Từ một bất đẳng thức đơn giản - Người viết: Đỗ Đường Hiếu

từ một bất đẳng thức đơn giản Người viết : Đỗ Đường Hiếu Giáo viên trường THPT Hà Văn Mao Bá Thước – Thanh Hóa “Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này. Bài toán: Với hai số dương x và y ta có: (1) Đẳng thức xảy ra khi x=y. Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất. Cách 1. Với hai số dương x và y ta có: 2(x + y)2 Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y. Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có Từ đó: ( Và đẳng thức xảy ra khi x=y. Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được: Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có: (2) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. * áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: (3) * Kết hợp (2) và (3) ta có Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương: (4) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Chú ý: Nếu thêm giả thiết thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005. Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương: (5) Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5) Đẳng thức xảy ra khi: Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: Giải: Đặt thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1 Hệ thức trở thành: Ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều. Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và Theo bất đẳng thức (1) ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Vậy : đạt được khi Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Với x, y, z, t là các số dương. Giải : Ta có: Vậy MinA=0 khi x = y = z = t. Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự: Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức: Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của: Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 5.Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b,c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng: ***********************************