Tuyển tập các bài toán hay Hình học 9

TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TOÁN HAY H ÌNH HỌC 9 Bài 1: Cho một đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Gọi M là điểm di động trên cung BC, dây AM cắt OC ở E.Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác OME luôn thuộc đoạn thẳng cố định. Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AH, BC. Các đường phân giác góc ABH và ACH cắt nhau tại P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng . Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),H là trực tâm của tam giác ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC. a) Chứng minh E thuộc đường tròn (O). b) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC và D là điểm đối xứng của I qua BC .Tìm điều kiện của tam giác ABC để D thuộc đường tròn (O). Bài 4: Các đường cao AH, BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ 2 tương ứng là M,N,P.Chứng minh : a) b) Bài 5 : (BMO 2004)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại M. Đường tiếp tuyến với đường tròn bên trong tại P cắt đường tròn bên ngoài tại Q và R.Chứng minh : Bài 6 : (BMO 2000)Hai đ ường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N.Vẽ tiếp tuyến chung PQ (gần N hơn )của hai đường tròn.PN cắt đường tròn (O’) tại R.Chứng minh: a) MQ là phân giác . b) Diện tích hai tam giác MNP và MNQ bằng nhau. c) Bài 7: (BMO 2004)Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O)vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O). PQ là đường kính bất kỳ . PA, PB, PC cắt đường tiếp tuyến tại Q của đường tròn (O) theo thứ tự tại các điểm L, M, N.Chứng minh: L là trung điểm của MN. Bài 8 : (BMO 2004)Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O và CD là dây cung thẳng góc với AB. Một dây cung bất kỳ AE cắt CO tại M, DE cắt BC taị N Chứngminh.:CM.CB=CN.CO Bài 9 : (BMO 1999)Cho đường tròn đường kính AB. Điểm C cố định trên AB. Điểm P bất kỳ trên đường tròn.Chứng minh : không đổi. Bài 10: (BMO 1994)Cho đ ư ờng tr òn (O) T ừ một đi ểm P ở ngoài đ ư ờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PQ và PR ( Q và R là hai tiếp đi ểm ). Trên PQ nối dài, lấy điểm A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAR cắt đường tròn (O) tại B và AR cắt đường tr òn (O) tại C.Chứng minh Bài 11: (BMO 1996)Tam giác ABC có các góc đều nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O.Vẽ đường tròn tâm O' ngoại tiếp tam giác ABO. Đường thẳng CA cắt đường tròn (O’) tại P và CB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh: CO vuông góc PQ. Bài 12 : (BMO 2001)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại A. Từ điểm P của đường tròn lớn, vẽ các tiếp tuy ến PX  và PY với đường tròn nhỏ , PX v à PY cắt đường tròn lớn tại các điểm Q và R. Chứng minh . Bài 13 : (BMO 2004)Cho tam gi ác đều ABC và điểm D trên cạnh BC. Một đường tròn tiếp xúc với BC tại D, cắt cạnh AB tại M, N và cắt cạnh AC tại P, Q. Chứng minh: BD+AM+AN=CD+ AP + AQ. Bài 14 : (BMO 2004)Cho tam giác ABC c ó AD và BE là hai đường cao. Đường thẳng AD cắt nửa đường tròn đường kính BC tại P.Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn đường kính AC tại Q. Chứng minh : CP = CQ. Bài 15: Cho hai tam giác ABC và DEF có hai đáy AB và DE cùng nằm trên một đường thẳng. DF//AC và EF//BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC và đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD cắt nhau tại C, G. Chứng minh C, G, F thẳng hàng. Bài 16 :(BMO 2005) Cho tam giác ABC có số đo góc A bằng 1200 . AD, BE, CF là ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh đường tròn đường kính EF đi qua D. Bài 17 : (BMO1995)Tam giác ABC với ba trung điểm D, E, F của 3 cạnh BC , AC , AB .Chứng minh: nếu và chỉ nếu = Bài 18 :(BMO1997)Cho tam giác ABC. Đường cao CF và trung tuyến BM. Nếu BM = CF và , Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 19 :(BMO 2001)Cho tam giác ABC (). Phân giác trong góc A cắt BC tại D.Điểm E trên AB sao cho góc EDB vuông.