Ứng dụng Đạo hàm để giải toán trung học phổ thông

N. V. XÁ ---- ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TÀI LIỆU THAM KHẢO [01] Bộ Giáo dục và ðào tạo, Sách Giáo khoa, Sách Giáo viên, Sách bài tập, Tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức – kĩ năng Toán 10, 11, 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011. [02] Phan ðức Chính (chủ biên), Các bài giảng luyện thi môn Toán, tập ba, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001. [03] Nguyễn Thuỷ Thanh, Phương pháp giải các dạng toán cơ bản THPT, tập hai: Giải tích, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011. [04] Các ñề thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng, thi Học sinh giỏi các năm. [05] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. MỤC LỤC Trang Tài liệu tham khảo 1 Mục lục 2 1. KHÁI NIỆM ðẠO HÀM 3 1.1. ðịnh nghĩa ñạo hàm ................................................................. 3 1.2. Các tính chất của ñạo hàm ...................................................... 4 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM 7 2.1. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số của ña thức ....... 7 2.2. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn ......................................... 9 2.3. Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ............................................................................................. 11 2.4. Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu của hàm số ............... 15 2.5. Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số ......................... 17 2.6. Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .......................................... 20 2.7. Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số .................................... 26 2.8. Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ............................................................................... 39 3. MỘT SỐ ðỀ 49 TỰ LUYỆN Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 3 1. KHÁI NIỆM ðẠO HÀM 1.1. ðịnh nghĩa ñạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên tập D và ñiểm 0x D.∈ Giả sử tồn tại khoảng (a; b) sao cho 0x (a;b) D.∈ ⊂ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 0 0 x x 0 f (x) f (x )lim A x x→ − = − thì số A ñược gọi là ñạo hàm của hàm số f(x) tại ñiểm x0 và kí hiệu là 0f '(x ) hoặc 0y '(x ), khi ñó 0 0 0 x x 0 f (x) f (x )f '(x ) lim . x x→ − = − ðạo hàm của hàm số tại ñiểm x0 (nếu có) là một hằng số. Hàm số có ñạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0.
Khi giải toán cần lưu ý 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x0 0 0 f(x) f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x )f '(x ) A lim A lim lim A. x x x x x x+ −→ → → − − − = ⇔ = ⇔ = = − − −
Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm tại mọi ñiểm thuộc khoảng K thì ta nói f(x) có ñạo hàm trên K và hàm số f '(x), x K,∈ ñược gọi là (hàm) ñạo hàm của f(x) trên K. ðạo hàm của hàm số (nếu có) trên một khảng (có thể mở rộng trên một tập) là một hàm số.
ðạo hàm cấp cao (k) (k 1)f (x) (f (x)) '.−= VD1. Cho hàm số f(x) có ñạo hàm trên ℝ và thoả mãn ( ) ( ) ( )f 2x 4 cosx .f x – 2x, x .= ∀ ∈ℝ Tính f '(0) bằng ñịnh nghĩa. HD. Từ ñề bài nhận thấy ( ) ( )f 0 4.f 0 f(0) 0.= ⇒ = Ta có x 0 f(x) f(0)f '(0) lim x 0→ − = − ( ) ( ) ( ) x 0 x 0 x 0 4 cosx .f x – 2x f xf (2x)lim lim lim 2cos x. 1 2f '(0) 1. 2x 2x x→ → →   = = = − = −    Do ñó f '(0) 1.= Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 4 4 VD2. Cho hàm số f (x) x(x 1)(x 2)(x 3)...(x 2012)(x 2013).= − + − + − Tính f '(0) . HD. Ta có x 0 x 0 f (x) f (0)f '(0) lim lim (x 1)(x 2)...(x 2013) (2013!). x 0→ → − = = − + − = − − VD3. Tìm hàm số f(x) khả vi trên ℝ và f (x) f (y) f '(x y).(x y), x, y .− = + − ∀ ∈ℝ HD. Từ ñẳng thức ñề bài cho y = 0 thu ñựợc f (x) f (0) f '(x).x, x ,− = ∀ ∈ℝ hay { }f (x) f (0)f '(x) , x \ 0 . x − = ∀ ∈ℝ Vì f khả vi trên ℝ nên f liên tục trên ℝ , suy ra f '(x) liên tục tại mọi x 0.≠ Mặt khác, do f(x) có ñạo hàm tại x = 0 nên x 0 x 0 f (x) f (0)lim f '(x) lim f '(0) x→ → − = = tức là f '(x) liên tục tại x = 0. Như vậy f '(x) liên tục trên ℝ . Vì f có ñạo hàm và ñạo hàm liên tục trên ℝ nên y x y x f (y) f (x)f '(x) lim lim f '(x y) f '(2x), x . y x→ → − = = + = ∀ ∈ − ℝ Bằng qui nạp ta suy ra nf '(x) f '(2 x), x , n *.= ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ Hay n xf '( ) f '(x), x , n *. 2 = ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ Do f '(x) liên tục trên ℝ và n n 1lim ( ) 0 2→+∞ = nên n nn n x xf '(x) lim f '( ) f '( lim ) 2 2→+∞ →+∞ = = = f '(0) a, x .= = ∀ ∈ℝ Dẫn tới f (x) ax b, x .= + ∀ ∈ℝ Thử lại thấy hàm số f (x) ax b, x (a, b= + ∀ ∈ℝ là các hằng số tuỳ ý) là hàm số cần tìm. 1.2. Các tính chất của ñạo hàm (những công thức này ñược giả sử là hai vế ñều có nghĩa) n n 1 n n n 1 2 2 2 2 x x a 11) (c ) ' 0; ( x ) ' 1; ( x ) ' n .x ; ( x ) . n . x 12) (sin x ) ' cos x ; (cos x ) ' sin x ; (tan x ) ' 1 tan x ; cos x 1(co t x ) ' 1 co t x . sin x 13) (a ) ' a . ln a ; (log | x |) ' . x . ln a 4 ) (u v w ) ' u ' v ' w '; (k .u ) ' k .u '; ( − − = = = = = = − = + = = − − = − = = + − = + − = 2 uv ) ' u ' v uv '; u u ' v uv '( ) ' ; (u ( v ( x ))) ' u '( v ).v '( x ). v v = + − = = VD4. Tính ñạo hàm na)y (ax b) .= + 1b)y . sin x = nc)y ax b.= + ax bd)y . cx d + = + Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 5 5 HD. a) n 1y ' an(ax b) .