìm tập hợp các điểm M. Phần thuận Ta có: (đối đỉnh) hay Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn đường kính AC (cũng là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD). Giới hạn. Khi PB thì MB Khi PA thì MA Vậy M chỉ di chuyển trên cung nhỏ AB thuộc đường tròn đường kính AC. Qua các ví dụ trên đây, như ví dụ 10, ta thấy hình (H) tìm được trong khi chứng minh phần thuận (đường tròn đường kính AB) chứa tất cả những điểm nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông nhưng chỉ có những điểm thuộc cung OHB mới là hình chiếu của điểm B trên tia AC mà thôi. Việc tìm giới hạn giúp chúng ta loại bỏ được những điểm không thuộc về quỹ tích cần tìm. 3.2 Chứng minh phần đảo Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất . Ví dụ 10: 2) Phần đảo. Lấy một điểm C’ bất kì trên đoạn OB. Nối AC’ và tia AC’ cắt cung OHB tại một điểm H’. Nối BH’ góc BH’A là góc nội tiếp trong nửa đường tròn nên là hình chiếu của điểm B trên tia AC’. Kết luận: Tập hợp các hình chiếu H của điểm B trên tia AC là cung OB thuộc đường tròn đường kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng không chứa tia Ox, bờ là đường thẳng Oy). Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho: Tìm tập hợp các điểm M. Phần đảo Lấy một điểm P’ bất kì thuộc cạnh AB của hình vuông. Tia CP’ cắt cung nhỏ AB của đường tròn đường kính AC tại điểm M’. Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và suy ra Kết luận: Tập hợp các điểm M là cung AB (không chứa đỉnh C) của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Lưu ý: Tuy vậy, trong nhiều bài toán, ta chứng minh phần đảo bằng cách lấy một điểm M’ thuộc hình (H), ứng với nó ta có một vị trí khác của các yếu tố chuyển động mà M’ phụ thuộc, sau đó ta chứng minh trong những điều kiện ấy M’ có tính chất . Chúng ta sẽ xét ví dụ cụ thể sau đây. Ví dụ 12: Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Giải Phần thuận: Nối OI. Tam giác AOB vuông mà OI là trung tuyến nên = không đổi. Điểm O cố định, điểm I cách điểm O một đoạn không đổi nên I nằm trên đường tròn tâm O bán kính . Giới hạn: Vì điểm A chỉ chạy trên Ox, điểm B chỉ chạy trên Oy và đoạn thẳng AB chỉ di chuyển trong góc xOy nên ta phải giới hạn quỹ tích. Khi điểm A đến trùng với điểm O thì điểm B đến vị trí Bo và điểm I đến vị trí I1trung điểm của đoạn thẳng OB0. Khi điểm B đến trùng với điểm O thì điểm A đến vị trí Ao và điểm I đến vị trí I0 trung điểm của đoạn thẳng OA0. - Vậy khi đoạn thẳng AB di chuyển trong góc xOy thì điểm I nằm trên cung tròn I0I1 thuộc đường tròn tâm O bán kính , tức là cung phần tư đường tròn nằm trong góc xOy. Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I0I1. Quay cung tròn tâm I’, Bán kính , cắt Ox ở A và Oy ở B’. Ta có cân nên Do vậy Tương tự Suy ra ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng. Ta lại có và I’ là trung điểm của A’B’. Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là cung I0I1 thuộc đường tròn tâm O, bán kính (phần nằm trong góc xOy). Ví dụ 13: Cho một góc vuông xOy, hai điểm A, B cố định trên cạnh Ox và một điểm M di động trên cạnh Oy. Đường thẳng vuông góc với MA kẻ từ A cắt đường thẳng vuông góc với MB kẻ từ B tại điểm N. Tìm tập hợp các điểm N. Giải Phần thuận. - Kẻ NHOx. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MN. Do IA=IB(=MN) nên I nằm trên trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu gọi K là trung điểm của AB thì IKAB. Ta lại có IK//OM//NH mà I là trung điểm của MN nên K là trung điểm của OH OH=2OK=không đổi. Vậy điểm N di chuyển trên tia Hz vuông góc với cạnh Ox tại điểm H sao cho OH=2OK. Phần đảo. Lấy điểm M’ trên Oy, nối M’A. Đường vuông góc với M’A kẻ từ A cắt tia Hz tại N’. Nối N’B và M’b. Ta cần chứng minh: N’BM’B Gọi I’ là trung điểm của M’N’. Ta có: (1) (I’A là trung tuyến ứng với cạnh huyền M’N’ của tam giác vuông M’AN’) Mặt khác I’ là trung điểm của M’N’, K là trung điểm của OH nên I’K//M’O I’KAB mà K là trung điểm của AB nên I’K là đường trung trực của AB, cho ta I’A=I’B (2) Từ (1) và (2) suy ra =I’M’=I’N’ Hay tam giác M’BN’ vuông góc tại B. Vậy N’BM’B Kết luận: Tập hợp các điểm N là tia Hz nằm trong góc xOy, vuông góc với cạnh Ox tại điểm H, sao cho OH=2OK (K là trung điểm của đoạn thẳng AB). Lưu ý: Trong bài toán này, liên hệ giữa hai điểm M và N phải thông qua các giả thiết: và N là giao điểm của hai đường vuông góc kẻ từ A với MA, kẻ từ B với MB. Do vậy ta phải chọn một trong ba phương hướng sau đây để chứng minh phần đảo: Chứng minh M’ Chứng minh Chứng minh - Nếu chú ý rằng cách dựng các điểm M, N là như nhau thì ngay từ đầu ta đã có thể dự đoán tập hợp của N phải là một tia tương tự như Oy và trong khi chứng minh phần đảo, sau khi lấy một điểm N’Hz, và dựng lại điểm M’, giao điểm của các đường vuông góc với N’A kẻ từ A với đường vuông góc với N’B kẻ từ B, thì việc chứng minh M’Oy có thể được lặp lại y hệt như phần thuận. Như vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng “kế hoạch” chứng minh phần đảo là rất quan trọng. Nếu khéo chọn, nhiều khi sẽ giảm bớt được các khó khăn trong việc chứng minh và có thể cho ta những lời giải hay. Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách làm hai nhóm tính chất T1 và T2. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn tính chất T1 rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T2. Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T2 mà có nhiều cách chứng minh đảo AIII - Phương pháp giải bài toán cực trị hình học: 1 - Dạng chung của bài toán cực trị hình học: “Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng: a) Bài toán về dựng hình. Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất. b) Bài toán vể chứng minh. Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất. c) Bài toán về tính toán. Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h. Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P. 2 - Hướng giải bài toán cực trị hình học: a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được: + Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( m là hằng số ) + Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được: + Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m ( m là hằng số ) + Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m 3 - Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học: + Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài,chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn ( hoặc lớn hơn ) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra. + Cách 2: Thay điều kiện một đại lượng đạt cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến một điều kiện mà ta xác định được vị trí của các điểm đạt cực trị. Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn( P không trùng với O). Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất. H O C D A B P h .1 Giải: + Cách 1: Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P, và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và không trùng với AB ( h.1). Kẻ OH ^ CD . DOHP vuông tại H Þ OH AB Như vậy trong tất cả các dây đi qua P, dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất. H O A B P h .2 + Cách 2: Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH ^ AB Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm: AB nhỏ nhất Û OH lớn nhất Ta lại có OH ≤ OP Þ OH = OP Û H ≡ P Do đó, max OH = OP Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P. BIII - Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học: Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu: a - Kiến thức cần nhớ:A B H C h.4 a A B H K a b h.5 A B C h.3 a1) ( h.3 ) DABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) Þ AB ≤ BC và dấu “=” xảy ra Û A ≡ C. a2) ( h.4 ) + AH ^ a Þ AH ≤ AB. Dấu “=” xảy ra Û B ≡ H. + AB < AC Û HB < HC a3) ( h.5 ) A, K Îa; B, H Î b; a // b; HK ^ a Þ HK ≤ AB và dấu “=” xảy ra Û A ≡ K và B ≡ H. b - Các ví dụ: A C D B O H A B C D O≡H h.6 h.7 Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó. Giải: Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6) Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Kẻ BH ^ AC. Ta có: SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó: SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 Û BH ≡ BO Û H ≡ O Û BD ^AC Vậy max SABCD = 24 cm2. Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2. Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm của M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác đó. Giải: (h.8) Gọi K là giao điểm của CM và DB Ta có: MA = MB; , Þ DMAC = DMBK Þ MC = MK Mặt khác DM ^ CK C A B K H D M 1 2 y x h.8 Þ DDCK cân Þ Kẻ MH ^ CD. DMHD = DMBD Þ MH = MB = a Þ SMCD = CD.MH ≥ AB.MH = 2a.a = a2 SMCD = a2 Û CD ^ Ax khi đó = 450; = 450. Þ min SMCD = a2. Vậy các điểm C, D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BC = a. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc: a - Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có: AC + CB ≥ AB AC + CB = AB Û C thuộc đoạn thẳng AB. b - Các ví dụ: Ví dụ 3: Cho góc và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất. h.9 O x A B C D m y Giải: (h.9) Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho . Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA. Các điểm D và A cố định. OD = OA, OC = OB, Þ DDOC = DAOB Þ CD = AB Do đó AC + AB = AC + CD Mà AC + CD ≥ AD Þ AC + AB ≥ AD Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C Î AD Vậy min(AC + AB) = AD. Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao cho OB = OC. Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất. A E D F B C G H I K M h.12 A E D F B C G H I K M h.10 A E D F B C G H I K M h.11 Giải: Gọi I, K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG, EH (h.10). DAEF vuông tại A có AI là trung tuyến Þ AI =1/2EF DCGH vuông tại C có CM là trung tuyến Þ CM =1/2GH IK là đường trung bình của DEFG Þ IK = 1/2FG KM là đường trung bình của DEGH Þ KM = 1/2EH Do đó: chu vi EFGH = EF + FG + GH + EH = 2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có: AI