Tổng hợp các dạng bài toán bồi dưỡng học snh giỏi lớp 6

đầy đủ các dạng bài toán bồi giỏi 6 đã tổng hợp Dãy các số viết theo qui luật Bài1:Tính: A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bài2:Tính: A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 HD: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99) Bài3:Tính: A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) Bài4:Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101- 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 Bài5:Tính: A = 1 2 +2 2 +3 2 +...+99 2 +100 2 HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) Bài6:Tính: A = 2 2 +4 2 +6 2 +...+98 2 +100 2 HD: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 +...+49 2 +50 2 ) Bài7:Tính: A = 1 2 +3 2 +5 2 +...+97 2 +99 2 HD: A = (1 2 +2 2 +3 2 +...+99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 +...+98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 +...+99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 +...+49 2 +50 2 ) Bài8:Tính: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 +...+99 2 -100 2 HD: A = (1 2 +2 2 +3 2 +...+99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 +...+98 2 +100 2 ) Bài9:Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 +...+98.99 2 HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) CHUYÊN Đề ƯC - BC Bài toán mẫu :Trong một số trường hợp, cú thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tớch của hai số nguyờn dương a, b, đú là : ab = (a, b).[a, b], trong đú (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này khụng khú : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1 (*) Từ (*) => ab = mnd 2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd 2 = ab => ab = (a, b).[a, b] . (**) Bài toỏn 2 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. Bài toỏn 4 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. Bài toỏn 5 : Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. Bài toỏn 6 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) CHUYÊN Đề DãY Số VIếT THEO QUY LUậT Dạng1 : TỪMỘT BẻI TOẽN TÍNH TỔNG Chỳng ta cựng bắt đầu từ bài toỏn tớnh tổng rất quen thuộc sau: Bài toỏn A : Tớnh tổng : Lời giải : Vỡ 1 .2 = 2; 2 .3 =6 ;...; 43. 44 =1892 ; 44 . 45 =1980 ta cú bài toỏn khú hơn chỳt xớu Bài 1 : Tớnh tổng : Và tất nhiờn ta cũng nghĩ đến bài toỏn ngược. Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết : Hơn nữa ta cú: ta cú bài toỏn Bài 3 : Chứng minh rằng : Do vậy, cho ta bài toỏn“tưởng như khú” Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : khụng phải là số nguyờn. Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là cỏc số tự nhiờn lớn hơn1 và khỏc nhau thỡ Giỳp ta đến với bàitoỏn Hay và Khú sau : Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau : Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại haisố bằng nhau. Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a44 < a45 và Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng? Dạng2 : so sánh Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2 Lời giải : Cú khỏ nhiều cỏch chứng minh nhờ “đỏnh giỏ” vế trỏi bởi cỏc kiểu khỏc nhau. Ta gọi vế trỏi của bất đẳng thức là A. Cỏch 1 : Ta cú: 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) Từ (1) và (2) => : A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 Cỏch 2 : Ta cú: 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 Cỏch 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5) 1/10 + 1/11 + ... + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6) Từ (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 Cỏch 4 : 1/6 + 1/7 + ...