Toán nâng cao – Số học THCS

Lời nói đầu Trong bộ môn Toán ở trường phổ thông thì phần số học được xem là một trong những phần khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né bởi vì học sinh chưa hình thành được những phương pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc giải một bài toán số học. Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày, một số chuyên đề về số học và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải quyết các bài toán có liên quan. Nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về số học, đặc biệt là giúp cho các em khá, giỏi nắm vững kiến thức và có phương pháp học tốt hơn để có thể tham gia tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp THCS Đề tài gồm các chuyên đề sau: Chuyên đề 1: Tính chia hết Chuyên đề 2: Số nguyên tố Chuyên đề 3: Số chính phương Chuyên đề 4: Bội và ước của các số Mỗi chuyên đề có trình bày lý thuyết, các phương pháp giải, Với mổi phương pháp có các phương pháp cụ thể sau đó là các ví dụ minh hoạ, bài tập tự giải có hướng dẫn nhằm gúp học sinh rèn luyện được kỷ năng và kiến thức về phần số học/. Nội dung đề tài CHUYấN ĐỀ 1: TÍNH CHIA HẾT. Lý thuyết I. Phộp chia hết và phộp chia cú dư. Cho hai số tự nhiờn a, b, b 0. Nếu cú số tự nhiờn qsao cho a = bq thỡ ta núi a chia hết cho b, kớ hiệu a b, hoặc b chia hết cho a, kớ hiệu b | a. Số q (nếu cú) được xỏc định duy nhất và được gọi là thương của a và b, kớ hiệu q = a : b hoặc q = . Quy tắc tỡm thương của hai số gọi là phộp chia. Tuy nhiờn với hai số tự nhiờn bất kỡ a, b khụng phải luụn luụn cú a chia hết cho b hoặc b chia hết cho a, mà ta cú định lớ sau: Với mọi cặp số tự nhiờn a, b, b 0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất một cặp số tự nhiờn q, r sao cho: A = bq + r, 0 r < b. Số q và r trong định lớ về phộp chia cú dư núi trờn lần lượt được gọi là thương và dư trong phộp chia số a cho số b. II. Phộp đồng dư. Cho m là một số nguyờn dương. Nếu hai số nguyờn a và b cựng cho một số dư khi chia cho m thỡ ta núi rằng a, b đồng dư với nhau theo mođun m và kớ hiệu: a b (mod m) Giả sử số dư cựng là r thỡ ta cú: a = mq + r (1) b = mq’ + r (2) lỳc đú a – b = m(q – q’) như vậy a – b chia hết cho m. vậy : a b(mod m) a – b m. III. Dấu hiệu chia hết. Một số tự nhiờn sẽ: Chia hếtcho 2 nếu nú là số chẵn, tận cựng bằng 0, 2, 4, 6, 8 Chia hết cho 5 nếu tận cựng bằng 0 hoặc 5. Chia hết cho 4 nếu số tạo bởi hai chử số cuối chia hết cho 4 Chia hết cho 8 nếu số tạo bởi 3 chử số tận cựng chia hết cho 8 Chia hết cho 25 nếu số tạo bởi hai chử số cuối cựng chia hết cho 25. Chia hết cho125 nếu số tạo bởi 3 chử số cuối cựng chia hết cho 125. Chia hết cho 3 nếu tổng của cỏc chử số của số đú chia hết cho 3. Chia hết cho 9 nếu tổng của cỏc chử số đú chia hết cho 9 Chỳ ý: Số dư trong phộp chia một số N cho 3 hoặc 9 cũng chớnh là dư trong phộp chia tổng cỏc chử số của N cho 3 hoặc 9. B. Cỏc dạng toỏn. Dạng 1. Xột mọi trường hợp cú thể xảy ra của số dư. Muốn chứng minh một biểu thức của n là A(n) chia hết cho q ta cú thể xột mọi trường hợp về số dư khi chia n cho q. Bài 1. Chứng minh tớch của 2 số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 