Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số A.Một số phương pháp . Phương pháp 1: Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là một luỹ thừa bậc chẵn (là một biểu thức không âm) rồi tuỳ theo dấu đặt trước số hạng đó là dương (hay âm) mà biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất). Chẳng hạn: A= (ax + b)2 + m m Thì Min A = m khi và chỉ khi x = - A = - (ax + b)2 + M M Thì Max A = M khi và chỉ khi x = - Phương pháp 2: Phương pháp tìm “ Tập giá trị của hàm số” Giả sử ta phải tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x). Tập hợp D gồm tất cả các giá trị của đối số x để f(x) xác định , được gọi là tập xác định của hàm số f(x) Tập hợp tất cả các giá trị của f(x) khi x nhận mọi giá trị trong miền D được gọi tập xác định của hàm số f(x) Giả sử trên tập xác định D , hàm số y = f(x) có tập giá trị là đoạn [ m, M] tức là m y M .Thế thì : m là giá trị nhỏ nhất của hàm số M là giá trị lớn nhất của hàm số Ta ký hiệu như sau: Min y = m ; Max y = M D D Phương pháp 3: Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi (Cauchy) “ Trung bình cộng của hai số không âm nhỏ hơn trung bình nhân của hai số đó” Với a 0 , b 0 ta có Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b *Hệ quả 1. Nếu a + b = S (Constant) thì ab Vậy ab đạt giá trị nhỏ nhất a = b “Nếu hai số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau” *Hệ quả 2 Nếu ab = P (Constant) thì a + b 2. Vậy a + b đạt giá trị nhỏ nhất 2 khi và chỉ khi a = b “Nếu hai số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau” Phương pháp 4: Sử dụng tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [ a; b ] - Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ a ; b] thì: Min y =f(a) ; Max y = f(b) - Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ a ; b] thì ; Min y = f(b) ; Max y = f(a). B.Ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: a) –x2 + 2x + 5 b) 2x2 – x + 3 c) d) Giải: –x2 + 2x + 5 = -x2 + 2x – 1 + 6 = - ( x2 + 2x + 1) + 6 = - (x- 1)2 + 6 6 Vậy –x2 + 2x + 5 đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 1 b) 2x2 – x + 3 = 2( x2 - x) + 3 = 2(x2 - x + - ) + 3 = 2 + 3 = 2(x - )2 - + 3 = 2(x - )2 + Vậy 2x2 – x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi x = c) = = = = ( vì mẫu số ) ở đây ta áp dụng tính chất : Nếu phân số dương có tử là hằng số thì phân số đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi mẫu đạt giá trị nhỏ nhất Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi x = d) Với điều kiện x 1 thì (Dấu “=” xảy ra khi x=1) vậy giá trị lớn nhất của là khi x = 1 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = x2 + 3x + 4 B = - 3x2 + 4x + 1 C = 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y – 5 D = Giải : Biểu thức A và B có thể dùng cả hai phương pháp 1 và 2 Giải câu B theo phương pháp 2 như sau: Gọi B0 là một giá trị nào đó thuộc tập giá trị.Khi đó tồm tại ít nhất một giá trị của x sao cho : B0 = - 3x2 + 4x + 1 phương trình 3x2 – 4x – 1 + B0 = 0 phải có nghiệm 4 + 3 – 3B0 0 7 – 3B0 0 3B0 7 B0 Vậy : Max B = khi x = (là nghiệm kép của phương trình) Bài C Sử dụng phương pháp 1 C = 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y – 5 = x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y + 1 + 2y2 + 4y + 2 – 8 = (x + y + 1)2 + 2(y+1)2 – 8 - 8 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi Vậy : Min C = - 8 Bài D = Do : - 3x2 – 2 - 2 (dấu “ = “ xảy ra khi x = 0 ) Nên D . Vậy Min C = - khi x = 