Thử sức trước kì thi Đại học môn Toán - Đề 3

SỞ GD&ĐT BẮC NINH  TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI 2  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011( lần 1)  Môn; Toán ; Khối: D  Thời gian làm bài: 180 phút  Ngày thi: 21/ 10/ 2011  PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)  Câu I ( 2 điểm)  Cho hàm số  2  ( )  3  x  y C  x + = -  1)  Khảo sát và  vẽ đồ thị (C).  2)  Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng  bằng  1  5  khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.  Câu II ( 2 điểm)  1)  Giải phương trình :  3 2sin cos 2 cos 0 x x x - + =  2)  Giải bất phương trình:  2 2 2 3 5 4 6 x x x x x - - + £ - -  Câu III ( 1 điểm)  Tính  1  2  0  ln(1 ) I x x dx = + ò  Câu IV ( 1 điểm)  Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông  góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối  chóp S.AHK theo a.  Câu V ( 1 điểm)  Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 1 P= x y y x æ öæ ö + + ç ÷ç ÷ è ø è ø .  PHẦN RIÊNG ( 3 điểm)  Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( Phần A hoặc phần B)  A. Theo chương trình Chuẩn  Câu VI.a ( 2 điểm)  1)  Cho tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH và trung tuyến CM lần lượt có phương trình  d: 2x ­ 5y + 3 = 0 và d’: x + y ­ 5  = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC.  2) Cho mặt cầu (S) :  2 2 2 ( 3) ( 2) ( 1) 100 x y z - + + + - =  và mặt phẳng  ( ) : 2 2 9 0 x y z a - - + =  Chứng minh rằng (S) và  ( ) a  cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính  của đường tròn (T) .  Câu VII.a ( 1 điểm)  Tìm số phức z, nếu  2  0 z z + =  .  B. Theo chương trình Nâng cao  Câu VI .b ( 2 điểm)  1)  Cho đường tròn ( C)  2 2  2 4 4 0 x y x y + - - - =  và điểm A (­2; 3) các tiếp tuyến qua A của ( C)  tiếp xúc với ( C) tại M, N .Tính diện tích tam giác AMN.  2)  Cho hai đường thẳng d:  2  1  1  1  1  2 - = - - = -  z y x  và d’: ï î ï í ì = - = + =  t z  t y  t x  2  4  Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’.  Câu VII.b ( 1 điểm)  Cho hàm số  2  3 2 x x  y  x - + =  (C). Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà từ đó  kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( C).  Cảm ơn từ taphieu@gmail.com.vn  gửi tới www.laisac.page.tl y  x ­2  3  1  0  ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011  (Đáp án gồm 7 trang)  Câu  ý  Nội dung  Điểm  Câu I  2 đ  1)  1 điểm  1/Tập xác định: { } \ 3 D R =  .  