2. Giải. Giả sử A = n(n + 1), cú 2 trường hợp -Nếu n chẵn, thỡ n 2 do đú A chia hết cho 2. - Nếu n lẻ thỡ n +1 chẵn do đú (n +1) chia hết cho 2 nờn A chia hết cho 2. Bài 2. Chứng minh rằng Giải. Xột cỏc trường hợp về số dư khi chia n cho 5, ta cú: Nếu số dư là 0 thỡ n = 5k và A(n) 5 Nếu số dư là 1 thỡ ta cú n = 5k 1 và n2 + 4 = (5k 1)2 + 4= 25k2 10k + 5 5. Nếu số dư là 2 thỡ ta cú n = 5k 2 và n2 + 1 = ( 5k 2)2 + 4 = 25k2 20k + 4 + 1 5. Vậy khi chia n cho 5 dự số dư là 0, 1, hay 2 biểu thức A(n) cũng đều chia hết cho 5. Dạng 2: Tỏch thành tổng nhiều hạng tử. Đõy là một phương phỏp khỏ thụng dụng. Muốn chứng minh A(n) chia hết cho q , ta tỏch A(n) thành tổng của nhiều hạng tử sao cho mỗi hạng tử đều cú thể chia hết cho q. Bài 1. Chứng minh rằng n5 + 10n4 – 5n3 – 10n2 + 4n chia hết cho 120. Giải. Ta tỏch biểu thức đó cho như sau: A = n5 – 5n3 + 4n + 10n4 – 10n2 = n(n4 – 5n2 + 4) + 10n2(n2 – 1) Hạng tử thứ nhất là : n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 1)(n2 – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) Đõy là tớch của 5 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 2.3.4.5 = 120 Hạng tử thứ hai là: 10n2(n + 1)(n – 1). Cú 3 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 3. hạng tử này chia hết cho 4 nếu n chẳn. Cũn nếu n lẽ thỡ (n + 1) và n – 1 cũng chẳn nờn tớch (n + 1)(n – 1) cựng chia hết cho 4. Vậy hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 3.5.10 = 120 A là tổn của hai hạng tử chia hết cho 120 nờn A cũng chia hết cho 120. Bài 2. Chứng minh rằng với mọi m thuộc Z ta cú m3 – 13m chia hết cho 6. Giải. A = m3 – 13m = m3 – m – 12m = m(m2 – 1) – 12m = (m – 1)m(m + 1) – 12m Do m – 1, m, m + 1 là 3 số nguyờn liờn tiếp nờn tớch (m – 1)m(m + 1) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, tức là (m – 1)m(m + 1) chia hết cho 6. Từ đú suy ra A chia hết cho 6. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi m, n thuộc Z ta cú mn(m2 – n2) chia hết cho 3. Giải. Ta cú mn(m2 – n2) = mn[(m2 – 1) – (n2 – 1)] = mn(m2 – 1) – mn(n2 – 1) Mà m(m2 – 1) = (m – 1)m(m + 1) chia hết cho 6 Và n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1) chia hết cho 6. Vậy mn(m2 – n2) chia hết cho 6. Dạng 3. Phõn tớch thành nhõn tử. Ta cũng cú thể phõn tớch số bị chia thành nhõn tử sao cho một hạng tử cú chứa số chia. Muốn chứng minh A(n) chia hết cho q ta chứng minh rằng : A(n) = q.B(n) Thụng thường ta dựng cỏc hằng đẳng thức cú dạng an – bn hoặc an + bn Bài 1. Chứng minh rằng biểu thức : Chia hết cho 41976 Giải. Ta viết A dưới dạng Vậy A chia hết cho 41976 Bài 2. Chứng minh n5 – n chia hết cho 5 Giải. Ta cú A = n5 – n = n(n4 – 1) = n(n2 – 1)(n2 + 1) = (n – 1)n(n + 1)(n2 + 1). Nếu n = 5k thỡ n chia hết cho 5 do đú A chia hết cho 5 Nếu n = 5k + 1 thỡ (n – 1) chia hết cho 5 Nếu n = 5k + 2 thỡ n2 + 1 chia hết cho 5 Nếu n = 5k + 3 thỡ n2 + 1 chia hết cho 5 Nếu n = 5k + 4 thỡ (n + 1) chia hết cho 5 Vậy n2 – n chia hết cho 5 , Dạng 4. Sử dụng định lớ Fermat và định lớ Euler . Fermat là một nhà toỏn học Phỏp (1601 – 1655) nổi tiếng với những định lớ về số nguyờn tố. Định lớ Fermat sau đõy rất hay được dựng để giải cỏc bài toỏnvề chia hết: Nếu p là số nguyờn tố thỡ np – n chia hết cho p với mọi số nguyờn n (mod p), p là số nguyờn tố. Đặc biệt nếu n, p nguyờn tố cựng nhau thỡ (mod p) Bài 1. Chứng minh rằng : chia hết cho 11 Giải. Theo định lớ Fermat thỡ (mod 11), do đú (mod 11) Vậy. Tức là chia hết cho 11. Bài 2. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 30 thỡ a5 + b5 + c5 chia hết cho 30. Giải. Ta cú : 30 = 2.3.5 Theo tớnh chất của phộp đồng dư ta cú: Tức là a + b+ c chia hết cho 30 thỡ a5 + b5 + c5 chia hết cho 30. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyờn tố p, q , ta cú chia hết cho p.q Giải. Vỡ p, q là số nguyờn tố và nờn (p, q) = 1 Theo định lớ Fermat cú : Vậy Do đú A chia hết cho p. Bài 4. Cho p là số nguyờn tố lớn hơn 7. Chứng minh rằng 3p – 2p – 1 chia hết cho 42p. Giải. Ta cú 42p = 6p.7 = 2.3.p.7 Cú : Vỡ p la số lẻ nờn Áp dụng định lớ Fermat: Do đú Một số nguyờn tố p khi chia cho 6 chỉ cú thể dư là 1 hoặc 5 Nếu p = 6k + 1 thỡ Nếu p = 6k + 5 thỡ Vậy Từ cỏc điều trờn (đpcm). Dạng 5. Sử dụng nguyờn tắc Dirichlet . Nguyờn lớ Dirichlet là một định lớ cú chứng minh dể dàng bằng phản chứng và được sử dụng để chứng minh nhiều định lớ toỏn học. Nguyờn lớ này thường được phỏt biểu một cỏch hỡnh học và đơn giản như sau: Khụng thể nhốt 7 con thỏ vào 3 cỏi lồng mà mỗi lồn khụng quỏ hai con thỏ. Núi một cỏch khỏc: Nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cỏi lồng thỡ sẻ cú một lồng chứa từ 3 con thỏ trở lờn. Một cỏch tổng quỏt cú thể phỏt biểu: Nếu đem n + 1 vật xếp vào ngăn kộo thỡ cú ớt nhất một ngăn kộo chứa từ hai vật trở lờn. Nguyờn lớ này giỳp ta giải một bài khỏ dể dàng nhất là cỏc bài toỏn về chia hết. Bài 1. Chứng minh rằng trong n + 1 số nguyờn bất kỡ cú hai số mà hiệu chia hết cho n. Giải. Lấy n + 1 số nguyờn đó cho chia cho n thỡ được n + 1 số dư. Nhưng khi chia một số cho n thỡ số dư chỉ cú giỏ trị 0, 1, 2, …, n – 1. vậy trong phộp chia thỡ phải cú hai số dư bằng nhau. Khi đú hiệu số của hai số này sẻ chia hết cho n. Bài 2. Chứng minh rằng trong cỏc số tự nhiờn, thế nào cũng cú số k sao cho 1983k – 1 chia hết cho 105  Giải. Ta cho k lấy lần lượt 105 + 1 giỏ trị liờn tiếp từ 1 trở lờn, ta được 105 + 1 giỏ trị khỏc nhau của 1983k – 1. sau đú chia cỏc giỏ trị này cho 105 , ta chỉ cú nhiều nhất là 105 số dư. Vậy theo nguyờn lớ Dirichlet, phải cú ớt nhất hai số cựng cho một số dư khi chia cho 105. Giả sử đú là cỏc số 1983m – 1 và 1983n – 1( với m > n). Như vậy hiệu của chỳng (1983m – 1) – (`983n – 1) = 1983m – 1983n = 1983n(1983m-n – 1) phải chia hết cho 105 Nhưng 105 chỉ cú cỏc ước số2, 5 cũn 2 và 5 khụng phải là ước số của 1983n vậy chỳng nguyờn tố cựng nhau, do đú. 1983m-n – 1 phải chia hết cho 105. Như vậy k = m – n chớnh là số phải tỡm. Bài 3. Viết cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 100 thành hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý, tiếp đú cộng mỗi một số trong cỏc số đó cho với số thứ tự chỉ vị trớ nú đứng (tớnh từ trỏi sang phải). Chứng minh rằng ớt nhất củng cú hai tổng mà chử số tận cựng của hai tổng đú như nhau. Giải. Gọi 10 số tự nhiờn từ 1 đến 10 viết theo thứ tự từ trỏi sang phải là a1, a2,…, a10. Ta lập dóy mới b1, b2, …, b10 với b1 = a1 + 1, b2 = a2 + 2;..; b10 = a10 + 1. bi là tổng của ai với vị trớ thứ i mà nú đứng (i = 1, 2, …, 10). Ta cú: b1 + b2 + …+ b10 = a1 + a2 + ..