−= + b) 2 2 (sin x ) ' cos xy . sin x 2 x sin x = − = − c) ( )n n n 1 u ' u ' . n u − = Do ñó n 1n ay ' . n (ax b) − = + d) 2 ad bcy ' . (cx d) − = + VD5. Tìm tập xác ñịnh và tính ñạo hàm của hàm số x x 1 a) f (x) 1 . b) g(x) log (2x 1). x   = + = −    HD. a) Ta nhớ lại ñiều kiện ñể biểu thức ba có nghĩa: - Nếu b *∈ℕ thì ba khi a có nghĩa. - Nếu b ,b 0,∈ ≤ℤ thì ba có nghĩa khi a 0.≠ - Nếu b \∈ℝ ℤ thì ba có nghĩa khi a 0.> Do ñó ñể tìm tập xác ñịnh của f(x) ta xét các trường hợp sau ñây: *TH1: x * x *. x 0 ∈ ⇔ ∈ ≠ ℕ ℕ *TH2: x ,x 0 x ,x 2.11 0 x ∈ ≤  ⇔ ∈ ≤ − + ≠ ℤ ℤ *TH3: x \ x \ .1 x 0 x 11 0 x ∈ ∈ ⇔  > ∨  ℝ ℤ ℝ ℤ Kết hợp lại ta thấy x11 x   +    có nghĩa khi x 0> hoặc x 1< − . Vậy tập xác ñịnh của hàm số f(x) là tập 1D ( ; 1) (0; ).= −∞ − ∪ +∞ Với 1x D∈ thì 11 0 x + > và 1ln f (x) x ln 1 . x   = +    Lấy ñạo hàm hai vế ñẳng Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 6 6 thức này, ta ñược xf '(x) 1 1 1 1 1ln 1 f '(x) ln 1 . 1 . f(x) x x 1 x x 1 x        = + − ⇒ = + − +      + +       Chú ý: Ta không ñược áp dụng công thức x x(a ) ' a .ln a= và 1(x ) ' .xα αα −= ñể tính f '(x) vì muốn áp dụng hai công thức này thì a , α phải là hằng số. ðể tính ñạo hàm của hàm số có dạng ( )v(x)f (x) u(x)= ta thường lấy logarit hai vế, ñược ln f (x) v(x) ln u(x)= , ñến ñây lấy ñạo hàm hai vế ta có f '(x) u '(x) u '(x) v '(x) ln u(x) v(x). f '(x) f (x). v '(x) ln u(x) v(x). . f (x) u(x) u(x)   = + ⇒ = +    b) ðiều kiện ñể alog b có nghĩa là a 0,a 1,b 0.> ≠ > Do ñó xg(x) log (2x 1)= − có nghĩa khi 1 x 0, x 1 x .22x 1 0 x 1 > ≠ >  ⇔  − >  ≠ Tập xác ñịnh: { }1D ; \ 1 . 2   = +∞    Ta có x ln(2x 1)g(x) log (2x 1) ln x − = − = nên 2 2x ln x (2x 1) ln(2x 1)g '(x) . x(2x 1)ln x − − − = − Chú ý: ( )v 2ln u u 'v ln v uv 'ln ulog u ' ' .ln v uvln v −  = =    Bài tập. 1. Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm của hàm số tại 0x 0=  − ≠ =   = 1 cosx neáu x 0 a)f(x) .x 0 neáux 0  ≠ =   = 2 1x sin neáu x 0 b)g(x) .x 0 neáu x 0 2. Tính ñạo hàm của hàm số = − 3 x1)y . 1 x = + + + 22)y (x 1) 1 x x . = −3)y x.sin(2 x). = − 3 54)y sin 4x cos 2x. + −= − + 1 sinx cosx5)y . 1 sinx cosx = − 46)y tan x cot 4x. = 27)y 3sin x.cos2x. −= + 1 x8)y . 1 x − = + 1 sinx9)y . 1 cosx = + − 2 x10)y . 1 2x x = + 2 2 3 2x11)y . (1 x ) = − + − 1 1 112)y ( ). 2 2 x 4 x = + + 513)y 1 x x . =14)y cot x. = + − +2 3 415)y (x 1) (x 2) (x 3) . 2 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 7 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM 2.1. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số của ña thức
Nhờ ñạo hàm ta có thể tính ñược một số tổng (hoặc chứng minh ñẳng thức) mà các số hạng thường có dạng (k+1)xkak.
