Tính đơn điệu của hàm

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 5 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ðịnh nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác ñịnh trên K ñược gọi là • ðồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ < ⇒ < • Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu : Giả sử hàm số f có ñạo hàm trên khoảng I • Nếu hàm số f ñồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≥ với mọi x I∈ • Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≤ với mọi x I∈ 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu : ðịnh lý 1 : ðịnh lý về giá trị trung bình của phép vi phân (ðịnh lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có ñạo hàm trên khoảng ( );a b thì tồn tại ít nhất một ñiểm ( );c a b∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( )'f b f a f c b a− = − ðịnh lý 2 : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một ñoạn , f là hàm số liên tục trên I và có ñạo hàm tại mọi ñiểm trong của I ( tức là ñiểm thuộc I nhưng không phải ñầu mút của I ) .Khi ñó : • Nếu ( )' 0f x > với mọi x I∈ thì hàm số f ñồng biến trên khoảng I • Nếu ( )' 0f x < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I • Nếu ( )' 0f x = với mọi x I∈ thì hàm số f không ñổi trên khoảng I Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có ñạo hàm ( )' 0f x > trên khoảng ( );a b thì hàm số f ñồng biến trên ;a b   • Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có ñạo hàm ( )' 0f x < trên khoảng ( );a b thì hàm số f nghịch biến trên ;a b   TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 6 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số : Giải : ( ) 3 21) 3 8 2 3 a f x x x x= − + − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 6 8f x x x= − + ( )' 0 2, 4f x x x= ⇔ = = Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x −∞ 2 4 +∞ ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x +∞ −∞ Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( );2−∞ và ( )4;+∞ , nghịch biến trên khoảng ( )2;4 ( ) 2 2 ) 1 x x b f x x − = − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp { }\ 1ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 12 2 ' 0, 1 1 1 xx x f x x x x − +− + = = > ≠ − − Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x −∞ 1 +∞ ( )'f x + + +∞ +∞ ( )f x −∞ −∞ ( ) 3 21) 3 8 2 3 a f x x x x= − + − ( ) 2 2 ) 1 x x b f x x − = − ( ) 3 2) 3 3 2c f x x x x= + + + ( ) 3 21 1) 2 2 3 2 d f x x x x= − − + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 7 Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ ( ) 3 2) 3 3 2c f x x x x= + + + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )22' 3 6 3 3 1f x x x x= = + = + ( )' 0 1f x x= ⇔ = − và ( )' 0f x > với mọi 1x ≠ − Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 1−∞ −  và )1;− +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số : x −∞ 1− +∞ ( )'f x + 0 + ( )f x +∞ 1 −∞ Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 1−∞ −  và )1;− +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . ( ) 3 21 1) 2 2 3 2 d f x x x x= − − + Tương tự bài )a Ví dụ 2: Giải : ( ) 3 2) 2 3 1a f x x x= + + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 6 6f x x x= + ( ) ( ) ( ) ( )' 0, ; 1 , 0;f x x f x> ∈ −∞ − +∞ ⇒ ñồng biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )0;+∞ . ( ) ( ) ( )' 0, 1;0f x x f x< ∈ − ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )1;0− . Ngoài ra : Học sinh có thể giải ( )' 0f x = , tìm ra hai nghiệm 1, 0x x= − = , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. Xét chiều biến thiên của các hàm số : ( ) 3 2) 2 3 1a f x x x= + + ( ) 4 2) 2 5b f x x x= − − ( ) 3 24 2) 6 9 3 3 c f x x x x= − + − − ( ) 2) 2d f x x x= − Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 8 ( ) 4 2) 2 5b f x x x= − − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 3' 4 4f x x x= − ( ) ( ) ( ) ( )' 0, 1;0 , 1;f x x f x> ∈ − +∞ ⇒ ñồng biến trên mỗi khoảng ( )1;0− và ( )1;+∞ . ( ) ( ) ( ) ( )' 0, ; 1 , 0;1f x x f x< ∈ −∞ − ⇒ nghịch biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )0;1 . Ngoài ra : Học sinh có thể giải ( )' 0f x = , tìm ra hai nghiệm 1, 0, 1x x x= − = = , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. ( ) 3 24 2) 6 9 3 3 c f x x x x= − + − − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )22' 4 12 9 2 3f x x x x= − + − = − − ( ) 3' 0 2 f x x= ⇔ = và ( )' 0f x < với mọi 3 2 x ≠ Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 3 ; 2   −∞    và 3 ; 2   +∞   nên hàm số nghịch biến trên ℝ . ( ) 2) 2d f x x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên 0;2   . Ta có ( ) ( ) 2 1 ' , 0;2 2 x f x x x x − = ∈ − ( ) ( ) ( )' 0, 0;1f x x f x> ∈ ⇒ ñồng biến trên khoảng ( )0;1 ( ) ( ) ( )' 0, 1;2f x x f x< ∈ ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )1;2 Hoặc có thể trình bày : ( ) ( ) ( )' 0, 0;1f x x f x> ∈ ⇒ ñồng biến trên ñoạn 0;1   ( ) ( ) ( )' 0, 1;2f x x f x< ∈ ⇒ nghịch biến trên ñoạn 1;2   Ví dụ 3: Giải : Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục trên ñoạn 0;2   và có ñạo hàm ( ) 2' 04 x f x x − = < − với mọi ( )0;2x ∈ . Do ñó hàm số nghịch biến trên ñoạn 0;2   . Chứng minh rằng hàm số ( ) 24f x x= − nghịch biến trên ñoạn 0;2   Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 9 Ví dụ 4: Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 3 1 sinf x x x= + + Vì 23 0, 1 sin 0,x x x x≥ ∈ + ≥ ∈ ℝ ℝ nên ( )' 0,f x x≥ ∈ ℝ . Do ñó hàm số ñồng biến trên ℝ . 