Tổng kết về hình phẳng

Tổng kết về hình phẳng I)Tam giác - Các trường hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác 1) Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thường Tam giác ABC có các góc A;B;C các cạnh đối diện tương ứng a;b;c.Chu vi 2p.Diện tích S Tính chất: 2 tam giác bằng nhau thì các yếu tố tương ứng bằng nhau. 2 tam giác đồng dạng thì : - Tỷ số giữa các yếu tố( không kể góc; và diện tích) tương ứng bằng nhau và bằng tỷ số đồng dạng. - Tỷ số diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng. *Chú ý rằng : 2 tam giác đồng dạng nếu có 1 yếu tố về độ dài tương ứng bằng nhau thì bằng nhau. 2) Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuông. Do 2 tam giác vuông có góc vuông tương ứng bằng nhau nên có sự đặc biệt so với tam giác thường: +) 2 cạnh góc vuông bằng nhau( tỷ lệ ). +) 1 góc nhọn tương ứng bằng nhau và 1 cạnh góc vuông bằng nhau (tỷ lệ). +) 1 cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng nhau (tỷ lệ ). 3)Định lý TA- LET: +) Những đường thẳng song song định ra trên 2 cát tuyến những đoạn thẳng tỷ lệ. +) Trong tam giác 1 đường thẳng song song với cạnh đáy khi và chỉ khi nó định ra trên 2 cạnh kia những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. +)Trong tam giác đường thẳng song song với một cạnh thì tạo với 2 cạnh kia 1 tam giác đồng dạng với tam giác đã cho ban đầu. 4) Các yếu tố cơ bản trong tam giác: 1- 3 đường trung tuyến đồng quy tại 1 điểm: trọng tâm G cách đỉnh bằng 2/3 mỗi đường. + Mỗi đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. 2- 3 đường cao đồng quy tại 1 điểm : trực tâm H. Chú ý rằng: nếu đối xứng H qua 1 cạnh của tam giác được điểm H’ nằm trên đt` ngoại tiếp tam giác đó. 3- 3 đường trung trực đồng quy tại 1 điểm: tâm O đt` ngoại tiếp - Còn gọi là tâm của tam giác. 4- 3 đường phân giác trong đồng quy tại 1 điểm: tâm I đt` nội tiếp tam giác. Chú ý rằng: Mỗi đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với hai cạnh bên tương ứng. II)Các hệ thức trong tam giác Tam giác ABC; Các góc A;B;C; Các cạnh đối diện tương ứng a;b;c Các đường cao tương ứng: Các đường trung tuyến tương ứng : Các đường phân giác tương ứng : Bán kính nội; ngoại tiếp; bàng tiếp : r ; R; Chu vi: 2P, Diện tích: S 1) Định lý cosin: . 2) Định lý sin: . 3) Định lý về đường trung tuyến: . 4) Các công thức về diện tích: **)Ngoài ra đối với véc tơ và tọa độ; ta còn có công thức (được áp dụng). 5) Hệ thức trong tam giác vuông: ; ; ; ; 6) Tam giác cân Có một trục đối xứng là đường cao - trung tuyến- phân giác - trung trực thuộc cạnh đáy. Hai đường phân giác góc trong của 2 đáy bằng nhau. 7) Tam giác đều cạnh a Có các đường trùng nhau.Tâm nội ngoại tiếp trùng nhau. Độ dài đường cao bằng và diện tích bằng II)Tứ giác - Các tứ giác đặc biệt 1) Tứ giác lồi: Diện tích bằng nửa tích 2 đường chéo với sin của góc giữa 2 đường chéo. Do đó: Diện tích Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc bằng nửa tích 2 đường chéo. 2) Hình thang- thang cân - thang vuông. 3) Hình bình hành: Điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành +) 2 cặp cạnh đối diện song. +) 1 cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. +) 2 cặp góc đối diện bằng nhau. +) 2 góc kề nhau bất kỳ bù nhau. +) 2 đường chéo cắt nhau ở trung điểm mỗi đường. 4) Hình chữ nhật: Là hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau 5) Hình thoi : Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình thoi: Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau. Có 2 đường chéo là phân giác của 2 góc đối nhau đó. Có 4 cạnh bằng nhau. 6) Hình vuông: - Là hình thoi có 1 góc vuông . - Là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. - Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc. III)Đường tròn - hệ thức trong đường tròn 1) Đường tròn: +) Bán kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung thành 2 phần bằng nhau. +) Bán kính đi qua trung điểm của dây( không phải là đường kính) thì vuông góc