Tài liệu ôn tập vào lớp 10 môn Toán

Phần I. căn bậc hai_ căn bậc n Đ 1 một số kiến thức cơ bản liên quan A. Kiến thức cần nhớ: 1.Bất phương trình tích a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0). Nghiệm của phương trình ax + b = 0 cũng gọi là nghiệm của nhị thức ( x0 = -). b) Định lí: (Định lí về dấu nhị thức bậc nhất). Nhị thức ax + b (a ≠ 0) cùng dấu với a với mọi giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức , trái dấu với a với mọi giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. x - ∞ x0 +∞ f(x) = ax + b a.f(x) < 0 a.f(x) > 0 Ví dụ: Xét dấu các nhị thức sau: a) f(x) = 2x – 3 ; b) g(x) = -3x – 5 Giải Phương pháp: +) Xác định dấu của hệ số a +) Tìm nghiệm của nhị thức +) Kết luận: Dựa vào định lí để kết luận a) Ta có: a = 2 > 0. Nhị thức có nghiệm x0 = Vậy f(x) 0 nếu x > ( Hay 2x – 3 0 nếu x > ). b) Ta có: a = -3 < 0. Nhị thức có nghiệm x0 = -. Vậy f(x) -; f(x) > 0 nếu x< -. ( Hay -3x – 5 -; -3x – 5 > 0 nếu x< -). 2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối a) |f(x)| < a Û ; b) |f(x)| ≤ a Û ; c) |f(x)| > a Û ; d) |f(x)| ≥ a Û . B. Các ví dụ: Ví dụ1: Giải các bất phương trình sau: a) 2x – 7 < 0 ; b) -4x + 3 ≤ 0 ; c) (2x – 7)( -4x + 3) ≥ 0 ; d) Giải Phương pháp: 1) Đối với câu a) và b) ta có thể sủ dụng tính chất của bất đẳng thức để biến đổi tương đương 2) Đối với câu c) và d) ta áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất a) 2x – 7 < 0 Û 2x < 7 Û x < Vậy x < là nghiệm của bất phương trình đã cho. b) -4x + 3 ≤ 0 Û -4x ≤ -3 Û x ≥ . Vậy x ≥ là nghiệm của bất phương trình đã cho. c) (2x – 7)( -4x + 3) ≥ 0 (*) Cách 1: Biến đổi tương đương (*) Û Û Û Vậy Bpt (*) có nghiệm là x ẻ Cách 2: Vận dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất 1) Tìm nghiệm của các nhị thức bậ nhất: 2x – 7 = 0 Û x = ; - 4x + 3 = 0 Û x = 2) Lập bảng xét dấu: x -∞ +∞ 2x – 7 - - 0 + -4x + 3 + 0 - - VT - 0 + 0 - 3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = d) 1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất: x – 1 = 0 Û x = 1; 2 – x = 0 Û x = 2; 2x – 6 = 0 Û x = 3 2) Lập bảng xét dấu: x -∞ 1 2 3 +∞ x – 1 - 0 + | + | + 2 – x + | + 0 - | - 2x – 6 - | - | - 0 + VT + | - | + || - 3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập ghiệm S = (1;2)ẩ(3; +∞) Ví dụ2: Giải các bất phương trình sau: a) 2x2 – 3x + 1 < 0 ; b) x2 + 4x +5 ≥ 0 ; c) -2x2 +4x – 6 ≥ 0 ; d) 2x2 – 5x + 2 < 0 Hướng dẫn giải Phương pháp: Phân tích vế trái của các bất đẳng thức thành tích các nhị thức rồi thực hiện cách giải như ví dụ 1. a) 2x2 – 3x + 1 < 0 (1) (1) Û 2x2 – 2x – x + 1 < 0 Û 2x(x – 1) – (x – 1) < 0 Û (2x – 1)(x – 1) < 0 b) x2 + 4x +5 ≥ 0 Û x2 + 4x + 4 + 1 ≥ 0 Û (x + 2)2 + 1 ≥ 0 Luôn đúng với mọi x. c) -2x2 +4x – 6 ≥ 0 Û -2(x2 – 2x + 1) – 4 ≥ 0 Û -2(x - 1)2 – 4 ≥ 0 vô lí. d) 2x2 – 5x + 2 < 0 Û 2x2 – 4x – x + 2 < 0 Û 2x(x - 2) – (x – 2) < 0 Û (2x – 1)(x - 2) < 0. Ví dụ3: Giải các bất phương trình sau: a) |1 - 3x| 4 ; c) |x2 – 5x + 5| ≥ 1 ; d) < 3. Giải a) |1 - 3x| < 2 Û - 2 < 1 – 3x < 2 Û - 3 < -3x < 1 Û - < x < 1 Vậy bất phương trình có nghiệm x ẻ (- ; 1). b) |5x + 3| > 4 Û Û Vậy bất phương trình có nghiệm x ẻ(-∞;-)ẩ(;+∞). c) |x2 – 5x + 5| ≥ 1 Û Û Vậy bất phương trình có nghiệm x ẻ(-∞;1] ẩ [2;3] ẩ [4; +∞) . d) < 3 Û Û Û (*) Û Û Û Û x < Vậy bất phương trình có nghiệm x ẻ(-∞; ). Chú ý: Nhiều bạn thường hay mắc sai lầm ở phép biến đổi: Û Û Điều đó chỉ đúng khi 2 – x > 0 Û x < 2. C. Bài tập Giải các bất phương trình sau: 1) 3x – 7 > 0 ; 2) x2 – 4x – 21 > 0 ; 3) x2 – 4x + 1 < 0 ; 4) – 3x2 + x – 1 < 0; 5) 2x2 – 5x + 4 < 0; 6)|3x + 4| < 6 ; 7) . Đ 2 biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số A. Kiến thức cần nhớ: 1) Hằng đẳng thức đáng nhớ: +) (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. +) (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 +) a2 – b2 = (a - b)(a + b) +) a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) 2) Các quy tắc về luỹ thừa(a, b, c ≠ 0, mẻZ). +) am.an = am+n ; +) am : an = am-n . +) (am)n = am.n = an.m ; +) (abc)m = ambmcm. +) ; +) a-m = . 3) Các quy tắc về căn bậc hai: +) Điều kiện có nghĩa của là A ≥ 0. nếu a ≥ 0 nếu a < 0 +) Quy ước ≥ 0. +) Với các điều kiện có nghĩa thì: +) ; ; +) +) (b ≠ 0); +) nếu a ≥ 0 nếu a < 0 +) a +) +) ; (đk : mẫu thức khác 0) b.các dạng toán: Dạng 1: Phân tích thành nhân tử I.Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử các đa thức sau: a) ab + ac + b2 + 2bc + c2; b) x3 – 6x2 + 11x – 6; c) x6 – x4 – 2x3 + 2x2 d) x6 – y6 d) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2). Giải Nhóm các số hạng: (ab + ac) + (b2 + 2bc + c2) = a(b + c) + (b + c)2 = (b + c)(a + b + c). Tách các số hạng -6x2 và 11x ta có: x3 – x2 – 5x2 + 5x + 6x – 6 = x2(x - 1) – 5x(x - 1) + 6(x - 1) =(x - 1)(x - 2)(x - 3). c) Đặt x2 làm nhân tử chung: x6 – x4 – 2x3 + 2x2 = x2(x – 1)2(x2 + 2x + 2) Dùng hằng đẳng thức: x6 – y6 = (x - y)(x + y)(x2 – xy + y2)(x2 + xy + y2) Chú ý rằng: y2 – z2 = -(z2 – x2 + x2 – y2), thay vào đẳng thức. Chú ý: Trong thực hành với đa thức bậc n, ta có thể sử dụng kết quả sau đây: Xét đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0. Nếu P(x) có nghiệm x = a, tức P(a) = 0 thì P(x) chia hết cho (x – a) và ngược lại. Khi đó P(x) = (x - a)Q(x) trong đó Q(x) có bậc n – 1. Nếu tổng các hệ số an+ an-1+ + a2+ a1+ a0 = 0 thì P(x) có nghiệm x = 1. Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) có nghiệm x = - 1 Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử các đa thức sau: a) a3 + 3a2 – 6a – 8 ; b) a - 3 + 2; c) ; d) a + 4 + 3 e) a - 2b- 3b. Giải a3 + 3a2 – 6a – 8 = (a + 1)(a2 + 2a - 8) = (a + 1)(a + 4)(a - 2). a - 3 + 2 = ( - 1)( - 2). = (x - - 2) = ( + 1)( - 2) . a + 4 + 3 = ( + 1)( + 3) a - 2b- 3b = a - 2b- 2b- b = (a - b) – 2b(+) = ( - )(+) -2b(+) = (+)(a - - 2b) = (+)(a - - b - b) = (+)[a – b - (+)] = (+)2( - 2). II.Bài tập vận dụng: Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a) a2 – 2ab –c2 + b2 ; b) 3xy2 + 6xy + 3x; c) -6x2 + 5x + 1; d) abx2-(a2 + b2)x + ab; e) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x – y) . Bài 2: Phân tích thành nhân tử: a) a – 9 với a > 0; b) a - 5 + 4 ; c) -6x +5 + 1 ; d) 7 - 6x – 2; e) 2a + - 6b với a > 0; b > 0; f) 6y2 – 5y - x; g) 6 - 4x - 9y + 6xy ; h) x - 2 - a2. Bài 3: Phân tích thành nhân tử: a) x4 – 4x2 + 12x – 9 ; b) x4 – 4x – 1 ; c) x3 – 3x2 + 2; Dạng 2: Rút gọn biểu thức 1.Biểu thức không chứa biến số: I.Các ví dụ: Ví dụ 1: Phương pháp: áp dụng hằng đẳng thức để phâp tích các biểu thức trong căn bậc hai thành các tổng_hiệu bình phương. Rút gọn các biểu thức a) A = ; b) B = . Giải 6 + 2 = 5 + 2 + 1 = ( + 1)2 5 - 2 = 3 - 2 + 2. Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức a) C = ; b) D = Giải a) b) ; Ví dụ 3: Thực hiện các phép tính: a) ; b) ; Giải a) = = = = 2. b) = 8. Ví dụ 4: Thực hiện các phép tính: a) M = ; b) N = . Giải a) Chú ý rằng : 5 + = ; 5 - = b) Chú ý: 7 . Ví dụ 5: Thực hiện các phép tính: a) P = ; b) N = . Giải a)Nhận xét: 40 < 57 nên: P2 = 57 - 40 + 40 + 57 -2. Do P < 0 nên: p = -10. b) Trục căn thớc khỏi mẫu sốbằng cách nhân cả tử, cả mẫu với các biểu thức liên hợp:. Từ đó: Q = . II.Bài tập vận dụng: Rút gọn các biểu thức sau: 1) ; 2) ; 3); 4); 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 2.Biểu thức có chứa biến số: I.Các ví dụ: Phương pháp: +) Phân tích đa thức thành nhân tử +) Giản ước các biểu thức đồng dạng Lưu ý: Đối với biểu thức có chứa biển đưới dấu căn bậc hai nên đặt điều kiện để căn thức có nghĩa. Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = a) Tìm tập xác định của biểu thức A. b) Rút gọn các biểu thức A. Giải Biến đổi biểu thức: A = = = Điều kiện để A có nghĩa: x ≥ |x - 2| Û Û x ≥ 1 Tập xác định của A: { x |x ẻR; x ≥ 1}. Nếu x ≥ 2 thì A = = Nếu 1 Ê x < 2 thì A = = . Ví dụ 2: Rut gọn biểu thức: a) A= ; b) B= ; c)C= và tính giá trị của biểu thức nếu . Giải a) A= = = b) B= = = c)C= . Ta có: MT = TT = VậyC= = Với ; C = . Ví dụ 3: Rut gọn biểu thức: a) A = |x - 1| - |1 – 2x| với x < ; b) P = và chứng minh rằng nếu a > 1 thì P(a).P(-a) < 0. c) Q = với x > 2. d) B = với 4 < x < 5. Giải a)Vì x < nên x – 1 < 0 ị|x - 1| = 1 – x 1 – 2x > 0 ị |1 – 2x| = 1 – 2x nếu x ≥ 0 nếu x < 0 Vậy A = 1 – x – (1 – 2x) = x b) 2x - - 1 = 2x - |x| - 1 = 3x2 – 4x + 1 = 3x2 - x – 3x + 1 = (x - 1)(3x - 1) nếu x ≥ 0 nếu x < 0 Vậy P = Có P(a) = >0 (vì a > 1) P(-a) = < 0 (vì -a < -1 < 0) Suy ra: P(a).P(-a) < 0. Có thể viết Q = vì x > 2 ị |x| = x;|2 - x| = x – 2, đồng thời 2x – 1 ≠ 0, do đó : Q = d) Có thể viết B = |x - 4| + |5 - x|. Vì 4 0 và 5 – x > 0 do đó : B = (x - 4) + (5 – x ) = 1. II.Bài tập vận dụng: Bài 1: Rút gọn biểu thức B = Tính giá trị của B nếu a = ; b = Bài 2: Rút gọn biểu thức B = Bài 3: Rút gọn các biểu thức: A = B = với x = 2 - ; x = 2 + . C = . D = với x > y > 0. E = với x = ; b > a > 0. F = với x = 0 < a < 1. P = (a + b) - với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Q = Bài 4: Rút gọn biểu thức a) b) c) và tính số trị của biểu thức nếu Bài 5: Rút gọn biểu thức a) ; b) ; c) ; d); e) ; f) . Dạng 3: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến số Phương pháp: Thực ra đây cũng là bài toán rút gọn biểu thức, vì vậy khi thực hiện bài toán này các em chỉ việc rút gọn biểu thức đó đến khi không còn biến số thì ta được điều phải chứng minh. I.Các ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số: A = với x > 0; y > 0; x ≠ 9. Giải Phân tích các mẫu thức thành nhân tử: +) +) +) x – 9 = MTC = Vậy : A = = 0 Suy ra A không phụ thuộc vào biến số (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số: B = với x > 0; y > 0; x ≠ y. Giải B = = = (đpcm). Ví dụ 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số: C = Với a > 0; a ≠ 1. Giải MTC = 2(1+)(1-)(1+ a) C = = (đpcm). II.Bài tập vận dụng: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến số: a) với x > 0 ; y > 0; x ≠ y . b) Với x > 0; . c) Với x > y > 0. d) Với x > 0; y > 0; x ≠ ±y. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức: Phương pháp: Thực ra đây cũng là bài toán rút gọn biểu thức, tuy nhiên khác với bài toán trên ở chổ : Khi biến đổi không nhất thiết phải làm cho biểu thức thật gọn mà ta phải hướng mục tiêu cuối cùng là làm xuất hiện vế còn lại. Để biến đổi A = B ta có thể áp dụng các phương pháp sau: 1) Chỉ ra A – B = 0. 2) Biến đổi A thành B (hoặc ngược lại) 3) Biến đổi A = C và đồng thời B = C. I.Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức: Với a > 0 ; b > 0; a ≠ b. Giải Vt = (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức: Với x > 0 ; y > 0; x≠ y. Giải VT = = = (đpcm). Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức: Với a > 0 ;b > 0; a ≠ b. Giải VT = = = (đpcm). II.Bài tập Chứng minh các đẳng thức sau: 1) Với x ≠ 0; y ≠ ±2x. 2) Với a ≠ ± 1. 3) Với a ≠ ± b; a ≠ 0; b ≠ 0. 4) Với a > 0; a ≠ 1. 5) Với a ≥ 0 ; a ≠ 1 nếu 2 ≤ a ≤ 6 6) Với |a| > |x|. nếu a > 6 7) Bài tập tổng hợp: Ví dụ 1: Cho biểu thức: M = a) Rút gọn M. b) Tính giá trị của M khi a = . Giải a) Điều kiện để M có nghĩa là: Û -1 < a < 1 M = =. b) Với a = = Thay vào M ta có: M = Ví dụ 2: Cho biểu thức: N = a)Rút gọn N. b)Tìm các giá trị của a sao cho N < 1. c)Tính giá trị của N nếu a = 19 - 8 Giải a)Điều kiện có nghĩa a ≥ 0 và a ≠ 1. N = = b) N < 1 Û Û (1) Vì a + 2 > 0 nên Û Û 0 ≤ a < 1. Vậy 0 ≤ a < 1 thì N < 1. c)Nhận xét: a = 19 - 8 = Thay vào biểu thức , ta được : N = . Ví dụ 3: Cho biểu thức: P = a)Rút gọn P. b)Tìm các giá trị của x ẻ Z sao cho P ẻ Z. Giải a)Điều kiện: x ≥ 0 và x ≠ 1. MTC = P = = = b) P = 1 + , Ta có P ẻ Z Û ẻ Z Û - 1 là ước của 2.Do đó - 1 nhận các giá trị bằng ±1; ±2, từ đó: +) - 1 = -1 Û x = 0 ; +) - 1 = 1 Û x = 4; +) - 1 = -2 Û Vô nghiệm ; +) - 1 = 2 Û x = 9. Vậy với x = 0; 4; 9 thì P ẻ Z. Ví dụ 4: Cho biểu thức: A = a)Rút gọn A. b)Chứng minh rằng A ≥ 0. c) So sánh A với . Giải a)Điều kiện: (*) A = = = = = b) Ta có : ≥ 0 và x - + y = Nên với mọi x , y thỏa mãn điều kiện (*) thì A ≥ 0. c)Ta có hay x - + y > suy ra Vậy 0 ≤ A < 1. Với A = 0 thì = A. Với 0 < A < 1 thì < 1 Û ( - 1) < 0 Û A < . Ví dụ 5: Thực hiện các phép tính sau : a) A = Với x ≥ 2. b) Với a ≥ 0 ; b ≥ 0 Giải