+a10 + 1 + 2+ ..+10 = 2(1 + 2 + …+ 10)= 110 Vỡ 110 là số chẵn nờn khụng xóy ra trường hợp cú 5 số bi nào đú lẻ và 5 số bj nào đú chẵn, hay núi cỏch khỏc cỏc số bi chẵn, và cỏc số bj lẻ phải khỏc nhau. Do đú cỏc số bi lẻ lớn hơn 5 hoặc cỏc số bj chẵn lớn hơn 5. Mà từ 1 đến 10 chỉ cú 5 vị trớ lẻ và 5 vị trớ chẵn nờn theo nguyờn tắc Dirichlet phải cú ớt nhất hai số bi lẻ tận cựng như nhau hoặc cú hai số bj chẵn cú chử số tận cựng như nhau.. Bài 4. Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiờn liờn tiếp bất kỡ luụn tồn tại một số cú tổng cỏc chử số chia hết cho 10. Giải. Trước hết ta chứng minh rằng: với 19 số tự nhiờn liờn tiếp luụn tồn tại 10 số nguyờn liờn tiếp cú chử số hàng chục như nhau cũn cỏc chử số hàng đơn vị liờn tiếp từ 0 đến 9. Nếu trong 19 số tự nhiờn liờn tiếp cú mặt 3 chử số hàng chục khỏc nhau thỡ rỏ ràng cú một chử số hàng chục(ở giữa hai hàng chục kia) cựng với cỏc chử số đơn vị liờn tiếp từ 0 đến 9. Nếu trong 19 số tự nhiờn liờn tiếp chỉ cú hai loại chử số hàng chục khỏc nhau thỡ từ 19 = 2.9 + 1 suy ra cú 10 số cú cựng chử số hàng chục và cỏc chử số đơn vị liờn tiếp từ 0 đến 9. Tổng cỏc chử số của mỗi số trong 10 số tự nhiờn núi trờn cũng lập thành 10 số tự nhiờn liờn tiếp, vậy phải cú một số chia hết cho 10. Vậy trong 19 số tự nhiờn liờn tiếp luụn tồn tại một số cú tổng cỏc chử số chia hết cho 10. Dạng 6: Sử dụng phộp quy nạp . Ta làm như sau: Nhận xột rằng mệnh đề đỳng với n = 1 Giả sử mệnh đề đỳng với n = k cũng chứng mớnh được nú đỳng với n = k+ 1 (với k > n0) Lỳc đú mệnh đề đỳng với mọi n lớn hơn 1. Bài 1. Chứng minh rằng: A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)…(3n) chia hết cho 3n Giải. Nếu n = 1 ta cú A = 2.3 chia hết cho 3 Giả sử mệnh đề đỳng với n = k tức là : Ta hóy xột : Nhưng theo (*) thỡ Ak chia hết cho 3k vậy Vậy mệnh đề đỳng với mọi n lớn hơn 1. Bài 2. Chứng minh rằng chia hết cho 101995. Giải. Ta chứng minh bài toỏn một cỏch tổng quỏt: Với mọi số tự nhiờn n thỡ Với n = 0 thỡ mệnh đề đỳng: 11 – 1 chia hết cho 10 Giả sử mệnh đề đỳng với n = k, ta cú: Ta hóy xột: Nhưng mọi luỹ thừa của 11 đều đồng dư với 1 (mod 10) nờn 10 số hạng trong múc vuụng như vậy, do đú: Và biểu thức trong múc vuụng chia hết cho 10 Mặt khỏc theo vậy Vậy n = 1994 ta cú chia hết cho 101995. C. Bài tập. 1. Cho a, b khụng chia hết cho 5. Chứng minh rằng a4 + b4 chia hết cho 5. 2. Chứng minh rằng ax3 + bx2 + cx + d là số nguyờn với mọi x nguyờn và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c, d là cỏc số nguyờn . 3. Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiờn liờn tiếp bất lỡ luụn tồn tại một số cú tổng cỏc chử số chia hết cho 11. 4. Cho n là số nguyờn dương lẻ, chứng minh rằng: 46n + 296.13n chia hết cho 1947. 5. Với n là số nguyờn dương chứng minh rằng: a) 72n – 48n – 1 chia hết cho 482, b) nn – n2 + n – 1 chia hết cho (n – 1)2 (n > 1) 6. cho f(x) là đa thức với hệ số nguyờn và f(0), f(1) là cỏc số lẻ. Chứng minh rằng f(x) khụng cú nghiệm nguyờn. 