Tuyển tập Bất đẳng thức

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 4 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: + £sinx cosx 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ³ 725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ³ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ³ 2. 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: + ³2 2 1a b 2 Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +æ ö³ ç ÷ è ø 33 3a b a b 2 2 (*) (*) Û + +æ ö- ³ç ÷ è ø 33 3a b a b 0 2 2 Û ( )( )+ - ³23 a b a b 0 8 . ĐPCM. 2. Chứng minh: + +£ 2 2a b a b 2 2 («) ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. ÷ a + b > 0 , («) Û + + +- £ 2 2 2 2a b 2ab a b 0 4 2 Û ( )- ³ 2a b 0 4 , đúng. Vậy: + +£ 2 2a b a b 2 2 . 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: + +³ 3 3 3a b a b 2 2 Û ( )+ + £ 3 3 3a b a b 8 2 Û ( )( )- - £2 23 b a a b 0 Û ( ) ( )- - + £23 b a a b 0 , ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ +a b a b b a («) («) Û + ³ +a a b b a b b a Û ( ) ( )- - - ³a b a a b b 0 Û ( )( )- - ³a b a b 0 Û ( ) ( )- + ³2a b a b 0 , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ ++ +2 2 1 1 2 1 ab1 a 1 b («) Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +æ ö³ ç ÷ è ø 33 3a b a b 2 2 2. Chứng minh: + +£ 2 2a b a b 2 2 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: + +³ 3 3 3a b a b 2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ +a b a b b a 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ ++ +2 2 1 1 2 1 ab1 a 1 b 6. Chứng minh: ( )+ + + ³ + +2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c Î R 7. Chứng minh: ( )+ + + + ³ + + +2 2 2 2 2a b c d e a b c d e 8. Chứng minh: + + ³ + +2 2 2x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh: + + + +³ ³a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b. Chứng minh: + + + +æ ö³ ç ÷ è ø 22 2 2a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ³ - + 2 2 2a b c ab ac 2bc 4 11. Chứng minh: + + ³ + +2 2a b 1 ab a b 12. Chứng minh: + + ³ - +2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh: + + + ³ - + +4 4 2 2x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: + ³3 3 1a b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ³ ³(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh: + + + + ³ ³2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh: ( )( )( ) ( )+ + + ³ + 331 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c ³ 0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +æ ö æ ö+ + + ³ç ÷ ç ÷ è ø è ø m m m 1a b1 1 2 b a , với m Î Z+ 5. Chứng minh: + + ³ + + ³bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c 6. Chứng minh: + ³ - ³ 6 9 2 3x y 3x y 16 ; x,y 0 4 7. Chứng minh: + ³ - + 4 2 2 12a 3a 1 1 a . 8. Chứng minh: ( )> -1995a 1995 a 1 , a > 0 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( )+ + + + + ³2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: æ ö+ + £ + +ç ÷ è ø+ + +2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b ca b b c a c 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ³ - + -ab a b 1 b a 1. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( )³ - -3a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc c) æ öæ öæ ö+ + + ³ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø 1 1 11 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ³ - 1x 3 x y y 16. Chứng minh: a) + ³ + 2 2 x 2 2 x 1 ,"x Î R b) + ³ - x 8 6 x 1 , "x > 1 c) + ³ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + ++ + £ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 18. Chứng minh: + £ + + 2 2 4 4 x y 1 41 16x 1 16y , "x , y Î R 19. Chứng minh: + + ³ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 3 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + £ + + + + + +3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abca