2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )' 2 sin2 1 0,f x x x= − + ≤ ∀ ∈ ℝ và ( )' 0 sin2 1 , 4 f x x x k k π π= ⇔ = − ⇔ = − + ∈ ℤ Hàm số nghịch biến trên mỗi ñoạn ( ); 1 , 4 4 k k k π π π π   − + − + + ∈    ℤ . Do ñó hàm số nghịch biến trên ℝ . Ví dụ 5: Giải : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên khoảng ( )0;2π và có ñạo hàm ( ) ( )' cos , 0;2f x x x π= ∈ . ( ) ( ) 3' 0, 0;2 , 2 2 f x x x x π π π= ∈ ⇔ = = Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x 0 2 π 3 2 π 2π ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x 1 0 0 1− Hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng 0; 2 π      và 3 ;2 2 π π       , nghịch biến trên khoảng 3 ; 2 2 π π      . 1. Chứng minh rằng hàm số ( ) 3 cos 4f x x x x= + − − ñồng biến trên ℝ . 2 . Chứng minh rằng hàm số ( ) cos2 2 3f x x x= − + nghịch biến trên ℝ . Tìm khoảng ñơn ñiệu của hàm số ( ) sinf x x= trên khoảng ( )0;2π Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 10 Ví dụ 6: Giải : Xét hàm số ( ) sin tan 2f x x x x= + − liên tục trên nửa khoảng 0; 2 π     .Ta có : ( ) ( )22 2 1 1 ' cos 2 cos 2 0, 0; 2cos cos f x x x x f x x x π  = + − > + − > ∀ ∈ ⇒    là hàm số ñồng biến trên 0; 2 π     và ( ) ( )0 , 0; 2 f x f x π  > ∀ ∈     hay sin tan 2 , 0; 2 x x x x π  + > ∀ ∈     . ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ðẠI SỐ Ví dụ 1: Giải : ðặt 2sin ; 0 1t x t= ≤ ≤ . Khi ñó phương trình ( ) 5 5 81* 81 (1 ) , 0;1 256 t t t  ⇔ + − = ∈   Xét hàm số 5 5( ) 81 (1 )f t t t= + − liên tục trên ñoạn 0;1   , ta có: 4 4'( ) 5[81 (1 ) ],t 0;1f t t t  = − − ∈   4 4 81 (1 ) 1 '( ) 0 40;1 t t f t t t  = − = ⇔ ⇔ =  ∈   Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có: 1 81 ( ) ( ) 4 256 f t f≥ = Vậy phương trình có nghiệm 21 1 1sin cos2 ( ) 4 4 2 6 t x x x k k Z π π= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ . Chứng minh rằng : sin tan 2 , 0; 2 x x x x π  + > ∀ ∈     . Giải phương trình : ( )10 10 81 81sin cos * 256 x x+ = Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 11 Ví dụ 2: Giải : 2 21. 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0 (1)x x x x x+ + + + + + + = Phương trình (1) ( ) 2 23 (2 ( 3 ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3) (2)x x x x⇔ − + − + = + + + + ðặt 3 , 2 1, , 0u x v x u v= − = + > Phương trình (1) 2 2(2 3) (2 3) (3)u u v v⇔ + + = + + Xét hàm số 4 2( ) 2 3 , 0f t t t t t= + + > Ta có ( ) 3 4 2 2 3 '( ) 2 0, 0 3 t t f t t f t t t + = + > ∀ > ⇒ + ñồng biến trên khoảng ( )0;+∞ . Khi ñó phương trình (3) 1 ( ) ( ) 3 2 1 5 f u f v u v x x x⇔ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ = − Vậy 1 5 x = − là nghiệm duy nhất của phương trình. Chú ý : Nếu hàm số ( )y f x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) thì số nghiệm của phương trình : ( )f x k= sẽ không nhiều hơn một và ( ) ( )f x f y= khi và chỉ khi x y= . 2tan2. os =2 , - ; 2 2 xe c x x π π  + ∈     Xét hàm số : 2tan( ) osxf x e c x= + liên tục trên khoảng - ; 2 2 x π π  ∈     . Ta có Giải phương trình : 2 21. 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + = 2tan2. osx=2 , - ; 2 2 xe c x π π  + ∈     . 