với dây cung đó. +) Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn. Góc nội tiếp chắn nửa đt` bằng 1 vuông và ngược lại 1 điểm M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông thì nằm trên đt` với đường kính đó. 2) Vị trí tương đối của đường thẳng với đt` Xét đường thẳng a và đt` C(O; R): d(a; C) = k +) k > R : a và C không có điểm chung. +) k = R : a và C tiếp xúc nhau tại tiếp điểm T. Gọi a là tiếp tuyến của C. +) k < R : a cắt C tại 2 điểm phân biệt . a gọi là cát tuyến của C. 3) Vị trí tương đối của 2 đt`: và 4) 2 đt` luôn là ảnh của nhau qua phép vị tự - Tâm vị tự trong ; ngoài 5) Tiếp tuyến của đường tròn - Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn. 6) Hệ thức lượng trong đt`- Phương tích của 1 điểm đối với đt`. C(O;R) ; Qua điểm M kẻ cát tuyến MAB với đường tròn, khi đó: . Chùm bài tập về hình học phẳng nhằm củng cố nâng cao và phát triển tư duy. Nội dung bài tập gồm các dạng: + Chứng minh các hệ thức về độ dài, về góc, về diện tích ... + Chứng minh song song, vuông góc, đồng quy, thẳng hàng. + Chứng minh các tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp, các điểm đặc biệt trong tam giác,... Bài tập : Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh BC, AC, AB của tam giác; h là độ dài của AH. Ta có chùm bài tập sau: Bài 1: Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm là I và bán kính r. Chứng minh rằng: Bài 2: Gọi r1, r2 là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Chứng minh: a) ; b); c) ar = cr1 + br2; d) r + r1 + r2 = h. Bài 3: Gọi p, p1, p2 lần lượt là chu vi các tam giác ABC, HAB, HAC. Chứng minh:. Bài 4: Gọi AD là phân giác của tam giác ABC. Chứng minh:. Bài 5: Gọi AP và AQ là phân giác của góc BAH và CAH. Chứng minh: BA = BQ, CA = CP và éPAQ = 450. Bài 6: Gọi R và S là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Chứng minh I là trực tâm của tam giác ARS và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Bài 7: Gọi E và F là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp. Bài 8: Chứng minh AB . AE = AC . AF Bài 9: Chứng minh hay. Bài 10: Chứng minh AH3 = BC. EB. FC Bài 11: Chứng minh: BC2 = 3AH2 + BE2 + FC2 Bài 12: Gọi L là giao điểm của BF và CE. So sánh diện tích tứ giác AELF và diện tích tam giác BLC. Bài 13: Từ E và F vẽ các đường vuông góc với EF cắt BC theo thứ tự tại T và X. Chứng minh: TB = TH; XC = XH. Bài 14: chứng minh diện tích tứ giác EFXT bằng nửa diện tích tam giác ABC. Bài 15: Hạ II1 vuông góc với BC. Chứng minh I1R // AC; I1S // AB. Bài 16: Chứng minh PS // BI; QR // CI. Bài 17: Chứng minh các tam giác BIC, BRA, ASC đồng dạng với nhau. Bài 18: Chứng minh H, I1 thuộc đường tròn đường kính RS. Bài 19: Chứng minh SI1 = RI1. Bài 20: Gọi U và V là giao điểm của RS với AB và AC. Chứng minh: AU = AV. Bài 21: Chứng minh 5 điểm Q, S, I, R, P thuộc đường tròn (I1, r). Bài 22: Gọi k là giao điểm của RQ và PS. Chứng minh K là trực tâm của tam giác APQ. Bài 23: Chứng minh RI = KS = SQ; PR = RK = IS. Bài 24: Chứng minh AI = RS. Bài 25: Chứng minh các tứ giác BRSC, BAIP, ACIQ là các tứ giác nội tiếp. Bài 26: Chứng minh SABC = BI1 . CI1. Bài 27: Gọi R1, S1 là chân đường vuông góc hạ từ R và S xuống BC. Chứng minh các tam giác HSR, RR1I1, S1SI1 và tam giác ABC là các tam giác đồng dạng. Bài 28: Chứng minh trung điểm của RS là tâm đường trong ơle của tam giác ABC. Bài 29: Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác BRA và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc nhau tại A và AI làm tiếp tuyến chung. Bài 30: Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tiếp tuyến qua A cắt các tiếp tuyến qua B và C của (O) tại M và N. Chứng minh MON là góc vuông. Bài 31: Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN. Gọi G là giao điểm của BN và CM. Chứng minh AG // CN. Bài 32: Chứng minh AG . MN = BM . CN. Bài 33: Vẽ các phân giác HY và HZ của tam giác AHB và AHC. Chứng minh A. Y, H, D, Z cùng thuộc một đường tròn. Bài 34: Chứng minh 4 