Toán bồi dưỡng 7

Dạng 1 Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật A- Kiến thức cần nắm vững: B- Bài tập ỏp dụng I. Dãy số cộng Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ 1; 3; 5; 7;... Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số c) Tớnh: với d) Tớnh: với Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng? Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng: Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4. Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6. Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tớnh tổng cỏc chữ số của A b) Cũng hỏi như trờn nếu viết từ 1 đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xột số 100. Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18. Tổng cỏc chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1. ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 Bài 5: Cho Tớnh ? Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 Bài 6: Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với số mũ băng bao nhiờu? Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; ... b) 1.4; 4.7; 7.10;... Bài 8: Cho ; Tớnh Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau: Bài 10: Tổng quỏt của bài 8 Tớnh : a) , với () b) , với () c) , với () Bài 11: Cho . Chứng minh rằng: . Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức: II. Dãy phân số có quy luật 1. Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo qui luật: 1) . 2) . 3) . 4) . 5). 6) . 7). (Trong đú: , ) 2. Bài tập TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chỳng ta cựng bắt đầu từ bài toỏn tớnh tổng rất quen thuộc sau : Bài toỏn A : Tớnh tổng : Lời giải : Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn chỳt xớu. Bài 1 : Tớnh tổng : Và tất nhiờn ta cũng nghĩ đến bài toỏn ngược. Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết : Hơn nữa ta cú : ta cú bài toỏn Bài 3 : Chứng minh rằng : Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khú” Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : khụng phải là số nguyờn. Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 và khỏc nhau thỡ Giỳp ta đến với bài toỏn Hay và Khú sau : Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau : Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a44 < a45 và Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ? Bài toỏn 2: Tớnh nhanh: a) . b) . c) . Bài toỏn 3: (Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 2) Tớnh nhanh: . Bài toỏn 3: Tớnh tổng 100 số hạng đầu tiờn của cỏc dóy saug: a) b) Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do đú số hạng thứ n của dóy cú dạng (5n – 4)(5n + 1). Bài toỏn 4: Tớnh tổng: a) . b) . c) . Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức: a) . b) . Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50. b) Biến đổi số chia: Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy . Bài toỏn 6: Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiờn của dóy: Hướng dẫn: cỏc số hạng đầu tiờn của dóy được viết dưới dạng: Hay Do đú số hạng thứ 98 cú dạng . Ta cần tớnh: Bài toỏn 7: Cho . Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số tự nhiờn. Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu cỏc phõn số của A ta chọn mẫu chung là tớch của 26 với cỏc thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k1, k2, …, k100 là cỏc thừa số phụ tương ứng, tổng A cú dạng: . Trong 100 phõn số của tổng A, chỉ cú duy nhất phõn số 1/64 cú mẫu chứa 26 nờn trong cỏc thừa số phụ k1,..., k100 chỉ cú k64 là số lẻ, cũn cỏc thừa số phụ khỏc đều chẵn. Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 7: Cho . Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số tự nhiờn. Phần 2 . Các dạng khác. Các bài toán Bài 2: Tớnh a) b) c) Bài 2: So sỏnh 224 và 316 Bài 3: Tớnh giỏ trị biểu thức a) b) c) d) Bài 1: Khai triển các tích sau: a) (x – 2)(y + 3); b) ; c) . Bài 3: Viết các tổng sau thành tích: a) ax2 - bx2 + bx - ax + a - b; b) y2 – 5y + 6; c) x2 - 7x + 12; d) 2a2 + 4a + 2. Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: M = ax + ay + bx + by + x + y biết x + y = -9/4 và a + b = 1/3; N = ax + ay - bx - by - x - y biết x - y = -1/2 và a - b = 1/2. Bài 5: Tính giá trị của biểu thức: P = + + + … + - - - - Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: Q = - + - + … + - Bài 7: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0: C = Bài 8: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên: K = Bài 9: Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: H = Bài 10: Tìm mối quan hệ giữa các số nguyên a; b; c (b ≠ 0; c ≠ 0) để có đẳng thức sau: Bài 2: Tính: a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c) ; d) . Bài 4: Tính nhanh: a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9); b)B=(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)…(1000 - 503) Bài 5: Tính giá trị của: M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12; N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12); P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1. Bài 6: Tìm x biết rằng: a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36; e) 5x + 2 = 625; f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4; g) (2x – 1)3 = -8. h) = 2x; Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng: a) 32 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243. Bài 8: Cho biểu thức P = . Hãy tính giá trị của P với x = 7 ? Bài 9: So sánh: a) 9920 và 999910; b) 321 và 231; c) 230 + 330 + 430 và 3.2410. Bài 10: Chứng minh nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta cũng có: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ? Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1.  Luỹ thừa Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia. Bài 2: Tính: a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c) ; d) . Bài 3: Cho x ẻ Q và x ≠ 0. Hãy viết x12 dưới dạng: Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9 ? Luỹ thừa của x4 ? Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x15 ? Bài 4: Tính nhanh: a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9); b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )…(1000 – 503). Bài 5: Tính giá trị của: M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12; N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12); P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1. Bài 6: Tìm x biết rằng: a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36; e) 5x + 2 = 625; f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4; g) (2x – 1)3 = -8. h) = 2x; Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng: a) 32 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243. Bài 8: Cho biểu thức P = . Hãy tính giá trị của P với x = 7 ? Bài 9: So sánh: a) 9920 và 999910; b) 321 và 231; c) 230 + 330 + 430 và 3.2410. Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta cũng có: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ? Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1. Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các chữ số 0; 1; 2; 2; 2. Sau đây là một số bài toán liên quan đến chuyên đề giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ, tùy từng bài cụ thể mà giáo viên có những phương án phù hợp để hướng dẫn cho học sinh lĩnh hội kiến thức và hình thành nên kĩ năng kĩ xảo từ đó có thể độc lập sáng tạo giải quyết các bài tập khác liên quan đến giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) a = |a|; b) a |a|; d) |a| = - a; e) a |a|. Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng: a) |a| = |b| a = b; b) a > b |a| > |b|. Bài 3: Cho |x| = |y| và x 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? a) x2y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0; d) d) Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau: B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3. C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4; Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a; e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|. Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau: a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|; c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7. Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|. Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20. Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu để các khẳng định sau đúng với mọi a và b. Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu đẳng thức ? a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| với |a| |b|; c) |ab|…|a|.|b|; d) Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1; c) C = x2 + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|. Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) A = 5 - |2x – 1|; b) B = Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên. Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chứng minh rằng: |a – b| < 5. Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối: A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|. Sau đây là một số bài toán liên quan đến chuyên đề, tùy từng bài cụ thể mà giáo viên có những phương án phù hợp để hướng dẫn cho học sinh lĩnh hội kiến thức và hình thành nên kĩ năng kĩ xảo từ đó có thể độc lập sáng tạo giải quyết các bài tập khác liên quan đến chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau Bài 1: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: a) ; b) ; Bài 2: Tìm hai số x và y biết: a) và 5x – 2y = 87; b) và 2x – y = 34; Bài 3: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng: a) và 5x + y – 2z = 28; b) ; và 2x + 3y – z = 186; c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32; d) và x + y + z = 49; e) và 2x + 3y – z = 50; Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng: a) và xyz = 810; b) và x2 + y2 + z2 = 14. Bài 6: Tìm các số x; y; z biết rằng: a) ; b) ; c) Bài 7: Cho ba tỉ số bằng nhau: . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ? Bài 8: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng: . Bài 9: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: a) ; b) . Bài 10: Cho dãy tỉ số : . Chứng minh rằng: . Bài 11: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4. Chứng minh rằng: . Bài 12*: Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: . Sau đây là một số bài toán liên quan đến chuyên đề, tùy từng bài cụ thể mà giáo viên có những phương án phù hợp để hướng dẫn cho học sinh lĩnh hội kiến thức và hình thành nên kĩ năng kĩ xảo từ đó có thể độc lập sáng tạo giải quyết các bài tập khác liên quan đến chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau Bài 1: Tìm phân số biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu thì giá trị của phân số đó không thay đổi ? Mở rộng: Với một phân số bất kỳ ta cộng thêm vào a số x, cộng thêm vào b số y. Hãy tìm quan hệ của x và y để giá trị của phân số không thay đổi sau khi cộng ? Bài 2: Cho CMR: a = b = c; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa. Bài 3: Cho ba tỉ số bằng nhau: . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ? Bài 4: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng : a) ; b) . Bài 5: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: . Bài 6: Cho . CMR: ; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa. Bài 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau: CMR: Ta có đẳng thức: Bài 8: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4. Chứng minh rằng: . Bài 9: Cho dãy tỉ số : ; CMR: . Bài 10: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0. Bài 11*: Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: . Bài 12: Tìm các số x, y, z biết : x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; x + y = x : y = 3.(x – y) Bài 13: Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Bài 14: Cho 2002 số tự nhiên, trong đó cứ 4 số bất kỳ trong chúng đều lập nên một tỉ lệ thức. CMR: trong các số đó luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau. Bài 15: Có 130 học sinh thuộc ba lớp 7A, 7B, 7C của một trường cùng tham gia trồng cây. Mỗi học sinh của 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng được 2 cây, 3 cây, 4 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây biết rằng số cây trồng được của ba lớp bằng nhau ? Hướng dẫn giải Bài 11: Ta có : =; Bài 12: a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 13: Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bài 14: Nhận xét: Trong 2002 số đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trị khác nhau. Thật vậy: Giả sử có nhiều hơn 4 giá trị khác nhau, ta gọi a1 < a2 < a3 < a4 < a5 là 5 số khác nhau bất kỳ. Khi đó với 4 số đầu tiên ta có: a1.a2 khác a3a4; a1a3 khác a2a4; Chỉ có thể a1a4 = a2a3 (1) Nhưng khi đó với 4 số a1, a2, a3, a5 thì cũng có a1a5 = a2a3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a1a4 = a1a5 suy ra a4 = a5 vô lý. Vậy có ít nhất 2002 div 4 + 1= 501 số bằng nhau.