3. 2003 2005 4006 2x x x+ = + 3 4. 3 1 log (1 2 )x x x= + + + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 12 2 3 2 3 tan tan 2 1 2e os '( ) 2 tan . sin sin cos os x x c xf x x e x x x c x  − = − =     Vì 2 3tan2 2 os 0xe c x≥ > > Nên dấu của '( )f x chính là dấu của sinx . Từ ñây ta có ( ) (0) 2f x f≥ = Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất 0x = . 3. 2003 2005 4006 2x x x+ = + Xét hàm số : ( ) 2003 2005 4006 2x xf x x= + − − Ta có: '( ) 2003 ln2003 2005 ln2005 4006x xf x = + − 2 2''( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 0 "( ) 0 x xf x x f x= + > ∀ ⇒ = vô nghiệm ( )' 0f x = có nhiều nhất là một nghiệm . Do ñó phương trình ( ) 0f x = có nhiều nhất là hai nghiệm và ( ) ( )0 1 0f f= = nên phương trình ñã cho có hai nghiệm 0, 1x x= = Chú ý : • Nếu hàm số ( )y f x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) và hàm số ( )y g x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên D , thì số nghiệm trên D của phương trình ( ) ( )f x g x= không nhiều hơn một. • Nếu hàm số ( )y f x= ) có ñạo hàm ñến cấp n và phương trình ( )( ) 0kf x = có m nghiệm, khi ñó phương trình ( 1)( ) 0kf x− = có nhiều nhất là 1m + nghiệm 3 4. 3 1 log (1 2 )x x x= + + + 1 2 x > − Phương trình cho ( )3 3 33 1 2 log (1 2 ) 3 log 3 1 2 log (1 2 ) *x x xx x x x x⇔ + = + + + ⇔ + = + + + Xét hàm số: 3 ( ) log , 0f t t t t= + > ta có ( ) ( )1' 1 0, 0 ln 3 f t t f t t = + > > ⇒ là hàm ñồng biến khoảng ( )0;+∞ nên phương trình ( ) ( )* (3 ) (1 2 ) 3 2 1 3 2 1 0 * *x x xf f x x x⇔ = + ⇔ = + ⇔ − − = Xét hàm số: 2( ) 3 2 1 '( ) 3 ln 3 2 "( ) 3 ln 3 0x x xf x x f x f x= − − ⇒ = − ⇒ = > Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 13 ( ) 0f x⇒ = có nhiều nhất là hai nghiệm, và ( )(0) 1 0f f= = nên phương trình ñã cho có hai nghiệm 0, 1x x= = . Ví dụ 3: Giải : ðiều kiện 2 3 2 0 1 2x x x x− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ ðặt 2 3 2, 0u x x u= − + ≥ Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 3 1 1 * log 2 2 log 2 .5 2, 0 * * 5 5 u uu u u −     ⇔ + + = ⇔ + + = ≥        Xét hàm số : ( ) ( ) 23 1 log 2 .5 5 uf u u   = + +     liên tục trên nửa khoảng )0; +∞ , ta có : ( )2' 1 1( ) 5 .ln 5.2 0, 0 ( 2)ln 3 5 uf u u u f u u = + > ∀ ≥ ⇒ + ñồng biến trên nửa khoảng )0; +∞ và ( )1 2 1f u= ⇒ = là nghiệm phương trình ( )* * . Khi ñó 2 2 3 5 23 2 1 3 1 0 3 5 2 x x x x x x  − = − + = ⇔ − + = ⇔  + = thoả ñiều kiện. Ví dụ 4: Giải phương trình : ( ) ( ) 23 1 2 3 1 log 3 2 2 2 * 5 x x x x − −   − + + + =    Giải hệ phương trình : 1. 2 3 4 4 (1) 2 3 4 4 (2) x y y x 2. ( ) ( ) 3 3 2 1 2 2 x x y y y x  + =   + = 3. 3 3 6 6 3 3 (1) 1 (2) x x y y x y  − = −  + = Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 14 Giải : 1. 