7. a) Tỡm tất cả số tự nhiờn n để 2n – 1chia hết cho 7. b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ 2n + 1 khụng chia hết cho 7. 8. Chứng minh rằng tổng bỡnh phương của 7 số nguyờn liờn tiếp khụng thể là một số chớnh phương. 9. Chứng minh rằng cú thể tỡm được hai luỹ thừa khỏc nhau của số 4 mà chỳng cú 3 chử số tận cựng giống nhau. 10. Chứng minh rằng cú thể tỡm được một số tự nhiờn mà 4 chử số tận cựng là 2002 và chia hết cho 2003. 11. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiờn chỉ gồm toàn chử số 2 và chia hết cho 2003. 12. Chứng minh rằng nếu với mọi số tự nhiờn n. 13. Chứng minh rằng với mọi n thuộc N* : (n + 1)(n + 2)…(n + n) chia hết cho 2n. 14. Chứng minh rằng 270 + 370 chia hết cho 13. 15. Tỡm ba chử số tận cựng của số . 16. Cho p, k, n là cỏc số nguyờn dương. Chứng minh rằng 17. Chứng minh rằng : a) . b) 18. Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất gồm toàn chử số 9 và chia hết cho cỏc số 3, 7, 11, 13, 17. Hướng dẫn giải. 1. a4 – b4 = (a4 – 1) – (b4 – 1) = (a – 1)(a + 1)(a2 + 1) – (b – 1)(b + 1)(b2 + 1). 2. ax3 + bx2 + cx + d = a(x3 – x) + b(x2 – x) + (a + b + c)x + d Chứng minh : x3 – x chia hết cho 6 và x2 – x chia hết cho 2. 3. Từ 20 số đầu tiờn của dóy ta tỡm được hai số mà chử số hàng đơn vị là 0 và trong hai số đú ớt nhất cú một số cú hai chử số hàng chục khỏc 9, giả sử đú là số n. Khi đú cỏc số n, n + 1, …, n + 9, n + 19 là 11 số cú tổng cỏc chử số là 11 số tự nhiờn liờn tiếp nờn cú một số cú tổng cỏc chử số chia hết cho 11. 4. 1947 = 33.59 ; 46n + 296.13n = (46n – 13n) + 297.13n = (46n + 13n) + 295.13n 5. a)72n – 48n – 1 = (49n – 1) – 48n = 48[(49n-1 – 1) + (49n-2 – 1) + …+(49 – 1)] b) nn – n2 + n – 1 = (n – 1)[(nn-1 – 1)+ (nn-2 – 1) + …+(n – 1)] 6. Giả sử f(n) = 0 , ta cú f(n) – f(1) (n – 1) n – 1 lẻ f(n) – f(o) n n lẻ . Vụ lớ. 7. a) n = 3k + r , r = 0; 1; 2, giả thiết suy ra r = 0 b) xột n = 3k + r, r = 0; 1; 2. 8. (n – 3)2 + (n – 2)2 + (n – 1)2 + n + (n + 1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)3 = 7(n2 + 4) Chia hết cho 7 nhưng khụng chia hết cho 49. Lấy 1002 số 4, 42,…, 41001 chia cho 1000. Lấy 2003 số 2003, 20032003, …, 2003…2003 (2004 số 2003) chia cho 2003 Lấy 2004 số 2, 22,…,22004 chia cho 2003 Với n = k + 1: (k + 2)(k + 3)…(2k + 2) = 2(k + 1)(k + 2)…(k + k) 2k+1 Tỡm hai chử số tận cựng của 22003 tự làm\ Ta cú BCNN(2, 6, 10, 12, 16) = 16.5.3 = 240. Áp dụng định lớ Fermat. CHUYấN ĐỀ 2: SỐ NGUYấN TỐ Để đơn giản vấn đề này, chỳng ta xột khỏi niệm số nguyờn tố trong tập hợp số tự nhiờn N. Trong tập hợp số tự nhiờn, số 0 cú vụ số ước, đú là tất cả cỏc số tự nhiờn khỏc nú. Số 1 chỉ cú một ước duy nhất là chớnh nú. Cũn mỗi số tự nhiờn lớn hơn 1 bao giờ củng cú ớt nhất hai ước là 1 và chớnh nú, cỏc ước như thế giọi là ước tầm thường. Chỳng ta chỉ quan tõm tới cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 và chỉ cú hai ước tầm thường, cỏc số loại này cú vai trũ quan trọng trong lớ thuyết số Lý thuyết I, Số nguyờn tố và hợp số 1/ Định nghĩa: Số nguyờn tố là số tự nhiờn lớn hơn 1 và chỉ cú hai ước là một và chớnh nú Hợp số