Tổng hợp các bài toán về đường thẳng- đường tròn- elip

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG- ĐƯỜNG TRÒN- ELIP 1.Bổ sung kiến thức về Elip a. Vị trí tương đối của điểm và elip: Cho (E): và điểm M(x0; y0) ta định nghĩa phương tích của điểm M đối với elip là: . Nếu <1 thì M nằm trong (E). Nếu =1 thì M nằm trên (E); Nếu > 1 thì M nằm ngoài (E). b. Vị trí tương đối của đường thẳng và elip: Cho đường thẳng d: Ax+By+C=0 (A2+B2>0) và (E): . Khi đđó ta có hai cách xác định điều kiện tiếp xúc của d và (E) như sau: Cách 1: Chuyển phương trình (E) và dạng tham số (E): . Thay vào pt đường thẳng d ta được: Aasint+Bbcost=-C. Như vậy ta có Nếu < thì d không có điểm chung với (E). Nếu = thì d tiếp xúc với (E) (khi đó d là tiếp tuyến của (E) ) Nếu > thì d cắt (E) tại hai điểm phân biệt. Cách 2: Ta biện luận theo số nghiệm của hệ phương trình: c. Tiếp tuyến của Elip tại M(x0;y0) thuộc Elip có dạng: . Bài tập về elip: 1)Cho elip . Tiêu điểm F1(-c;0). Tìm M thuộc elip sao cho a) Đoạn F1M ngắn nhất, b) Đoạn F1M dài nhất. 2) Cho (E): Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) thỏa mãn a) Có tổng 2 tọa độ đạt giá trị lớn nhất; b)Có tổng 2 tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất. 3)Cho elip (E): . Tiếp tuyến (d) của (E) cắt Ox tại A, cắt tia Oy tại B. Xác định phương trình (d) sao cho AB ngắn nhất. 4) Cho elip . Tìm tọa độ M thuộc Elip sao cho tiếp tuyến của (E) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất. 5) Cho A(3;0). Tìm B; C thuộc Elip (E): sao cho B, C đối xứng qua Ox đồng thời thỏa mãn tam giác ABC đều. 6) ( D-2005) Trong maët phaúng Oxy, cho ñieåm C(2;0) vaø elip (E):. Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A,B thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A, B ñoái xöùng vôùi nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu. 7) ( D-2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình . Xết M chuyển động trên Ox và điểm N chuyển động trên Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài tập về đường thẳng và đường tròn: Bài 1:(Đề 54) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và từ C có phương trình tương ứng là: d1 :x-2y+1=0 và d2: 3x+y-1=0. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 2: (Đề 55) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2+y2-4x-6y-12=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d: 2x-y+3=0 sao cho MI=2R, trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C). Bài 3: ( Đề 48) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho dường thẳng d: x-y+1=0 và đường tròn (C): x2+y2+2x-4y=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) tại A và B sao cho góc AMB bằng 600. Bài 4: (Đề 52)Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn (C1): x2+y2-10x=0 và (C2): x2+y2+4x-2y-20=0 a)Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của (C1) và (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng d: x+ 6y- 6=0. b)Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2). Bài 5: (A-2009) Trong mặt Oxy cho đường tròn (C): x2+y2+4x+4y+6=0 và đường thẳng d: x+my-2m+3=0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Bài 6: (B-2009) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng d: x-y-4=0. Xác định tọa độ các điểm B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Bài 7:(D-2009) Trong mặt phẳng cho đường tròn (C): (x-1)2+y2=1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho góc IMO bằng 300. Bài 8; (B-2008) Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x-y+2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y-1=0. Bài 9: (B-2007) Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2;2) và các đường thẳng d1: x+y-2=0, d2: x+y-8=0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Bài 10: (D-2007) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2+(y+2)2=9 và đường thẳng d: 3x-4y+m=0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. Bài 11: (A-2006) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng: d1; x+y+3=0, d2: x-y-4=0, d3: x-2y=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đương thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách tư M đến đường thẳng d2. Bài 12:(B-2006) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn (C) :x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 vaø ñieåm M(– 3 ; 1). Goïi T1 vaø T2 laø caùc tieáp ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán keû töø M ñeán (C). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng T1T2. Bài 13:( D – 2006)Cho ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 vaø ñöôøng thaúng (d) : x – y + 3 = 0. Tìm toïa ñoä ñieåm M naèm treân (d) sao cho ñöôøng troøn taâm M, coù baùn kính gaáp ñoâi baùn kính ñöôøng troøn (C) vaø tieáp xuùc ngoaøi vôùi ñöôøng troøn (C) Baøi 14:(A-2005)Trong maët phaúng Oxy, tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa hình vuoâng ABCD bieát A Î (d1) : x – y = 0, C Î (d2) : 2x + y – 1 = 0 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc Ox. Baøi 15: ( B-2005) Cho A(2 ; 0), B(6 ; 4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi Ox taïi A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán B baèng 5. Baøi 17: (B-2004) Cho A(1 ; 1) vaø B(4 ; – 3). Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng (d) : x – 2y – 1 = 0 sao cho khoaûng caùch töø C ñeán ñöôøng thaúng AB baèng 6. Baøi 18: ( A-2004)Trong maët phaúng Oxy cho hai ñieåm A(0;2) vaø . Tìm toïa ñoä tröïc taâm vaø toïa ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa tam giaùc OAB. Baøi 19(D-2004) trong maët phaúng Oxy cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;0); B(4;0); C(0;m). Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m. Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G. Baøi 20(B-2003) Trong maët phaúng Oxy cho tam giaùc ABC coù AB=AC, goùc ABC=900. Bieát M(1;-1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G( laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A; B; C. Baøi 21: (D-2003) Trong maët phaúng vôùi heä truïc Oxy cho ñöôøng troøn (C): (x-1)2+(y-2)2=4 vaø ñöôøng thaúng d: x-y-1=0. Vieát phöông trình ñöôøng troøn ( C’) ñoái xöùng vôùi troøn (C) qua ñöôøng thaúng d. Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’). Baøi 22:( A-2002) Trong maët phaúng Oxy, xeùt tam giaùc ABC vuoâng taïi A, phöông trình ñöôøng thaúng BC laø , caùc ñænh A vaø B thuoäc truïc hoaønh vaø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng 2. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC. Bài 23: (B-2002) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm , phương trình AB là x- 2y +2 =0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. Bài 24: (Đề 25) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là: 3x+4y+10=0 và x-y+1=0; điểm M(0;2) thuộc cạnh AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 25( Đề 26) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2+y2=1. Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y=m tồn tại đúng 2 điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600. Bài 26( Đề 27) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với AB=, C(-1;-1), đường thẳng AB có phương trình x+2y-3=0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng x+y-2=0. Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B. Bài 27: (Đề 28) Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(3;0) B(0;4). Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với đường tròn đi qua trung điểm các cạnh của tam giác OAB. Bài 28( Đề 29) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : (x-4)2+y2=4 và điểm E(4;1). Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua điểm E.