Về bất đẳng thức karamata và ứng dụng

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008 77 VỀ BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA VÀ ỨNG DỤNG ON THE KARAMATA’S INEQUALITY AND ITS APPLICATIONS CAO VĂN NUÔI - NGUYỄN QUANG THI Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Định lí Karamata và các tính chất của hàm lồi là một phần quan trọng và khó của các bất đẳng thức. Dựa vào định lí Karamata, người ta chứng minh được các bất đẳng thức: T. Popoviciu, bất đẳng thức A. Lupas và bất đẳng thức Vasile Cirtoaje 2.1.[2]. Các bất đẳng thức này đã có những ứng dụng trong việc giải một số bài toán khó. Và chúng tôi thấy rằng: việc xây dựng các bất đẳng thức mới là rất cần thiết. Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng hai định lí mới và những ứng dụng của chúng. Bài báo trình bày hai bất đẳng thức mới mà phương pháp chứng minh của nó dựa vào định lí Karamata và các tính chất của hàm lồi. ABSTRACT Karamata's theorem and properties of the convex function are important and difficult part of inequalities.Base on Karamata’s theorem, it proved the inequalities: T. Popoviciu’s inequality, A. Lupas inequality’s and Vasile Cirtoaje’s inequality 2.1.[2]. These inequalities have application in solving difficult problems. And we see that: building of inequalities are very necessary. In this paper, we built two new theorems and their applications. We present two new inequalities which are that their demonstration method based on the Karamata's theorem and properties of the convex function. 1. Mở đầu ( )I a, bTa kí hiệu là một tập hợp có một trong 4 dạng sau đây: [ ]a,b ( )a,b, , [ )a,b và ( ]a,b . Định nghĩa (Các bộ trội). ( )1 2 nx , x , , x Cho và ( )1 2 ny , y , , y là hai bộ số thực. Ta nói rằng dãy ( )1 2 nx , x , , x trội hơn ( )1 2 ny , y , , y hay dãy ( )1 2 ny , y , , y được làm trội bởi dãy ( )1 2 nx , x , , x và ta viết ( ) ( )1 2 n 1 2 nx , x , , x y , y , , y   , nếu các điều kiện sau thoả mãn: (1) 1 2 nx x x≥ ≥ ≥ và 1 2 ny y y≥ ≥ ≥ . (2) 1 2 i 1 2 ix x x y y y+ + + ≥ + + +  , i 1, n 1∀ = − . (3) 1 2 n 1 2 nx x x y y y+ + + = + + +  . Hàm số Định nghĩa (Hàm lồi) ( )f x được gọi là lồi trên tập ( )I a, b ( )I a, b nếu nó xác định trên , với mọi TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008 78 ( )1 2x , x I a, b∈ và với mọi cặp số không âm α , β có tổng 1α +β = , ta đều có ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f xα +β ≤ α +β (1.1) Nếu đẳng thức trong (1.1) xảy ra khi và chỉ khi 1 2x x= thì f được gọi là lồi thật sự trên ( )I a, b ( )f x . Hàm số được gọi là lõm trên tập ( )I a, b ( )I a, b nếu nó xác định trên , với mọi ( )1 2x , x I a, b∈ và với mọi cặp số không âm α , β có tổng 1α +β = , ta đều có ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f xα +β ≥ α +β (1.2) Nếu đẳng thức trong (1.2) xảy ra khi và chỉ khi 1 2x x= thì f được gọi là lõm thật sự trên ( )I a, b . Định lí. f Nếu khả vi bậc hai trên ( )I a, b thì hàm ( )f x lồi trên ( )I a, b nếu và chỉ nếu ( )f '' x 0≥ với mọi ( )x I a,b∈ . Định lí (Karamata). Cho hai bộ số thực ( )1 2 nx , x , , x và ( )1 2 ny , y , , y , ( )( )i ix , y I a, b∈ thoả mãn điều kiện ( ) ( )1 2 n 1 2 nx , x , , x y , y , , y   . Khi đó, với mọi hàm f (x) lồi thật sự trên ( )I a, b ( )( )f '' x 0> , ta luôn có ( ) ( ) n n i i i 1 i 1 f x f y = = ≥∑ ∑ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi i ix y= , i 1;n∀ = . 