b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. + + + ³ 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) b. + + ³ 3a b c 3 abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh: + + ³ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: + + ³3 942 a 3 b 4 c 9 abc 24. Cho = +x 18y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho = + > - x 2y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho = + > - + 3x 1y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho = + > - x 5 1y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho = + - x 5y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho += 3 2 x 1y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của + += 2x 4x 4f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của = +2 3 2f(x) x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ £5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - 1 2 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 37. Cho = +2 xy x 2 . Định x để y đạt GTLN 38. Cho ( ) = + 2 32 xy x 2 . Định x để y đạt GTLN Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 8 7. Chứng minh: + ³ - + 4 2 2 12a 3a 1 1 a («) («) Û + + + + ³ + 4 4 2 2 2 1a a a 1 4a 1 a . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: + + 4 4 2 2 1a , a , a 1, 1 a ( )+ + + + ³ + = + + 4 4 2 4 4 2 24 2 2 1 1a a a 1 4 a a a 1 4a 1 a 1 a 8. Chứng minh: ( )> -1995a 1995 a 1 («) , a > 0 («) Û > - Û + >1995 1995a 1995a 1995 a 1995 1995a + > + = + + + + ³ =14243 19951995 1995 1995 1995 1994 soá a 1995 a 1994 a 1 1 ... 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( )+ + + + + ³2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . ° ( ) ( ) ( )+ + + + + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: ° + + + + + ³ =62 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: æ ö+ + £ + +ç ÷ è ø+ + +2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b ca b b c a c ° £ = +2 2 a a 1 2ab 2ba b , £ = +2 2 b b 1 2bc 2cb c , £ = +2 2 c c 1 2ac 2aa c ° Vậy: æ ö+ + £ + +ç ÷ è ø+ + +2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b ca b b c a c 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ³ - + -ab a b 1 b a 1. ° ( ) ( )= - + ³ - = - + ³ -a a 1 1 2 a 1 , b b 1 1 2 b 1 ° ³ - ³ -ab 2b a 1 , ab 2a b 1 ° ³ - + -ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° ( ) ( )= - + = - + + + -x x 1 1 x 1 x y z 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= - + - + - + - ³ - - -24x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 Tương tự: ( )( ) ( )³ - - -24y 4 x 1 y 1 z 1 ; ( )( )( )³ - - - 24z 4 x 1 y 1 z 1 Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( )³ - -3a 3 a b b c c . ° ( ) ( ) ( )( )= - + - + ³ - -3a a b b c c 3 a b b c c Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 5 Û + - - ³ + ++ +2 2 1 1 1 1 0 1 ab 1 ab1 a 1 b Û ( )( ) ( )( ) - - + ³ + + + + 2 2 2 2 ab a ab b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab Û ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) - - + ³ + + + +2 2 a b a b a b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab Û - æ ö- ³ç ÷+ + +è ø2 2 b a a b 0 1 ab 1 a 1 b Û ( )( ) æ ö- + - - ³ç ÷ç ÷+ + +è ø 2 2 2 2 b a a ab b ba 0 1 ab 1 a 1 b Û ( ) ( ) ( )( )( ) - - ³ + + + 2 2 2 b a ab 1 0 1 ab 1 a 1 b , ĐPCM. ÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0. 