là số tự nhiờn lớn hơn 1 cú ước khỏc 1 và chớnh nú Vớ dụ: 2, 3, 5, 7, 11….là những số nguyờn tố 4, 8, 9, 12… là những hợp số Chỳ ý: Tập hợp số tự nhiờn được chia thành 3 bộ phận + {0, 1} + Tập hợp cỏc số nguyờn tố + Tập hợp cỏc hợp số Từ định nghĩa ta cú : Số tự nhiờn a >1 là hợp số nếu a = pq, p > 1, q >1, hoặc nếu a = pq , 1 < p < a. 2/ Tập hợp cỏc số nguyờn tố a, Định lớ 1: Ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiờn lớn hơn 1 là một số nguyờn tố. Chứng minh: Giả sử a là một số tự nhiờn lớn hớn 1 và p > 1 là ước nhỏ nhất của a. Ta cú p là một số nguyờn tố. Thật vậy nếu p khụng phải là một số nguyờn tố thỡ p là một hợp số, nghĩa là cú một số tự nhiờn p1 là ước của p và 1 < p1 < p. Từ đú ta cú p1 là ước của a và 1 < p1 < p mõu thuẩn với giả thiết p là ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của a. Chỳ ý: Định lớ trờn chứng tỏ rằng mọi số tự nhiờn lớn hơn 1 đều cú ước nguyờn tố. b, Định lớ 2: Cú vụ số ước nguyờn tố Chứng minh: Về mặt lớ thuyết, định lớ một chứng tỏ rằng tập hợp cỏc số nguyờn tố khỏc rổng. Giả sử chỉ cú hữu hạn số nguyờn tố là p1 = 2, p2, p3,…, pn Ta xột số a = p1p2…pn + 1. Đú là một số tự nhiờn lớn hơn 1 nờn a cú ớt nhất một ước nguyờn tố q. Nhưng vỡ chỉ cú hữu hạn số nguyờn tố đó kể ra ở trờn cho nờn p phải trựng một trong cỏc số p1, p2, …,pn do đú q phải là ước của tớch p1p2…pn. Từ q là ước của a = p1p2…pn + 1 và q là ước của p1p2…pn. q là ước của a - p1p2…pn = 1. Điều này mõu thuẩn với giả thuyết q là số nguyờn tố Như vậy tập hợp cỏc số nguyờn tố là vụ hạn nờn khụng thể cú một bảng tất cả cỏc số nguyờn tố, nếu chỳng ta đỏnh số cỏc số nguyờn tố theo thứ tự tăng dần p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, pn < pn + 1 ,…. Thỡ cho đến nay người ta củng chưa tỡm được một biểu thức tổng quỏt nào cho số nguyờn tố pn thứ n theo chỉ số n của nú. II, Cỏc định lớ cơ bản: 1/ Cỏc bổ đề a. Bổ đề 1: Với số tự nhiờn a và số nguyen tố pthỡ hoặc a nguyờn tố với p hoặc a chia hết cho p. Chứng minh: Vỡ p là một số nguyờn tố nú chỉ cú 2 ước là một và p cho nờn ƯCLN(a,p) = 1 hoặc ƯCLN(a,p) = p. Từ đú ta cú a nguyờn tố với p hoặc a chia hết cho p b. Bổ đề 2: Nếu một tớch cỏc số tự nhiờn chia hết cho số nguyờn tố p thỡ phải cú ớt nhất một thừa số của tớch chia hết cho p. Chứng minh: Giả sử tớch a1a2…an chia hết cho p, ta phải cú ớt nhất một trong cỏc số a1, a2,…,an chia hết cho p . Thật vậy giả sử trỏi lại rằng tất cả cỏc số a1, a2,…,an khụng chia hết cho p thỡ theo bổ đề 1 chỳng đều là nguyờn tố với p do đú ta cú ƯCLN(a1a2…an ,p) = 1. Điều này mõu thuẩn với giả thiết. c. Hệ quả: Nến số nguyờn tố p là ước của một tớch cỏc số nguyờn tố q1q2…qn thỡ p phải trựng với một trong cỏc số nguyờn tố của tớch đú. 2/ Định lớ cơ bản: Mỗi số tự nhiờn lớn hơn 1 đều phõn tớch được thành tớch những thừa số nguyờn tố và sự phõn tớch đú là duy nhất nếu khụng kể đến thứ tự của cỏc thừa số Chứng minh: a. Sự phõn tớch được: Giả sử , khi ấy a cú ớt nhất một ước nguyờn tố p1 nào đú và ta cú a = p1a1 Nếu a1 = 1 thỡ a = p1 là sự phõn tớch của a thành tớch (cú một thừa số) những số nguyờn tố. Nếu a1>1 thỡ lại theo định lớ ở trờn, a1 cú ước