Ứng dụng công thức Viete vào giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ ÁI HOA ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIETE VÀO GIẢI TOÁN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS. LÊ HẢI TRUNG Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Đa thức, phương trình là những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình toán Trung học phổ thông. Bài toán tìm nghiệm của ña thức, của phương trình ñại số ñã ñược các nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong nhiều thế kỷ. Mặc dù lời giải của các bài toán này cho ñến nay chỉ mới tìm ñược ñối với các ña thức, phương trình ñại số có bậc nhỏ hơn 5, nhưng nhiều tính chất về nghiệm của ña thức, của phương trình ñã ñược phát hiện. Một trong những tính chất ñó là mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của ña thức, của phương trình ñại số, nó ñược thể hiện bằng một công thức nổi tiếng – Công thức Viète. Ứng dụng của công thức Viète khá phong phú và hiệu quả. Trong chương trình toán học phổ thông, học sinh ñã ñược học công thức Viète ñối với tam thức bậc hai, tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở mức ñộ nhất ñịnh, hơn nữa sách giáo khoa cũng không chỉ ra việc ñịnh hướng tìm tòi lời giải bằng việc ứng dụng công thức Viète và cũng chưa chú trọng ñến việc rèn luyện kỹ năng này nên học sinh thường lúng túng khi vận dụng công thức Viète ñể giải toán. Bên cạnh ñó, trong các ñề thi tuyển sinh ñại học, thi học sinh giỏi trong và ngoài nước thường có những bài toán mà lời giải của chúng có thể tìm ñược thông qua công thức Viète. Với mục ñích tìm hiểu và hệ thống hóa một cách ñầy ñủ những ứng dụng của công thức Viète trong chương trình toán ở bậc phổ thông, tôi chọn ñề tài “ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI TOÁN 2 THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” cho luận văn thạc sĩ của mình. Luận văn gồm hai chương. Để thuận tiện cho người ñọc, chương một nhắc lại một số kiến thức cơ bản về ña thức, ñặc biệt là các ña thức ñối xứng và công thức Viète ñể làm tiền ñề cho chương sau. Chương hai là nội dung chính của luận văn: Nghiên cứu, tìm hiểu việc vận dụng công thức Viète ñể giải một số lớp bài toán trong các lĩnh vực giải tích, ñại số, ña thức, hình học, lượng giác thuộc chương trình toán bậc trung học phổ thông. 2. Mục ñích nghiên cứu - Nghiên cứu các ứng dụng của công thức Viète trong chương trình toán phổ thông. - Hệ thống và phân loại một số bài toán có thể ứng dụng công thức Viète ñể giải. - Nhằm nâng cao năng lực tư duy cho học sinh cần thiết phải xây dựng chuỗi bài toán từ bài toán gốc, cũng như xây dựng bài toán tổng quát nhằm hướng ñến từng ñối tượng học sinh. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Những kiến thức cơ bản về tam giác, các công thức lượng giác, các bất ñẳng thức quan trọng, các tính chất của ña thức, ña thức ñối xứng, phương trình ñối xứng. - Công thức Viète và các ứng dụng trong chương trình toán bậc phổ thông. - Các bài toán có thể ứng dụng công thức Viète. 3 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu các tài liệu về công thức Viète và các kiến thức liên quan, như sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí toán học, cùng một số tài liệu khác từ Internet. - Thông qua thực tế giảng dạy ở trường trung học phổ thông ñể tổng kết rút ra những kết luận cần thiết. Kết hợp những kiến thức ñã ñạt ñược trong quá trình thu thập thông tin ñể hệ thống và ñưa ra các bài toán có thể giải ñược bằng công thức Viète. - Thảo luận, trao ñổi với người hướng dẫn luận văn. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài Công thức Viète và các ứng dụng của nó có vai trò quan trọng, mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan ñến nghiệm của phương trình ñại số một cách phong phú, ña dạng như: các bài toán liên quan ñến hàm số, chứng minh các hệ thức ñại số, tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực, chứng minh các bài toán lượng giác, hình học…. Việc dạy công thức Viète và các ứng dụng của nó trong chương trình toán học phổ thông có ý nghĩa ñặc biệt là: làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm của một phương trình ñại số. Nêu ñược quan hệ ñịnh tính, ñịnh lượng giữa các nghiệm số với các hệ số của một phương trình ñại số. Giúp học sinh nhìn nhận các bài toán trong mối liên hệ sinh ñộng của sự ràng buộc giữa biến số và tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp học sinh nâng cao chất lượng học tập môn toán. 4 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận văn gồm có các chương như sau : Chương 1 - ĐA THỨC Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC VIÈTE Chương 1 ĐA THỨC 1.1. VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN Giả sử A là một vành giao hoán, có ñơn vị ký hiệu là 1. Ta gọi P là tập hợp các dãy ( )0 1, ,..., ,...na a a trong ñó ia A∈ với mọi i ∈
và 0ia = tất cả trừ một số hữu hạn. Trên P ta ñịnh nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 0 1 1, ,..., ,... , ,..., ,... , ,..., ,...n n n na a a b b b a b a b a b+ = + + + (1.1) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 1, ,..., ,... , ,..., ,... , ,..., ,...n n na a a b b b c c c× = (1.2) với 0 1 1 0... 0,1,2,...k k k k i j i j k c a b a b a b a b k − + = = + + + = =∑ Vì các ia và ib bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên các i ia b+ và ic cũng bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, nên (1.1) và (1.2) xác ñịnh hai phép toán trong P . 5 Tập P cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên là một vành giao hoán có ñơn vị. Phần tử không của phép cộng là dãy ( )0,0,... , phần tử ñơn vị của phép nhân này là ( )1,0,0... . Xét dãy ( )0,1,0,...,0,...x P= ∈ Theo quy tắc của phép nhân trong P , ta có 0,0,...,0,1,...,0,...n n x   =       14243 Ta quy ước ( )0 1,0,0,...,0,...x = Mặt khác, xét ánh xạ : A P→ ( ),0,...,0,...a aa Dễ dàng kiểm chứng ñược ánh xạ này là một ñơn cấu vành, do ñó ta ñồng nhất phần tử a A∈ với dãy ( ),0,0,...a P∈ và xem A là một vành con của vành P . Vì mỗi phần tử của P là một dãy ( )0 1, ,... ,...na a a trong ñó các 0ia = tất cả trừ một số hữu hạn, nên mỗi phần tử của P có dạng ( )0 ,..., ,0,...na a trong ñó 0 ,..., na a A∈ (không nhất thiết khác 0 ). Việc ñồng nhất a với ( ), 0, 0,...a và việc ñưa vào dãy x cho phép ta viết ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1,..., ,0,... ,0,... 0, ,0,... ... 0,..., ,0,...n na a a a a= + + + ( ) ( )( ) ( )( )0 1,0,... ,0,... 0,1,0,... ... ,0,... 