+ 1/11 < 6.1/6 = 1 (7) 1/12 + 1/13 + ... + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8) Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 Cỏch 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11) Từ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. éỀ SỐ HỌC 6 NÂNG CAO 1. Viết cỏc tập hợp sau bằng cỏch liệt kờ cỏc phần tử của nú: a) Tập hợp A cỏc số tự nhiờn cú hai chữ số trong đú chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3. b) Tập hợp B cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số mà tổng cỏc chữ số bằng5. 2. *Ghi số nhỏ nhất cú:a) chớn chữ số b) n chữ số (nÎN*) c) mười chữ số khỏc nhau **Ghi số lớn nhất cú: a) chớn chữ số b) n chữ số (nÎN*) c) mười chữ số khỏc nhau 3. Người ta viết liờn tiếp cỏc số tự nhiờn thành dóy số sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ...Hỏi: a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy? b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gỡ? Chữ số đú của số tự nhiờn nào? 4. éiền kớ hiệu thớch hợp vào ụ vuụng: a) 2 c {1; 2; 6} e) Æ c {a} b) 3 c {1; 2; 6} f) 0 c {0} c) {1} c {1; 2; 6} g) {3; 4} c N d) {2;1; 6} c {1; 2; 6} h) 0 c N* 5. Trong đợt thi đua "Bụng hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giỏo Việt Nam - Lớp 6/1 cú 45 bạn đạt từ 1 điểm 10 trở lờn, 38 bạn đạt từ 2 điểm 10 trở lờn, 15 bạn đạt từ 3 điểm 10 trở lờn, 9 bạn đạt 4 điểm 10, khụng cú ai đạt trờn 4 điểm10. Hỏi trong đợt thi đua đú, lớp 6/1 cú tất cả bao nhiờu điểm 10? 6. Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phự éổng", kết quả điều tra ở một lớp cho thấy; cú25 học sinh thớch búng đỏ, 22 học sinh thớch điền kinh, 24 học sinh thớch cầu lụng, 14 học sinh thớch búng đỏ và điền kinh, 16 học sinh thớch búng đỏ và cầu lụng, 15 học sinh thớch cầu lụng và điền kinh, 9 học sinh thớch cả 3 mụn, cũn lại là 6 học sinh thớch cờ vua. Hỏi lớp đú cú bao nhiờu học sinh? 7. Muốn viết tất cả cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 1000 phải dựng bao nhiờu chữ số 5? 8. éiền cỏc chữ số thớch hợp vào ụ trống để tổng ba chữ số liền nhau bằng 23: 9. Tỡm số cú hai chữ số sao cho số đú lớn hơn 6 lần tổng cỏc chữ số của nú là 2 đơn vị. 10. Tỡm số bị chia và số chia nhỏ nhất để thương của phộp chia là 15 và số dư là 36. 11. Em hóy đặt cỏc dấu (+) và dấu (-) vào giữa cỏc chữ số của số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (cú thể ghộp chỳng lại với nhau) để kết quả của phộp tớnh bằng 200. 12. Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số, biết rằng tổng cỏc chữ số của nú là 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số đú cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63 đơn vị. 6 8 13. Một phộp chia cú tổng của số bị chia và số chia là 97. Biết rằng thương là 4 và số dư là 7. Tỡm số bị chia và số chia. 14. So sỏnh: 2 1000 và 5 400 15. Tỡm n ÎN, biết: a) 2 n . 8 = 512 b) (2n + 1) 3 = 729 16. Tớnh giỏ trị của biểu thức: a) 3 9 :3 7 + 5 . 2 2 b) 2 3 . 3 2 - 5 16 : 5 14 17. Tỡm x, y ÎN, biết rằng: 2 x + 242 = 3 y 18. Tỡm x ÎN, biết: a) 1440 : [41 - (2x- 5)] = 2 4 . 3 b) 5.[225 - (x- 10)] -125 = 0 19. Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 2 15 : 2 13 b) [504 - (25.8 + 70)] : 9 - 15 + 19 0 c) 5 . {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15} d) [1104 - (25.8 + 40)] : 9 + 3 16 : 3 12 20. Tỡm x biết: a) (x- 15) : 5 + 22 = 24 b) 42 - (2x + 32) + 12 : 2 = 6 c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]}. x = 86 21. Xột xem: a) 2002 2003 + 2003 2004 cú chia hết cho 2 khụng? c) 4 7 . 3 4 . 9 6 6 13 d) 2 16 + 2 8 2 13 + 2 5 b) 3 4n - 6 cú chia hết cho 5 khụng? (n ÎN*) c) 2001 2002 - 1 cú chia hết cho 10 khụng? 22. Tỡm x, y để số xy 30 chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2. 23. Viết số tự nhiờn nhỏ nhất cú năm chữ số, tận cựng bằng 6 và chia hết cho 9. NANG CAO Bài1 Cho số M = (1/16)2002. Tớnh tổng của 2002 chữ số đầu tiờn sau dấu phẩy của số M khi viết dưới dạng số thập phõn. Error! Bookmark not defined. Bài2:Em hóy thay mật chữ cỏi bởi mật chữ số để phộp tớnh dưới đõy đỳng (chữ cỏI khỏc nhau thỡ thay chữ số khỏc nhau) TIME + TIME = MONEY éẳng thức trờn cũn cú ý nghĩa gỡ nữa khụng? Error! Bookmark not defined. Bài3 :TỪ MỘT BẻI TOẽN TÍNH TỔNG 3 Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2 4 Bài2 :Tỡm tổng cỏc chữ số của 999999999982. Error! Bookmark not defined. Bài 2(1) : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ... Error! Bookmark not defined. a) Biết A cú40 số hạng. Tớnh giỏ trị của A. Error! Bookmark not defined. b) Biết A cú n số hạng. Tớnh giỏ trị của A theo n. Error! Bookmark not defined. Bài4(1) :Cho 6 số tự nhiờn a1, a2, a3,a4,a5, a6 thoả món : Error! Bookmark not defined. 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6. Error! Bookmark not defined. 1) Nếu tớnh tổng hai số bất kỡ thỡ được bao nhiờu tổng? Error! Bookmark not defined. 2) Biết rằng tất cả cỏc tổng trờn là khỏc nhau. Chứng minh a6 ≥ 2012. Error! Bookmark not defined. A D Bài5(1) : Bạn hóy khụi phục lại những chữ số bị xúa (để lại vết tớch của mỗi chữ số là một dấu *) để phộp toỏn đỳng. Error! Bookmark not defined. Error! Bookmark not defined. Bài 1(2) :Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương dạng . Error! Bookmark not defined. Bài 1(4) : Cho số : gồm2003 chữ số 1 ở bờn trỏi dấu * và 2003 chữ số 3 ở bờn phải dấu *. Hóy thay dấu * bằng chữ số nào để được một số chia hết c ho 7. Error! Bookmark not defined. Bài2(5) :Phõn số Ai Cập Error! Bookmark not defined. Biểu diễn phõn số 1/2 dưới dạng tổng của 3 phõn số dương cú tử số bằng1. Cú bao nhiờu cỏch ? Error! Bookmark not defined. Bài3(5) :So sỏnh A và B biết : Error! Bookmark not defined. A = (20032002 + 20022002)2003 Error! Bookmark not defined. B = (20032003 + 20022003)2002 Error! Bookmark not defined. Bài1(6) :Cho a, b là cỏc số nguyờn dương thỏa món p = a2 + b2 là số nguyờn tố, p - 5 chia hết cho 8. Giả sử cỏc số nguyờn x, y thỏa món ax2 - by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p. Error! Bookmark not defined. Bài2(6) :Cho một hỡnh lập phương. Người ta gắn cho 8 đỉnh của nú bắt đầu từ đỉnh A, đi theo chiều mũi tờn8 số tự nhiờn liờn tiếp và thực hiện : mỗi lần cộng vào 4 đỉnh của một mặt cựng với một số nguyờn nào đú. Hỏi sau bao nhiờu lần thực hiện như vậy thỡ t a được 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau ? Error! Bookmark not defined. Bài2(8) :Cho dóy số tự nhiờn liờp tiếp :150 O 149 O 148 O … O 51 O50. Chứng minh rằng, nếu điền vào cỏc vũng trũn “O” dấu “+” hoặc