2 3 4 4 (1) 2 3 4 4 (2) x y y x ðiều kiện: 3 4 2 3 4 2 x x − ≤ ≤  − ≤ ≤ . Cách 1: Trừ (1) và (2) ta ñược: ( )2 3 4 2 3 4 3x x y y + − − = + − − Xét hàm số 3 ( ) 2 3 4 , ; 4 2 f t t t t    = + − − ∈ −    , ta có: / 1 1 3( ) 0, ; 4 22 3 2 4 f x t t t  = + > ∀ ∈ −   + − (3) ( ) ( )f x f y x y⇒ ⇔ = ⇔ = . Thay x y= vào (1) ,ta ñược: 2 3 4 4 7 2 (2 3)(4 ) 16x x x x x+ + − = ⇔ + + + − = 2 2 39 0 2 2 5 12 9 11 9 38 33 0 9 xx x x x x x x  = − ≥  ⇔ − + + = − ⇔ ⇔  − + = =  Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 11 3 9, 3 11 9 xx y y  = =    =  = . Cách 2: Trừ (1) và (2) ta ñược: ( ) ( )2 3 2 3 4 4 0x y y x+ − + + − − − = (2 3) (2 3) (4 ) (4 ) 0 2 3 2 3 4 4 x y y x x y y x + − + − − − ⇔ + = + + + − + − 2 1 ( ) 0 2 3 2 3 4 4 x y x y x y y x   ⇔ − + = ⇔ =   + + + − + − . Thay x y= vào (1) ,ta ñược: 2 3 4 4 7 2 (2 3)(4 ) 16x x x x x+ + − = ⇔ + + + − = 2 2 39 0 2 2 5 12 9 11 9 38 33 0 9 xx x x x x x x  = − ≥  ⇔ − + + = − ⇔ ⇔  − + = =  Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 15 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 11 3 9, 3 11 9 xx y y  = =    =  = . 2. ( ) ( ) 3 3 2 1 2 2 x x y y y x  + =   + = Cách 1 : Xét hàm số 3 / 2( ) 2 ( ) 3 2 0, f t t t f t t t= + ⇒ = + > ∀ ∈ ℝ . Hệ phương trình trở thành ( ) (1) ( ) (2) f x y f y x  =  = . + Nếu ( ) ( )x y f x f y y x> ⇒ > ⇒ > (do (1) và (2)dẫn ñến mâu thuẫn). + Nếu ( ) ( )x y f x f y y x< ⇒ < ⇒ < (mâu thuẫn). Suy ra x y= , thế vào hệ ta ñược ( )3 2 20 1 0 0 ì 1 0.x x x x x v x + = ⇔ + = ⇔ = + > Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0 0 x y  =  = . Cách 2: Trừ (1) và (2) ta ñược: 3 3 2 23 3 0 ( )( 3) 0x y x y x y x y xy− + − = ⇔ − + + + = 2 23 ( ) 3 0 2 4 y y x y x x y    ⇔ − + + + = ⇔ =     Thế x y= vào (1) và (2) ta ñược: ( )3 20 1 0 0x x x x x+ = ⇔ + = ⇔ = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 0 0 x y  =  = . 3. 3 3 6 6 3 3 (1) 1 (2) x x y y x y  − = −  + = Từ (1) và (2) suy ra 1 , 1x y− ≤ ≤ (1) ( ) ( ) (*)f x f y⇔ = Xét hàm số 3( ) 3f t t t= − liên tục trên ñoạn [ 1;1]− , ta có ( )2'( ) 3( 1) 0 [ 1;1]f t t t f t= − ≤ ∀ ∈ − ⇒ nghịch biến trên ñoạn [ 1;1]− Do ñó: (*) x y⇔ = thay vào (2) ta ñược nghiệm của hệ là: 6 1 2 x y= = ± . Ví dụ 5: Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 16 Giải : 1. 2 1 1 (1) 2 1 0 (2) x y x y x xy  − = −  − − = ðiều kiện: 0, 0x y≠ ≠ . Ta có: 1 (1) ( ) 1 0 1 . y x x y xy y x  =   ⇔ − + = ⇔    = −  • y x= phương trình 2(2) 1 0 1x x⇔ − = ⇔ = ± . • 1 y x = − phương trình (2)vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 1 ; 1 1 x x y y  = = −     = = −   . Bình luận: Cách giải sau ñây sai: 2 1 1 (1) 2 1 0 (2) x y x y x xy  − = −  − − = . ðiều kiện: 0, 0x y≠ ≠ . Xét hàm số / 2 1 1 ( ) , \ {0} ( ) 1 0, \ {0}f t t t f t t t t = − ∈ ⇒ = + > ∀ ∈ℝ ℝ . Suy ra (1) ( ) ( )f x f y x y⇔ = ⇔ = ! Sai do hàm số ( )f t ñơn ñiệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể ( ) ( )1 1 0f f− = = ). 2. 