ðối với ña thức n0 1 nf (x) a a x ... a x= + + + ta dễ thấy (k) k f (0) a , k! = trong ñó qui ước ñạo hàm cấp 0 của hàm số f(x) là chính hàm số f(x); và n 0 1 n 0 1 2 3 na a ... a f (1), a a a a ... ( 1) a f ( 1).+ + + = − + − + + − = − VD6. Cho ña thức f(x) = (1 + x – x12)2011+ (1 – x + x11)2012 . 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong ña thức. 2. Tính tổng tất cả các hệ số bậc lẻ trong ña thức. 3. Tính tổng các hệ số bậc lớn hơn hay bằng 2 trong ña thức. HD. 1. Ta có 12 2010 11 11 2011 10f '(x) 2011(1 x x ) .(1 12x ) 2012(1 x x ) .( 1 11x ).= + − − + − + − + ðể cho tiện ta kí hiệu n0 1 nf (x) a a x ... a x= + + + (với n = 12×2011 = 24132). Hệ số của số hạng chứa x trong ña thức f(x) là 1 f '(0)a 2011 2012 1.1!= = − = − 2. Do n0 1 n 0 1 2 3 na a ... a f (1) 2, a a a a ... ( 1) a f ( 1) 0+ + + = = − + − + + − = − = nên tổng các hệ số bậc lẻ của f(x) là 1 3 24131 f (1) f ( 1)a a ... a 1.2 − − + + + = = 3. Ta có a0 = f(0) = 2, vậy 2 3 n 0 1 n 0 1a a ... a (a a ... a ) a a 2 2 ( 1) 1.+ + + = + + + − − = − − − = VD7. Chứng minh 1 2 2 2 n n 2n n nC 2 C ... n C n(n 1)2 , n ,n 2.−+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ HD. Ta có n n n n k k n 1 k k 1 n 1 k k n n n k 0 k 1 k 1 (1 x) C x n(1 x) C kx nx(1 x) C kx− − − = = = + = ⇒ + = ⇒ + =∑ ∑ ∑ n n 1 n 2 k 2 k 1 n k 1 n(1 x) n(n 1)x(1 x) C k x ,− − − = ⇒ + + − + = ∑ thay x = 1 vào ñẳng thức cuối cùng này sẽ thu ñược 1 2 2 2 n n 2n n nC 2 C ... n C n(n 1)2 , n ,n 2.−+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ Nhận xét. Ta cũng có 2 0 2 1 2 n 2 2 n 1 n 2 n n n nn C (n 1) C ... 2 C 1 C n(n 1)2 , n ,n 2.− − −+ − + + + = + ∀ ∈ ≥ℕ Bài tập. 3. Cho ( ) ( )2011 20122 3 60300 1 6030f (x) 1 – x x 1 x a a x ... a x .= + + + = + + + Tính tổng A = 1 2 3 6029 6030a 2a 3a ... 6029a 6030a .− + + + − Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 8 8 4. Giả sử n n0 1 n(1 x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ℕ Biết rằng tồn tại số nguyên dương k (1 k n)≤ ≤ sao cho k 1 k k 1a a a . 2 9 24 − + = = Tính tổng 2 3 4 n2.1.a 3.2.a 4.3.a ... n.(n 1).a .+ + + + − 5. a) Chứng minh rằng 1 2 3 nn n n nC 2C 3C ... nC (n!.n), n ,n 2.+ + + + ℕ b) Chứng minh rằng 0 1 n 2 n 2 n 1 n 1n n n nnC (n 1)C ... ( 1) C ( 1) C 0, *.− − − −− − + + − + − = ∀∈ℕ 6. Cho 3 5 2n 10 1 2 ny a x a x a x ... a x ...+= + + + + + thoả mãn 2(1 x )y' xy 1, x ( 1;1).− − = ∀ ∈ − Tìm các hệ số 0 1 na ,a ,..., a . 7. Cho số nguyên dương n ≥ 3 thoả mãn ñẳng thức 3 3n nA C 35(n 1)(n 2).+ = − − Tính các tổng sau ñây 1 2 n 2 2 2 3 n 2 n 2 n 1 1 n n n 2 n n n 3 0 1 n 4 5 6 n n n S C 2C ... nC ; S 2 C 3 C ... ( 1) n C ; S 1 2x 3x ... nx ; S sinx sin2x ... sinnx; S cosx 2cos2x ... ncosnx; S C 2C ... (n 1)C . − = + + + = − + + − = + + + + = + + + = + + + = + + + + 8. Chứng minh rằng n 0 n 1 1 n 1 n 1n n nn2 C (n 1)2 C ... 2C 2n.3 , n *.− − −+ − + + = ∀ ∈ℕ 9. Tìm n *∈ℕ biết 1 2 2 3 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2.C 3.2 C ... (2n 1)2 C 2005.++ + + +− + − + + = 10. Cho khai triển n n0 1 n(1 2x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ℕ Biết rằng 1 2 n 0 2 n a a a a ... 4096. 