A2 = x - = 2x +2 = 2x +4 Vì A ≥ 0 nên A = . b) = = = = = = = 1 Ví dụ 6: Cho biểu thức: A = Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của a để A = Giải Điều kiện: a) A = = = = = = b)Để A = Û = Û Û Û Vậy với a = 4 hoặc a = thì A = . Ví dụ 7: Cho biểu thức: B = a)Rút gọn B. b)Cho B = tìm giá trị của a. c) Chứng minh rằng: B > . Giải Điều kiện: B = = = = = = = = = = . b) Với B = Û Û Û a - + 1 = 0 Û c) Biết rằng (-1)2 ≥ 0 nên a + 1 ≥ 2 hay ≤ . Do đó, ta có : a + + 1 ≤ a++1 = (a + 1) (1) Theo điều kiện bài toán thì a + + 1 > 0 suy ra (1) Û ≥ Vì a ≠ 1 nên dấu bằng không xảy ra, suy ra: > . (đpcm). Ví dụ 8: Cho biểu thức: M = a)Rút gọn M. b)Với giá trị nào của x thì M < 1. Giải Điều kiện : a) M = = = = = = = . b)Với M 2 Û x > 4. Vậy với x > 4 thì M < 1. Bài tập Bài 1: Cho biểu thức Q = a)Rút gọn Q. b) Tính giá trị của Q với a = 2; b = 3 Bài 2: Cho biểu thức: M = a)Rút gọn Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. Bài 3: a)Chứng minh đẳng thức: b) Từ kết quả trên suy ra với giá trị nào của a thì biểu thức P = đạt giá trị nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài 4: Cho biểu thức : Q = a)Rút gọn Q. b) Tìm giá trị của x để Q = 6. Bài 5: Cho biểu thức: M = a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị của x để M > 0; M < 0. Bài 6: a) Tính A = b) Phân tích thành nhân tử: B = 4x3 + 8x2 + x – 3. Bài 7: Cho biểu thức: P = a)Rút gọn P. b) Xét dấu của biểu thức: P.. Bài 8: Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của a để P > . Bài 9: Cho biểu thức: A = a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài 10: Cho biểu thức sau với x, y nguyên dương: A = a) Rút gọn A. b) Cho xy = 16. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất Bài 11: Cho biểu thưcsau với x > 0, y > 0, x ≠ 4y, x ≠ 1: A = a) Rút gọn A. b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2 Bài 12: Cho hai biểu thức: A = ; B = a) Tìm điều kiện để mỗi biểu thức có nghĩa. b) Rút gọn A và B. c) Tính tích A.B với x = - ; y = + . Bài 13: Cho biểu thức: A = a)Rút gọn A. b) Tính giá trị của A nếu x = 2008 -2. Phần II hàm số hàm số bậc nhất-phương trình & hệ phương trình bậc nhất Đ 1 Khái niệm về hàm số A. kiếm thức cần nhớ 1.Định nghĩa: Hàm số là một quy tắc đặt tương ứng mỗi giá trị x ẻ D duy nhất một giá trị y ẻ R . Kí hiệu y = f(x). 2. Các khái niệm liên quan: +) Giá trị x gọi là biến số (đối số) của hàm số. Giá trị y gọi là giá trị của hàm số. +) Tập D gọi là tập xác định của hàm số. +) Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số. Chú ý: Nếu hàm số được cho bởi một công thức thì tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa. 3. Đồ thị của hàm số: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x;f(x)). 