6. Chứng minh: ( )+ + + ³ + +2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c Î R Û ( ) ( ) ( )- + - + - ³2 2 2a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh: ( )+ + + + ³ + + +2 2 2 2 2a b c d e a b c d e Û - + + - + + - + + - + ³ 2 2 2 2 2 2 2 2a a a aab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 Û æ ö æ ö æ ö æ ö- + - + - + - ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø 2 2 2 2a a a ab c d e 0 2 2 2 2 . ĐPCM 8. Chứng minh: + + ³ + +2 2 2x y z xy yz zx Û + + - - - ³2 2 22x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 Û ( ) ( ) ( )- + - + - ³2 22x y x z y z 0 9. a. Chứng minh: + + + +³ ³a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 ÷ + + ³ + +2 2 2a b c ab bc ca ÷ + + + + + + + + +æ ö = ³ç ÷ è ø 2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3 Û + + + +³a b c ab bc ca 3 3 b. Chứng minh: + + + +æ ö³ ç ÷ è ø 22 2 2a b c a b c 3 3 ÷ ( ) ( )+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2 2 23 a b c a b c 2 a b c ( ) ( )³ + + + + + = + + 22 2 2a b c 2 ab bc ca a b c Þ + + + +æ ö³ ç ÷ è ø 22 2 2a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ³ - + 2 2 2a b c ab ac 2bc 4 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 6 Û ( )- - + + - ³ 2 2 2a a b c b c 2bc 0 4 Û ( )æ ö- - ³ç ÷ è ø 2a b c 0 2 . 11. Chứng minh: + + ³ + +2 2a b 1 ab a b Û + + - - - ³2 22a 2b 2 2ab 2a 2b 0 Û - + + + + + + + ³2 2 2 2a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 Û ( ) ( ) ( )- + - + - ³2 2 2a b a 1 b 1 0 . 12. Chứng minh: + + ³ - +2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz Û + + - + - ³2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 0 Û (x – y + z)2 ³ 0. 13. Chứng minh: + + + ³ - + +4 4 2 2x y z 1 2x(xy x z 1) Û + + + - + - - ³4 4 2 2 2 2x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0 Û ( ) ( ) ( )- + - + - ³2 2 22 2x y x z x 1 0 . 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: + ³3 3 1a b 4 ° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3 Þ a3 + b3 = æ ö- + ³ç ÷ è ø 21 1 13 a 2 4 4 . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). ÷ ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 Û (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ÷ > - > - > -a b c , b a c , c a b Þ > - +2 2 2a b 2bc c , > - +2 2 2b a 2ac c , > - +2 2 2c a 2ab b Þ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) ÷ ( )> - - 22 2a a b c Þ ( )( )> + - + -2a a c b a b c ÷ ( )> - - 22 2b b a c Þ ( ) ( )> + - + -2b b c a a b c ÷ ( )> - - 22 2c c a b Þ ( ) ( )> + - + -2c b c a a c b Þ ( ) ( ) ( )> + - + - + -2 2 22 2 2a b c a b c a c b b c a Û ( )( )( )> + - + - + -abc a b c a c b b c a c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 Û 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0 Û 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0 Û (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 Û [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 7 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ³ ³(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: Þ + ³a b 2 ab , + ³b c 2 bc , + ³a c 2 ac Þ ( )( ) ( )+ + + ³ =2 2 2a b b c a c 8 a b c 8abc . 2. Chứng minh: + + + + ³ ³2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: Þ + + ³ 3a b c 3 abc , + + ³ 32 2 2 2 2 2a b c 3 a b c Þ ( ) ( )+ + + + ³ =32 2 2 3 3 3a b c a b c 9 a b c 9abc . 3. Chứng minh: ( )( )( ) ( )+ + + ³ + 331 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c ³ 0. ÷ ( )( )( )+ + + = + + + + + + +1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc. ÷ + + ³ 3a b c 3 abc , + + ³ 3 2 2 2ab ac bc 3 a b c ÷ ( )( )( ) ( )+ + + ³ + + + = + 33 2 2 23 31 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +æ ö æ ö+ + + ³ç ÷ ç ÷ è ø è ø m m m 1a b1 1 2 b a , với m Î Z+ ÷ + æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö+ + + ³ + + = + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø è ø ³ = m m m m m m m 1 a b a b b a1 1 2 1 . 1 2 2 b a b a a b 2 4 2 5. Chứng minh: + + ³ + + >bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: + ³ = 2bc ca abc2 2c a b ab , + ³ = 2bc ba b ac2 2b a c ac , + ³ = 2ca ab a bc2 2a b c bc Þ + + ³ + +bc ca ab a b c a b c . 6. Chứng minh: + ³ - ³ 6 9 2 3x y 3x y 16 ; x,y 0 4 («) («) Û + + ³6 9 2 3x y 64 12x y Û ( ) ( )+ + ³3 32 3 3 2 3x y 4 12x y Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( ) ( )+ + ³ =3 32 3 3 2 3 2 3x y 4 3x y 4 12x y . Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 12 ° Dấu “ = ” xảy ra Û ( ) =é- = Û - = Û ê = -- ë 2 x 3x 1 2 x 1 4 x 1(loaïi)2 x 1 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 5 2 26. Cho = + > - + 3x 1y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. ÷ += + - + 3(x 1) 1 3y 2 x 1 2 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ( )+ + 3 x 1 1, 2 x 1 : ( ) ( )+ + = + - ³ - = - + + 3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3y 2 . 6 2 x 1 2 2 x 1 2 2 ° Dấu “ = ” xảy ra Û Û ( ) ( ) é = -ê+ ê= Û + = Û ê+ = - -ê ë 2 6x 1 3 x 1 1 2 3x 1 2 x 1 3 6x 1(loaïi) 3 Vậy: Khi = -6x 1 3 thì y đạt GTNN bằng - 36 2 27. Cho = + > - x 5 1y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. ÷ -= + + - 2x 1 5 1y 6 2x 1 3 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm - - 2x 1 5, 6 2x 1 : - - += + + ³ + = - - 2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1y 2 . 6 2x 1 3 6 2x 1 3 3 Dấu “ = ” xảy ra Û ( ) é + =ê- ê= Û - = Û ê- - + =ê ë 2 30 1x2x 1 5 22x 1 30 6 2x 1 30 1x (loaïi) 2 Vậy: Khi += 30 1x 2 thì y đạt GTNN bằng +30 1 3 28. Cho = + - x 5y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 9 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. ° +æ ö ³ç ÷ è ø 2b c bc 2 Û ( )+ -æ ö æ ö£ = = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 2b c 1 a16abc 16a 16a 4a 1 a 2 2 ° ( ) ( )( ) ( ) ( )é ù- = - - = - - - £ - = +ë û2 224a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ =2 bc.2 ac.2 ab 8abc c) æ öæ öæ ö+ + + ³ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø 1 1 11 1 1 64 a b c ° + + +æ ö æ ö+ = ³ç ÷ ç ÷ è ø è ø 4 21 a a b c 4 a bc1 a a a ° + ³ 4 21 4 ab c1 b b ° + ³ 4 21 4 abc1 c c ÷ æ öæ öæ ö+ + + ³ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø 1 1 11 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ³ - 1x 3 x y y ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) - = - + + ³ = - - 3 x y y1VT x y y 3 3 x y y x y y 16. Chứng minh: a) + ³ + 2 2 x 2 2 x 1 Û + ³ +2 2x 2 2 x 1 Û + + ³ +2 2x 1 1 2 x 1 b) + - x 8 x 1 = - + = - + ³ - = - - - x 1 9 9 9x 1 2 x 1 6 x 1 x 1 x 1 c. ( ) ( )+ + ³ + = +2 2 2a 1 4 2 4 a 1 4 a 1 Û + ³ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + ++ + £ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 ° Vì : + ³a b 2 ab Þ £ = + ab ab ab a b 22 ab , £ = + bc bc bc b c 22 bc , £ = + ac ac ac a c 22 ac ° + + ³ + +a b c ab bc ca , dựa vào: + + ³ + +2 2 2a b c ab bc ca . ° + + + ++ + £ £ + + + ab bc ca ab bc ac a b c a b b c c a 2 2 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 10 18. Chứng minh: + £ + + 2 2 4 4 x y 1 41 16x 1 16y , "x , y Î R ° ( ) = £ = + + 2 2 2 4 2 2 x x x 1 81 16x 2.4x1 4x ° ( ) = £ = + + 2 2 2 4 2 2 y y y 1 81 16y 2.4y1 4y ÷ + £ + + 2 2 4 4 x y 1 41 16x 1 16y 19. Chứng minh: + + ³ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. ° a + b + c = 1 2 (X + Y + Z) ° + - + - + -= = =Y Z X Z X Y X Y Za , b , c 2 2 2 ° é ùæ ö æ ö æ ö+ + = + + + + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú+ + + è ø è ø è øë û a b c 1 Y X Z X Z Y 3 b c a c a b 2 X Y X Z Y Z [ ]³ + + - =1 32 2 2 3 2 2 . Cách khác: ° æ ö æ ö æ ö+ + = + + + + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + + + + +è ø è ø è ø a b c a b c1 1 1 3 b c a c a b b c a c a b ( ) ( ) ( )[ ]æ ö= + + + + + + + -ç ÷ + + +è ø 1 1 1 1a b b c c a 3 2 b c a c a b ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ° ( ) ( ) ( )[ ]æ ö+ + + + + + + ³ - =ç ÷ + + +è ø 1 1 1 1 9 3a b b c c a 3 2 b c a c a b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + £ + + + + + +3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abca b abc b c abc c a abc ° ( )( ) ( )+ = + - + ³ +3 3 2 2a b a b a ab a a b ab Þ ( ) ( )+ + ³ + + = + +3 3a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự ° ( ) ( )+ + ³ + + = + +3 3b