2. Các kết quả 2.1. Chứng minh Định lí Karamata Trước hết, chúng tôi giới thiệu cách chứng minh Định lí Karamata được trình bày trong 0. Chứng minh (Định lí Karamata). Ta có ( ) ( ) ( ) ( )f x f y x y f ' y− ≥ − , ( )x, y I a, b∀ ∈ với mọi hàm ( )f x lồi thật sự trên ( )I a, b . Thật vậy, do ( )f '' x 0> nên ( )f ' x là hàm số tăng trên ( )I a, b . Xét 3 trường hợp sau: + Nếu x y= thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. + Nếu x y> thì ( ) ( ) ( ) ( )1 f x f y f ' c f ' y x y − = > − , ( )1c y, x∈ . + Nếu x y< thì ( ) ( ) ( ) ( )2 f y f x f ' c f ' y y x − = < − , ( )2c x, y∈ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )i i i i if x f y x y f ' y− ≥ − , ( )i ix , y I a, b∀ ∈ , i 1;n= . Và TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008 79 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i 1 i 1 1 1 1 2 2 2 n n n 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 n 1 1 2 n 1 n 1 n 1 2 n 1 2 n n f x f y x y f ' y x y f ' y x y f ' y x y f ' y x y f ' y f ' y x x y y f ' y f ' y x x x y y y f ' y f ' y x x x y y y f ' y 0 = = − − − − ≥ −   = − + − + + − = − − + + − − − +       + + + + − − − − −   + + + + − − − − ≥ ∑ ∑       Do đó ( ) ( ) n n i i i 1 i 1 f x f y = = ≥∑ ∑ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi i ix y= , i 1;n∀ = . 2.2. Về hai bất đẳng thức Định lí 1. f (x) Cho hàm số lồi trên [ ]a,a− , trong đó a 0> . Nếu ( )1 2 nx , x , , x và ( )1 2 ny , y , , y là hai bộ số thực thoả mãn các điều kiện sau: [ ] ( ) ( ) i i 1 2 n 1 2 n x , y 0,a , i 1;n x , x , , x y , y , , y  ∈ ∀ =      ( ) ( ) ( ) ( ) n n n i i i i i 1 i 1 i 1 f x f y x f y n f0 = = = + − ≥ +∑ ∑ ∑ thì Chứng minh. 1 1 1 2 1 2 1 2 n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 2 n x y x x y y x x x y y y x x x y y y − − ≥  + ≥ +   + + + ≥ + + + + + + = + + +      Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 n 1 n 1 1 1 2 2 n n 0 y x 0 y x y x 0 y x y x y x 0 y x y x y x − − ≥ −  ≥ − + −⇒  ≥ − + − + + −  = − + − + + −   Đặt i i it y x , i 1;n= − ∀ = . Gọi ( )* * *1 2 2nk , k , , k là bộ gồm 2n số nhận được từ các bộ ( )1 2 nx , x , , x và ( )1 2 nt , t , , t bằng cách sắp xếp các số 1 2 nx , x , , x , 1 2 nt , t , , t theo thứ tự giảm dần. Theo tính chất của bộ trội, ta suy ra ( ) ( )* * *1 2 2n 1 2 nk , k , , k y , y , , y ,0, ,0    Thật vậy, giả sử tồn tại t N∈ và 1 t n 1≤ ≤ − sao cho * * * * * * *1 2 n n 1 n t n t 1 2nk k k k k 0 k k+ + + +≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥   Hiển nhiên * * *1 2 p 1 2 p 1 2 pk k k x x x y y y , p 1;n+ + + ≥ + + + ≥ + + + ∀ =   TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008 80 * * *1 2 n q 1 2 n 1 2 n q k k k x x x y y y 0 0, q 1; t++ + + ≥ + + + ≥ + + + + + + ∀ =     sè và * * * * * * * * 1 2 n