2 2 2 + + + = Gọi ka là số lớn nhất trong các số 0 1 n k ia , a , ..., a , (a max{a ,i 0,n}).= = Tính tổng n 0 i k i 1 S a ( i.a ) ka = = + −∑ (Tức là 0 1 2 3 k 1 k 1 nS a a 2a 3a ... (k 1)a (k 1)a ... na− += + + + + + − + + + + ). 11. Cho khai triển n n0 1 n(1 2x) a a x ... a x , n *.− = + + + ∈ℕ Biết rằng 0 1 2a a a 71.+ + = Tính tổng 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 nS 1 a 2 a 3 a 4 a (5 1)a 6 a ... n a .= + + + + − + + + 12. Cho 0 1 2n n nC C C 211.+ + = Tính tổng 2 0 2 1 2 2 2 n n n n n 1 1 1 1 1 2 3 n 1 1 C 2 C 3 C (n 1) CS ... . A A A A + + = + + + + 13. Tìm số nguyên dương n thoả mãn 200 1 2 2 3 n 1 n n n n n 2 1C 3C 3 C ... 3 C . 3 − − + + + + = 14. Chứng minh rằng 0 99 1 100 99 198 100 199 100 100 100 100 1 1 1 1100.C .( ) 101.C .( ) ... 199.C .( ) 200.C .( ) 0. 2 2 2 2 − + − + = 15. Cho 2 2 2 2 2 3 4 n 1 1 1 1 2011 ... , n , n 2. 2012A A A A + + + + = ∈ ≥ℕ Tính tổng tất cả các hệ số bậc lớn hơn 2 của ña thức f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n. 16. Tính tổng 2 3 4 5 n nn n n n nS C 2C 3C 4C ... ( 1) (n 1)C .= − + − + + − − 17. Tìm n *∈ℕ so cho 1 3 5 2n 12n 2n 2n 2nC 3C 5C ... (2n 1)C 2560. −+ + + + − = 18. Tính tổng 2 3 4 5 nn n n n nS C 2C 3C 4C ... (n 1)C .= + + + + + − Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 9 9 2.2. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn
Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm và các tính chất của ñạo hàm ta có thể tính ñược một số gới hạn ở dạng vô ñịnh.
ðể tính giới hạn 0 0 có dạng 0x x f (x)lim , f (0) 0, x→ = ta vận dụng trực tiếp ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm, thu ñược 0x x f (x)lim f '(0). x→ =
Nếu các hàm f(x) và g(x) có ñạo hàm trên một lân cận của ñiểm x0 và f(x0) = = g(x0) = 0, 0g '(x ) 0≠ thì 0 0 0 0 00 x x 00 0 x x x x 0 0 0 x x0 0 f(x) f(x )f(x) f(x ) lim x xx x f '(x )f(x)lim lim ,g(x) g(x ) g(x) g(x )g(x) g'(x )lim x x x x → → → → −− −− = = = − − − − (dạng vô ñịnh 0). 0 Các dạng vô ñịnh 0, 0. , - , 1 , 0 ...∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ta biến ñổi về dạng 0 0 ñể áp dụng tính chất trên. VD8. Tính giới hạn 132 3 32 3 x x 1 x x 0 1 x x 1 x x1)A lim ; 2)B= lim ( 1 x 1 x ); 3)C lim(1 sin x) . tan(x 1)→ →−∞ → − + − − + = + + + = + − HD. 1) Xét 32 3f (x) 1 x x 1 x x , g(x) tan(x 1)= − + − − + = − trên một lân cận của ñiểm x0 = 1. Nhận thấy 2 2 2 3 23 2x 1 3x 1f '(x) , g '(x) 1 tan (x 1), 2 1 x x 3 (1 x x ) − − = − = + − − + − + f(1) = g(1) = 0, 1f '(1) , 6 = − g '(1) 1 0,= ≠ nên x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f (x) f (x) 0 f (x) f (1) f (x) f (1)limf (x) f '(1) 1x 1 x 1 x 1 x 1A lim lim lim lim .g(x) g(x) 0 g(x) g(1) g(x) g(1)g(x) g '(1) 6lim x 1 x 1 x 1 x 1 → → → → → → − − − − − − − = = = = = = = − − − − − − − − 32 3 2 33 x x 1 12)B= lim ( 1 x 1 x ) lim x( 1 ( ) 1 ( ) ). x x→−∞ →−∞ + + + = − + + + ðặt 1t x = thì t 0→ khi x .