c abc b c bc abc bc a b c ° ( ) ( )+ + ³ + + = + +3 3c a abc c a ca abc ca a b c ÷ ( ) ( ) ( ) + +æ ö£ + + = ç ÷ + + + + + + + + è ø 1 1 1 1 a b cVT ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 11 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. + + + ³ 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) ÷ + ³ + ³a b 2 ab , c d 2 cd ÷ ( ) ( )+ + ³ + ³ ³ 4a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd b. + + ³ 3a b c 3 abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) ÷ + + + ++ + + ³ 4a b c a b ca b c 4. abc 3 3 Û + + + +³ 4a b c a b cabc 3 3 Û + + + +æ ö ³ç ÷ è ø 4a b c a b cabc 3 3 Û + +æ ö ³ç ÷ è ø 3a b c abc 3 Û + + ³ 3a b c 3 abc . 22. Chứng minh: + + ³ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 ° + ³3 2a abc 2a bc , + ³3 2b abc 2b ac , + ³3 2c abc 2c ab ° ( )+ + + ³ + +3 3 3 2 2 2a b c 3abc 2 a bc b ac c ab Þ ( ) ( )+ + ³ + +3 3 3 2 2 22 a b c 2 a bc b ac c ab , vì : + + ³3 3 3a b c 3abc Vậy: + + ³ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab 23. Chứng minh: + + ³3 942 a 3 b 4 c 9 abc ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: ° = + + + + + + + + ³3 3 3 94 4 4 4VT a a b b b c c c c 9 abc 24. Cho = +x 18y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: = + ³ =x 18 x 18y 2 . 6 2 x 2 x ° Dấu “ = ” xảy ra Û = Û = Û = ±2x 18 x 36 x 6 2 x , chọn x = 6. Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 25. Cho = + > - x 2y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. ÷ -= + + - x 1 2 1y 2 x 1 2 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm - - x 1 2, 2 x 1 : - -= + + ³ + = - - x 1 2 1 x 1 2 1 5y 2 . 2 x 1 2 2 x 1 2 2 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 16 ° ( )æ ö- £ + +ç ÷ è ø 2 22 3 4 93 a 5 b 3a 5b 3 53 5 Û 3a2 + 5b2 ³ 735 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ³ 2464 137 . ÷ - = -3 53a 5b 7 a 11b 7 11 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -3 5, 7 a , , 11b 7 11 : ° ( )æ ö- £ + +ç ÷ è ø 2 23 5 9 257 a 11b 7a 11b 7 117 11 Û 7a2 + 11b2 ³ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ³ 2. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ° ( )( )= + £ + +2 22 a b 1 1 a b Û a2 + b2 ³ 2 ° ( ) ( )( )£ + £ + +2 2 4 42 a b 1 1 a b Û a4 + b4 ³ 2 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: + ³2 2 1a b 2 ° ( )( )£ + £ + + Û + ³2 2 2 2 2 2 11 a b 1 1 a b a b 2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 13 ° ( )- + - - = + = + + ³ + = + - - - x 5 1 x 5x x x 1 x 1 xf(x) 5 5 2 5 5 2 5 5 1 x x 1 x x 1 x x Dấu “ = ‘ xảy ra Û - -æ ö= Û = Û =ç ÷ - -è ø 2x 1 x x 5 55 5 x 1 x x 1 x 4 (0 < x < 1) ° Vậy: GTNN của y là +2 5 5 khi -= 5 5x 4 29. Cho += 3 2 x 1y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. ° + = + = + + ³ = 3 3 2 2 2 2 3 x 1 1 x x 1 x x 1 3x 3 2 2 2 2 4x x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = = 2 x x 1 2 2 x Û = 3x 2 . ° Vậy: GTNN của y là 3 3 4 khi = 3x 2 30. Tìm GTNN của + += 2x 4x 4f(x) x , x > 0. ° + + = + + ³ + = 2x 4x 4 4 4x 4 2 x. 4 8 x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = 4x x Û x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 31. Tìm GTNN của = +2 3 2f(x) x x , x > 0. ° æ ö æ ö+ = + + + + ³ =ç ÷ ç ÷è ø è ø 3 22 2 2 2 2 5 3 3 3 3 5 2 x x x 1 1 x 1 5x 5 3 3 3 3 27x x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = Û = 2 5 3 x 1 x 3 3 x Û x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 5 5 27 khi = 5x 3 . 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) ° f(x) = –10x2 + 11x – 3 = æ ö æ ö- - - = - - + £ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 11x 11 1 110 x 3 10 x 10 20 40 40 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = 11x 20 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 14 ° Vậy: Khi = 11x 20 thì y đạt GTLN bằng 1 40 . 