Tài liệu ôn tập lớp 12

PHầN 1 - ĐạO HÀM BÀI TậP Bài 1 – Dùng định nghiã tính đạo hàm cuả các hàm số sau: 1) y = x2 – 2x tại xo = 1 2) y = x3 + x2 – 3x tại x0 = 0 3) tại x0 = 0 4) tại x0 = 1 5) y = sinx tại x0 6) y = cosx tại x0 = Bài 2 : Tìm miền xác định cuả hàm số : 1. y = x2 – 5x + 1 2. y = 3. y = 4. y = 5. y = 6. y = 7. y = 8. y = 9. y = 10. y = 11.y = tgx + cotgx Bài 3 : Tìm miền giá trị cuả hàm số : 1. y = 2. y = 3. y = 4. y = 5. y = 3cosx – 1 6. y = 4.cosx + 3.sinx 7. y = sin2x + 2sinx + 5 7. y = 9. y = Bài 4 : Định m để hàm số y = msinx – 2.(m – 1)cosx + 2 cĩ miền giá trị T = [3 ;7] Bài 5 : Định k để giá trị nhỏ nhất cuả hàm số nhỏ hơn -1 y = Bài 6 : Cho hàm số y = 2sin2x + 3sinx.cosx + 5cos2x. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất cuả hàm số. Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi x ta đều cĩ : Bài 8 – Tính đạo hàm cuả các hàm số sau : 1) y = x3 – 3x2 + 2x – 5 2) y = x8 – 7x3 + 2 tại x0 = 3 3) y = (x2 – 2)(x5 + 4x) 4) y = 5) y = (3x3 + 7x2 – 1)(x100 – 2)(34x15 – 4x) 6) y = tại x0 = -2 7) y = 8) y = x100 + tại x0 = -4 Bài 9 – Tính đạo hàm cuả các hàm số sau : 1) y = x.sinx 2) y = x2.cosx 3) y = x3. tgx 4) y = 5) 6) 7) y = 8) y = ln(lnx) 9) y = xe.ex 10) y = ex.sinx 11) y = e2x.cosx 12) y = ex.sin2x.cos2x 13) y = (x2 + x). 14) y = (x2 – 2x + 1)11 15) y = 16) y = 2 - 17) 18) 19) 20) 21) 22) y = sin5x + cos3x 23) y = tg2x – cotg2x 24) y = sin42x 25) y = tg22x 26) y = 2cos2(4x – 1) 27) 28) y = sin2(cos3x) 29) y = cos[sin(3x+2)] 30) 31) 32) y = ln3(x+1) 33) y = ln(sin3x) 34) y = ln3(sin2x) 35) 36) 37) y = e3x + 5 38) y = esin3x 39) 40) 41) y = x.ex + ex.cosx 42) y = e2x.sin2x 43) y = Bài 10 : Tính đạo hàm các hàm số sau : 1) 2) 3) 4) Bài 11 : Chứng minh đẳng thức: 1) x.y – 2(y’ – sinx) + x.y” = 0 với y =x.sinx 2) y’ – y = ex với y = ex(x + 1) 3) y’.cosx – y.sinx – y” = 0 với y = esinx 4) 2y + 2y’ + y” = 0 với y = e -x.sinx 5) x.y’ = y(y.lnx – 1 ) với y = 6) Cho hàm số Chứng minh : x.y’ + y = 3 7) Cho f(x) = 2sinx – x . Định x sao cho f ’(x) = 0 8) Cho y = tgx. Tìm x sao cho y’ = 2 9) Cho . Tìm x để y’ < 0 10) Định m để hàm số : cĩ y’ < 0 11) Cho f(x) = . Định m để y’ > 0 , " x. 12) Cho y = 2ex.sinx . Chứng minh 2y – 2y’ + y’’ = 0 13) Cho y = ln(cosx). Chứng minh 14) Cho y = cos23x. Chứng minh 15) Cho y = x.cosx Định x sao cho y + y” = 0 16) Cho y = 2x2 + 16cosx – 2.cos2x Định x sao cho y” = 0 17) Cho y = 2cos2x + 4sinx + 2x2 – 1 Định x sao cho y” = 0 18) Cho Tìm x sao cho y’- y” = 0 19) Cho y = 2cos2(4x-1). Tìm tập giá trị cuả y’ 20) Cho f(x) = Tính f(3) + (x – 3)f ’(3) 21) Cho y = .