q 1 2 n q n q 1 2n 1 2 n q k k k k k k k k y y y 0 0, q t 1;n 1 + + + ++ + + ≥ + + + + + + = = + + + + + + ∀ = + −       sè Từ Định lí Karamata, ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2n n * i i i 1 i 1 n n n i i i i i 1 i 1 i 1 f k f y nf 0 f x f y x f y n f0 = = = = = ≥ + + − ≥ + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Kết luận: Định lí được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi *i ik y= , i 1;n= và * ik 0= , i n 1;2n= + . Sau đây ta ứng dụng Định lí 1 để giải một số bài toán. Bài toán 1. Cho ABC∆ thoả mãn A B C 2 4 π π ≥ ≥ ≥ ≥ . Chứng minh rằng: cos A cos B cos C cos A cos B cos C 3 2 2 4 4 π π π     − + − + − ≤ + + + −            Lời giải. ( )f x cos x= −Xét hàm số trên , 2 2 π π −   . Ta có ( )f '' x cos x 0= ≥ , x , 2 2 π π ∀ ∈ −   . Vậy, hàm số ( )f x lồi trên , 2 2 π π −   . Do A B C 2 4 π π ≥ ≥ ≥ ≥ nên ta có: A 2 C A B 2 4 4 A B C 2 4 4 π ≥  π π π + = π− ≥ π− = +  π π π + + = + + ( ), , A,B,C 2 4 4 π π π ⇒      Áp dụng Định lí 1, ta có cos cos cos cos A cos B cos C2 4 4 2 4 4 cos A cos B cos C 3cos 0 π π π π π π     − − − − − − − − −            ≥ − − − − Hay TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008 81 cos A cos B cos C cos A cos B cos C 3 2 2 4 4 π π π     − + − + − ≤ + + + −            Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ vuông cân tại A . Bài toán 2. x, y, z Cho là các số thực thoả mãn các điều kiện: 2 x y z 1 x y z 4 ≥ ≥ ≥ ≥  + + = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 4 x 2 4 y 1 4 z 1 2 2 2 5 6 4 x 4 y 4 z + − + + − + + − + + − ≥ + + + + + Chứng minh rằng: Lời giải. x 2, y z 1= = = Nhận xét. Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu . Từ điều kiện bài toán, dễ dàng ta có 2 x 2 1 4 z x y 2 1 1 x y z ≥  + ≥ − = +  + + = + + Khi đó, xét hàm số ( ) 2f x 4 x= + trên [ ]2,2− . Do ( )2 2 4f ''(x) 0 4 x 4 x = > + + , [ ]x 2,2∀ ∈ − nên hàm số ( )f x lồi trên [ ]2, 2− . Khi đó, áp dụng Định lí 1, ta thu được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 2 f 1 f 1 f x 2 f y 1 f z 1 f x f y f z 3f 0+ + + − + − + − ≥ + + + Hay ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 x 2 4 y 1 4 z 1 4 x 4 y 4 z 6 + + + − + + − + + − ≥ + + + + + + Kết luận: Bất đẳng thức được chứng minh. Chúng tôi đã chứng minh được định lí sau đây: Định lí 2. ( )f x Nếu hàm số lồi trên ( )I a, b và ( )x, y ,z I a, b∈ ( ) ( ) ( ) x y zf x f y f z f 3 2 2x y 2y x 2y z 2z y 2x z 2z xf f f f f f 3 3 3 3 3 3 3 + + + + +      + + + + + +            ≥ + + + +                         thì Chứng minh. Đặt TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008 82 1 2 1 2 1 2 x y z 2x y 2y xd ,a ,a 3 3 3 2x z 2z x 2y z 2z yb ,b ,c ,c 3 3 3 3 + + + + = = = + + + + = = = = Không mất tính tổng quát, giả sử rằng: x y z≥ ≥ . Xét 2 trường hợp sau: 2y x z≥ +Trường hợp 1: x x x y y y d d d z z z≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. Dễ thấy và 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2a a a a b b c c b b c c≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ . Ta sẽ chứng minh ( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2x, x, x, y ,y ,y ,d,d,d, z, z, z a ,a ,a ,a , b , b ,c ,c , b , b ,c ,c (1.3) Thật vậy, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 x y 4 x yx yx a 0,2x 2a 0,3x 2a a 0 3 3 3 x z3x y 2a 2a x y 0,3x 2y 2a 2a b 0 3 2y x z y z3y x 2z3x 3y 2a 2a 2b 0 3 3 2 y z 3x 3y d 2a 2a 2b c 0 3 x y 2z3x 3y 2d 2a 2a 2b 2c 0 3 3 x3y 3d 2 − −− − = ≥ − = ≥ − − = ≥ − + − − = − ≥ + − − − = ≥ − − + −− − + − − − = = ≥ − + + − − − − = ≥ + − + + − − − − = ≥ + + − ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 x 2y 3za 2a 2b 2c b 0 3 2 y z 3x 3y 3d z 2a 2a 2b 2c 2b 0 3 y z 3x 3y 3d 2z 2a 2a 2b 2c 2b c 0 3 + − − − − − = ≥ − + + + − − − − − = ≥ − + + + − − − − − − = ≥ Và 1 2 1 1 2 23x 3y 3d 3z 2a 2a 2b 2c 2b 2c 0+ + + − − − − − − = Suy ra (1.3) đúng. Theo Định lí Karamata, ta có bất đẳng thức đúng. 2y x z≤ +Trường hợp 2: x x x d d d y y y z z z≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥. Tương tự, ta có và 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2a a b b a a b b c c c c≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ . Dễ dàng, ta có ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2x, x, x,d,d,d, y ,y ,y ,z, z, z a ,a , b , b ,a ,a , b , b ,c ,c ,c ,c Theo Định lí Karamata, ta có bất đẳng thức đúng. Định lí được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z= = . Chúng ta có một ứng dụng của Định lí 2 trong bài toán sau đây: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008 83 Bài toán 3. a,b,c 0> Cho . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 33 3 3 3 3 3 3 3 3 1a b c a b c 27 2 2a b 2b a 2b c 2c b 2a c 2c a 81 + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + Lời giải. ( ) 3f x x= Xét hàm số trên ( )0,+∞ . Do ( )f '' x 6x 0= > nên ( )f x lồi trên ( )0,+∞ . Bất đẳng thức được viết lại như sau: ( ) ( ) ( ) a b cf a f b f c f 3 2 2a b 2b a 2b c 2c b 2a c 2c af f f f f f 3 3 3 3 3 3 3 + + + + +      + + + + + +            ≥ + + + + +                         Không mất tính tổng quát, ta giả sử a b c≥ ≥ . Từ đó, ta dễ dàng áp dụng Định lí 2, ta suy ra bất đẳng thức đúng. Chúng ta có cách giải khác cho bài toán này dựa vào bất đẳng thức Muirhead và bất đẳng thức Schur Nhận xét. 0. Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 3 2 sym sym 3 3 3 2 sym 3 2 3 3 3 2 sym sym sym 1 228 a b c 3 a b 6abc 18 a b c 18 a b 27 3.27 16 a b c 6abc 9 a b 7 a a b 2 a b c 3ab c a b 0     + + + + ≥ + + +        ⇔ + + + ≥     ⇔ − + + + + − ≥        ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Từ bất đẳng thức Muirhead và bất đẳng thức Schur, ta suy ra bất đẳng thức cuối cùng là đúng. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức, 2006. [2] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức: Định lí và áp dụng, NXB Giáo dục, 2006. [3] Mitrinovic D. S., Pecaric J. E., Fink A. M., Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Acadmemic Publishers, 1993. [4] Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and New Inequalities, Gil Publishing House, 2004. [5] Pachpatte B.G., Mathematical Inequalities, vol. 67, Elsevier, 2005.