0,25  2/ Sự biến thiên  a­Chiều biến thiên : Ta có  2  5  ' 0  ( 3)  y  x - = < -  Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng -¥ +¥ ( ;3) vµ (3; )  b­Cực trị: Hàm số không có cực trị  c­ Giới hạn:  3  2  lim ( ) 3 x  x  x - ® + = -¥ -  ;  3  2  lim ( ) 3 x  x  x + ® + = +¥ - ÞHàm số có tiệm  cận đứng x=3  2  lim ( ) 1  3 x  x  x ®±¥ + = Þ -  Hàm số có tiệm cận ngang 1 y =  0,25  d­Bảng biến thiên:  x  ­¥  3  +¥  y’  ­  ­  y         1  +¥  ­¥  1  0,25  3/ Đồ thị:  Đồ thị nhận I(3;1) làm tâm đối xứng  Giao với trục:Ox tại (­ 0 ; 2  ),với Oy  2 (0; )  3 -  0,25  2)  1 điểm  +)Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là d1, d2  ( ) M C Π nên  2  ;  3  x  M x  x + æ ö ç ÷ - è ø  0,25 +) Ta có  1 ( , ) 3 d M d x = -  ,  2  2 5  ( , ) 1  3 3  x  d M d  x x + = - = - -  0,25  +)Theo bài ra ta có  2  4 1 5  3 ( 3) 1  2 5 3  x  x x  x x = é - = Û - = Û ê = - ë  0,25  Vậy có 2 điểm thỏa mãn  1 2 (4;6), (2; 4) M M -  0,25  Câu II  2 đ  1)  1 điểm  +)pt  3 2 2sin (1 2sin ) cos 0 x x x Û - - + =  2 2sin (1 s inx) (1 cos ) 0 x x Û + - - = [ ] (1 cos ) 2(1 cos )(1 s inx) 1 0 x x Û - + + - = [ ] (1 cos ) 2(s inx cos ) 2sin cos 1 0 x x x x Û - + + + =  0,25  1 cos 0 (1)  2(s inx cos ) 2sin cos 1 0 (2)  x  x x x - = é Û ê + + + = ë  Giải (1) ta được  2 ( ) x k k Z p = Π 0,25  Giải (2) :  Đặt  s inx cos 2 sin( ) , 2; 2  4  t x x t p é ù = + = + Î -ë û  Ta được phương trình  2  2 0 t t + =  0  2 (loai)  t  t = é Û ê = - ë  0,25  Với t = 0  ( )  4  x k k Z p p - Û = + Π Vậy phương trình có nghiệm:  2 x kp =  ( )  4  x k k Z p p - = + Π 0,25  2)  1 điểm  Điều kiện  2  2  2 0  0 2  5 4 6 0  x x  x x  x x ì - - ³ ï ³ Û ³ í ï - - ³ î  0,25  Bình phương hai vế ta được  2 6 ( 1)( 2) 4 12 4 x x x x x + - £ - -  0,25  3 ( 1)( 2) 2 ( 2) 2( 1) x x x x x x Û + - £ - - +  ( 2) ( 2)  3 2 2  1 1  x x x x  x x - - Û £ - + +  0,25  Đặt  ( 2)  0  1  x x  t  x - = ³ +  ta được bpt  2 2 3 2 0 t t - - ³  0,25 S  C  B  A  K  H  a  2a  a  1  2 2  2  t  t  t - é £ ê Û Û ³ ê ³ ë  ( do  0 t ³  )  Với  2  ( 2)  2 2 6 4 0  1  x x  t x x  x - ³ Û ³ Û - - ³ +  3 13  3 13  3 13  x  x  x é £ - Û Û ³ + ê ³ + ê ë  ( do  2 x ³  )  Vậy bpt có nghiệm  3 13 x ³ +  0,25  Câu III  1 đ  1 điểm  Đặt  2  2  2  ln(1 )  1  xdx  u x du  x = + Þ = +  2 2  x  dv xdx v = Þ =  0,25  Do đó  1  1 2 3  2  1 2  0 0  1  ln(1 ) ln 2  2 1 2  x x  I x dx I  x = + - = - + ò  0,25  Tính I1:  Ta có  1 1 1 1  2  1  2 2  0 0 0 0  1 1 2 1 1 1 1  ( ) ln 1 ln 2  1 2 2 1 2 2 2 2  x x  I x dx x dx x  x x = - = - = - + = - + + ò ò  0,25  Vậy  1  ln 2  2  I = -  0,25  Câu V1  1 đ  1 điểm  +) Theo bài ra ta có  ( ) SH AHK ^  , ( ) BC SA BC AB BC SAB BC AK ^ ^ Þ ^ Þ ^  Và  AK SC ^  nên  ( ) àSB AK SBC AK KH v AK ^ Þ ^ ^  0,25  +) Áp dụng định lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông  0,25 A  D  E  B  d’  C  d  d1  ta có  1 2  2 2  a  AK SB = =  ,  2 3  ,  5 10 5  a a a  AH KH SH = Þ = =  +) Ta có  2 1 6  . ( )  2  4 10  AHK  a  S AK HK dvdt = =  0,25  +) Vậy  3  .  