điểm A, Y, D, Z là 4 đỉnh của một hình vuông. Bài 35: Hạ DC1 và DB1 theo thứ tự vuông góc với AB, AC. Chứng minh các đường thẳng AH, BB1, CC1 đồng quy tại một điểm. Hướng dẫn: 1) Các cạnh của tam giác ABC là các tiếp tuyến của đường tròn tâm I, áp dụng tính chất của các tiếp tuyến cắt nhau ta sẽ suy ra điều phải chứng minh. + Gọi I1 và I2, I3 là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, AC và BC. Ta có r = II1 = II2 = II3, ị 2r = II1 + II2 = AB - BI1 + AC - CI2 = AB + AC - (BI1 + CI2) = AB + AC - (BI3 + CI3) = b + c - a. 2) Dựa vào các tam giác vuông đồng dạng và bài 1. +. có: DABC ~ D HBA ị. . Tương tự, DABC ~ D HAC ị . 3) Dựa vào các tam giác đồng dạng DABC ~ D HBA ~ D HAC, lập dãy tỉ số bằng nhau, bình phương lên sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Pitago trong tam giác vuông sẽ được kết quả. 4) Cách 1: Từ D vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại D1 ta có tam giác ADD1 vuông cân. suy ra, AD1 = DD1 =. Có. Cách 2: Sử dụng phương pháp diện tích. 5) Chứng minh các tam giác ABQ và CAP cân. + Xét tam giác BAQ có: éBAQ = éBAD + éDAQ = éACQ + éCAQ = éAQB. 6) Tam giác ABQ cân có BI là đường phân giác đồng thời là đường cao ị RI ^ AS. Tương tự SI ^ AR. 7) Cách 1: AFE Có AE.AB = AF.AC = AH2. Hình học không gian: Cần chú ý : *)Tiên đề 2: Nếu 1 đt’ có 2 điểm phân biệt nằm trên 1 mp’ thì nó nằm hoàn toàn trong mp’ đó *)Các kết quả trong hhp’ không được áp dụng đối với các yếu tố không cùng trong một mp’ *)Các bước tiến hành trong mặt phẳng nào thì phải chỉ rõ trong mp’ ấy I) Lý thuyết cơ bản cần nắm vững: 1) Quan hệ song song: - Qua 1 điểm ở ngoài 1 đt’ chỉ có duy nhất 1 đt’ song song với đt’ đã cho. - 2 đt’ cùng song song với đt’ thứ 3 thì song song với nhau. - 3 mp’ phân biệt đôi một cắt nhau thì thì cắt nhau theo 3 giao tuyến song song hoặc đồng quy. - 1 đt’ song song với 1 đt’ nằm trong mp’ thì nó song song với mp’ ấy. - 1 đt’ song song với 1 mp’ thì mọi mp’ chứa đt’ mà cắt mp’ đó thì đều cắt theo 1 giao tuyến song song với đt’ đã cho. - 2 mp’ chứa 2 đt’ cắt nhau cùng song song với 1 mp’ thì 2 mp’ đó song song. - 2 mp’ phân biệt; mỗi mp’ chứa cặp đt’ cắt nhau tương ứng song song thì song song với nhau. - Giao tuyến của các mp’ song song với 1 mp’ là những đt’ song song. 2)Quan hệ vuông góc : - Đường thẳng vuông góc với mp’ thì nó vuông góc với mọi đt’ của mp’. -...................................2 đt’ cắt nhau của mp’ thì vuông góc với mp’. - Qua 1 điểm có duy nhất 1 đt’ vuông góc với mp’ cho trước. -.............................. ........ 1mp’.................. .... đt’............. - 1 mp’ chứa đt’ vuông góc với mp’ cho trước thì 2 mp’ vuông góc với nhau. - 2 mp’ cùng vuông góc với mp’ thứ 3 mà cắt nhau thì giao tuyến vuông góc với mp’ thứ 3 đó. - 2 đt cùng vuông góc với 1 mp’ thì song song với nhau. - 2 mp’..............................1 đt’....................................... -1 đt’ và 1 mp’ cùng vuông góc với 1 đt’(1mp’) cho trước thì mp’ chứa đt’ hoặc song song với đt’. *)Quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên - Một đường thẳng vuông góc với hình chiếu thì sẽ vuông góc với đường xiên. 3) Công thức tính diện tích và thể tích: II)Phương pháp cơ bản: 1) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Chứng minh 3 điểm nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt. 2) 3 đường thẳng đồng quy: Chứng minh 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đt’ thứ 3. 3)Tìm giao điểm của đường thẳng và giao tuyến của hai mặt phẳng. Chọn mặt phẳng thích hợp chứa đường thẳng. Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng. Xác định giao điểm của đường thẳng và giao tuyến. 4) Dựng mp’ đi qua 1 đt’ và song song với 1 mp’. 5) Dựng mp’ đi qua 1 điểm và song song với 1 mp’. 6) Dựng mp’ đi qua 1 điểm và vuông góc với 1đt’. 7) Dựng mp’ đi qua 1 đt’ và vuông góc với 1 mp’. 8) Xác định hình chiếu của 1 điểm trên 1 mp’. 9) Xác định hình chiếu của 1 đt’ trên 1 mp’. Góc giữa đt’ và mp’. 