→ −∞ Ta có 3 3 2 t 0 1 t 1 tB= lim . t→ + − + Xét 3 3 2f (t) 1 t 1 t , = + − + có 2 3 2 23 t tf '(t) , (1 t ) 1 t = − + + f(0) = 0, f '(0) 0,= nên 3 3 2 t 0 t 0 t 0 t 0 1 t 1 t f (t) f (t) 0 f (t) f (0)B= lim lim lim lim f '(0) 0. t t t 0 t 0→ → → → + − + − − = = = = = − − Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 10 10 3) Ta luôn có thể chọn ñược một lân cận của ñiểm x0 = 0 sao cho trên lân cận ñó 1 + sinx > 0. ðặt 1 x ln(1 sin x)M (1 sin x) , N ln(M) . x + = + = = Xét hàm f (x) ln(1 sin x),= + có cos xf '(x) , 1 sin x = + f(0) = 0, f '(0) 1.= Như vậy x 0 x 0 x 0 x 0 ln(1 sin x) f (x) f (x) f (0)lim N lim lim lim f '(0) 1. x x x 0→ → → → + − = = = = = − Suy ra x 0 1 lim NN 1x x 0 x 0 x 0 C lim(1 sin x) lim M lim e e e e.→ → → → = + = = = = = Vậy 1 x x 0 C lim(1 sin x) e. → = + = Bài tập. 19. Tính các giới hạn sau ñây x x x x x 2 0 0 0 1 e + sin2x cos3x 1 1 2x 3x 4 x 2 x 3 2x1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; ln1 + 4x tan5x 1 cosx sin(1 x)1 2x 1→ → → → − − + + − − + − − − − − + x x x x x x x x n m 1 0 3 1 tanxx a 20 a 0 2 x.2 1 1 ax. 1 bx 1 sin3x5) lim ; 6) lim (a,b 0;m,n *); 7) lim ; x 1 x 1 2cosx cos( cosx)ln(cosx) sinx 28) lim ;9) lim( ) (a k ); 10) lim ; 11) lim (sinx) ; sina sin(tanx)x → → → − → → → → − + + − ≠ ∈ − − ≠ ℕ pi pi pi pi x x 2 9 x 0 1 1 (x +2005) 1 5x - 200512) lim (cos sin ) ; 13) lim ; x x x→±∞ → − + x 3 23 30 x 1 2 sin 2x sin x 3 3x x 0 x 0 n n m mx a 1 1 x x 214) lim ; 15) lim ; sin(x 1)3x(1 1 4x ) 2x( (1 6x) 1 6x 1) x x 2x e e x sin 2011x16) lim ;17) lim ; 18) lim ; sin x x sin 2012xx x 3x x a19) lim (a ;m, n *); 20) lim x a → →− →+∞ → → →   + +  −   ++ + + + + +  − + − − + − + − ∈ ∈ − ℝ ℕ n mx 0 1 ax 1 (b 0); 1 bx 1→ + − ≠ + − → ≠ x 0 sinax21) lim (b 0); sin bx → − − +3 x 0 1 3x 1 2x22) lim . tanx → − − 2x 0 x sinx23) lim ; x tanx →   −   2 2x 0 1 124) lim ; sin x x →x 0 ln x25) lim ; cot x → − x 0 26) lim (1 cosx)cot x; − →+∞ 2 x x 27) lim x e ; → − 3x 0 sinx x28) lim ; x +→x 0 29) lim x lnx; →±∞x 130) lim xsin . x Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 11 11 2.3. Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
Nếu hàm số y = f(x) (C) có ñạo hàm tại x = x0 thì tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M(x0; f(x0)) có phương trình là 0 0 0 0y f '(x )(x x ) f (x ); f '(x )= − + là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M(x0; f(x0)).
Nếu tiếp tuyến của (C) y = f(x) có hệ số góc k thì hoành ñộ tiếp ñiểm thoả mãn PT k f '(x).=
ðường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = f(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm ax b f (x) , a f '(x) + =  = và nghiệm x0 của hệ này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm.