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): ° ( ) ( )= + - ³ -6 x 6 x 2 x 6 x Þ x(6 – x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN. ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , æ ö- £ £ç ÷ è ø 53 x 2 : ° ( ) ( ) ( )( )= + + - ³ + -11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x Þ 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) £ 121 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û = - 1x 4 ° Vậy: Khi = - 1x 4 thì y đạt GTLN bằng 121 8 . 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ £5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN. ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , æ ö- £ £ç ÷ è ø 5 x 5 2 : ° ( ) ( ) ( )( )+ + - ³ + -2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x Þ 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) £ 625 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û = 5x 4 ° Vậy: Khi = 5x 4 thì y đạt GTLN bằng 625 8 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - 1 2 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , æ ö- £ £ç ÷ è ø 1 5x 2 2 : ° ( ) ( ) ( )( )+ + - ³ + -2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 15 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. 37. Cho = +2 xy x 2 . Định x để y đạt GTLN ° + ³ =2 22 x 2 2x 2x 2 Û ³ + 2 1 x 2 2 2 x Þ £ 1y 2 2 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = Þ2x 2 và x > 0 x= 2 ° Vậy: Khi =x 2 thì y đạt GTLN bằng 1 2 2 . 38. Cho ( ) = + 2 32 xy x 2 . Định x để y đạt GTLN ° + = + + ³ 32 2 2x 2 x 1 1 3 x .1.1 Û ( ) ( ) + ³ Þ £ + 232 2 32 x 1x 2 27x 27x 2 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = Û = ±2x 1 x 1 ° Vậy: Khi = ±x 1 thì y đạt GTLN bằng 1 27 . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) («) BĐT Bunhiacopxki («) Û + + £ + + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b 2abcd c d a b a d c b c d Û + - ³2 2 2 2a d c b 2abcd 0 Û ( )- ³2ad cb 0 . 2. Chứng minh: + £sinx cosx 2 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : ° + =sinx cosx ( )( )+ £ + + =2 2 2 21. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b : ° ( )( )+ = + £ + +2 23a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b Û 3a2 + 4b2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ³ 725 47 . ÷ - = -2 32a 3b 3 a 5 b 3 5 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -2 3, 3 a , , 5 b 3 5 : Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 20 + ++ + £ 2 2 2a b cx y z 2R (a, b, c là các cạnh của DABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +4 1 x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh bất đẳng thức: + ++ ³ 2a c b b 50 b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +a c b d . 38. (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: æ öæ ö+ + + + ³ç ÷ç ÷ è øè øa b c 1 1 1 1 1 1 3 a b c h h h 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: + + + + + ³2 2 22 2 2 1 1 1x y z 82 x y z 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3 cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: - £ì ï í - =ïî 4p(p a) bc (1) A B C 2 3 3sin sin sin (2) 2 2 2 8 trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = + +a b c 2 . 42. (Đại học khối A 2005) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + =1 1 1 4 x y z . Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 17 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: + + + + ³ +2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + + +1 1 1 x y z 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = +4 1 x 4y . 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: + + + + + + + + + + + a b c d a b c b c d c d a d a b < 2 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2 æ ö + +ç ÷ è ø2 1 2 1 xx ³ 16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: + + + + + ++ + ³a b c a b c a b c 9 a b c 8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) C