Ứng dụng sự tương giao giữa đường tròn và đường thẳng để giải hệ có tham số

ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI HỆ CÓ THAM SỐ. Bài 1. Cho hệ phương trình 2 2 2 2 2 1 2 1 x y y a x y x a ⎧ + + = −⎪⎨ + + = −⎪⎩ Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. HD.Để hệ có nghiệm duy nhất khi cà chỉ khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài 1 2 1 2O O R R= + CB x y 2 1 A O 1 2 a⇒ = . Bài 2: Tìm tham số a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất ⎩⎨ ⎧ =+− ≤−+ 0 2222 ayx xyx HD: Để phương trình có nghiệm duy nhất khi đường thẳng x – y + a = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm I(1;2) bán kính 3=R 61;613 2 01 );( +−=−−=⇔=+−=⇔ aaadId . Bài 3.Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤+ ≥+++ 1 12 yx mxyyx HD: ⎩⎨ ⎧ ≤+ +≤−+−⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤+ ≥+++ 1 1)1()1( 1 12 22 yx myx yx mxyyx Để hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng x + y = 1 tiếp xúc đường tròn tâm T(1;1) bán kính . 2 11 −=⇒+= mmR Bài 4 :Định tham số a để hệ sau đây có nghiệm ⎩⎨ ⎧ ≤+− =+ 0234 22 yx ayx Bài 5: Cho hệ ⎩⎨ ⎧ =+− ≤−+− 0 2)1()1( 22 myx yx Xác định m để hệ có nghiệm đúng với mọi ].2;0[∈x HD:Ta có A(0;m) ;B(2;2+m) 0:)( =+−∈ myxd . Để hệ có nghiệm ]2;0[∈x thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn tâm I(1;1) ;bán kính 02 =⇔⎩⎨ ⎧ ≤ ≤⇔= m RIB RIA R . Bài 6. Địn a để hệ phương trình sau có nghiệm ⎪⎩ ⎪⎨⎧ +=+ =−++ 12 11 ayx ayx HD .Đặt 1;101,01 22 −=−=⇒≥+=≥+= YyXxyYxX Do đó hệ trở thành ⎩⎨ ⎧ +=+ =+ 1222 aYX aYX Để hệ đã cho có nghiệm thì ⇔≤+≤ aaa 12 2 Bài 7 :Tìm a để hệ sau đây có hai nghiệm phân ⎩⎨ ⎧ ==+ =−+ 0 022 aayx xyx HD: Ta nhận thấy đường thẳng (d) 0==+ aayx luôn luôn qua điểm cố định A(0;-1).Hai tiếp tuyến qua A là x = 0;3x + 4y -4 = 0. Để hệ có hai nghiệm phân biệt khi đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt khi đường thẳng (d) nằm giữa hai đường tiếp tuyến khi . 3 40 << a Bài 8. Cho hệ phương trình 2 2 2 2 2 1 2 1 x y y a x y x a ⎧ + + = −⎪⎨ + + = −⎪⎩ Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. HD.Để hệ có nghiệm duy nhất khi cà chỉ khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài 1 2 1 2O O R R= + CB x y 2 1 A O 1 2 a⇒ = . Bài 9.Biện luận theo m số nghiêm phương trình 24 2x mx m− = + − . HD.Hệ tương đương 2 2 4 0 2 0 x y y mx y m ⎧ + =⎪ ≥⎨⎪ − + − =⎩ . Chú ý đường thẳng luôn qua điểm cố định A(1; 2). Qua A có hai tiếp tuyến khi m = 0, 4 3 m = − . Gọi B(-2; 0), C(2; 0). Dựa vào đòp thị ta biện luận 20 3 m< ≤ hoặc 42 3 m− ≤ ≤ − phương trình có hai nghiệm m = 0; 4 3 m = − ; 2 2 3 m m> ∨ < − phương trình có một nghiệm. 4 0 3 m− < < phương trình vô nghiệm.