Cho = + = +1 2d : y ax b, d : y kx m. Khi ñó ⇔ = ≠1 2d / /d a k,b m; còn ⊥ ⇔ = −1 2d d a.k 1. VD9. Cho = − +3(C) : y x 3x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết a) Tiếp ñiểm có tung ñộ là nghiệm của phương trình − + + =3y xy' 5x 16 0. b) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng − − =9x y 15 0. c) Tiếp tuyến ñi qua ñiểm −2A( ; 1). 3 HD. a) Ta có = −2y' 3x 3. Do ñó phương trình − + + =3y xy' 11x 16 0 trở thành − + − − + + = ⇔ =3 23(x 3x 1) x(3x 3) 5x 16 0 x 19. Nghĩa là tung ñộ tiếp ñiểm =0y 19. Hoành ñộ 0x của tiếp ñiểm thỏa mãn − + = ⇔ = 3 0 0 0x 3x 1 19 x 3. Vậy tiếp ñiểm là ñiểm 0M (3;19). Hệ số góc của tiếp tuyến = =k y'(3) 24. Tiếp tuyến của (C) tại 0M có phương trình = − + ⇔ = −y 24(x 3) 19 y 24x 53. b) ðường thẳng − − =9x y 15 0 viết lại thành = −y 9x 15. Gọi = +d : y ax b là tiếp tuyến cần tìm thì = ≠ −a 9,b 15. Vì d tiếp xúc với (C) nên hệ phương trình 3 2 x 3x 1 9x b 3x 3 9  − + = +  − = phải có nghiệm . Từ phương trình thứ hai của hệ tìm ra x rồi thế lên phương trình ñầu của hệ, ta thu ñược b 15= − hoặc b 17.= ðối chiếu với ñiều kiện của b ta lấy b 17.= Vậy tiếp tuyến cần tìm là d :y 9x 17.= + c) ðường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k, có phương trình 2:y k(x ) 1 3 ∆ = − − là tiếp tuyến của (C) khi hệ 3 2 2x 3x 1 k(x ) 1 3 3x 3 k  − + = − −   − = có nghiệm. Tìm ra k 3,k 0.= − = Các tiếp tuyến cần tìm là 1 : y 3x 1∆ = − + và 2 : y 1.∆ = − Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 12 12 VD10. Tìm a, b ñể hàm số 2 3 2 x ax b khi x 2 y x x 8x 10 khi x 2  + + ≤ =  − − + > có ñạo hàm tại ñiểm x0 = 2 và khi ñó hãy viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 2. HD. ðể hàm số có ñạo hàm tại ñiểm x0 = 2 thì trước hết nó phải liên tục tại ñiểm này. Ta phải có 3 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 y(2) lim y(x) lim y(x) y(2) lim (x x 8x 10) lim (x ax b) 4 2a b 2 b 2a 6. + − + −→ → → → = = ⇔ = − − + = + + ⇔ + + = − ⇔ = − − Lúc này ta viết lại 2 3 2 x ax 2a 6 khi x 2 y . x x 8x 10 khi x 2  + − − ≤ = − − + > Hàm số này có ñạo hàm tại ñiểm x0 = 2 thì 3 2 x 2 x 2 x 2 y(x) y(2) y(x) y(2) (x x 8x 10) ( 2)lim lim lim x 2 x 2 x 2+ − +→ → → − − − − + − − = ⇔ = − − − 2 x 2 (x ax 2a 6) ( 2)lim 0 a 4 x 2−→ + − − − − = ⇔ = + − a 4 b 2.⇔ = − ⇒ = Vậy với a = –4, b = 2 thì hàm số ñã cho có ñạo hàm tại ñiểm x0 = 2 và y '(2) 0.= Khi ñó tiếp tuyến cần tìm là y 0.(x 2) ( 2) y 2.= − + − ⇔ = − VD11. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến ñi qua tâm ñường tròn nội tiếp tam giác có ba ñỉnh là ba ñiểm cực trị của (C). HD. Dễ thấy (C) có ba ñiểm cực trị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0). Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác OAB thì I(0; m) với –1 < m < 0. Các ñường thẳng OA, OB, AB lần lượt có phương trình x – y = 0, x + y = 0, y + 1 = 0. Ta có d(I, OA) = d(I, OB) = d(I, AB) m m 1 m 2 2 (do 1 m 0). 2 ⇔ = + ⇔ = − − < < Vậy I(0;2 2).− ðường thẳng ñi qua I có hệ số góc a có phương trình y ax 2 2= + − (d) (tiếp tuyến của ñồ thị hàm số là ñường thẳng có hệ số góc). ðường thẳng (d) là tiếp tuyến của ñồ thị (C) khi hệ phương trình 4 2 3 x 2x ax 2 2 (1) 4x 4x a (2)  − = + −  − = có nghiệm. Thế (2) vào (1) ta ñược 4 23x 6x 2 2 0− + − = 3 3 2 x . 3 ± ⇔ = ± Tương ứng ta tìm ñược 4 giá trị của a là 4 3 3 2 3 3 3 2 a . 3 3 + ± + = ± Do ñó tìm ñược 4 tiếp tiếp thoả mãn yêu cầu bài toán 4 3 3 2 3 3 3 2y .x 2 2. 3 3 + ± + = ± + − Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 13 13 Bài tập. 20. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = 2 x 2x + 4 x 2 − − biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng x – 3y + 2 = 0. 21. Cho x 2y (C). 2x 3 + = + a) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ ñộ một tam giác cân. b) Viết PTTT của (C) tại các ñiểm có toạ ñộ nguyên của (C). c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua ñiểm 3I( ; 2). 2 − − 17. Tìm m ñể tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C): y = x3 – 3mx2 + 4m3 là một ñường thẳng tạo với hai trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng 25 . 6 18. Viết PTTT của ñồ thị (C): 3 21y x x 3 = − a) Biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(3; 0). b) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 9x + 12y – 2 = 0. 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị y = x3 – 3x2 + 3 (C) và tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm M(–1;1). 20. Gọi A, B là các giao ñiểm của ñường thẳng y = x + m với ñồ thị x 1y (C) 2x 1 − + = − và k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A, B. Tìm m ñể tổng k1 + k2 ñạt giá trị lớn nhất. 21. a) Tìm trên trục Oy những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = x4 sao cho 2 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. b) Tìm trên ñường thẳng y = 6 những ñiểm có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số 3 2y 2x 9x 12x 1= − + + sao cho 2 trong số 3 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. 22. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 tiếp xúc với trục Ox. 23. Viết PTTT của ñồ thị 3 x 1(C) : y x 1 − = + tại giao ñiểm của (C) với trục tung. 24. a) Viết PTTT của xy (C) x 1 = − biết khoảng cách từ tâm ñối xứng của (C) tới tiếp tuyến là lớn nhất. b) Viết PTTT của 4x 3y (C) x 1 − = − biết tiếp tuyến ñi qua gốc tọa ñộ. c) Chứng minh ñồ thị 2 2 x 3x 1y (C) x 1 − + = + cắt Ox tại hai ñiểm phân biệt A, B. Tính cosin của góc tạo bởi hai tiếp tuyến của (C) tại A và tại B. d) Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng trên ñồ thị 3y x 3x 2(T).= − + Các tiếp tuyến của (T) tại A, B, C lần lượt cắt (T) tại các ñiểm A’, B’, C’ tương ứng khác A, B, C. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng . Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 14 14 25. Tìm a, b ñể hàm số 3 2 x khi x 1 f (x) ax b khi x 1  ≤ =  + > có ñạo hàm tại x0 = 1, khi ñó hãy viết PTTT của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 1. 26. Viết PTTT của 2(P) : y x 2x 3= − + biết a) Tiếp ñiểm có hoành ñộ 0x 1.= b) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 4x – 2y + 5 =0. c) Tiếp tuyến vuông góc với ñường phân giác của góc phần tư thứ nhất. 27. Cho 4x 3(C)y x 1 − = − và ñiểm I(1;4). a) Chứng minh không có tiến tuyến nào của (C) ñi qua I. b) Chứng minh tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M bất kì luôn cắt hai ñường thẳng : x 1∆ = và ' : y 4∆ = tại A, B tạo thành một tam giác vuông có diện tích không ñổi và M là trung ñiểm của AB. Viết phương trình tiếp tuyến trong trường hợp tam giác ñó có chu vi nhỏ nhất. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong trường hợp khoảng cách từ I tới tiếp tuyến là lớn nhất. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại N sao cho tiếp tuyến ñó vuông góc với IN. e) Chứng minh rằng mọi ñường thẳng d ñi qua I và cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt P, Q thì các tiếp tuyến của (C) tại P và tại Q song song với nhau. f) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến ñó tạo với trục hoành một góc 450. 28. Cho 2(C)y 1 x x .= − − a) Viết PTTT c