dấu “-” thỡ kết quả khụng thể bằng 2003. Error! Bookmark not defined. Lời giải:Cỏc bạn đó lớ luận bằng nhiều cỏch để chỉ ra :khi điền vào cỏc hỡnh trũn dấu “+” hoặc dấu “-” thỡ kết quả là một số chẵn nờn kết quả khụng thể bằng 2003. Error! Bookmark not defined. Bài3(9) :Trong một giải búng đỏ Nhi đồng theo thể thức thi đấu vũng trũn một lượt. Thắng được 3 điểm, hũa 1 điểm, thua 0 điểm. éội Măng Non chỉ hũa 1 trận, thua 1 trận và được tất cả 16 điểm. Chứng minh rằng vào bất kỡ lỳc nào cũng tỡm được ớt nhất hai đội đó đấu cựng số trận. Error! Bookmark not defined. Bài1(11) :Phõn tớch số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiờn chẵn liờn tiếp. Error! Bookmark not defined. Bài2(11) :Tỡm số nguyờn a lớn nhất sao cho số T = 427 + 41016 + 4a là số chớnh phươn g. Error! Bookmark not defined. Bài3(11) :Bạn Hải đó làm bài toỏn nhõn đỳng bằng cỏch sắp cỏc chữ số rời. Hà, em của Hải, đó đổi chỗ một số chữ số như ở bờn. Hóy sắp lại vị trớ cỏc chữ số ban đầu mà Hải đó làm đỳng. Error! Bookmark not defined. Bài toỏn thỏch đấu :So sỏnh 5255 và 2572. Error! Bookmark not defined. Bài3(13) :Cho 25 số nguyờn phõn biệt, biết rằng tổng của 4 số bất kỡ trong chỳng đều dương. Error! Bookmark not defined. a) Chứng minh rằng : Trong25 số cú ớt nhất 22 số dương. Error! Bookmark not defined. b) Tổng của 25 số này lớn hơn hoặc bằng 316. Error! Bookmark not defined. Bài2(14) :Chứng minh rằng phương trỡnh sau khụng cú nghiệm nguyờn x, y : Error! Bookmark not defined. 36x2 + 144y2 - 276x- 120y + 25 = 0 (*). Error! Bookmark not defined. Bài1(18) :Cú bao nhiờu số tự nhiờn chia hết cho 3 ; chỉ được viết bởi cỏc chữ số 0, 1,2 và khụng lớn hơn 2004 ? Error! Bookmark not defined. Bài2(20) :Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương a, b sao cho : ab = 3(b - a) (1). Error! Bookmark not defined. Bài1(21) :Cho ba số chớnh phương A, B, C. Chứng tỏ rằng : Error! Bookmark not defined. (A- B)(B- C)(C - A) chia hết cho 12. Error! Bookmark not defined. Bài1(22) :Giả sử (a1 ; a2 ; ... ;a37) ; (b1 ;b2 ; ... ; b37) ; (c1 ; c2 ;... ;c37) là 3 bộ số nguyờn bất kỡ. Chứng minh rằng tồn tại cỏc số k, l, n thuộc tập hợp số {1 ; 2 ; ... ;37} để cỏc số a= 1/3(ak+ al+ an) ; b = 1/3(bk + bl+ bn) ; c = 1/3(ck +cl+ cn) ; đồng thời là cỏc số nguyờn. Error! Bookmark not defined. Bài2(24) :Tồn tại hay khụng số nguyờn n thỏa món n3 + 2003n = 20052005 + 1 ? Error! Bookmark not defined. MỘT DẠNG TOẽN VỀ ƯCLN Vẻ BCNN Trong chương trỡnh số học lớp 6, sau khi học cỏc khỏi niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), cỏc bạn sẽ gặp dạng toỏn tỡm hai số nguyờn dương khi biết một số yếu tố trong đú cú cỏc dữ kiện về ƯCLN và BCNN. Phương phỏp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố đó cho để tỡm hai số. 2/ Trong một số trường hợp, cú thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tớch của hai số nguyờn dươnga, b, đú là :ab = (a, b).[a, b], trong đú (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này khụng khú : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1 (*) Từ (*) => ab = mnd 2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd 2 = ab => ab = (a, b).[a, b] . (**) Chỳng ta hóy xột một số vớ dụ minh họa. Bài toỏn 1 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Lời giải:Do vai trũ của a, blà như nhau, khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b. Từ (*), do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1. Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. Chỳ ý : Ta cú thể ỏp dụng cụng thức (**) để giải bài toỏn này: ab = (a, b).[a, b] => mn.16 2 = 240.16 suyy ra mn = 15. Bài toỏn 2 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1 ; m≤ n. Vỡ vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18. Bài toỏn 3 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. Tỡmđược (a, b) = 3, bài toỏn được đưa về dạng bài toỏn 2. Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15. Chỳ ý : Ta cú thể tớnh(a, b) một cỏch trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN :Theo (*) ta cú ab = mnd 2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. Bài toỏn 4 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1. Vỡ vậy: a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25. Chỳ ý : phõn số tương ứng với2,6 phải chọn là phõn số tối giản do (m, n) = 1. Bài toỏn 5 : Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. Lời giải : éặt (a,b) = d.Vỡ, a/b =4/5 , mặt khỏc (4, 5) = 1nờn a = 4d, b = 5d. Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. Bài toỏn 6 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16. Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. Ta cú : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1 ; m≤ n. Vỡ vậy: a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8 Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80 Bài toỏn 7 : Tỡm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72. Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b => m ≤ n. Do đú : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2) => d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}. Lần lượt thay cỏc giỏ trị của d vào (1) và (2) để tớnh m, n ta thấy chỉ cú trường hợp d = 6 => m+ n= 7 và mn= 12 => m= 3 và n= 4 . (thỏa món cỏc điều kiện của m, n). Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 =24 Bài toỏn 8 : Tỡm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140. Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z + ; (m, n) = 1. Do đú : a - b = d(m- n) = 7 (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’) => d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}. Thay lần lượt cỏc giỏ trị của d vào (1’) và (2’) để tớnh m, n ta được kết quả duy nhất : d = 7 => m- n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4 Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . Bài tập tự giải : 1/ Tỡm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45. 2/ Tỡm hai số biết tổng của chỳng bằng448, ƯCLN của chỳng bằng16 và chỳng cú cỏc chữ số hàng đơn vị giống nhau. 3/ Cho hai số tự nhiờn a và b. Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn c sao cho trong ba số, tớch của hai số luụn chia hết cho số cũn lại. CHỨNG MINH MỘT SỐ KHễNG PHẢI Lẻ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Trong chương trỡnh Toỏn lớp 6, cỏc em đó được học về cỏc bài toỏn liờn quan tới phộp chia hết của một số tự nhiờn cho một số tự nhiờn khỏc 0 và đặc biệt là được giới thiệu về số chớnh phương, đú là số tự nhiờn bằng bỡnh phương của một số tự nhiờn(chẳng hạn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …). Kết hợp cỏc kiến thức trờn, cỏc em cú thể giải quyết bài toỏn :Chứng minh một số khụng phải là số chớnh phương. éõy cũng là một cỏch củng cố cỏc kiến thức mà cỏc em đó được học. Những bài toỏn này sẽ làm tăng thờm lũng say mờ mụn toỏn cho cỏc em. 1. Nhỡn chữ số tận cựng Vỡ số chớnh phương bằng bỡnh phương của một số tự nhiờn nờn cú thể thấy ngay số chớnh phương phải cú chữ số tận cựng là một trong cỏc chữ số0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.Từ đú cỏc em cú thể giải được bài toỏnkiểu sau đõy : Bài toỏn 1 : Chứng minh số : n = 2004 2 + 2003 2 + 2002 2 - 2001 2 khụng phải là số chớnh phương. Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cựng của cỏc số20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1.Do đú số n cú chữ số tận cựng là 8 nờn n khụng phải là số chớnh phương. Chỳ ý : Nhiều khi số đó cho cú chữ số tận cựng là một trong cỏc số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn khụng phải là số chớnh phương. Khi đú cỏc bạn phải lưu ý thờm một chỳt nữa : Nếu số chớnh phương chia hết cho số nguyờn tố p thỡ phải chia hết cho p 2 . Bài toỏn 2 : Chứng minh số 1234567890 khụng phải là số chớnh phương. Lời giải : Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vỡ chữ số tận cựng là 0) nhưng khụng chia hết cho 25 (vỡ hai chữ số tận cựng là 90). Do đú số 1234567890 khụng phải là số chớnh phương. Chỳ ý : Cú thể lý luận1234567890 chia hết cho 2 (vỡ chữ số tận cựng là 0), nhưng khụng chia hết cho 4 (vỡ hai chữ số tận cựng là 90) nờn1234567890 khụng là số chớnh phương. Bài toỏn 3 : Chứng minh rằng nếu một số cú tổng cỏc chữ số là 2004 thỡ số đú khụng phải là số chớnh phương. Lời giải: Ta thấy tổng cỏc chữ số của số 2004 là 6 nờn2004 chia hết cho 3 mà khụng chia hết 9 nờn số cú tổng cỏc chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà khụng chia hết cho 9, do đú số này khụng phải là số chớnh phương. 2. Dựng tớnh chất của số dư Chẳng hạn cỏc em gặp bài toỏn sau đõy: Bài toỏn 4 :Chứng minh một số cú tổng cỏc chữ số là 2006 khụng phải là số chớnh phương. Chắc chắn cỏc em sẽ dễ bị “choỏng”. Vậy ở bài toỏn này ta sẽ phải nghĩ tới điều gỡ ?Vỡ cho giả thiết về tổng cỏc chữ số nờn chắc chắn cỏc em phải nghĩ tới phộp chia cho 3 hoặc cho 9. Nhưng lại khụng gặp điều “kỡ diệu” như bài toỏn3. Thế thỡ ta núi được điều gỡ về số này? Chắc chắnsố này chia cho 3 phải dư 2. Từ đú ta cú lời giải. Lời giải : Vỡ số chớnh phương khi chia cho3 chỉ cú số dư là 0 hoặc 1 mà thụi (coi như bài tập để cỏc em tự chứng minh !). Do tổng cỏc chữ số của số đú là 2006 nờn số đú chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đó cho khụng phải là số chớnh phương. Tương tự cỏc em cú thể tự giải quyết được 2 bài toỏn : Bài toỏn 5 : Chứng minh tổng cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ 1 đến2005 khụng phải là số chớnh phương. Bài toỏn 6 : Chứng minh số : n = 2004 4 + 2004 3 + 2004 2 + 23khụng là số chớnh phương. Bõy giờ cỏc em theo dừi bài toỏn sau để nghĩ tới một “tỡnh huống” mới. Bài toỏn 7 : Chứng minh số : n = 4 4 + 44 44 + 444 444 + 4444 4444 + 15 khụng là số chớnh phương. Nhận xột : Nếu xột n chia cho 3, cỏc em sẽ thấy số dư của phộp chia sẽ là 1, thế là khụng “bắt chước” được cỏch giải của cỏc bài toỏn3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xột chữ số tận cựng cỏc em sẽ thấy chữ số tận cựng của n là 9 nờn khụng làm “tương tự” được như cỏc bài toỏn1 ; 2. Số dư của phộp chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đú chớnh là 3. Một số chớnh phương khi chia cho4 sẽ cho số dư như thế nào nhỉ ? Cỏc em cú thể tự chứng minh và được kết quả :số dư đú chỉ cú thể là 0 hoặc 1. Như vậy là cỏc em đó giải xong bài toỏn 7. 