3 1 1 (1) 2 1 (2) x y x y y x Cách 1: ðiều kiện: 0, 0.x y≠ ≠ Giải hệ phương trình : 1. 2 1 1 (1) 2 1 0 (2) x y x y x xy  − = −  − − = 2. 3 1 1 (1) 2 1 (2) x y x y y x  − = −  = + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 17 1 1 (1) 0 ( ) 1 0 . x y x y x y x y y xy xy x  − ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −   • x y= phương trình (2) 1 5 1 . 2 x x − ± ⇔ = ∨ = • 1 y x = − phương trình (2) 4 2 0.x x⇔ + + = Xét hàm số 4 / 3 3 1 ( ) 2 ( ) 4 1 0 . 4 f x x x f x x x − = + + ⇒ = + = ⇔ = 4 3 3 1 3 2 0, lim lim ( ) 0, 2 0 4 4 4 x x f f x x x x →−∞ →+∞  −  = − > = = +∞ ⇒ > ∀ ∈ ⇒ + + =   ℝ vô nghiệm. Cách 2: ðiều kiện: 0, 0.x y≠ ≠ 1 1 (1) 0 ( ) 1 0 . x y x y x y x y y xy xy x  − ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −   • x y= phương trình (2) 1 5 1 . 2 x x − ± ⇔ = ∨ = • 1 y x = − phương trình (2) 4 2 0.x x⇔ + + = • Với 41 2 0 2 0x x x x ⇒ + + > . • Với 4 41 2 0x x x x x x≥ ⇒ ≥ ≥ − ⇒ + + > . Suy ra phương trình (2)vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt 1 5 1 5 1 2 2 1 1 5 1 5 2 2 x xx y y y   − + − − = =  =    ∨ ∨     = − + − −   = =     . Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 1. 2 1 2 1 2 2 3 1 ( , ) 2 2 3 1 y x x x x x y R y y y − −  + − + = + ∈ + − + = + 2. 2 1 2 2 1 3 2 (1 4 )5 1 2 (1) 4 1 ln( 2 ) 0 (2) x y x y x y y x y x − − + − + + = +  + + + + = Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 18 Giải : 1. 2 1 2 1 2 2 3 1 ( , ) 2 2 3 1 y x x x x x y R y y y − −  + − + = + ∈ + − + = + ðặt 1, 1u x v y= − = − ( )I viết lại 2 2 1 3 ( ) 1 3 v u u u II v v  + + =   + + = Xét hàm số : ( ) 2 1f x x x= + + liên tục x∀ ∈ ℝ , ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0, 1 1 1 x xx x x f x x f x x x x ++ + = + = > ≥ ∀ ∈ ⇒ + + + ℝ ñồng biến x∀ ∈ ℝ . Nếu ( ) ( ) 3 3v uu u f u f v v u> ⇒ > ⇒ > ⇒ > vô lý Tương tự nếu v u> cũng dẫn ñến vô lý Do ñó hệ ( ) 2 21 3 1 3 ( 1 ) (1) II u uu u u u u v u v  + + = = + −  ⇔ ⇔  = =   ðặt: ( ) 23 ( 1 )ug u u u= + − liên tục u R∀ ∈ , ta có 2 2 2 2 1 '( ) 3 ln 3( 1 ) 3 1 3 1 ln 3 0, 1 1 u u uug u u u u u u R u u        = + − + − = + − − > ∀ ∈     + +    Do ñó ( )g u ñồng biến u R∀ ∈ và ( )0 1 0g u= ⇒ = là nghiệm duy nhất của ( )1 . Nên ( )II 0u v⇔ = = . Vậy ( ) 1I x y⇔ = = 2. 2 1 2 2 1 3 2 (1 4 )5 1 2 (1) 4 1 ln( 2 ) 0 (2) x y x y x y y x y x − − + − + + = +  + + + + = ðặt 2t x y= − . Khi ñó phương trình (1) trở thành: ( )1 45[( ) ( ) ] 1 2.2 * 5 5 t t t+ = + Xét ( ) 1 45[( ) ( ) ] 5 5 t t f t = + , ( ) 1 2.2 tg t = + Dễ thấy : ( ) 1 45[( ) ( ) ] 5 5 t t f t = + là hàm nghịch biến và ( ) 1 2.2 tg t = + là hàm ñồng biến và ( ) ( )1 1 5 1f g t= = ⇒ = là một nghiệm của ( )* . Do ñó ( )* có nghiệm duy nhất 1t = . 