Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao

Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1994- 1995 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) Thời gian: 150 phút không kể chép đề Ngày thi :5 tháng 01 năm 1995 Bài 1 (4 điểm) Xét số A = và B = 1644428 Hỏi số A có chia hết cho số B hay không , tại sao ? Bài 2 (4 điểm) Bạn Việt nói với bạn Nam : “Nếu một tứ giác có hai góc đối bàng nhau đồng thời có một đường chéo đi qua trung điểm của đường chéo kia thì tứ giác đó là hình bình hành. ”. Bạn Nam nói “Điều bạn nói là sai rồi !”. Ai nói đúng , ai nói sai . Tại sao ? Bài 3 (4 điểm) Giải phương trình : Bài 4 (4 điểm) Cho DABC vuông tại A. Một đường tròn (O) thay đổi luôn luôn đi qua hai điểm A, B và cắt các cạnh AC, BC tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Gọi F là điểm đối xứng với E qua OD và I là giao điểm của BF với đường trung trực của AF . Tìm quĩ tích điểm I. Bài 5 ( 4 điểm) Trên mặt phẳng có 1994 điểm tô xanh sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể kẻ được hai đường thẳng cắt nhau tạo thành cặp góc đối đỉnh sao cho với mỗi cặp góc đối đỉnh đó, số điểm xanh trên miền trong góc này bằng số điểm xanh trên miền trong góc kia. Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1994- 1995 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 ) Thời gian: 180 phút không kể chép đề Ngày thi :13 tháng 01 năm 1995 Bài 1 (4 điểm) Xét 1995 số tự nhiên a1 , a2, .... a1995 có tổng bằng 1994x1995. Đặt P = a13 +a23 +a33 + .....a19953. Chứng minh rằng P chia hết cho 3. Bài 2 (4 điểm) Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, EA. Biết AB = CD =DE = R. Chứng minh rằng DBMN đều. Bài 3(4 điểm) Giải phương trình :(x+2)2+ (x+3)3+ (x+4)4= 2 Bài 4(4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi A/B/C/D/ là ảnh của tứ giác ABCD trong phép quay tâm D. Chứng minh rằng các đường thẳng AA/, BB/ , CC/ , DD/ đồng qui tại một điểm. Bài 5 (4 điểm) Cho lục giác đều ABCDEF, các điểm M, N, P theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng: AB với CD; CD với EF ; EF với AB. Người ta tô các điểm A,B,C,D,E,F,M,N,P hoặc xanh hoặh đỏ. Hỏi có cách nào tô sao cho bất cứ ba điểm nào cùng mầu đều không phải là ba đỉnh của mọt tam giác vuông hay không , tại sao ? Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1994- 1995 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 3 ) Thời gian: 180 phút không kể chép đề Ngày thi :14 tháng 01 năm 1995 Bài 1 (4 điểm ) Xét biểu thức N = a1995 + b1995 + c1995 + d1995 Trong đó a, b, c, d là các số tự nhiên sao cho ab = cd ạ 0. Chứng minh rằng N là hợp số . Bài 2 ( 4 điểm ) Cho hai đường tròn (O), (O/) cắt nhau tại A, B , hai cát tuyên MAN, PAQ bằng nhau (M, P ẻ(O); N, Q (O/)). Gọi I, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng MN, PQ với OO/. So sánh BI với BK. Bài 3( 4 điểm ) Giải phương trình : Bài 4( 4 điểm ) Cho góc xOy có độ lớn bằng a (00< a < 450) và điểm P ởbên trong góc ấy. Dựng góc x/Oy/ có độ lớn bằng 2a ; Px/ cắt Ox tại điểm A; Py/ cắt Oy tại điểm B sao cho hai tam giác OPA, OPB có diện tích bằng nhau. Bài 5 ( 4 điểm ) Người ta dùng m mầu để tô các mặt của hai hình lập phương sao cho trong mỗi hình không có hai mặt nào cùng mầu, đồng thời không có ba mầu nào đôi một kề nhau trong cả hai hình (hai mầu kề nhau trong một hình nếu chúng được tô trên hai mặt kề nhau của hình ấy). Hãy tìm số m bé nhất . Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1995- 1996 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) Thời gian: 150 phút không kể chép đề Ngày thi :5 tháng 01 năm 1996 Bài 1 (4 điểm) Giải phương trình : 4x4 – x3 – 16x2 + 4x –1995 = 0 với x ẻ N Bài 2 (4 điểm) Cho hai đường tròn (O,r),(O/;) tiếp xúc trong với nhau tại điểmA.Kẻ đường kính AB của đường tròn(O). Dây BC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O/) tại hai điểm D, E. Tính BC theo r, biết rằng E là trung điểm của DC. Bài 3(4 điểm) Cho bốn số a,b,c,d có tổng bằng 1996. Chứng minh rằng trong ba số m=ab+cd; n=ac+bd; P=ad+bc phải có ít nhất một số bé hơn 500 000. Bài 4( điểm) Cho tam giác