Định a để (y’ + 2).y = 0 cĩ nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đĩ 22) Cho y = sinx + cosx. a. Định a để phương trình cĩ nghiệm. b. Giải phương trình khi a = - 2 23) Cho . Tính PHầN 2: TAM THứC BậC HAI NHị THứC BậC NHấT – TAM THứC BậC HAI: I - NHị THứC BậC NHấT: AX + B = 0 (1) + a = 0 (1) è 0x + b = 0 b = 0 è (1) 0x + 0 = 0 : PT CĨ VƠ Số NGHIệM b ≠ 0 è (1) 0x + b = 0 : pt vơ nghiệm + a ± 0 pt cĩ nghiệm x = - b/a * Xét dấu nhị thức bậc nhất: + Tìm nghiệm của nhị thức ( x = - b/a) + Xét dấu: X ∞ -b/a ∞ Ax + b -a 0 +a Chú ý: +a : cùng dấu với a -a : trái dấu với a II – TAM THứC BậC HAI (TTB2): AX2 + BX + C = 0 (1) + a = 0 (1) trở thành pt bậc nhất. + a ≠ 0 (1) Trở thành pt bậc hai ∆ = b2 – 4ac (∆’ = b’2 – ac ) ∆ < 0 pt vơ nghiệm ∆ = 0 pt cĩ nghiệm kép x1 = x2 = - b/2a ( = - b’/a ) ∆ > 0 pt cĩ 2 nghiệm phân biệt Xét dấu TTB2: Tìm nghiệm của tam thức Lập bảng xét dấu + TH1: f(x) cĩ 2 nghiệm phân biệt (x1 ≠ x2 ) X -∞ x1 x2 +∞ ax2 + bx + c +a 0 -a 0 +a Cách nhớ: Trong trái – ngồi cùng + TH2: f(x) cĩ nghiện kép (x1 = x2 ) (∆=0) è f(x) luơn cùng dấu với a (trừ nghiệm kép x= - b/2a) + TH3: f(x) vơ ngiệm (∆<0) è f(x) luơn cùng dấu với a Chú ý: Xét dấu đa thức f(x) cĩ bậc lớn hơn 2: Tìm nghiệm của f(x) Xét dấu f(x) X -∞ x1 . x +∞ F(x) 0 -a 0 +a Quy tắc xét dấu: Khoảng cao nhất +a Qua ngiệm đổi dấu ( Trừ nghiệm kép, nghiệm bội, ) III - ỨNG DụNG: 1. Cho TTB2 f(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0 ) (1) cĩ nghiệm Chú ý: (1) cĩ 2 nghiệm x1 , x2 . Định lí Viet: 2. So sánh số 0 với 2 nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) ( 2 nghiệm trái dấu ) (2 nghiệm cùng dương) ( 2 nghiệm cùng âm ) 3. So sánh số a với 2 nghiệm x1 , x2 của tam thức: 1. Dạng 1 : Cho f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) f(x)≥0 , "x Û Dạng 2: Cho f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) f(x) ≥ 0 , "xỴ(-¥;a) + TH1: f(x) ≥ 0 , "x + TH2: f(x) = 0 2 nghiệm x1 ≠ x2 BXD X -¥ (-¥;a) x1 x2 +¥ f(x) +a 0 -a 0 +a Từ BXD ta co: a<x1<x2 Chú ý: Giải tương tự đối với các khoảng (a;b), (b;+∞) BÀI TậP 1 - Giải phương trình: 2> Giải và biện luận phương trình: 3> Chứng minh pt sau luơn cĩ 2 phân biệt x2 -2ax + a2 – b2 = 0 (ab≠0) 4> Tìm m để pt sau cĩ nghiệm phân biệt (∆>0), cĩ nghiệp kép, vơ nghiệm: 5> Cho phương trình Tìm miền xác định của pt. Giải pt Bài 6 – Cho pt: x2 + 5x + 3m -1 = 0 Xác định m để phương trình có: 2 nghiệm phân biệt 2 nghiệm pb trái dấu. 2 nghiêm âm phân biệt. Bài 7 – Cho phương trình: (3 – m)x2 + 2mx + m + 2 = 0 Tìm m để phương trình: có 2 nghiệm nhỏ hơn 1. Có 1 nghiệm thuộc khoảng (-1;3), cịn nghiệm kia lớn hơn 3. Bài 8 – Xác định m để phương trình: (m+1)x2 - 2(2m-1) +6m – 3 = 0 có 1 nghiệm nhỏ hơn -1 , còn nghiệm kia lớn hơn 1. Bài 9 – Xác định m để phương trình: (m+3)x2 – 3(m-1)x +4m = 0 Có 1 nghiệm thuộc khoảng (-2;2) còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-2;2] Bài 10 – CMR x2 + 4(sina)x + 4sinacosa -1 = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt "a Bài 11 – Tìm m để pt 3x2 – 6x + 2 m = 0 có 2 nghiệm thoả x1<x2< 2 Bài 12 – Tìm m để f(x)>0 , "x f(x) = x2 + x + m f(x) = -x2 + 8x + m – 12 f(x) = mx2 - 2mx -5m -1 Bài 13 – Tìm m để f(x) thoả: f(x) = x2 – 4mx +2m > 0 "xỴ(-∞;2) f(x) = -x2 + 2(m – 1 )+ m + 3>0 , "xỴ(0 ;1 ) f(x) = 3x2 – 6mx + 3(2m – 1) >0 , "xỴ(-1 ;+∞) f(x) = -4x2 -2x -3m – 2m < 0 , "xỴ(-2 ;+∞ ) TIẾP TUYẾN Cho đường cong y = f(x) (C) Dạng 1: Tại M(x0 , y0 ) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x0 , y0 ) có dạng: y – y0 = f ’(x0)(x-x0) Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị các hàm số tại điểm được chỉ ra: a) tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ là -2 b) tại giao điểm của đồ thị với Oy Dạng 2: Qua M(x0 , y0 ) + Gọi (D) là đường thẳng qua M(x0 , y0 ) (D): y – y0 = k(x-x0) Þ y = g(x) + Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) f(x) = g(x) (*) Ta giải hệ Chú ý: Cho (D ): y = ax + b (d1) ^ (D) Û (d1): y = x + m (d2) ¤¤ (D) Û (d2): y = ax + m Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị các hàm số tại điểm được chỉ ra: tại điểm M(-2;3) Ví dụ: Cho hàm số y = (C ). Viết phương trình tiếp tuyến với (C ). Biết tiếp tuyến : a) Qua M(2,7) và song song với đường phân giác thứ 1 cuả góc tọa độ. b) Qua N(-8,-1) và vuông góc với đường phân giác thứ 2 cuả góc tọa độ. Dạng 3: Họ đồ thị tiếp xúc với một đường thẳng cố định. + Gọi (d) là đường thẳng cố định Þ (d): y = ax + b + (d) tiếp xúc với (C ) Û (*) + Ta đưa (1) về dạng Am + B = 0 (1) Hay Am2 + Bm + C = 0 (2) + Ta giải hệ đối với phương trình (1) Hay đối với phương trình (1) + Suy ra a, b Ví dụ: Cho hàm số : y = x3 + (m – 2)x2 – 2mx + m (Cm ) Chứng minh với mọi giá trị cuả m họ đồ thị (Cm ) luôn tiếm xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Dạng 4: Biện luận số tiếp tuyến + Chú ý: - Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau khi k1.k2 = - 1 - Hai tiếp tuyến hợp nhau góc a thì phương trình theo k phải có 2 nghiệm thoả Dạng 5: Điều kiện để hai đường tiếp xúc nhau tại 1 điểm + Hai đường y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại A(x0 ; y0 ) khi Ví dụ: Cho hàm số y = x2 – mx – 2 (Pm ) và (Hm ) Chứng minh rằng (Pm) luôn cắt (Hm) tại 1 điểm cố định. Tìm m để (Pm ) và (Hm ) tiếp xúc nhau tại điểm đó. Ví dụ: Tìm a để đồ thị y = x2 = a tiếp xúc với đồ thị y = Dạng 6: Các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến song song hay vuông góc nhau: + Nếu A, B là hai điểm trên đồ thị thì : Tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B Û f ’(xA ) = f ‘(xB ) Tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B Û f ’(xA ).f ‘(xB ) = -1 BÀI TẬP Bài 1 – Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị các hàm số tại điểm được chỉ ra: 1) tại điểm M(-2;3) 2) tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ là -2 3) tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ là -1 4) tại giao điểm của đồ thị với Oy 5) tại giao điểm của đồ thị với Oy Bài 2 – Viết phương trình tiếp tuyến của các hàm số sau: 1) : tiếp tuyến có hệ số góc là 3 2) ; tiếp tuyến qua điểm M(1;3) 3) ; tiếp tuyến qua điểm M(0;6) 4) ; tiếp tuyếp qua điểm M(0;5/4) 5) ; tiếp tuyến song song với đường thẳng y= -x 6) ; tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 2x + 3 7) Cho hàm số y = x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C ). Biết tiếp tuyến vuông góc cới đường thẳng 8) Cho hàm số y = (C ). Viết phương trình tiếp tuyến với (C ). Biết tiếp tuyến : a) Qua M(2,7) và song song với đường phân giác thứ 1 cuả góc tọa độ. b) Qua N(-8,-1) và vuông góc với đường phân giác thứ 2 cuả góc tọa độ. Bài 3 – Cho hàm số Lập phương trình tiếp tuyến với (C) (m = 1) đi qua điểm M(2,-1). Chứng minh rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Xác định m sao cho từ M(2,-1) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị (Cm ). Bài 4 - Cho hàm số Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) qua A(0,3/2). Bài 5 – Cho hàm số Lập phương trình tiếp tuyến (D) với (C) biết rằng tiêp tuyến (D) tiêp xúc (C) tại 2 điễm phân biệt. Bài 6 – Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(0,3). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A(-1,3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) // (d): y = 4x -2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ^ (d): y = -2x + 3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C). Bết hệ số góc của tiếp tuyến 3 Gọi I là tâm đối xứng của (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M với (C) cắt 2 đường tiệm cận tại A và B. chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộpc vào vị trí của M trên (C) Bài 7: Cho hàm số y = Gọi A là điểm trên đồ thị có xA = a. Viết phương trình tiếp tuyến D với đồ thị tại A. Xác định a để tiếp tuyến D qua điểm M(1,0) . Chứng minh qua M có 2 tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị trên. Bài 8: Cho hàm số y = . Đồ thị cắt Ox tại A, Oy tại B. Tìm các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó song song với AB Chứng minh qua B có 3 tiếp tuyến đến đồ thị. Tìm các phương trình tiếp tuyến đó. Bài 9:Cho hàm số (Cm) Gọi MỴ(C) có hoành độ x = a. Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại M. Chứng tỏ rằng có 2 tiếp tuyến (d) qua B(1,0) và 2 tiếp tuyến này vuơng góc nhau. Bài 10: Cho hàm số (C) Tìm điểm M trên đường thẳng y = 1 sao cho từ M có thể kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến (C). Tìm điểm M trên đường thẳng y = 2x-1 sao cho từ M có thể kẻ ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C). Tìm điểm M trên đường thẳng y = 1 sao cho từ M có thể kẻ đúng 2 tiếp tuyến đến (C). Bài 11: Cho hàm số Tìm trên Ox các điểm từ đó vẽ được 1 tiếp tuyến duy nhất đến đồ thị trên. Bài 12: Cho hàm số . Tìm trên Ox những điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị. Bài 13: Cho hàm số: y = x3 – 3x + 3 và đường thẳng (D ) có phương trình: y = 9x – 14. Tìm những điểm M trên đường thẳng (D ) để qua M có thể vẽ được: 1 tiếp tuyến đến (C ). 2 tiếp tuyến đến (C ). 3 tiếp tuyến đến (C ). Bài 14: Cho hàm số . Tìm các điểm M trên mặt phẳng toạ độ để từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị trên. Bài 15: Cho hàm số: Chứng minh rằng đồ thị hàm số trên luôn luôn tiếp xuác với 2 đường thẳng cố định. Tìm phương trình hai đường thẳng đó.