10)Xác định đường vuông góc chung của 2 đt’ chéo nhau; Khoảng cách giữa 2 đt’ chéo nhau. 11) Xác định góc giữa 2 mp’. 12) Xác định góc phẳng của nhị diện. III. Các dạng bài tập 1. Dạng 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy. * Phương pháp - Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. - Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh hai đường thẳng cắt nhau nằm trên đường thẳng thứ ba. Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng a quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) Chứng minh rằng IJ, MN, và SO đồng quy tại một điểm. Từ đó suy ra cách dựng điểm N khi biết điểm M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh S, E, F thẳng hàng. Bài 2: Cho hình chóp S.ACBD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh AD và SB. a) Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với mặt phẳng (SAC). b) AD cắt BC tại O, OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng. Bài 3: Cho hình chóp S. ACBD, đáy là hình thang ABCD với AB // CD và AB > CD. Gọi I là trung điểm SC. Mặt phẳng a quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định. 2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song. * Phương pháp: Muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể áp dụng một trong các cách sau: 1. Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng các tính chất của hình học phẳng: tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Talet, tính chất của đường phân giác,... 2. Chứng minh hai đt' đó cùng song song với đt' thứ 3. 3. áp dụng các định lý về giao tuyến. + Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song mà cắt nhau thì giao tuyến sẽ song song với hai đường thẳng đó. + Nếu đường thẳng d // (a) thì bất kỳ mp(b) nào mà chứa d sẽ cắt (a) theo giao tuyến song song với d. + Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng mà cắt nhau thì giao tuyến sẽ song song với đường thẳng đó. + Một mặt phẳng nếu cắt hai mặt phẳng song song sẽ cắt theo hai giao tuyến song song. 3. Dạng 3: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: * Phương pháp: Muốn chứng minh đường thẳng d song song với một mặt phẳng (a) ta có thể áp dụng một trong các cách sau: 1. Ta chứng minh d không nằm trong (a) và d song song với đường thẳng a nằm trong (a). 2. Ta chứng minh d nằm trong mặt phẳng (b) và (b // (a). 4. Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song. Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể áp dụng một trong các cách sau: 1. Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia. 2. Chứng minh mỗi mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia. Bài tập: Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. a) Chứng minh MN // mp(SBC) và MN // mp(SAD). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với mặt phẳng (MNP). c) Gọi G1, G2 là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1, G2 song song với (SBC). Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O' lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng: a) Điều kiện cần và đủ để OO' song song với mặt phẳng (BCD) là: b) Điều kiện cần và đủ để OO' song song với hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) là BC = BD và AC = AD. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên SAD là tam giác đều. a là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA và BC, a cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = AM (0 < x < b). Tính giá trị lớn nhất của diện tích. Tìm tập hợp giao điểm của MQ và NP. Bài 4 (GTHH-11). Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a. a là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA và BC, a cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = AM (0 < x < b). Tính giá trị lớn nhất của diện tích. c) Tìm tập hợp giao điểm của MQ và NP. Bài 5 (GTHH-11/56). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thanh, đáy lớn AB = 3a, AD = DC = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a. a là mặt phẳng di động song song với với (SAB), cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tạ tại M, N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thanh cân. b) Đặt AM = x (0 < x < a). Định x để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. c) Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp những điểm I khi M di động trên AD. d) Gọi J là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh IJ có phương không đổi và J di động trong một mặt phẳng cố định. Bài 6 (GTHH-11/67). Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a. Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết: é(AB, CD) = 600.(Xem lại để ? é(AB, CE) = 600) a) Tính 2AC2 - AD2. b) a là mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ diện MNPQ thoe a và x = BM (0 < x < a). Định x để diện tích ấy lớn nhất. c) Định x để tổng các bình phương của các đường chéo của MNPQ là nhỏ nhất. d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Định a để OA2 + OB2 + OC2 + OD2 nhỏ nhất. Bài 7(GTHH-11/68). Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. a là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A', B', C'. a) Tình giao điểm D' của SD với a. b) Tìm điều kiện của a để A'B' // C'D'. c) Với điều kiện nào của a thì A'B'C'D' là hình bình hành? Chứng minh rằng khi đó: . d) Tính diện tích A'B'C'D'. Bài 8 (GTHH-11/68). Cho mặt phẳng a và hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cắt a tại A, B. (D) là đường thẳng thay đổi luôn song song với a, cắt d1 tại M, d2 tại N. Đường thẳng qua N và song song với d1 cắt a tại N'. a) Tứ giác AMNN' là hình gì? Tìm tập hợp điểm N'. b) Xác định vị trí của (D) để MN có độ dài nhỏ nhất. c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là đường thẳng cố định khi M di động. d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp B.AMNN' với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (BMN). Quan hệ vuông góc trong không gian A. Một số dạng bài tập về quan hệ vuông góc I. toán chứng minh 1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng a ta có thể áp dụng một trong các cách sau: * Cách 1. Chứng minh * Cách 2. Chứng minh a // b ^ a. * Cách 3. Chứng minh a è (b) ^ (a) và a ^ b = (a) ầ (b). * Cách 3. áp dụng tính chất của trục đường tròn. 2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Để chứng minh đt' a ^ đt' b ta có thể áp dụng một trong các cách sau: * Cách 1. Chứng minh a, b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng: tính chất đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến trong tam giác cân, tính chất đường cao trong tam giác vuông, ... * Cách2. Chứng minh a ^ (a) ẫ b. * Cách 3. Chứng minh a // c trong đó c ^ b. * Cách 4. áp dụng các tính chất của giao tuyến vuông góc. II. Một số bài tập luyện tập Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vuông góc với mặt phẳng (SAD); BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng. c) Chứng minh HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI. Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) BC ^ (OAH); b) H là trực tâm của tam giác ABC. c) . d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a) Chứng minh rằng: SH ^ (ABCD); b) Chứng minh : AC ^ SK và CK ^ SD. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a. a) Chứng minh: SA ^ (ABCD) và tính SA. b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định giao điểm K, L của SD với mặt phẳng(HIJ). Chứng minh rằng : AK^ (SBC); AL ^ (SCD). c) Tính diện tích tứ giác AKHL. Bài 5 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 2a, BC = CA = AD = a. Gọi d là đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại A, trên d lấy điểm S. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB tại I cắt SC, SD lần lượt tại J và K. a) Chứng minh tứ giác BCIJ và tứ giác AIJK nội tiếp. b) Gọi O là trung điểm AB, O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCIJ. Chứng minh OO' vuông góc với mặt phẳng (SBC). c) Tìm điểm cách đều các điểm A, B, C, D, I, J, K và khoảng cách. d Gọi M là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh AM là tiếp tuyếncủa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. f) Chứng minh khi S chạy trên đường thẳng d thì IK luôn đi qua điểm cố định. Bài 6. Cho tam giác ABC có các góc nhọn. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy M thuộc d. Kẻ BK vuông góc với AC, BH vuông góc với MC. KH cắt d tại N. Chứng minh rằng: a) BN vuông góc với CM; BM vuông góc với CN. b) Hãy chỉ ra cách dựng M thuộc d sao cho MN ngắn nhất. Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Lấy M thuộc AB, C'D' cắt mặt phẳng (MA'C) tại N. a) Chứng minh tứ giác A'MCN là hình bình hành. b) Tìm vị trí của M trên AB để A'MCN là hình chữ nhật? Liệu A'MCN có thể là hình vuông được không? c) Tìm vị trí của M trên AB để diện tích tứ giác A'MCN là nhỏ nhất. Dạng 2: Dạng toán tính toán. I. Góc A H O 1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: *Đ/N: * Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a): Tìm giao điểm O của a và (a). Chọn Aẻ a và dựng AH ^ (a). ( Hẻ (a). . * Một số bài tập áp dụng Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = . Tính góc giữa: a) SC và mp(ABCD); b) SC và mp(SAB); c) SB và mp(SAC); d) AC và mp(SBC). Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC, . Biết SA, SB, SC hợp với đáy một góc a. a) Chứng minh hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Tính SO. 2. Góc nhị diện. *) Đ/N: Nhị diện là hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng có chung một cạnh. * Góc phẳng nhị diện: là góc có một đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện còn hai cạnh nằm trên hai nửa mặt phẳng của nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của nhị diện. * Số đo của nhị diện là số đo của góc phẳng nhị diện. * Hai nhị diện được gọi là bằng nhau nếu các góc phẳng của chúng bằng nhau. * Mặt phân giác của góc nhị diện Mặt phân giác của nhị diện là nửa mặt phẳng xuất phát từ cạnh của nhị diện và chia nhị diện thành hai nhị diện bằng nhau. Tập hợp các điểm ở bên trong một nhị diện và cách đều hai mặt của nhị diện là mặt phân giác của nhị diện đó. *) Phương pháp xác định góc phẳng nhị diện: Tìm cạnh a của nhị diện. Dựng một đoạn thẳng AB có hai đầu mút ở trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với một mặt của nhị diện. Tìm hình chiếu H của A( hoặc B) trên a. Góc phẳng nhị diện là góc . *) Chú ý: Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai tam giác cân MAB và NAB có chung đáy AB thì góc phẳng nhị diện là với I là trung điểm AB. II. Khoảng cách 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và một mặt phẳng. H O H O + + . * Phương pháp dựng một đường thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. A a * Cách 1: - Dựng mặt phẳng (b) qua A và vuông góc với (a). - Xác định giao tuyến a của (a) và (b). A - Dựng AH ^ a ( Hẻ a). - SH = d(A, a). *) Cách 2: - Chọn trong mp(a) một đt a và từ A kẻ AO ^ a; - Qua O kẻ đường thẳng b ^ a; - Từ A kẻ AH ^ b; A B B I - AH = d(A, a). * Chú ý: - Nếu có sẵn đường thẳng D ^ a thì ta chỉ cần dựng Ax ^ D. - Nếu AB // a thì d(A, a) = d(B,a). - Nếu AB cắt a tại I thì . * Một số bài tập áp dụng Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a; DBC là tam giác đều, nhị diện cạnh BC có số đo bằng 300. a) Tính AD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DBC). b) Tính số đo của các nhị diện cạnh AD và BD. Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ trung điểm H của AB dựng HS vuông góc với mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 600. a) Tính SH và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD); b) Gọi K là trung điểm của AD. Chứng minh CK vuông góc với SD và tính số đo nhị diện (A, SD, C). c) Tính số đo nhị diện (B, SC, K). HD: a) sđ(S, AD, B) = éSAB = 600. Sh = . b) CM CK ^ HD ( vẽ hình hình vuông ra nháp để chứng minh). + Kẻ KI ^ SD ị sđ(A,SD, C) = éKIC. c) Gọi J là trung điểm BC, CM