1 2 1 2 1t x y x y= ⇔ − = ⇔ = + khi ñó: ( )3 2(2) 2 3 ln( 1) 0 * *y y y y⇔ + + + + + = Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 19 Xét hàm số 3 2( ) 2 3 ln( 1)f y y y y y= + + + + + , ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 4 3 '( ) 3 2 3 0 ( ) 1 1 y y y f y y y f y y y y y + + + = + + = + > ⇒ + + + + là hàm ñồng biến và ( 1) 0f − = nên ( )* * có nghiệm duy nhất 1y = − Vậy nghiệm của hệ là: 0 1 x y  =  = − . Ví dụ 7: Giải : ðặt: ( ) ( ) 2 , 1 t tf t e g t t = = − liên tục trên khoảng ( )1,+∞ , ta có ( ) ( )' 0, 1tf t e t f t= > ∀ > ⇒ ñồng biến trên khoảng ( )1,+∞ ( )/ 3 2 2 1 ( ) 0, 1 ( 1) g t t g t t − = ⇒ − nghịch biến trên khoảng ( )1,+∞ . Hệ phương trình ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2007 20071 1 2007 2007 1 x y y e f x g yy f x g y f y g x f y g xx e x  = −  + = − ⇔ ⇒ + = +  + = = −  − Nếu ( ) ( ) ( ) ( )x y f x f y g y g x y x> ⇒ > ⇒ vô lý. Tương tự y x> cũng vô lý . Khi ñó ( ) ( )2 2 2 2007 2007 01 1 2 1 2007 1 x x y y e x ey xx x ye x  = −   + − =− ⇔  −= = −  − Xét hàm số: ( ) 2 2007 1 x xh x e x = + − − liên tục trên khoảng ( )1;+∞ , ta có Chứng minh rằng hệ phương trình ( ) 2 2 2007 1 1 2007 1 x y y e y x e x  = −  −   = −  − có ñúng 2 nghiệm thỏa mãn ñiều kiện 1, 1x y> > Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 2 22 2 3 5 2 22 2 1 3 3 ' 1 , '' 1 .2 0 2 1 1 x x x x xh x e e x h x e x x e x x − − = − = − − = + − = + > − − và ( ) ( ) 1 lim , lim xx h x h x + →+∞→ = +∞ = +∞ Vậy ( )h x liên tục và có ñồ thị là ñường cong lõm trên ( )1;+∞ . Do ñó ñể chứng minh ( )2 có 2 nghiệm lớn hơn 1 ta chỉ cần chứng minh tồn tại 0 1x > mà ( )0 0h x < . Chọn ( ) ( )20 2 2 : 2 2007 0 0 3 x h e h x= = + − Vậy hệ phương trình ( )1 có ñúng 2 nghiệm thỏa mãn ñiều kiện 1, 1x y> > . Ví dụ 8: Giải : 1. 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z  = −  = −  = − Giả sử x y z> > Xét hàm số : ( ) 2 2 1 t f t t = − ,xác ñịnh trên { }\ 1D = ±ℝ .Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2( 1) 0, (1 ) t f t x D f t t + = > ∀ ∈ ⇒ − luôn ñồng biến trên D . Giải hệ phương trình sau: 1. 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z  = −  = −  = − 2. 3 2 3 2 3 2 9 27 27 0 9 27 27 0 9 27 27 0 y x x z y y x z z  − + − =  − + − =  − + − = Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 21 Do ñó : ( ) ( ) ( )x y z f x f y f z y z x> > ⇒ > > ⇒ > > . Mâu thuẫn, do ñó ñiều giả sử sai . Tương tự x y z< < không thoả . Vậy x y z= = Hệ cho có nghiệm : ( ) ( ); ; 0;0;0x y z = 2. 3 2 3 2 3 2 9 27 27 0 9 27 27 0 9 27 27 0 y x x z y y x z z  − + − =  − + − =  − + − = 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 9 27 27 0 9 27 27 9 27 27 0 9 27 27 9 27 27 0 9 27 27 y x x y x x z y y z y y x z z x z z  − + − = = + −   − + − = ⇔ = + −   − + − = = + −  Xét hàm số ñặc trưng : 2( ) 9 27 27 '( ) 18 27f t t t f t t= − + ⇒ = − ( ) 3 '( ) 0,3 2'( ) 0 18 27 0 32 ' 0, 2 f t t f t t t f t t  > ∀ > = ⇔ − = ⇔ = ⇒   < ∀ <  Hàm số ñồng biến trên khoảng 3 ; 2   +∞    và nghịch biến trên