1 3  . ( )  2 60 S AHK AHK  a  V S SH dvtt = =  Chú ý : có thể tính theo công thức tỷ số thể tích.  0,25  Câu V  (1d)  1 điểm  +) Theo B ĐT Côsi ta có æ ù £ Þ = Î ç ú è û 2 1 1 0<xy t (xy) 0; 4 16  0,25  +) Ta có = + + = + + 2 2 1 1 P 2 (xy) t 2 (xy) t - æ ù Þ = - = < " Î ç ú è û 2 / 2 2 1 t 1 1 P 1 0, t 0; t t 16  0,25 +) B¶ng biÕn thiªn : t 0 1 16 P’ - P 289 16  0,25 +) Từ bbt ta có 289 min P 16 =  tại  1 1  16 2  t x y = Û = =  0,25  Câu VI. a  2 đ  1)  1 điểm  +) Gọi  ' D d d = Ç  nên tọa độ của D là nghiệm của hệ  22  2 5 3 0  22 13 7  ( ; )  5 0 13  7 7  7  x x y  D  x y  y ì = ï - + = ì ï Û Þ í í + - = î ï = ï î  0,25  +) Goi d1  là đường thẳng qua B và song song với d’ nên phương trình d1  là:  x + y – 8 = 0.  0,25 Gọi  1 E d d = Ç  nên  33 19  ( ; )  7 7  E  .Vì d’ là đường trung tuyến qua C nên D là trung  điểm AE suy ra  (1;1) A  +) Ta có cạnh BC ^ c với d nên  phương trình cạnh BC là 5x + 2y – 25 = 0  Suy ra  35 50 38 47  ( ) ' ( ; ) ( ; )  3 3 3 3  C BC d C AC - - = Ç Þ Þ uuur  0,25  +) Vậy phương trình cạnh AC là  1 38  1 47  x t  y t = - ì í = + î  0,25  2)  1 điểm  +)  Mặt cầu (S) có tâm I(3;­2;1) và bán kính r = 10 .  Ta có :  2.3 2( 2) 1 9  ( , ( )) 6  4 4 1  h d I a - - - + = = = + +  Vậy  ( , ( )) d I r a <  nên (S) cắt  ( ) a  theo giao tuyến  là đường tròn (T) .  0,25  +)  Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên  ( ) a  .  Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với  ( ) a  . Lúc đó (d) có vectơ  chỉphương là  (2; 2; 1) a n = = - - r r  . Phương trình tham số của (d) là :  3 2  ( ) : 2 2 ( )  1  x t  d y t t  z t = + ì ï = - - Î í ï = - î ¡  0,25  +) Ta có  ( ) J d a = Ç  Xét hệ:  3 2  2 2  1  2 2 9 0  x t  y t  z t  x y z = + ì ï = - - ï í = - ï ï - - + = î  Giải hệ này ta được : J(­1;2;3)  .  0,25  +)  Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có  :  2 2  100 36 8 r r h ¢ = - = - =  Vậy  : J(­1;2;3) và r’= 8  0,25  Câu VII.a  1 điểm  +) Đặt z = x + yi, khi đó  2 2 2 2 0 ( ) 0 z z x yi x y + = Û + + + =  0,25  +) ( ) 2 2 2 2  2 2 2 2  0 2 0  2 0  x y x y x y x y xyi  xy ì - + + = ï Û - + + + = Û í = ï î  0,25 +) Û 2  2  0  0  0  0, 0 0  0 (1 ) 0  0, 1 1  0, 1 0 0  0   (do  1 0)  0, 0 (1 ) 0 0  0  x  x  x  x y y  y y y y  x y y  x y