0,...,0,1,0,...na a a= + + + 0 0 1 0 0... ... n n n na a x a x a x a x a x= + + + = + + + 6 Định nghĩa 1.1. Vành P ñược ñịnh nghĩa như trên, gọi là vành ña thức của ẩn x lấy hệ tử trong A , hay vắn tắt là vành ña thức của ẩn x trên A , ký hiệu [ ]A x . Các phần tử của [ ]A x gọi là các ña thức của ẩn x lấy hệ tử trong A và thường ký hiệu là ( ) ( ), ,...f x g x Trong một ña thức ( ) 00 1 ... nnf x a x a x a x= + + + , các ia , với 0,1,...,i n= gọi là các hệ tử của ña thức, các iia x gọi là các hạng tử của ña thức, ñặc biệt 00 0a x a= gọi là hạng tử tự do. 1.2. VÀNH ĐA THỨC NHIỀU ẨN Định nghĩa 2.1. Giả sử A là một vành giao hoán có ñơn vị. Ta ñặt [ ]1 1A A x= , [ ]2 1 2A A x= , …. [ ]1n n nA A x−= Vành [ ]1n n nA A x−= ñược kí hiệu [ ]1 2, ,...., nA x x x và gọi là vành ña thức của n ẩn 1,...., nx x lấy hệ tử trong A . Mỗi phần tử của nA gọi là một ña thức của n ẩn 1,...., nx x lấy hệ tử trong A và thường kí hiệu là ( )1,...., nf x x hay ( )1,...., ng x x … Từ ñịnh nghĩa trên ta có dãy vành: 0 1 2 ... nA A A A A= ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Trong ñó 1iA − là vành con của vành iA , 1,2,....i = Từ tính chất của hai phép toán trong một vành và bằng quy nạp ta chứng minh ñược mọi ña thức ( )1 2, ,...., nf x x x ∈ [ ]1 2, ,...., nA x x x ñều có thể viết dưới dạng ( ) 1 211 12 21 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , ,...., ... .... .... .... n n m m mn a aa a a a n n n a a a m n f x x x c x x x c x x x c x x x = + + + 7 với ic A∈ , 1ia , 2ia , …., ina , 1,2,....,i m= , là những số tự nhiên và ( ) ( )1 1,...., ,.....,i in j jna a a a≠ khi i j≠ ; các ic gọi là các hệ tử, 1 2 1 2 .... i i ina a a i nc x x x gọi là các hạng tử của ña thức ( )1 2, ,...., nf x x x . Đa thức ( )1 2, ,...., 0nf x x x = khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng không tất cả. 1.3. ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC VIÈTE 1.3.1. Đa thức ñối xứng Định nghĩa 3.1. Giả sử A là một vành giao hoán có ñơn vị, ( )1,...., nf x x là một ña thức của vành [ ]1,..., nA x x . Ta nói ( )1,...., nf x x là một ña thức ñối xứng của n ẩn nếu ( ) ( )1 2 (1) (2) ( ), ,...., , ,....,n nf x x x f x x xτ τ τ= , với mọi phép thế τ ( ) ( ) ( ) 1 2 .... 1 2 .... n n τ τ τ τ   =    trong ñó ( )(1) (2) ( ), ,...., nf x x xτ τ τ có ñược từ ( )1 2, ,...., nf x x x bằng cách trong ( )1 2, ,...., nf x x x thay ix bởi ( )ixτ , 1,2,...,i n= . Định lý 3.1. Tập con gồm các ña thức ñối xứng của vành [ ]1,..., nA x x là một vành con của vành [ ]1,..., nA x x . Các ña thức 1 1 2 .... nx x xσ = + + + 2 1 2 1 3 1.... n nx x x x x xσ −= + + + 3 1 2 3 1 2 4 2 1.... n n nx x x x x x x x xσ − −= + + + 8 … 1 2 1 2 ... ... , 1,2,..., k k k i i i i i i x x x k nσ < < < = =∑ … 1 1 2 1 1 2 2 2 3... .... ... ...n n n n nx x x x x x x x x xσ − − −= + + + 1 2 ....n nx x xσ = là các ña thức ñối xứng và gọi là các ña thức ñối xứng cơ bản ñối với n ẩn 1 2, , ...., nx x x . Giả sử ( )1,...., ng x x là một ña thức của [ ]1,..., nA x x , phần tử của [ ]1,..., nA x x có ñược bằng cách trong ( )1,...., ng x x thay 1x bởi 1σ , 2x bởi 2σ , …, nx bởi nσ gọi là một ña thức của các ña thức ñối xứng cơ bản, kí hiệu là ( )1 2, ,..., ng σ σ σ . Vì 1 2, ,..., nσ σ σ là những ña thức ñối xứng nên ( )1 2, ,..., ng σ σ σ cũng là một ña thức ñối xứng theo ñịnh lý 3.1. 