nguyờn tố p2 nào đú và ta cú a1 = p2a2 nờn a = p1p2a2 Nếu a2 = 1 thỡ a = p1p2 là sự phõn tớch của a thành tớch những thừa số nguyờn tố. Nếu a2>1 thỡ lại tiếp tục lớ luận ơ trờn cú số nguyờn tố p3,…Quỏ trỡnh này ắt phải cú kết thỳc, nghĩa là cú n sao cho an = 1, an-1 = pn là một số nguyờn tố, bởi vỡ ta cú a, a1, a2,… là những dóy số tự nhiờn mà a > a1 > a2 > a3 > … như vậy cuối cựng ta được a = p1p2…pn. Là sự phõn tớch của a thành những thừa số nguyờn tố. b. Tớnh duy nhất: Giả sử ta cú a = p1p2…pn = q1q2…qn là hai dạng phõn tớch số tự nhiờn a thành thừa số nguyờn tố. Đẳng thức trờn chứng tỏ p1 là ước của q1q2…qn nờn theo bổ đề 2 ở trờn p1 trựng với qi nào đú() vỡ ta khụng kể đến thứ tự của cỏc thừa số nờn cú thể coi p1 = q1 và từ đú ta được p2…pn = q2…qn Lấy p2 và lập lại lớ luận trờn ta được p2 = q2 Lớ luận lặp lại cho đến lỳc ở một vế khụng cũn thứa số nguyờn tố nào nữa, nhưng lỳc đú ở vế cũn lại củng khụng cũn thừa số nguyờn tố nào vỡ ngược lại sẻ xóy ra Hoặc 1 = qn+1qn+2…qn Hoặc pm+1pm+2…pm = 1 Là khụng thể được. Vậy phải cú m = n và pi = qi i = 1, 2, 3,…n nghĩa là tớnh duy nhất ở dạng phõn tớch số a thành tớch cỏc thừa số nguyờn tố đó dược chứng minh Vớ dụ: phõn tớch 1960 thành tớch những thừa số nguyờn tố Trong thực hành ta thực hiện quỏ trỡnh phõn tớch trong phộp chứng minh định lớ trờn bằng cỏch tỡm cỏc ước nguyờn tố của a = 1960 từ nhỏ đến lớn. Ta viết như sau: Vậy 1960 = 2.2.2.5.7.7 = 23.5.72 Chỳ ý: Bằng cỏch phõn tớch 1 số ra thừa số. Ta cú thể tỡm được tất cả cỏc ước của số ấy mọt cỏch nhanh,khụng bỏ sút ước nào. Người ta chứng minh được rằng, nếu một số A cú dạng phõn tớch ra thừa số nguyờn tố lỏ trong đú a1, a2,…,an là cỏc số nguyờn tố, thỡ cỏc ước của A là ta cú thể sử dụng điều này để kiểm tra xem khi tỡm cỏc ước của một số, ta đó tỡm đủ số cỏc ước chưa. Thụng thường , khi viết cỏc phõn tớch ra thừa số nguyờn tố của một số, bao giờ ta củng viết nú dưới dạng tiờu chuẩn, tức là dạng ma trong đú cỏc thừa số nguyờn tố được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Phõn tớch ra thừa số nguyờn tố của một số chớnh phương thỡ chỉ chứa cỏc thứa số nguyờn tố với số mũ chẵn. B: Cỏc dạng toỏn : DẠNG 1: ƯỚC CỦA MỘT SỐ (a1, a2,…,an: cỏc số nguyờn tố) Số ước của A là Bài 1: Tỡm cỏc ước nguyờn tụ của cỏc số 30, 210, 2310 chứng tỏ rằng cỏc số 31, 211, 3201, 10031 là cỏc số nguyờn tố giải 1.Phõn tớch cỏc số đó cho thành tớch cỏc thừa số nguyờn tố Ta cú: Ước nguyờn tố(30) = {1, 2, 3, 5} Và 30 = 1.2.3.5 Ước nguyờn tố(210) = {1, 2, 3, 5,7} Và 210 = 1.2.3.5.7 Ước nguyờn tố(2310) = {1, 2, 3, 5, 7, 11} Và 30 = 1.2.3.5.7.11 Chỳ ý: Khi phõn tớch số 210 ra thừa số nguyờn tố ta cú thể làm như sau : 210 = 21.10 . Ta đó biết 10 = 2.5 nờn chỉ cần phõn tớch 21 = 3.7 và cú 210 = 2.7.2.5 Cỏch này hoàn toàn cú lợi khi phõn tớch cỏc số là bội của 10 Chẳng hạn khi phõn tớch số 3200 ta viết 3200 = 32.100 cho ta 32 = 25 và 100 = 22.52 Vậy 3200 = 27.52 2. Dể thấy 31 = 30 + 1 = 1.2.3.5 + 1 Số 31 khụng chia hết cỏc số nguyờn tố 2, 3, 5 ma 52 = 25 < 35 là ước nguyờn tố lớn nhất mà 52 < 31 Suy ra 31 là số nguyờn tố Cỏc số khỏc ta củng chứng minh tương tự. Bài 2: 1. Phõn