Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức

A.Đặt vấn đề : Phép tính đạo hàm là phép tính cơ bản của giải tích toán học.Phép tính trên đã được đưa vào trong chương trình toán 12 .Đã có nhiều cuốn sách viết về rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm ,ứng dụng hình học và vật lý của đạo hàm ,các bài toán thực tế có sử dụng đạo hàm .Trên thực tế học sinh trường trung học phổ thông đều có thể vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán một cách có hiệu quả hơn theo cách giải thông thường . Trong qúa trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp khó khăn chưa nhận được dạng bài tập .Một số học sinh nhận dạng được thì khả năng vận dụng và kĩ năng biến đổi còn yếu . Chính vì thế tôi đưa ra giải pháp này để cùng đồng nghiệp trao đổi ,đồng thời giúp cho các em nắm vững phương pháp giải từng ứng dụng . Giải pháp này trình bày phép tính đạo hàm như là một phương pháp để giải toán sơ cấp. Giải pháp : gồm 4 phần Phần I .Ứng dụng của đạo hàm . Phần II .Nội dung cụ thể của từng ứng dụng .Trong mỗi ứng dụng bao gồm: -Phương pháp giải từng ứng dụng. -Các bài tập cơ bản có nội dung kiến thức sách giáo khoa . -Bài tập nâng cao là các đề thi tuyển sinh đại học ,cao đẳng hoặc đề thi học sinh giỏi . Phần III . Tài liệu tham khảo . Phần IV . Kết luận . B.Nội dung : Phần I.Ứng dụng của đạo hàm : 1.Chứng minh các bất đẳng thức. 2.Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất. 3. Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình . 4.Khảo sát hàm số . Phần II.Nội dung cụ thể của từng ứng dụng . * ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 1.Một số bất đảng thức thường gặp: a. ex-1 dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x=1. b.Bất đẳng thức côsi xk không âm k= 1,2 .,n c. Bất đẳng thức Bun nhiako6pxki xk,yk số thực dương k= 1,2 .,n n ta có dấu bằng xảy ra khi 2.Bài toán cơ bản : Bài 1 :Chứng minh bất đẳng thức sau cosx > 1- với mọi x > 0 . Gỉai: Xét hàm f(x) = cosx + -1 với x 0 ta có f’(x) = x –sinx ,f’’(x) = 1-cosx > 0 với 2k <x <2(k+1) Ta có f’(x)>f’(2k) hay x-sinx > 2k f’(x) >0 với mọi x> 0,còn f’(0) = 0 Vậy f(x) >f (0) với mọi x> 0 hay cosx > 1- với mọi x > 0 . Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức ln(1+x) > x- với mọi x > 0. Gỉai: Xét hàm f(x) = ln(x+1) + -x với x 0 ta có f’(x) = với mọi x > 0 và f’(0) =0 từ đó suy ra hàm số đồng biến trên (0; +) và f(0) = 0 . Vì vậy f(x) > f(0) với mọi x > 0 hay ln(1+x) > x- với mọi x > 0. 3.Bài toán nâng cao Bài 1. Chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kỳ sao cho a2+b2+c2 = 1 ta đều có Gỉai : Từ giả thiết suy ra 0< a,b,c <1 , sử dụng đạo hàm Xét hàm f(x) trên đoạn [0;1] .Ta có f’(x) = -3x2+1 , f’(x) = 0 -3x2+1 = 0 BBT X 0 1 f’(x) + 0 - F(x) Max f(x) = với a= b = c = ta có a2+b2+c2=1 Do đó a2+b2+c2) = suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a= b = c = Bài 2: Cho x,y,z là số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y +z =1 .Chứng minh rằng 0 Gỉai : Theo giả thiết ta có x,y,z không vượt quá giả sử 0 Ta có xy+yz +zx -2xyz = xy ( 1-2z)+z (x+y) xy+yz +zx -2xyz = xy ( 1-2z)+z (x+y) Xét hàm f(x) = trên [0; ] Có f ‘(x) = BBT X 0 f’(z) 0 + 0 f(z) Dựa vào bảng ta có f(z) ,z [0; ] hay Với mọi x,y,z là số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y +z =1 *ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1.Phương pháp: Quy về xét hàm f(x) trên tập D .Hàm số này có đạo hàm trên D . Sử dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số . Tìm được giá trị lớn nhất , nhỏ nhất trên tập D. 2.Bài toán cơ bản : Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm sau đây trên đoạn tương ứng : y = x3 -3x2 -9x +35 trên [-4;4]. y = trên [-10;10]. y = trên [-1;1] Gỉai a. f’(x) = 3x2-6x-9 , f’(x) = 0 BBT x -4 -1 3 4 f’(z) + 0 - 0 + f(z) -41 40 8 15 b. c. hàm số nghịch biến trên [-1;1] 3.Bài toán nâng cao Bài 1: Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V . Cạnh đáy của hình lăng trụ đó bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của lăng trụ là nhỏ nhất. Gỉai Gọi cạnh đáy của lăng trụ là x ,chiều cao là y . Thể tích lăng trụ V = x2y Diện tích toàn phần Stp = 2x2+4xy = 2x2 + Xét hàm f(x)= 2x2 + với x > 0 ta có y’ = 4x BBT X 0 + f’(z) - 0 + f(z) Bài 2.Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= trong đó x,y là số thực tùy ý không đồng thời bằng 0 Gỉai Nếu y= 0 thì x 0 và P =1 Nếu y 0 thì trong đó t = Khi đó P’= BBT x - -3- -3+ + f’(z) + 0 - 0 + f(z) 1 Pmax Pmin 1 1 Pmax= *ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 1.Bài toán cơ bản : Bài 1: Cho các số dương A,B,C thỏa mãn điều kiện a2+b2 = c2 .Chứng minh rằng , phương trình ax+bx = cx (1) có một nghiệm duy nhất ? Gỉai Từ điều kiện a2+b2 = c2 a,b,c > 0 suyra viết lại dưới dạng .Ta thấy phương trình có nghiệm x= 2 . Chứng minh : xét hàm f(x) = trên () ta có ’(x)= suy ra hàm số nghịch biến trên . Do đó f(x) > f(2)=1 với x <2 f(x) 2 .Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x = 2. Bài 2: Chứng minh rằng ,phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt ,trong đó f(x) = x(x+1)(x+2)(x+4) Gỉai Phương trình f(x) = 0 có bốn nghiệm x1=4 ,x2 = -2,x3 = -1, x4 = 0. Trên mỗi đoạn [xi;xi+1] ,i=1,2,3 .Hàm số thỏa mãn điều kiện của định lý lagrange f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng (xi;xi+1) do đó ta tìm được số ci (xi;xi+1) sao cho f’(ci) == 0 . Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt . 2.Bài toán nâng cao : Bài 1: Gỉai hệ phương trình Gỉai Hệ tương đương Xét hàm số f(t) = trên ta có với mọi t .Do đó f(t) đồng biến trên Hệ đã cho viết lại dưới dạng Nếu x<y thì f(x) < f(y) vì f là hàm đồng biến do đó z < x và f(z) < f(x) vì f là hàm đồng biến do đó y < z .Từ đó suy ra x < y < z < x điều này vô lý .Tương tự giả sử y < x cũng dẫn đến điều vô lý .Vì thế phương trình chỉ có nghiệm duy nhất x =y =z .Nên hệ phương trình đã cho tương đương với một phương trình 2x= x3 + x2 +x -1 x3 + x2 - x -1 = 0 Vậy hệ đã cho có nghiệm là (1;1;1) ,(-1;-1;-1) Bài 2: Gỉai phương trình Gỉai Điều kiện x2 – 3x +2 Đặt u = Phương trình trởû thành log3(u+2) + = 2 log3(u+2) + = 2 Xét hàm f(u) = log3(u+2) + với u Ta có f với u Do đó f(u) đồng biến trên .Mặt khác ta thấy u = 1 thỏa mãn phương trình do đó phương trình chỉ có nghiệm u= 1 .Ta có phương trình Vì vậy phương trình đã cho có hai nghiệm . *ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1.Các bước tiến hành khi khảo sát hàm số a.Tìm tập xác định . b.Khảo sát sự biến thiên của hàm số . c.Tìm các nhánh vô cực và tiệm cận . d.Lập bảng biến thiên . e.Vẽ đồ thị hàm số . 2.Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số a.Vị trí tương đối giữa hai đường . b.Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình . c.Tìm điểm cố định của một họ đường thẳng ,một họ đường cong . d.Xác định tính đối xứng của đồ thị . e.Tính diện tích hình phẳng . f.Sự tiếp xúc của hai đường cong . 3.Các bài toán : Bài 1: Cho hàm y = x3 -3x +2 a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 -3x +2 = m . Gỉai TXĐ D = R y’ 3x2 – 3 = 0 x=1 ,x= -1 BBT x -1 1 Y’ + 0 - 0 + y 4 0 y’’ = 6x điểm uốn (0;2) Vẽ đồ thị Nhận xét : đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng . b. Phương trình có một nghiệm. Phương trình có hai nghiệm. Phương trình có ba nghiệm phân biệt . Bài 2: a.Cho hàm y = x4 – ( m+1)x2 + m .Chứng minh đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m . b.Chứng minh rằng đường cong y = x3 – x tiếp xúc với (P) y = x2-1 tại một điểm nào đó . c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y = 2 –x2 và đường thẳng y = -x . Gỉai a.Phương trình tương đương (1-x02)m +x04-x02 –y0 = 0 b.Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ c.Phương trình hoành độ giao điểm 2 –x2 = -x Phần III.Tài liệu tham khảo : 1.Các dạng toán sơ cấp –Tuyển tập bài toán đại số ( Chủ biên : Nguyễn Đức Hồng ) 2.Chuyên đề giải tích 12 – luyện thi đại học ,Bồi dưỡng học sinh giỏi (Tác giả :Phạm Tấn Phước –Phạm Hồng Danh –Phạm Anh Dũng ) 3.Các phương pháp giải Phương trình ,hệ phương trình đại số (Tác giả : Huỳnh Công Thái ) 4.Gỉai tích hàm số 12 ( Tác giả :Đậu Thế Cấp- Trần Minh Qưới –Lương Xuân Tiến –Trần Thanh Liêm ) Phần IV.Kết luận : Trong giải pháp hữu ích này các ứng dụng của đạo hàm Nó phù hợp với trình độ và khả năng của học sinh .Học sinh vận dụng được một cách linh hoạt và giải quyết sáng tạo bài toán Gỉai pháp này phục vụ giáo viên và học sinh các trường trung học phổ thông.Gỉai pháp cũng bổ ích đối với việc bồi dưỡng học sinh khá ,giỏi và ôn luyện thi vào các trường đại học, cao đẳng .Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Ban Gíam Hiệu và đồng nghiệp . Lê Hồng Phong ,ngày 30 tháng 11 năm 2008 Người viết giải pháp Nguyễn Hà Thanh