1.3.2. Công thức Viète Cho ña thức bậc n: ( ) 10 1 ... ...n n n kk nf x a x a x a x a− −= + + + + + (1.3) lấy hệ tử trong trường T . Giả sử ( )f x có trong T hoặc trong một mở rộng nào ñó của T , tức là một trường nào ñó chứa T làm một trường con, n nghiệm 1 2, , ..., nα α α . Khi ñó ta có : ( ) ( )( ) ( )0 1 2 ..... nf x a x x xα α α= − − − (1.4) Khai triển vế phải và so sánh các hệ tử của các lũy thừa giống 9 nhau trong (1.3) và (1.4) ta sẽ ñược các công thức sau và gọi là công thức Viète ñối với ña thức bậc n . ( )1 1 2 0 .... n a a α α α= − + + + …. ( ) 1 2 1 20 ... 1 . ... k k kk i i i i i i a a α α α < < < = − ∑ …. ( ) 1 2 0 1 ....nn n a a α α α= − Chú ý rằng vế phải của công thức Viète là những ña thức ñối xứng cơ bản ñối với các biến 1 2, , ..., nα α α Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC VIÈTE 2.1. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ Bài toán: Cho hàm số 4 26 4 6y x x x= − + + . Xét tam giác mà các ñỉnh là các ñiểm cực trị của hàm số nói trên. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ấy là gốc tọa ñộ. Giải Giả sử ( );i i iM x y là các ñiểm cực trị với 1,2,3i = 10 ( );G GG x y là trọng tâm của tam giác 1 2 3M M M 1 2 3 1 2 3 3 3 G G x x x x y y yy + + = ⇔  + + =  ix là nghiệm của phương trình bậc ba: 3 ' 4 6 4 0y x x= − + = . Áp dụng công thức Viète, ta có: 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 0 3 0 . . 1 G x x x x x x x x x x x x x + + =  + + =− ⇒ =  = − Tính ( ): ' 0i i iy y x = ( )2' 3 24yy x x x= − − − (chia y cho y’) ( ) ( )23 2i i i iy y x x x⇒ = = − − − ( ) ( )2 2 21 2 3 1 2 3 6Gy x x x x x x = − + + − + + −  ( ) ( )21 2 3 1 2 2 3 3 12 6 0x x x x x x x x x = − + + − + + − =  Vậy ( )G 0;0 G O⇔ ≡ gốc tọa ñộ. 2.2. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài toán: [Đề tuyển sinh ĐH – CĐ khối A, năm 2006] Cho hai số thực thay ñổi 0, 0x y≠ ≠ thỏa mãn : ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − 11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 .A x y = + Giải Đặt 3 3 1 1 m x y + = Với 0, 0x y≠ ≠ , xét hệ phương trình: ( ) 2 2 3 3 1 1 x y xy x y xy m x y  + = + −   + =  ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 3 x y xy x y xy x y x y xy m xy  + = + −  ⇔ + + − =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 x y xy x y xy xy x y m xy  + = + −  ⇔ + =  ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2.1 x y xy x y xy x y m xy  + = + −  ⇔   + =      Đặt S x y P xy = +  = Theo công thức Viète ñể ,x y sẽ là hai nghiệm thực của phương trình 2 0t St P− + = thì ,S P phải thỏa mãn ñiều kiện 2 4S P≥ . 12 ( )2.1 2 2 3SP S P S m P = −  ⇔   =    ( )2.2 Hệ ( )2.1 có nghiệm 0, 0x y≠ ≠ ⇔ hệ ( )2.2 có nghiệm ( );S P thỏa mãn: 2 4S P≥ . Do 2 2 2 21 3 0, 0, 0 2 4 SP x y xy x y y x y = + − = − + > ∀ ≠ ≠    Từ ñó : - Nếu 0m ≤ thì hệ ( )2.1 vô nghiệm - Nếu 0m > thì từ phương trình 2 . S S m m S m P P P   = ⇔ = ⇒ =    Thay vào phương trình ñầu của hệ ( )2.2 Ta ñược: ( ) ( )2 2. . 3 3 0, 0m P m P P m m P SP P= − ⇔ − = > ≠ Để có P từ phương trình này thì: ( )0 1 0m m m m− ≠ ⇔ ≠ > Vậy ( ) 3 3 11 P S mm m = ⇒ = − − Hệ ( )2.2 có nghiệm ( );S P thỏa mãn 2 4S P≥ khi và chỉ khi : ( ) 23 12 1 1m m m   ≥  − −  13 ( ) ( ) 2 4 1 3 1 m m m − ⇔ ≥ − ( )3 4 1 4 m m m ⇔ ≥ − ⇔ ≤ ( )0 16 1m m⇔ < ≤ ≠ Vậy giá trị lớn nhất max 16.A = 2.3. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài toán: Giải phương trình sau : 2 23 33 7 1 8 8 1 2x x x x x+ − − − + − − = ( )2.3 Giải Đặt 2 23 33 7 1, 8 , 8 1u x v x x w x x= + = − − − = − − Đặt a u v w b = uv vw wu c uvw = + +  + +  = Theo giả thiết, ta có : 2 2u v w a+ + = ⇒ = và 3 3 3 8u v w+ + = Mặt khác ( ) 3 3u v w a+ + = 3 3 3 2 2 2 2 2 2 33 3 3 3 3 6u v w u v u w+ 3v u v w w u w v uvw a⇔ + + + + + + + + = ( )3 3 3 3 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 9 3 u v w a u v u w+ 3v u v w w u w v uvw uvw ⇔ + + = − + + + + + + 14 ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 u v w a uv u v w vw u v w wu u v w uvw ⇔ + + = − + + − + + − + + + ( )( )3 3 3 3 3 3u v w a u v w uv vw wu uvw⇔ + + = − + + + + + 3 3 3 3 3 3u v w a ab c⇔ + + = − + 3 3 3 8 2a ab c c b⇒ − + = ⇒ = Theo công thức Viète thì , ,u v w là ba nghiệm của phương trình : ( )3 22 2 0 2.4X X bX b− + − = ( )( )22 0X X b⇔ − + = Ta nhận thấy phương trình ( )2.4 có nghiệm 2X = . Do tính chất ñối xứng nên , ,u v w có thể nhận giá trị 2 ñó. i, Trường hợp 2u = Ta có : 7 1 8 1x x+ = ⇔ = Thay giá trị 1x = vào phương trình ñầu ta thấy giá trị 1x = nghiệm ñúng phương trình ñã cho. ii, Trường hợp 2v = Ta có : ( )2 08 8 1 0 1 x x x x x x = − + + = ⇔ − = ⇔  = Thay giá trị 0x = vào phương trình ñầu ta thấy giá trị 0x = nghiệm ñúng phương trình ñã cho. iii, Trường hợp 2w = Ta có: 2 2 1 8 1 8 8 9 0 9 x x x x x x = − − − = ⇔ − − = ⇔  = 15 Thay giá trị 1x = − và 9x = vào phương trình ñầu ta thấy giá trị 1x = − và 9x = ñều nghiệm ñúng phương trình ñã cho. Vậy phương trình ( )2.3 có 4 nghiệm : { }1; 0; 1; 9S = − . 2.4. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài toán : Giải hệ phương trình : 2 3 9 2 6 3 27 1 1 1 1 2 3 x y z xy yz xz x y z   + − =  − − =   + − =  ( )2.5 Giải Hệ phương trình ( )2.5 không phải là hệ ñối xứng theo , ,x y z . Tuy nhiên nếu ñặt , 2 , 3u x v y w z= = = − , thì ta có hệ ñối xứng 9 27 1 1 1 1 u v w uv vw wu u v w   + + =  + + =   + + =  ( )2.6 Đặt , ,a u v w b uv vw wu c uvw= + + = + + = . Khi ñó hệ ( )2.6 trở thành 9 9 27 27 271 a a b b b c c   = =   = ⇔ =    = =  16 Áp dụng công thức Viète thì , ,u v w là ba nghiệm của phương trình : ( )33 29 27 27 0 3 0t t t t− + − = ⇔ − = Vậy ta có 1 2 3 3t t t= = = nên 3u v w= = = . Từ ñó ta tìm ñược nghiệm ( ); ;x y z của hệ ( )2.5 là: 3 3 3 31; ; 3 , 1; 3; , 3 ; 1; , ; 3 ; 1 , 2 2 2 2         − − − −                33; ; 1 2   −    3 ; 1 ; 3 2   −    . 2.5. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài toán: Cho phương trình ( )3 2 0 0ax bx cx d a+ + + = ≠ có ba nghiệm dương 1 2 3, ,x x x . Chứng minh rằng 3 2 7 7 7 1 2 3 581 b c x x x a + + ≥ − Giải Theo công thức Viète ta có : 1 2 3 1 2 2 3 3 1 0 0 b x x x a c x x x x x x a  + + = − >   + + = >  Bất ñẳng thức Bunyakovski cho ta : ( )2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 30 2.7cx x x x x x x x x x x x a + + ≤ + + ⇔ < ≤ + + ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 323 0 2.83 b x x x x x x x x x a + + ≤ + + ⇔ < ≤ + + 17 Từ ( )2.7 và ( )2.8 ta suy ra: ( )2 22 2 21 2 330 3 b c x x x a < ≤ + + Áp dụng bất ñẳng thức Bunyakovski ta lại có : ( ) ( )( )22 2 2 4 4 41 2 3 1 2 31 1 1x x x x x x+ + ≤ + + + + ( ) 2 4 4 4 1 2 330 2.99 b c x x x a ⇒ < ≤ + + Vì 1 2 3, , 0x x x > nên suy ra : ( ) ( )( ) ( ) 21 7 1 7 1 7 24 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 7 7 7 1 2 3 1 2 3 . . . 