tớch số 360 ra thừa số nguyờn tố. 2. Số 360 cú bao nhiờu ước. 3. Tỡm tất cả cỏc ước của 360. Giải. 1. Ta cú: Vậy 360 = 2.2.2.3.3.5 = 23.32.5 2.Ta cú 360 = 23.32.5 Vậy số cỏc ước của 360 là (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước 3. Dể thấy cỏc số 1, 2, 22, 23, (1) là ước của 360 Ta tỡm cỏc ước cũn lại theo cỏch sau Bước 1: Nhõn cỏc số hạng dóy (1) theo thứ tự với 3 và 32 ta được cỏc ước Bước 2: Nhõn cỏc số trong dóy (1) và (2) theo thứ tự với 5 ta đước cỏc ước Vậy ta cú tất cả 24 ước của 360 là Bài 3: Tỡm số nhỏ nhất A cú 6 ước 9 ước Giải Viết A dưới dạng phõn tớch ra thừa số nguyờn tố A = am.bn.ct… Số cỏc ước của A sẻ là (m + 1)(n + 1)(t + 1)… Ta cú 6 = 6.1 hoặc 6 = 2.3 Trường hợp A chỉ cú một số nguyờn tố dạng A = am thỡ Vỡ A là số nhỏ nhất hay a = 2. Suy ra Trương hợp A cú hai thừa số nguyờn tố A = am.bn Ta cú Và A = a2.b1 Để cú số A nhỏ nhất ta chọn cỏc số nguyờn tố nhỏ nhất là a = 2, b = 3 Vậy A = 22.3 hay A = 12 Xột 2 trường hợp trờn ta thấy số tự nhiờn nhỏ nhất cú 6 ước là 12 2. Đỏp số : 36. Bài 4: Chứng tỏ rằng cỏc số sau đõy là hợp số 676767 108 + 107 + 7 175 + 244 + 1321 Giải. 1. Số 676767 cú tổng cỏc chử số là 39 chia hết cho 3 nờn Vậy nú là hợp số 2. Tương tự số 108 + 107 + 7 cú tổng chia hết cho 9 nờn 108 + 107 + 7là hợp số 3. Số 175 + 244 + 1321 cú: Số 175 cú tận cựng là 7 Số 244 cú tận cung là 6 Số 1321 cú tận cựng là 3 Vậy 108 + 107 + 7 cú tận cựng là 0, chia hết cho 10 nờn nú là hợp số. Bài 5: Cỏc số sau là nguyờn tố hay hợp số A = 11…1 (2001 chử số 1) B = 11…1 (2000 chử số 1) C = 1010101 D = 1112111 E = 1! + 2! + 3! +…+ 100! G = 3.5.7.9 – 28 H = 311141111 Giải. 1. . Hợp số 2. . Hợp số 3. . Hợp số 4. D = 1112111 = 1111000 + 1111 . Hợp số E = 1! + 2! + 3! + … + 100! Suy ra . Vậy E là hợp số 6. G chia hết cho 7.G là hợp số 7. H = 311141111 = 31111000 + 31111 . Vậy H là hợp số. Bài 6: Cho 3 số a = 720, b = 36, c = 54 1. Gọi A, B, C theo thứ tự là tập hợp cỏc ước nguyờn tố của a, b, c. Chướng tỏ B, C là tập con của A 2. a cú chia hết cho b, cú chia hờt cho c khụng Giải. 1. Ta thấy a = 720 = 24.32.5 b = 36 = 22.32 c = 54 = 2.33 vậy A = {2, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3} Dễ thấy B, C là hai tập con của A 2. Vỡ a = 24.32.5 và b = 22.32 nờn Vỡ a = 24.32.5 và c = 2.33 nờn a khụng chia hờt cho c Bài 7: Đố vui: Ngày sinh nhật của bạn Một ngày đầu năm 2002. Huy viết thư hỏi thăm sinh nhật Long và nhận được thư trả lời. Mỡnh sinh ngay a thỏng b, năm 1900 + c và đến nay d tuổi . Biết rằng a.b.c.d = 59007 Huy đó kịp tớnh ra ngày sinh của Long và kịp viết thư sinh nhật bạn. Hỏi Long sinh ngày nào Giải. Ta cú: a.b.c.d = 59007 c +d = 102 Phõn tớch ra thừa số nguyờn tố a.b.c.d = 3.13.17.89 Trụng cỏc ước của abcd chỉ cú hai số 13 và 89 cú tổng bằng 102. Tuổi của Long khụng thể là 89 vậy d = 13, c = 89 Cũn lại a.b = 3.17 do nờn b = 3, a = 17 Vậy long sinh ngày 17 – 3 – 1989 . Bài 8: Chứng minh rằng: Mọi số nguyờn tố lớn hơn 2 đều cú dạng Mọi số nguyờn tố lớn hơn 3 đều cú dạng Giải. Khi chia một số tự nhiờn A lớn hơn 2 cho 4 thỡ ta được cỏc số dư 0, 1, 2, 3 . Trường hợp số dư là 0 và 2 hai thỡ A là hợp số, ta khụng xột