y y  x x  y x x x x x  y é = ì é = é = ì ì êï ï ï é = = é = é ê ê í í í ê êê - + = - = ê = = ï ï ê ê î î ï ê êê = Û Û Û ë ê î ê ê êê = = - = = ì ì ë ï ï ê ê ê ê ì = + > í í ï ê ê ê = = ê + = + = ë ï ï í î î ë ë ê = ï î ë  0,25  +)Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i.  0,25  Câu VI.b  2 đ  1)  1 điểm  +) Ta có (C ) có Tâm I(1; 2) bán kính R = 3  Và dễ  thấy có một tiếp tuyến vuông góc với Ox và qua A là d: x= ­2  0,25  +)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( ­2; 3) có hệ số góc là k ta có d’ :y = k(x + 2) +  3  d’ là tiếp tuyến của ( C ) ód( I, d’ ) = Ró  2  3 1  4  3  3 1  k  k  k + = Û = +  4 17  ' :  3 3  d y x Þ = +  0,25  + ta có tiếp điểm của d và (C ) là M(­2; 0), của d’ và (C ) là  7 57  ( ; )  5 5  N -  0,25  + Ta có AM = 3,  7 3  ( , ) 2  5 5  d N d = - + =  .Vậy  1 9  . ( , ) ( )  2 10 AMN  S AM d N d dvdt = =  0,25  2)  1 điểm  +) Ta có vtcp của d  (1; 1;2) à M(2;1;1)  d u v - Î r  vtcp của d’  '(1; 1;1) à (4;2;0)  d' u v N - Î r  =>  (2;1; 1) MN - uuuur  0,25  +) Ta có  , ' . 3 0 u u MN é ù = ¹ ë û r ur uuuur  vậy d và d’ chéo nhau.  0,25  +) ta có  (2 ;1 ;1 2 ) A d A k k k Î Þ + - +  ,  ' (4 ;2 ; ) B d B t t t Î Þ + -  (2 ;1 ; 1 2 ) AB t k t k t k Þ + - - - - + - uuur  AB là đoạn vuông góc chungó  . 0  . ' 0  AB u  AB u ì = ï í = ï î uuurr uuur ur  0,25 +)  4 6 1 0 2  3 4 0 1,5  t k t  t k k - - = = - ì ì Û Û í í - = = - î î  (1,5;1,5;0) AB Þ uuur  Vậy d(d,d’) = AB =  3 2 2  Chú ý : có thể tính theo cách  , ' .  3  ( , ')  2 , '  u u MN  d d d  u u é ù ë û = = é ù ë û r ur uuuur r ur  0,25  Câu II.b  1 đ  1 điểm +) Gäi M lµ ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng x=1, d lµ ®­êng th¼ng ®i qua M cã hÖ sè gãc lµ k. d cã ph­¬ng tr×nh lµ : y= k(x-1)+m ( víi M(1,m) ) §Ó d lµ tiÕp tuyÕn cña C th× hÖ sau cã ngiÖm.  2  2  3 2  ( 1) (1)  2  (2)  x x  k x m  x  x  k  x ì - + = - + ï ï í - ï = ï î  0,25 +) Thay (2) vµo (1) ta cã  2 2  2  3 2 2  ( 1)  x x x  x m  x x æ ö - + - = - + ç ÷ è ø  2 2 2 ( 3 2) ( 2)( 1) x x x x x mx Û - + = - - +  2 ( , ) (2 ) 4 2 0 g x m m x x Û = + - + = (3)  0,25 +)§Ó tõ M kÎ ®­îc ®óng 2 tiÕp tuyÕn ®Õn C th× ph­¬ng tr×nh (3) cã ®óng 2 ngiÖm ph©n biÖt  ' 4 2(2 ) 0  (2 ) ( , ) (2 )(2) 0  m  m g x m m D = - + > ì Û í + = + ¹ î  2 0  2 0  m  m - > ì Û í + ¹ î Do ®ã  0  2  m m < ì Þ í ¹ - î (*)  0,25 +) VËy trªn ®­êng th¼ng x=1 .TËp hîp c¸c ®iÓm cã tung ®é nhá h¬n 0 (m<0) bá ®i ®iÓm (1,-2) th× tõ ®ã kÎ ®­îc ®óng 2 tiÕp tuyÕn ®Õn C  0,25  Chú ý :Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng ý  Giáo viên ra đề và làm đáp án