2.10 x x x x x x x x x x x x x x x   + + = + +    ≤ + + + + Từ ( )2.9 và ( )2.10 ta ñược : ( )4 2 7 7 71 2 3681 b c b x x x a a ≤ − + + 3 2 7 7 7 1 2 3581 b c x x x a ⇔ − ≤ + + Vậy ta có : 3 2 7 7 7 1 2 3 581 b c x x x a + + ≥ − . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 3 b x x x a = = = − . 2.6. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG ĐA THỨC Bài toán: Giả sử một trong các nghiệm của ña thức ( ) 3 2P x x ax bx c= + + + (với , ,a b c ∈Z ) bằng tích của hai nghiệm kia. Chứng minh rằng ( )2 1P − chia hết cho ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 0 .P P P+ − − + 18 Giải Gọi 1 2 3, ,x x x là ba nghiệm của ña thức ( ) 3 2P x x ax bx c= + + + . Theo giả thiết của bài toán một trong các nghiệm bằng tích của hai nghiệm kia, giả sử 3 1 2x x x= . Áp dụng công thức Viète ta có : ( ) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x ax x x x a x x x x x x x x b x x x x b x x x x c x x c  + + = −+ + = −  + + = ⇔ + + =    = − = −  Từ ñó ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 1b c x x x x x x x x a− = + + + = − i, Với 1a ≠ thì 1 2 1 b c x x a − = − là số hữu tỉ. Mà 2 21 2x x c= − là số nguyên do ñó 1 2x x cũng là số nguyên. Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 P P P a b c a b c c a a x x x x + − − + = + + + + − + − + − + = − + = − − = − + + + ( )( )1 22 1 1 0.x x= − + + ≠ ( )2.11 Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2.12 P a b c x x x x x x x x x x x x x x − = − + − +  = − − − − − − + + −  = − + + + Từ ( )2.11 và ( )2.12 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 22 1 1 1 1 2 1 0P x x P P P − = + + − − +  . 19 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 1 1 2 1 0 P x x P P P − ⇒ = + + − − + . Vì 1 2x x là số nguyên nên 1 21 x x+ cũng là số nguyên. Do ñó ( )2 1P − chia hết cho ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 0 .P P P+ − − + ii, Với 1a = thì 1 2 1 2 1 2 1 21 1 0x x x x x x x x+ + = − ⇔ + + + = ( )( ) 11 2 2 1 1 1 1 x x x x = − ⇔ + + ⇔  = − Suy ra ( )P x có một nghiệm bằng -1. Hay ( ) ( )1 0 2 1 0.P P− = ⇒ − = Do ñó ( )2 1P − chia hết cho ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 0 .P P P+ − − + Vậy số ( )2 1P − chia hết cho số ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 0P P P+ − − + với , ,a b c ∈Z . 2.7. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG HÌNH HỌC Bài toán: Cho Parabol ( )P : 2 4y x= . Một ñường thẳng bất kỳ ñi qua tiêu ñiểm của Parabol ñã cho và cắt Parabol tại hai ñiểm phân biệt A và B . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B ñến trục hoành là một ñại lượng không ñổi. Giải Parabol ( ) 2: 2.2P y x= có tham số tiêu 2p = và tiêu ñiểm ( )1; 0F . Gọi ñường thẳng ñi qua tiêu ñiểm ( )1; 0F của Parabol là ( )d . 20 i, Đường thẳng ( )d song song với trục Oy ( ): 1d x⇒ = . Lúc ñó ( )d cắt ( )P tại hai ñiểm ( )1; 2A − và ( )1; 2B . . 2.2 4.AF BF⇒ = = ii, Đường thẳng ( )d không song song với trục Oy , khi ñó ñường thẳng ( )d có phương trình ( )1 ,y k x= − với 0k ≠ (vì ( )d cắt ( )P tại hai ñiểm phân biệt). Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của ( )d với ( )P là : ( ) ( )22 2 2 2 21 4 2 2 0k x x k x k x k− = ⇔ − + + = Ta có 2' 4 4 0, 0k k∆ = + > ∀ ≠ . Do ñó ( )d luôn cắt ( )P tại hai ñiểm phân biệt. Gọi 1 2,x x lần lượt là hoành ñộ của A và B . Như vậy ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y , với ( )( ) 1 1 2 2 1 1 y k x y k x  = −  = − Ta có ( ) ( ) ( )( )21 2 1 2; . ; . 