0 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: Giải: giải bài này bằng phương pháp 2 như sau: Biểu thức được xác định với mọi x (vì x2 + x + 1= với mọi x) Đặt y = .Gọi y0 là một giá trị nào đó thuộc tập giá trị của hàm số .Khi đó tồn tại ít nhất một giá trị của x sao cho y0 = hay y0(x2+ x+ 1) = x2+ 1 hay (y0 – 1)x2 + y0x + y0 – 1 = 0 (*) Phương trình này phải có nghiệm . Ta xét 2 trường hợp a)Nếu y0 = 1 : phương trình (*) có nghiệm x = 0 b)Nếu y0 - 1 : phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi y02 – 4(y0 – 1)2 0 (y0 – 2y0 + 2)(y0 + 2y0 – 2) 0 ( - y0 +2)(3y0 -2) 0 Suy ra Khi đó x = - Với y0 = thì x = 1 với y0 = 2 thì x = -1 vậy Min y = khi x = 1 ; Max y = 2 khi x = -1 Bài 4: Cho biểu thức : P = với – 3 < x < 5 Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó Giải: (Bài này giải bằng phương pháp 3 như sau) Đặt E = Nhận xét : với -3 0 P > 0 P đạt min E đạt max (x + 3)(5 – x) đạt max. Xét tổng (x + 3) + (5 – x) = 8 (constant) Suy ra (x + 3)( 5 – x) đạt max x + 3 = 5 – x x = 1 thoả mãn điều kiện: -3 < x < 5 Thay x = 1 vào biểu thức ban đầu ta có : Min P = 2 khi x = 1 -3< x < 5 Bài 5: Cho biểu thức : Q = với x > 0 Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất . tìm giá trị nhỏ nhất đó. Giải : Bài này có thể giải theo phương pháp 2.ở đây xin trình bầy cách giải theo phương pháp 3: Q = = Do x > 0 suy ra > 0 và > 0 Xét tích . = 8 (constant) Suy ra : đạt min = x2 = 72 x = 6 (bỏ x = - 6 vì x > 0 ) Thay x = 6 vào biểu thức Q, ta có : Min Q = 2 + 2 = 4 Vậy Min Q = 4 và đạt được khi x = 6 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = Giải Bài này có nhiều cách giải .ở đây xin trình bầy theo phương pháp 4 Có x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 > 0 với mọi x , do đó hàm số xác định với mọi giá trị của x Đặt t = = 2 t 2 x2 + 2x + 5 = t2 x2 + 2x = t2 – 5 Xét hàm số y = f(t) = Với mọi t1 ; t2 2 và t1 < t2 ta có : f(t1) – f(t2) = t1 + - t2 - = t1 – t2 + - = t1 – t2 + (t1 – t2)(1 - ) < 0 Suy ra hàm số y = f(t) đồng biến trong [2; ) Nên min y = f(2) = 2 + = Với t = 2 = 2 x2 + 2x + 5 = 4 x2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)2 = 0 x = - 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng khi x = -1 Bài 7: Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình : x2 - 2(m – 1)x + m2 - m = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = x12 + x22 Hướng dẫn Điều kiện để phương trình có nghiệm : - m + 1 0 m 1 S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4(m – 1)2 – 2(m2 – m) = 2m2 – 6m + 4 Do hàm số S(m) = 2m2 – 6m + 4 nghịch biến trong khoảng ( - ,1] nên với mọi m 1 thì S(m) S(1) Suy ra Min S = S(1) = 0 khi đó m = 1 x1 = x2 = 0 C.bài tập đề nghị Bài 1: Tìn x,y,z để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất đó: a)M= x2 + 4y2 + x2 – 2x + 8y – 6z + 15 b)N = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 2 Bài 2 :Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (nếu có ) của các hàm số: a)y = c) y = b)y = d)y = Bài 3: Tìm Max và Min của biểu thức: S = x6 + y6 biết x2 +y2 = 1 Bài 4: cho x + y =1 và xy = a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (x2 + x +1)(y2+ y + 1) Bài 5: Cho hai số dương x và y biết x+ y = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của : Q= Bài 6: Cho x,y 0 và x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = Bài 7 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất (nếu có) của: P = (a+)( b+) với a,b > 0 và a + b = 1