3. “Kẹp” số giữa hai số chớnh phương “liờn tiếp” Cỏc em cú thể thấy rằng :Nếu n là số tự nhiờn và số tự nhiờn k thỏa món n 2 < k < (n + 1) 2 thỡ k khụng là số chớnh phương. Từ đú cỏc em cú thể xột được cỏc bài toỏn sau : Bài toỏn 8 : Chứng minh số 4014025 khụng là số chớnh phương. Nhận xột : Số này cú hai chữ số tận cựng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Thế là tất cả cỏc cỏch làm trước đều khụng vận dụng được. Cỏc em cú thể thấy lời giải theo một hướng khỏc. Lời giải : Ta cú2003 2 = 4012009 ; 2004 2 = 4016016 nờn 2003 2 < 4014025 < 2004 2 . Chứng tỏ 4014025 khụng là số chớnh phương. Bài toỏn 9 : Chứng minh A= n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) khụng là số chớnh phương với mọi số tự nhiờn n khỏc 0. Nhận xột : éối với cỏc em đó làm quen với dạng biểu thức này thỡ cú thể nhận ra A+ 1 là số chớnh phương(đõy là bài toỏn quen thuộc với lớp 8). Cỏc em lớp 6, lớp 7 cũng cú thể chịu khú đọc lời giải. Lời giải : Ta cú: A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n 2 + 3n +1) 2 . Mặt khỏc : (n 2 + 3n) 2 < (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) = A. éiều này hiển nhiờn đỳng vỡ n≥ 1. Chứng tỏ : (n 2 + 3n) 2 < A < A + 1 = (n 2 + 3n +1) 2 . => A khụng là số chớnh phương. Cỏc em cú thể rốn luyện bằng cỏch thử giải bài toỏn sau : Bài toỏn 10 : Hóy tỡm số tự nhiờn n sao cho A= n 4 - 2n 3 + 3n 2 - 2n là số chớnh phương. Gợi ý: Nghĩ đến (n 2 - n + 1) 2 . Bài toỏn 11 : Chứng minh số 23 5 + 23 12 + 23 2003 khụng là số chớnh phương. Gợi ý :Nghĩ đến phộp chia cho 3 hoặc phộp chia cho 4. Bài toỏn 12 : Cú1000 mảnh bỡa hỡnh chữ nhật, trờn mỗi mảnh bỡa được ghi một số trong cỏc số từ 2 đến1001 sao cho khụng cú hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng : Khụng thể ghộp tất cả cỏc mảnh bỡa này liền nhau để được một số chớnh phương. Bài toỏn 13 : Chứng minh rằng :Tổng cỏc bỡnh phương của bốn số tự nhiờn liờn tiếp khụng thể là số chớnh phương. Gợi ý :Nghĩ tới phộp chia cho 4. Bài toỏn 14 : Chứng minh rằng số 333 333 + 555 555 + 777 777 khụng là số chớnh phương. Gợi ý :Nghĩ đến phộp chia cho … một chục(?) Bài toỏn 15 : Lỳc đầu cú hai mảnh bỡa, một cậu bộ tinh nghịch cứ cầm một mảnh bỡa lờn lại xộ ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lỳc nào đú sẽ được số mảnh bỡa là một số chớnh phương. Cậu ta cú thực hiện được mong muốn đú khụng ? éể kết thỳc bài viết này, tụi muốn chỳc cỏc em học thật giỏi mụn toỏn ngay từ đầu bậc THCS và cho tụi được núi riờng với cỏc quý thầy cụ : nguyờn tắc chung để chứng minh một số tự nhiờn khụng là số chớnh phương, đú là dựa vào một trong cỏc điều kiện cần để một số là số chớnh phương(mà như cỏc quý thầy cụ đó biết : mọi điều kiện cần trờn đời là dựng để … phủ định !). Từ đú cỏc quý thầy cụ cú thể sỏng tạo thờm nhiều bài toỏn thỳ vị khỏc. Mong cỏc em và quý thầy cụ phỏt hiện thờm nhiều điều kiện cần nữa để chỳng ta cú thể tỡm hiểu kĩ hơn về số chớnh phương. CHỨNG MINH MỘT SỐ Lẻ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Cỏc bạn đó được giới thiệu cỏc phương phỏp chứng minh một số khụng phải là số chớnh phương trong TTT2 số 9. Bài viết này, tụi muốn giới thiệu với cỏc bạn bài toỏn chứng minh một số là số chớnh phương. Phương phỏp 1 : Dựa vào định nghĩa. Ta biế