1 1d A Ox d B Ox y y k x x= = − − ( )2 1 2 1 21k x x x x=  + − +   Theo công thức Viète , ta có : ( ) 1 2 2 1 2 2 1 2 2 x x k x x k =   + + =  Nên ( )22 1 2 2 2 2 . 1 1 4 4. k y y k k  +  = + − = − =    21 Vậy tích các khoảng cách từ A và B ñến trục hoành là một ñại lượng không ñổi. 2.8. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC Bài toán: Cho , ,p r R lần lượt là nửa chu vi, bán kính ñường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng : 2 23 12 .p r r R≥ + . Dấu bằng xảy ra khi nào? Giải Xét AMI∆ vuông tại M , ta có cot 2 A AM IM = .cot .cot 2 2 A AAM IM r⇒ = = Và 2 2 b c a AN CN AM BM CP BPp a + − + + + − −− = = Mà , ,AM AN BM BP CN CP= = = nên .cot 2 Ap a AM r− = = ( ) ( ) tan 2 cot 2 p a A r p aA − ⇒ = = − A B C M N P I r r r 22 Ta có 2 2 tan 2sin 2 1 tan 2 A aA AR = = + ( )2.13 Thay tan 2 A r p a = − vào ( )2.13 : ( ) 2 2 2 2 1 r a p a R r p a − = + − ( ) ( )2 2 2 2 r p aa R p a r − ⇔ = − + ( )2 2 22 4 4a p pa a ar rRp rRa⇔ − + + = − ( )3 2 2 22 4 4 0a pa p r rR a rRp⇔ − + + + − = Tương tự với ,b c và ta có , ,a b c là nghiệm của phương trình : ( )3 2 2 22 4 4 0x px p r rR x rRp− + + + − = Theo công thức Viète : 2 2 2 4 a b c p ab bc ca p r rR + + =  + + = + + Mặt khác, áp dụng bất ñẳng thức Bunyakovski: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ( )2 2 2 2 2 4 3 4 3 12 . p p r rR p r rR ⇒ ≥ + + ⇒ ≥ + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c b c a = = a b c⇒ = = hay ABC là tam giác ñều. 23 Các bài toán tương tự 1. Cho hàm số 3 2 33 4y x ax a= − + . Xác ñịnh a ñể ñường thẳng y x= cắt ñồ thị hàm số tại ba ñiểm , ,A B C với AB BC= . 2. Cho hai số thực không âm ,x y thỏa mãn ñiều kiện 4x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 1 9Q x y= + + + . 3. Giải phương trình: 3)8)(1(81 =−++−++ xxxx . 4. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y  + + + =   + + + =  5. Gọi , ,m n p là ba nghiệm của phương trình bậc ba 3 2 0.ax bx cx a+ + − = Chứng minh rằng : 2 2 2 2 3 2 3 .m n p m n p + + + ≥ + + 6. Cho ba số nguyên , ,a b c , biết rằng 0a > , còn ña thức 2ax bx c+ + có hai nghiệm khác nhau trên khoảng ( )0; 1 . Chứng minh rằng 5.a ≥ Tìm ít nhất một cặp số ,b c ñể 5.a = 7. Chứng minh rằng: 6 0 6 0 6 0tan 20 tan 40 tan 80 33273.+ + = 24 KẾT LUẬN Luận văn “ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI TOÁN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” ñã thực hiện ñược các vấn ñề sau: 1. Xây dựng vành ña thức một ẩn, nhiều ẩn lấy hệ tử trong một trường. Đặc biệt là vành các ña thức ñối xứng, từ ñó giới thiệu công thức Viète tổng quát. 2. Trên cơ sở các tài liệu toán học, ñặc biệt tài liệu về công thức Viète, ña thức và ña thức ñối xứng, luận văn ñã sưu tầm, hệ thống và phân loại ñược một số lớp bài toán giải ñược bằng công thức Viète. Cụ thể là: các bài toán liên quan ñến hàm số, bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất, các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất ñẳng thức, các bài toán ña thức, các bài toán hình học, lượng giác. 3. Đối với mỗi lớp bài toán, ngoài những ví dụ minh họa nhằm làm sáng tỏ khả năng ứng dụng phong phú và linh hoạt của công thức Viète, còn có các bài toán tương tự từ dễ ñến khó dành cho học sinh các lớp chọn, lớp chuyên. Hy vọng rằng nội dung của luận văn còn tiếp tục ñược hoàn thi