4.Hàm số đồng biếm,nghịch biến Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên D. Nếu x1 f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên D. B. các ví dụ Ví dụ 1: Các quy tắc sau, quy tắc nào là một hàm số? Đ 2 hàm số bậc nhất- phương trình và hệ phương trình bậc nhất A. kiếm thức cần nhớ 1. Hàm số bậc nhất: Đ/n: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b (a ≠ 0). a. Tập xác định: D = R b. Chiều biến thiên: +) Nếu a > 0 thì hàn số đồng biến. +) Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến. y x y x O O A(0;b) B(-;0) a > 0 a < 0 A(0;b) B(-;0) c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳngcắt cả trục tung và trục hoành lần lượt tại A(0;b),B(-;0). Nhận xét: Đồ thị hàm số đồng biến là một đường hướng lên từ trái qua phải. Đồ thị hàm số nghịch biến là đường hướng xuống từ trái qua phải. y x O A(0;b) a = 0 y = b Đồ thị của hàm số bậc nhất còn gọi tắt là đường thẳng , còn biểu thức y = ax + b còn gọi là phương trình của đường thẳng, a gọi là hệ số góc của đường thẳng và (với là góc tạo bởi đường thẳng và trục hoành). Nếu a = 0 thì hàm số có dạng y = b , đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b) và song song với trục hoành. 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng có phương trình: y = a1x + b1 (d1) ; y = a1x + b1 (d2). ã d1cắt d2 a1 ≠ a2; ã d1 // d2 ã d1 º d2 ; ã d1 ^ d2 a1. a2 = -1 . 3. Phương trình dạng ax + b = 0 (1) (a;b ẻ R) ã Nếu a ≠ 0 : Pt (1) gọi là phương trình bậc nhất và luôn có nghiệm duy nhất . ã Nếu a = 0; B ≠ 0: Pt (1) vô nghiệm. ã Nếu a = 0 và b = 0 : Pt (1) nghiệm đúng "x ẻ R. 4. Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (1) (a2 + b2 ≠ 0) tùy ý Phương trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là: tùy ý tùy ý hoặc . ã Tập hợp các điểm M(x;y) trong đó x, y thỏa mãn (2) là một đường thẳng. 5. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c (1) a’x + b’y = c’ (2) Có dạng: (I) ã : Hệ (I) có nghiệm duy nhất, ĐT(1) cắt ĐT(2). ã : Hệ (I) vô nghiệm, ĐT(1) song song với ĐT(2). ã: Hệ (I) có vô số nghiệm (x;y) thỏa mãn (1) hoặc (2), ĐT(1) trùng ĐTT(2). Phương pháp giải: ã Phương pháp thế ã Phương pháp cộng đại số. Phương pháp thế: Rút một ẩn từ một phương trình rồi thế vào phương ttrình còn lại. Phương pháp cộng đại số: cân bằng hệ số của một ẩn ở cả hai phương trình rồi trừ theo vế hai phương trình để khử bớt một ẩn.Tìm ẩn còn lại. B. các ví dụ về giải toán Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d) a) Xác định m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b) Xác định m để đường thẳng (d) : 1) Song song với trụ hoành. 2) Song song với đường thẳng có phương trình: x – 2y = 1. (d’) 3) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x = 2 - . c) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi , tìm điểm cố định đó. Giải a) -Hàm số đồnh biến nếu: m – 1 > 0 Û m > 1. -Hàm số đồnh biến nếu: m – 1 < 0 Û m < 1. b)Tìm m: 1) Đường thẳng (d) song song với Ox khi và chỉ khi m – 1 = 0 Û m = 1. 2) Viết lại đường thẳng (d’) dưới dạng: y = x - Hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau khi và chỉ khi : 3) Điểm A có tọa độ : A (2 - ;0) . Do đường thẳng (d) đi qua A nên ta có: 0 = (m - 1) (2 - ) + m Û m = . c) Điểm cố định: Cách 1: (Phương pháp hệ số bất định) Gọi M(x0;y0) là điểm cố định (nếu có) của đường thẳng (d), khi đó: y0 = (m - 1)x0 + m " m ẻ R Û (m - 1)x0 + m – y0 = 0 (*) " m ẻ R Vì (*) đúng với mọi " m ẻ R nên: Với m = 0: - x0 – y0 = 0 Û x0 = -y0 (a) Với m = 1: 1 – y0 = 0 Û y0 = 1 thay vào (a) ta có: x0 = -1. Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1). Cách 2: (Phương pháp đồng nhất thức) Gọi M(x0;y0) là điểm cố định (nếu có) của đường thẳng (d), khi đó: y0 = (m - 1)x0 + m " m ẻ R Û (x0 + 1)m – ( y0 + x0) = 0 (*) " m ẻ R Û Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1). Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (D) trong đó hai số m , n là hai số thực cho trước. Tìm m và n để đường thẳng (D) đi qua hai điểm A(1;-2) và B(3; -4). Tìm m và n để đường thẳng (D) cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = 1 - và cắt trụ hoành tại điểm N có hoành độ x = 2 + . Tìm m, n để đường thẳng (D) : Vuông góc với đường thẳng có phương trình x – 2y = 3. (D1) Song song với dường thẳng có phương trình 3x + 2y =1. (D2) Trùng với đường thẳng có phương trình y – 2x + 3 = 0. (D3) Giải a) Vì đường thẳng (D) đi qua A và B nên ta có hệ sau: b) M(0; 1 - );N(2 + ;0). Tương tự như câu a) ta có hệ sau: c) Xác định m, n: 1) Đường thẳng (D1) viết lại dưới dạng: y = Điều kiện để đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng (D1) là: (m - 2). = -1 Û m – 2 =-2 Û m = 0. 2) Viết 3x + 2y = 1 dưới dạng y = -x + , điều kiện là : 3) Viết y - 2x + 3 = 0 dưới dạng y = 2x – 3, điều kiện là: Ví dụ 3: Cho phương trình: mx – 1 = m2 + x (1) (x là ẩn ) Giải phương trình khi m = . Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất âm. Giải a) Đưa phương trình về dạng: (m - 1)x = m2 +1 Với m = ta có phương trình: x = ( + 1 )2 +1 Û x = 2 + 2. b) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là: m – 1 ≠ 0 Û m ≠ 1 Khi đó: x = Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a) ( 1) ; b) (2). Giải a) Điều kiện cps nghĩa cúa rphương trình là: . Với điều kiện trên thì (1) Û 2(x2 - x) = (x – 3 )(2x + 5) Û 2x2 – 2x = 2x2 + 5x – 6x – 15 Û x = 15 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trìng có một nghiệm x = 15 b) Điều kiện có nghĩa là : x ≠ ±1. ( Chú ý rằng x2 + x + 1 = "x). Với điều kiện trên ta có : (2) Û (x + 1)(x2 + x + 1) – (2x + 1).2.(x - 1) + 3(x - 1)(x2 + x + 1) = 0 Û x3 + x2 + x + x2 + x + 1 – 4x3 + 4x – 2x2 + 2 + 3x3 + 3x2 + 3x – 3x2 – 3x – 3 = 0 Û x = 0 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0. Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a) ( 1) ; b) (2); c) (3); d) (4). Giải a) Cách1: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối: Nếu 1 – 2x ³ 0 Û x Ê : Û 1 – 2x = x – 1 Û x = (lọai vì > ). Nếu 1 – 2x : Û 2x – 1= x – 1 Û x = 0 (loại vì 0 < ) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Cách 2: Nhận xét: Vế trái của phương trình đã cho là không âm nên: (1) Û Vô lí. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. b) Ta có: x2 – 2x + 1 = (x - 1)2 ³ 0. Û Û Û c) Chú ý rằng nếu a ³ 0 và b ³ 0 thì a +b = 0 Û . Vậy Û Vậy phương trình có cặp nghiệm là: (1; -3). d) Tương tự: Û Û x = y = -1. Vậy phương trình có cặp nghiệm là: (-1; -1). Ví dụ 6: Cho hệ phương trình: Giải hệ phương trình khi a = - 1 . Chứng minh rằng với mọi a hệ đều có nghiệm. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y < 0. Tìm a để hệ cónghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x = y Giải a) Khi a = - 1 hệ có dạng : b) Cách1: Rút y = ax – 2 từ phươngtrình đầu, thay vào phương trình thứ hai ta được: (a2 + 1)x = 3 + 2a. Vì a2 + 1 ≠ 0 "a nên: , từ đó suy ra : y = Vậy với mọi a hệ đều có ngiệm. Cách 2: Với a = 0 hệ có nghiệm x = 3; y = -2. Với a ≠ 0 thì hai đường thẳng có phương trình y = ax – 2 (d1) và y = + là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên cắt nhau. Vậy hệ luôn có nghiệm với mọi a. c) Theo câu b) ta có hệ có nghiệm duy nhất ; y = nên: x + y < 0 Û Û d) Ta có x = y Û Û a = Ví dụ7: Giải các hệ phương trình: a) ; b) . Giải a) Vì x ≠ 0 ; y ≠ 0. (để hệ phương trình có nghĩa), chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho xy ta được hệ tương đương: Đặt u = ; v = ta có hệ : ; Từ đó suy ra hệ có nghiệm (2;3). b) Với điều kiện , Đặt thì phương trình thứ nhất trở thành: t + = 2 Û (t - 1)2 = 0 Û t = 1. Vậy: Ta có hệ sau: Ví dụ8: (Thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ có nghiệm: (1;4). (1) (2) Giải hệ phương trình: . Giải (*) (1’) (2’) Từ (1) Từ (1’) và (2) ta có hệ : Û (thỏa mãn điều kiện (*). Từ (2’) và (2) ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện (*). Vậy hệ phương trình đã cho có (2) nghiệm (3;4) và (-1;2). Ví dụ 9: a) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) và có hệ số góc bằng k . b) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x1;y1) và N(x2;y2). c) Lập phương trình đường thẳng đi qua diểm M(-1;3) và: 1) Song song với đường thẳng có phương trình 3x – 2y = 1. 2) Vuông góc với đường thẳng có phương trình: 3y – 2x + 1 =0. Giải a) Phương trình đường thẳng có dạng y = kx + b (*) . Vì đường thẳng đi qua A(x0;y0) nên y0 = kx0 + b ị b = y0 – kx0. Thay vào (*) , ta có y = kx + (y0 – kx0) , hay: y – y0 = k(x – x0) b) Xét các trường hợp: ã y1 = y2 và x1 ≠ x2 : Đường thẳng MN//Ox có phương trình: y = y1 (= y2) ã x1 = x2 và y1 ≠ y2 : Đường thẳng MBN//Oy có phương trình x = x1 (= x2) ã x1 ≠ x2 và y1 ≠ y2 .Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax +b. Vì đường thẳng đi qua M, N nên ta có : Trừ vế với vế ta được : y2 – y1 = a(x2 – x1) Suy ra : a = áp dụng câu a) ta có phương trình cần tìm là: y = (x – x1) + y1 Û Ví dụ vận dụng: Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1;-2) và N(3;-4). Ta có: a = Vậy phương trình đường thẳng đi qua M,N là: y = - (x - 1) – 2 Û y = - x – 1. c) 1) Viết phương trình 3x – 2y = 1 dưới dạng: y = Vậy a = . áp dụng câu a) ta có : y = 2) Viết phương trình 3y – 2x + 1 = 0 dưới dạng : y = . Vậy a = . Gọi k là hệ số góc đường thằng cần tìm ta có k. = -1 Û k = -. Vậy phương trình cần thành lập là: y = . c. bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương tr