Điểm F trên AC sao cho . Chứng minh: Bài 20: (BMO 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . DA và CB cắt nhau tại P.Gọi là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .Cho biết : CD = CP = CQ, Chứng minh :. Bài 21: (BMO 2002)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tr òn (O, R ) và đường cao AD. Hạ DE và DF thẳng góc với hai cạnh AB và AC . Tính độ dài EF theo R và các tỉ số lượng giác các góc của tam giác ABC Bài 22: (BMO 2005) Cho tứ giác nội tiếp ABCD  với AC là phân giác góc A. Lấy điểm E trên AD.Chứng minh : CE = CA nếu và chỉ nếu DE = AB. Bài 23: (BMO 2007) Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC,.Gọi O là tâm đường ngoại tiếp, H là trực tâm tam giác ABC , và OH cắt cạnh AB tại P và AC tại Q. Chứng minh : PO = HQ. Bài 24: (BMO 2008) Tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp trong vòng tròn. Lấy điểm Q trên cung BC có chứa điểm A. Kẻ đường kính QP.Từ Q, hạ các đường thẳng góc xuống AC và AB, theo thứ tự tại các điểm V và W. Chứng minh hai tam giác PBC và AWV đồng dạng. Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp trong vòng tròn. Phân giác của ba góc A, B, C cắt đường tròn tại A', B', C'. Đường A'B' cắt BC tại N và đường C'B' cắt AB tại M. Chứng minh MN đi qua tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 26:Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên BC lấy điểm D sao cho   Chứng minh : Bài 27: Cho hình bình hành ABCD.Lấy điểm E sao cho AE thẳng góc AB và EC thẳng góc BC. Chứng minh . Baøi 28 : Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi M vaø N .Goïi d laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) taïi A vaø B (d gaàn M hôn N ) .Qua M veõ ñöôøng thaúng song song vôùi d caét hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) taïi C vaø D .Bieát CA vaø BD caét nhau taïi E , AN caét CD taïi P , BN caét CD taïi Q .Chöùng minh : Töù giaùc AEBN laø töù giaùc noäi tieáp . EP = EQ Baøi 29 : Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi A vaø B .Tieáp tuyeán taïi A cuûa ñöôøng troøn (O) caét ñöôøng troøn (O’) taïi N . Tieáp tuyeán taïi A cuûa ñöôøng troøn (O’) caét ñöôøng troøn (O) taïi M .Bieát BN caét ñöôøng troøn (O) taïi Q , BM caét ñöôøng troøn (O’) taïi P .Chöùng minh MP = NQ. Baøi 30 : Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn (O). AD laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn .Tieáp tuyeán taïi D cuûa ñöôøng troøn (O) caét BC taïi P .Ñöôøng thaúng PO caét AC vaø AB taïi M vaø N .Chöùng minh OM = ON Baøi 31 : Cho M laø moät ñieåm treân ñoaïn thaúng AB ( MB < MA ) .Treân cuøng moät nöûa maët phaúng bôø laø AB veõ hai hình vuoâng AMCD vaø MBFE .Hai ñöôøng troøn ngoaïi tieáp hai hình vuoâng AMCD vaø MBEF caét nhau taïi N .Chöùng minh ba ñieåm A, F ,N thaúng haøng . Baøi 32 : Cho ñöôøng troøn (O) coù AB laø ñöôøng kính .C vaø D laø hai ñieåm treân hai tia ñoái nhau cuûa tieáp tuyeán taïi B cuûa ñöôøng troøn .AC vaø AD caét ñöôøng troøn taïi E vaø F .CF vaø DE caét ñöôøng troøn laàn löôït taïi G vaø H .Chöùng minh BG = BH . Baøi 33 : Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi P vaø Q .Moät ñöôøng thaúng qua P caét hai ñöôøng troøn laàn löôït taïi A vaø A’ .Moät ñöôøng thaúng qua Q song song AA’caét hai ñöôøng troøn taïi B vaø B’(A vaø B cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn ).Chöùng minh hai tam giaùc PBB’ vaø QAA’ coù cuøng chu vi . Baøi 34 : Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn .ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AC caét AB taïi F .ñöôøng troøn taâm O’ ñöôøng kính AB caét AC taïi E .BE caét (O) taïi P vaø CF caét ñöôøng troøn (O’) taïi Q . Chöùng minh AP = AQ . Baøi 35* : P là điểm trên đường cao AD của tam giác ABC. BP, CP cắt AB và AC theo thứ tự tại E, F.Chứng minh: AD là phân giác góc EDF. Baøi 36: (3 điểm) Cho tam giác PNM. Các đường phân giác trong của các góc M và N cắt nhau tại K, các đường phân giác ngoài  của các góc M và N cắt nhau tại H.a) Chứng minh KMHN là tứ giác nội tiếp. b) Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng 6cm, hãy tính diện tích tam giác KMH. B ài 37 : Cho đường tròn (O; R) và AB < 2R cố định. Một điểm M di chuyển trên cung lớn AB (M khác A và B). Gọi I là trung điểm của AB; (O') là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại A. Đường thẳng MI cắt (O) và (O') lần lượt tại N và P. Chứng minh rằng: a) IA2 = IP.IM. b) Tứ giác ANBP là hình bình hành. c) IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMBP. d) Khi M di chuyển trên cung lớn AB thì trọng tâm G của ΔPAB chạy trên một cung tròn cố định. Bài 38: Cho ΔABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. M là điểm bất kì trên đoạn AD. Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx vuông góc với BA và gọi E là giao điểm của DP và Bx. a) Chứng minh rằng: ΔEBN vuông cân. b) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích ΔAHB là lớn nhất. d) Chứng minh rằng: Đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đoạn AD.