ABC với điểm M nằm giữa B,C. Dựng đường tròn qua A,M cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tương ứng PQ sao cho PQ//BC Bài 5(4 điểm) Người ta tô đỏ 7 cạnh của một hình lập phương một cách hú hoạ .Mõi đỉnh kề với ít nhất hai cạnh đỏ dều được gọi là đỉnh đỏ.Chứng minh rằng có ít nhất một mặt của lập phương đó chứa ít nhất 3đỉnh đỏ. Sở giáo dục đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố Năm học 1997- 1998 Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 ) Thời gian: 150 phút không kể chép đề Ngày thi :15 tháng 01 năm 1998 Câu 1(5 điểm ) Cho x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – 2x – 1 = 0 Chứng minh rằng x12k + x22k + 2 là số chính phương với mọi số tự nhiên chẵn k . Cho m, n là hai số tự nhiên thoả mãn : Chứng minh rằng m1997 Câu 2 (4 điểm) Hãy giải và biện luận phương trình : x4 – 4x3 + x2 + 6x – m = 0 Theo tham số m Câu 3 (3 điểm) Cho biểu thức , với 0< x < 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A. Câu 4 (4 điểm) Cho 37 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng, nằm bên trong hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm được 5 điểm trong 37 điểm đã cho thoả mãn : Các tam giác được tạo bởi 3 điểm bất kì trong 5 điểm đó có diện tích S . Câu 5 (5 điểm ) Cho DABC vuông ở C. Một đường thẳngd đi qua A không song song với BC và cắt đường trung trực của đoạn AB tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d, K là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Hãy dựng đường thẳng d thoả mãn góc CHK bằng 303. Đề thi thuyển sinhvào lớp 10 trường quốc học huế năm học 2004 thời gian làm bài 120 phút (THTT 5 - 2005) Bài 1( 1,5 điểm) Cho biểu thức : Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức A được xác định . Rút gọn biểu thức A. Bài 2( 2 điểm) Giải hệ phương trình : Giải bất phương trình : x + ỗx - 1ỗ > 5 Bài 3( 1,5 điểm) Chứng minh rằng, nếu phương trình X2 + 2mx + n = 0 (1) có nghiệm, thì phương trình : (2) cũng có nghiệm. (m, n, k là các tham số : k ạ 0) Bài 4( 1,5 điểm) Cho hàm số y = ax+ b có đồ thị (D) và hàm số y = kx2 có đồ thị (P). tìm a, b biết rằng (D) đi qua A(-1; 3) và B(2; 0) Tìm k (k ạ 0) sao cho (P) tiếp xúc với đươừng thẳng (D) vờa tìm được . Viết phương trình của (P). Bài 5( 3,5 điểm) Cho DABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hai đường cao AI, BE cắt nhau tại H. Chứng minh : Góc CHI = góc CBA. Chứng minh : EI ^ CO. Cho góc ACB = 600. Chứng minh CO = CH. đề thi tuyển sinh lớp 10 khối THPT chuyên trường đại học sư phạm vinh 2005 (dành cho mọi thí sinh . Thòi gan làm bài 150 phút) THTH 10 –2005 Vòng 1 Câu1 . Rút gọn biểu thức sau : Giải phương trình : Câu2 . Chứng minh rằng (n3 + 17n)6 với mọi số tự nhiên n. Câu3 . Giả sử phương trình x1, x2 là hai nghiệm của phương trình , Trong đó m là tham số. Tìm m để biểu thức ỗx1 - x2ỗ đạt giá trị nhỏ nhất. Câu4 . Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I, J lần lượt thuộc hai cạnh BC, CD sao cho góc IAJ = 450 . Đường chéo BD cắt AI, AJ tương ứng tại H, K. Tính tỉ số Câu5 . Cho hai đường tròn (O1;R1)và (O2;R2)có R1 > R2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn(O1;R1) tại M và cắt đường tròn (O2;R2) tại N (Các điểm M, N khác A). Xác định vị trí của đường thẳng d để độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất. Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A. Vòng 2 Câu6 . Câu7 . Câu8 . Câu9 . Câu10 . Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1991 -1992 * Môn Toán * Ngày thi 6/8/1991 * Thời gian 150 phút Bài 1: Trên một đường giao thông đi qua ba tỉnh A, B, C ( B nằm giữa A, C) có hai người chuyển động đều : M xuất phất từ A đi bằng ô tô và N xuất phát từ B đi bằng xe đạp. Họ xuất phát cùng một lúc và đi về phía C. Đến C thì M quay trở lại A ngay và về đến B đúng vào lúc N đến C.Tính quãng đường AC biết rằng quãng đường BC dài gấp đôi quãng đường AB và khoảng cách giữa hai địa điểm họ gặp nhau trên đường đi (một lần khi họ đi cùng chiều , một lần khi họ đi ngược chiều) là 8 km. Bài 2 : Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 19911992. Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho 1992 hay không ? tại sao ? Bài 3 : Cho góc nhọn xAy với tia phân giác Az , một điểm B cố định trên Az (B ạ A). Người ta kẻ một đường tròn tâm O đi qua A, B cắt Ax, Ay lần lượt tại các điểm M, N. Gọi I là trung điểm của MN, dựng hình vuông ACID. Tìm tập hợp C, tập hợp D khi đường tròn (O) thay đổi luôn luôn qua A, B. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1992 -1993 * Môn Toán * Ngày thi 11/6/1992 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : Rút gọn P. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2 : (2,5 điểm) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 Km/h . Sau đó một thời gian , một xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng ngay sau khi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc thành 45 Km/h nên sau đó 1 h thì đuổi kịp ô tô tải. Tính quãng đường AB. Bài 3 : (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB có một điểm C sao cho AC < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB; đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P; đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại điểm Q. Gọi D là giao điểm của CP, AM; E là giao điểm của CQ, BM. Chứng minh rằng các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp được. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB, DE song song. Chứng minh rằng ba điểm P, M, Q thẳng hàng. Ngoài điểm M ra , các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn có điểm chung nào nữa không , tại sao ? Bài 4 : (1 điểm) Giải phương trình : 2x4 – x3 – 5x2 + x + 2 = 0 Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1992 -1993 * Môn Toán * Ngày thi 12/6/1992 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Một gia đình lớn gồm 4 thế hệ, trong đó có 7 cặp ông nội – cháu nội. Biết rằng trong gia đình đó, mỗi người chỉ có nhiều nhất 2 con. Hỏi gia đình đó có ít nhất mấy nam giới ? tại sao ? Bài 2 : Trên mặt phẳng cho 9 điểm A1 , A2 ,..., A9 , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Người ta kể tên các tam giác mà các đỉnh là 3 trong 9 điểm đã cho, sao cho bất cứ 2 tam giác nào cũng chỉ có nhiều nhất 1 đỉnh chung. Hỏi mỗi cách kể tên như trên có nhiều nhất bao nhiêu tam giác ? tại sao ? Hãy nêu một cách kể tên với số tên tam giác nhất có thể được. Bài 3 : Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô đỏ 2 đỉnh A , D và tô xanh tất cả 4 đỉnh còn lại. Sau đó, người ta đổi mầu các đỉnh đó theo quy tắc sau đây : -Mỗi lần đổi mầu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân, đổi mầu đồng thời 3 đỉnh ấy (đỏ thành xanh, xanh thành đỏ). Hỏi sau một số lần thực hiện quy tắc đó, thì có thể thu được kết quả là đỉnh C đỏ còn 5 đỉnh còn lại là xanh không ? tại sao ? Bài 4 : Để kỉ niệm kỳ thi Toán Quốc tế lần thứ XXIII, một học sinh đã lấy một số n bằng 232 rồi ghi tất cả các số tự nhiên: 1, 2, ...., n vào tất cả các ô của một hình vuông cỡ 23´23 ô vuông, sao cho : Mỗi một hàng đều có ít nhất một ô là ô lớn nhất trong cột chứa nó, và ít nhất một ô là ô nhỏ nhất trong cột chứa nó. Mỗi một cột, đều có ít nhất một ô là ô lớn nhất trong hàng chứa nó, và ít nhất một ô là ô nhỏ nhất trong hàng chứa nó. Hỏi, có thể thoả mãn đồng thời cả hai điều kiện a) và b) hay không ? tại sao ? (Ô này lớn hơn hoặc nhỏ hơn ô kia tuỳ theo số ghi trong ô đó lớn hơn hoặc nhỏ hơn số ghi trong ô kia). Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1993 -1994 * Môn Toán * Ngày thi 8/7/1993 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : Rút gọn P. Với điều kiện để có nghĩa , hãy so sánh với P. Bài 2 :(2,5 điểm) Hai bến sông A, B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3 km/ h. Sau khi đến bến B, ca nô trở về bến A ngay và gặp bè đã trôi được 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết reawngf vận tốc riêng của ca nô không đổi. Bài 3 :(4 điểm) Cho DABC có ba góc nhọn, trực tâm là H. Người ta dựng hình bình hành BHCD và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được So sánh các góc BAH và OAC (O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC ) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của DABC. Tìm điều kiện rằng buộc giữa các góc B và C để OH song song với BC. Bài 4 :(1 điểm) Tìm điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có nghiệm này gấp 1993 lần nghiệm kia. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1993 -1994 * Môn Toán * Ngày thi 9/7/1993 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(4 điểm) Tìm tất cả các số có 4 chữ số abcd sao cho : a + b = cd c + d = ab Bài 2 : (4 điểm) Cho DABC dựng các tam giác cân ABX, BCY, CAZ đồng dạng như sau : đỉnh X ở cùng phía với C so với cạnh AB, đỉnh Y ở khác phía với A so với cạnh BC và đỉnh Z ở khác phía với B so với cạnh CA. Chứng minh rằng nếu 4 điểm X, Y, Z, C không thẳng hàng , thì tứ giác XYCZ là hình bình hành. Khi nào 4 điểm X, Y, Z, C thẳng hàng ? Bài 3 : ( 4 điểm) Cho số A = 111.....11 có 1993 chữ số 1. Có hay không bội số dương của A, mà tổng các chữ số của nó nhỏ hơn 1992 ? Bài 4 : (4 điểm) Các đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau tại O ở trong tứ giác. Gọi diện tích của các tam giác AOB, COD lần lượt là S1 và S2 ,dieenhj tích tứ giác ABCD bằng S. Chứng minh rằng : (*) Hệ thứ (*) trên sẽ như thế nào khi ABCD là hình thang ? Bài 5 : (4 điểm) Chứng minh rằng phương trình : không có nghiệm. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1994 -1995 * Môn Toán * Ngày thi 7/7/1994 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : Rút gọn P. Tìm x để P Ê 0 Bài 2 : (2,5 điểm ) Cho hệ phương trình : Giải hệ phương trình với Chứng minh rằng với mọi a, hệ có nghiệm duy nhất. Tìm a để x – y đạt giá trị lớn nhất. Bài 3 : (4 điểm ) Cho đường tròn (O; R) và DABC cân (AB = AC > R) nội tiếp đường tròn ấy. Kẻ đường kínhAI.Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC; Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy một điểm D sao cho MD = MC. Chứng minh rằng tia MA là phân giác của góc BMx. Gọi K là gia điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là hình gì, tại sao ? Gọi G là trọng tâm DMDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đường tròn cố định. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn (O); P là giao điểm thứ hai của phân giác góc IBN với đường tròn (O). Chứng minh rằng đường DP luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ AC. Bài 4: (1 điểm) Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho x – 2 dư 2 ; chia cho x + 2 dư –2 ; chia cho x2 – 4 được thương là x và còn dư. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1994 -1995 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 8/7/1994 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Tìm x, y nguyên dương để phân số nhận giá trị nguyên. Tồn tại hay không các số a, b, c, d hữu tỷ sao cho : Bài 2 : (2,5 điểm) Cho x > 0 , y > 0 và x3 + y3 = x- y Chứng minh rằng : x2 + y2 < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Bài 3 : (3 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD và hình chữ nhật MNEF sao cho M, E là trung điểm của AB, CD ; N ẻBC ; F ẻ DA. Chứng minh diện tích tứ giác ABCD bằng hai lần diện tích hình chữ MNEF. Chứng minh rằng diện tích tứ giác ABCD không vượt quá : Bài 4 : (2 điểm) Cho một số hữu hạn hình tròn chiếm trên mặt phẳng một diện tích bằng 1. Chứng minh rằng, có thể chọn ra một vài hình tròn đôi một không có điểm chung trong các hình tròn đã cho, có tổng diện tích không lớn hơn 1/9. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1995 -1996 * Môn Toán * Ngày thi 11/7/1995 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2 điểm) Cho các biểu thức : và Rút gọn A và B. Tìm giá trị x để A = B. Bài 2 : (3 điểm) Cho phương trình : x2 – 2(m -1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn) Xác định m để phương trình có một nghiệm x =-1 và tìm nghiệm còn lại. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi giá trị của m. Với giá trị nào của m thì x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 3 : (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C trên đường tròn (C không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC; P là giao điểm của AC , BM. Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q. Chứng minh DABN cân. Tứ giác APNQ là hình gì , tại sao ? Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C. Hỏi có thể xẩy ra ba điểm Q, M, K thẳng hàng được không, tại sao ? Xác định vị trí của điểm C để được đường tròn ngoại tiếp DMNQ tiếp xúc với đường tròn (O). Bài 4 :(1 điểm) Giải phương trình : Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1995 -1996 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 12/7/1995 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(1,5 điểm) Giải phương trình: Bài 2 : (1,5 điểm) Cho 40 số nguyên dương thoả mãn : 1 Ê a1 < a2 < ..... < a20 Ê 200 1 Ê b1 < b2 < ..... < b20 Ê 200 Chứng minh rằng tồn tại các số : 1 Êi + j Ê 40 và 1 Ê k + 1Ê 40 sao cho : ai - aj = bk - bi Bài 3 : (2 điểm) Hãy tính A = 3x3 + 3x2 + 1 Với Bài 4 : (1 điểm). Giải phương trình tìm nghiệm nguyên : x2 + x = y4 + y3 + y2 + y Bài 5 : (4 điểm) Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm M bất kì trên d và nằm bên ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến ME và MF (E và F là hai tiếp điểm) . Tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF, khi M di động trên d. Cho DABC, các đường phân giác trong và ngoài của góc C cắt đường thẳng AB tại P và Q. Chứng minh rằng nếu CP = CQ thì 4R2 = CB2 + CA2. Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1996 -1997 * Môn Toán * Ngày thi 2/7/1996 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : Rút gọn P. Tìm a để ẵPẵ = 1. Tìm các giá trị của a ẻ N sao cho Pẻ N. Bài 2 : (2,5 điểm) Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần . Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ? Bài 3 : (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB dựng các hình vuông AMCD và MBEF. Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau ở N. Chứng minh AF vuông góc với BC, suy ra điểm N nằm trên hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF. Chứng minh ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN ^ DE tại N. Cho A, B cố định còn M di động trên đoạn AB. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định . Tìm vị trí điểm M sao cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất. Bài 4 : (1 điểm) Cho hai phương trình :ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2) với a.c < 0. Gọi a và b tương ứng là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2), Chứng minh rằng a + b ³ 2. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1996 -1997 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 3/7/1996 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(4 điểm) Viết các số liên tiếp 111, 112, 113, ....., 887, 888 , ta được số A = 111112113......887888. Chứng minh rằng A chia hết cho 1998 Bài 2 : (3 điểm) Giải phương trình : x4 + (x - 1)(x2 – 2x + 2) = 0 Bài 3 : (3 điểm) Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 2. Chứng minh bất đẳng thức : Bài 4 : (5 điểm) Cho DABC nội tiếp đường tròn O. Đường phân giác góc A cắt đường tròn (O) ở D. Một đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm A và D, cắt hai đường thẳng AB và AC ở giao điểm thứ hai là M và N ( có thể trùng với A). Chứng minh rằng BM = CN. Tìm tập hợp trung điểm của MN. Xác định vị trí của đường tròn (L) sao cho đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Bài 5 : (5 điểm) Hình chữ nhật kích thước 3´4 được chia bởi các đường thẳng song song với các cạnh thành 12 hình vuông đơn vị. Chứng minh rằng với 7 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật luôn có thể chọn ra 2 điểm có khoảng cách không vượt quá . Chứng minh kết luận của bài toán vẫn đúng khi số điểm là 6 và không còn đúng khi số điểm là 5. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1997 -1998 * Môn Toán * Ngày thi 8/.7/1997 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2,5 điểm) Xét biểu thức : Rút gọn P. Tìm x để Bài 2 :(2,5 điểm) Một máy bơm dùng để bơm nước đầy bể nước có dung tích 60 m3 với thời gian định trước. Khi đã bơm được 1/2 bể , thì mấy điện trong 48 phút. Đến lúc có điện trở lại, người ta sử dụng thêm máy bơm thứ hai có công suất 10 m3/h. Cả hai mấy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể nước đúng thời gian dự kiến. Tính công suất máy bơm thứ nhất và thời gian mấy bơm đó hoạt động. Bài 3 :(4 điểm) Cho DABC với ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). tia phân giác trong góc B cắt đường tròn tại D, tia phân giác trong của góc C cắt đường tròn tại E; hai phân giác này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng Các tam giác EBF, ADF cân Chứng minh tứ giác DKCF nội tiếp và FK song song với AB. Tứ giác AIFK là hình gì ? tại sao ? Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi, đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK. Bài 4 :(1 điểm) Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức sau : Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1997 -1998 * Môn Toán chuyên * Ngày thi 9/7/1998 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d . Chứng minh rằng : Khi nào xảy ra dấu đẳng thức ? Bài 2 : (1,5 điểm) Giải phương trình sau : Bài 3 : (3 điểm) Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Kẻ các đường cao AA/, BB/, CC/ .Gọi S là diện tích DABC và S/ là diện tích DA/B/C/ . Chứng minh rằng AO vuông góc với B/C/ . Chứng minh : S =1/2. P.R ; trong đó P là chu vi DA/B/C/ . Chứng minh hệ thức : Bài 4 : (2 điểm) Xét những số được tạo bởi bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với (2n + 1) chữ số 1 có dạng như sau : 10101 ; 1010101 ; .......; 1010...101 ; .... (n là số nguyên dương) Chứng minh rằng các số trên đều là hợp số. Bài 5 : (2 điểm) Cho hình vuông cạnh n (n là số nguyên lớn hơn 1) được chia thành n´n ô vuông nhỏ. Trong mỗi ô nhỏ này chỉ ghi một trong ba số : 1 ; 0 ; -1 . Hình vuông như thế được gọi là “ bảng số vuông cạnh n” Hãy lập một bảng số vuông cạnh 6 sao cho tổng các số ghi trong bảng theo mọi hàng , cột đều khác nhau. Có hay không bảng số vuông cạnh n nào đó mà tổng các số ghi trong bảng theo mọi hàng, cột và theo 2 đường chéo đều khác nhau ? Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1998 -1999 * Môn Toán * Ngày thi 8/6/1998 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2 điểm) Cho biểu thức : Rút gọn P. Cho , tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 2 : ( 3 điểm) Cho phương trình : (x + 1)4 – (m - 1)(x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0 (*) Giải phương trình (*) với m = - 1. Chứng tỏ rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi giá trị của tham số m. Tìm các giá trị của m để ẵx1ẵ + ẵx2ẵ = 2 Bài 3 : ( 4 điểm ) Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB; kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một điểm P ( AP > R) . Từ P kẻ tia PM tiếp súc với đường tròn (O ) tại M. Tứ giác OBPM là hình gì ? tại sao ? Cho , chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên (O;R). Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác PAM chạy trên một cung tròn cố định. Dựng hình chữ nhật PAON, chứng minh B, M, N thẳng hàng. Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Chu Văn An & Amsterdam Năm học `1998 -1999 * Môn Toán - tin * Ngày thi 9 /6/1998 * Thời gian 150 phút Bài 1 :(2 điểm) Cho phương trình x3 – 2mx2 + (m2 + 1)x –m = 0 (*) với m là tham số Tìm các giá trị của m để mọi nghiệm của (*) đều thuộc khoảng (-1; 1) Bài 2 : (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức : Bài 3 : (3 điểm) Xét hình thang ABCD vuông góc tại A và D(AB < DC) có M là trung điểm của AD. Các đỉnh A, D, C cố định; độ dài đáy nhỏ AB thay đổi. Cho DC = 2.AD, chứng minh chu vi DMBC nhỏ nhất khi hình thang ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Kẻ tia AA/ vuông góc với MB tại A/ và tia DD/ vuông góc với MC tại D/, hai tia này cắt nhau ở K. Tia MK cắt đường thẳng BC tại I, tìm quĩ tích của điểm I. Bài 4 : (1,5 điểm). Từ dãy số 1, 2, 3, 4, ......., 1998 chọn ra 1000 số tuỳ ý. Chứng minh rằng trong 1000 số được chọn có ít nhất hai số sao cho số này là bội của số kia. Bài 5 ; (1,5 điểm) Xét một lưới n´k ô vuông với các nút được kí hiệu theo chỉ số cột và theo chỉ số hàng (xem hình vẽ).