khoảng 3 ; 2   −∞    Hàm số ñạt giá trị nhỏ nhất tại 3 3 27 2 2 4 t f   = ⇒ =    Và 3 2 3 3 3 3 3 27 27 27 3 3 24( ) 9 27 27 3 34 4 4 24 24 x f t x x y y z  ≥ > ≥ ⇔ − + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ > ⇒   ≥ >  Vậy , ,x y z thuộc miền ñồng biến, suy ra hệ phương trình ( ) ( ) ( ) f x y f y z f z x  =  =  = là hệ hoán vị vòng quanh. Không mất tính tổng quát giả sử 3 3( ) ( )x y f x f y y z y z≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ 3 3( ) ( )f y f z z x z x⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ x y z x x y z⇒ ≥ ≥ ≥ ⇒ = = Thay vào hệ ta có: 3 29 27 27 0 3x x x x− + − = ⇒ = . Suy ra: 3x y z= = = Ví dụ 9: Giải hệ phương trình : 1. 3 2 3 2 3 3 ln( 1) 3 3 ln( 1) x x x x y y y y y z  + − + − + =  + − + − + =  Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 22 Giải : 3 2 3 2 3 2 3 3 ln( 1) 1. 3 3 ln( 1) 3 3 ln( 1) x x x x y y y y y z z z z z x  + − + − + =  + − + − + =  + − + − + = Hệ phương trình có dạng : ( ) ( ) ( ) f x y f y z f z x  =  =  = . Ta giả sử ( ); ;x y z là nghiệm của hệ. Xét hàm số 3 2( ) 3 3 ln( 1),f t t t t t t R= + − + − + ∈ . Ta có: ( )2 2 2 1 '( ) 3 3 0, 2 1 t f t t t f t t t − = + + > ∀ ∈ ⇒ − + ℝ là hàm ñồng biến t R∀ ∈ . Giả sử: { }max ; ;x x y z= thì ( ) ( ) ( ) ( )y f x f y z z f y f z x= ≥ = ⇒ = ≥ = Vậy x y z= = . Vì phương trình 3 22 3 ln( 1) 0x x x x+ − + − + = Xét hàm số ( ) 3 22 3 ln( 1),g x x x x x x R= + − + − + ∈ , hàm số ( )g x ñồng biến trên R và ( )1 0g = , do ñó phương trình ( ) 0g x = có nghiệm duy nhất 1x = . Do ñó hệ ñã cho có nghiệm là 1x y z= = = . 2 3 2 3 2 3 2 6 log (6 ) 2. 2 6 log (6 ) 2 6 log (6 ) x x y x y y z y z z x z  − + − =  − + − =  − + − =  Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 23 Hệ cho 3 2 3 2 3 2 log (6 ) 2 6 ( ) ( ) log (6 ) ( ) ( ) 2 6 ( ) ( ) log (6 ) 2 6 x y x x f y g x y z f z g y y y f x g z z x z z   − =  − +  =  ⇔ − = ⇔ =   − + = − =  − + Xét hàm số 3 2 ( ) log (6 ) ; ( ) , ( ;6) 2 6 t f t t g t t t t = − = ∈ −∞ − + Ta có ( ) ( ) 1 '( ) 0, ( ;6) 6 ln 3 f t t f t t = − < ∈ −∞ ⇒ − nghịch biến trên khoảng ( ;6)−∞ và ( ) ( ) 3 2 6 '( ) 0, ( ;6) 2 6 t g t t g t t t − = > ∀ ∈ −∞ ⇒ − + ñồng biến trên khoảng ( ;6)−∞ . Ta giả sử ( ); ;x y z là nghiệm của hệ thì x y z= = thay vào hệ ta có: 3 2 log (6 ) 3 2 6 x x x x x − = ⇔ = − + Vậy nghiệm của hệ ñã cho là 3x y z= = = . Chú ý :HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH: ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng: 1 2 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ................. ( ) ( ) n f x g x f x g x f x g x  =  =    = (I) ðịnh lí 1: Nếu ,f g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và 1 2 ( , ,..., ) n x x x là nghiệm của hệ trên A thì 1 2 ... n x x x= = = ðịnh lí 2:Nếu ,f g khác tính ñơn ñiệu trên A và 1 2 ( , ,..., ) n x x x là nghiệm của hệ trên A