Giáo án môn Toán 11 - Các dạng phương trình lượng giác thường gặp

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I/ Phương trình bậc nhất: at + b = 0 Cách giải: chuyển vế đưa về dạng phương trình cơ bản: t = -b/a trong đó t là các hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx) VD: Sin2x – 2cosx = 0 biến đổi đưa về dạng phương trình tích rồi giải pt cơ bản: 2sinx.cosx – 2cosx = 0 2cosx(sinx – 1) = 0 cosx=0sinx -1=0 x=π2+kπx= π2+ k2π(k∈z ) Vậy phương trình có họ nghiệm là: x=π2+kπ vì x= π2+ k2π là con của họ nghiệm x=π2+kπ ( k∈z) Bài Tập Câu 1:Giải các PT sau: 2cosx + 1 = 0 3tanx -2 = 0 1 + 2cotx = 0 4 – 6cosx = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: (phương trình tích dạng A.B = 0 đưa về phương trình cơ bản) Cách giải: A.B = 0 A=0B=0 1) cos2x . cot = 0 2) 3) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0 4) (cotx + 1) . sin3x = 0 5) sin2x . cotx = 0 6) tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 0 7) (2cos2x – 1)(2sin2x –) = 0 8) (3tanx + )(2sinx – 1) = 0 9) tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0 10) (2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0 11) (sinx + 1)(2cos2x – ) = 0 12) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 0 13) cos3x – sin2x = 0 14) tanx tan2x = – 1 15) sin3x + sin5x = 0 16) cot2x cot3x = 1 II/ Phương trình bậc hai: at2 + bt +c = 0 (t là các giá trị lượng giác) Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a ¹ 0): · asin2u + bsinu + c = 0 (1) · acos2u + bcosu + c = 0 (1) Đặt t = sinu. Điều kiện: – 1 £ t £ 1. Đặt t = cosu. Điều kiện: – 1 £ t £ 1. (1) Û at2 + bt + c = 0 (1) Û at2 + bt + c = 0 · atan2u + btanu + c = 0 (1) · acot2u + bcotu + c = 0 (1) Điều kiện: cosu ¹ 0. Điều kiện: sinu ¹ 0. Đặt t = tanu, (1) Û at2 + bt + c = 0 Đặt t = cotu, (1) Û at2 + bt + c = 0 VD: giải Pt sau: 2sin2x + 5sinx -3 = 0 Đặt t = sinx , Điều kiện -1≤t≤1 Thay vào ta có: 2t2+5t – 3 = 0 giải phương trình này ta được t =3 (loại) or t = ½ Với t = ½ ta có sinx = ½ = sin(π/6) x=π6+k2πx= π- π6+ k2π(k∈z) x=π6+k2πx= 5π6+ k2π(k∈z) Bài Tập 11) 2cos2x + cosx – 2 = 0 12) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 13) 6sin2x – 5sinx – 4 = 0 14) 15) 16) 17) 18) cos2x + sinx + 1 = 0 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp). asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (1) C Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì sinx = ± 1). Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x = + kp (k Ỵ Z). A Với cosx ¹ 0, chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được phương trình: atan2x + btanx + c = 0 (1¢) @ Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình bậc nhất theo sinX và cosX (Phần 3). Với: VD: 1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0 2) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2 3) sin2x + sin2x – 2cos2x = ½ 4) 2cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4 5) sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 0 6) cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0 7) cos2x – sin2x – sin2x = 1 8) 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0 9) 3sin2x – 2sinxcosx + cos2x – 1 = 0 10) 4sin2x – 3sin2x – 2cos2x = 4 11) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2 12) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1 13 cos2x – sin2x – sin2x = 1 14) sin2x + 2cos2x – 1 = 0 15) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0 16) 3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 + III/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển). asinx + bcosx = c (1) với a, b, c Ỵ R, và a2 + b2 ¹ 0 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: a2 + b2 ³ c2 Biến đổi asinx + bcosx = sin(x+α) asinx - bcosx = sin(x - α) Với : cos α = ; sin α = Vậy suy ra: sin(x+α) = c ĩ sin(x + a) = Và sin(x - α) = c ĩ sin(x - a) = rồi giải như phương trình cơ bản VD: sin4x + cos4x = (dạng asinx + bcosx = c) ( a = 1, b = , c = ) Ta biến đổi : sin4x + cos4x = 12+ 32Sin4x+ α (12+ 32 = 2) Tìm α Với : cosα= 112+ 32 =12=cosπ3; sinα = 12+ 32 = 2=sinπ3; vậy α=π3 Thay vào ta cĩ: 2sin(4x+π3) = => sin(4x+π3) = 2 =sinπ3 ĩ 4x+π34x+π3==π3+ k2ππ-π3+ k2π(k ∈z) ĩ xx== kπ/2π12+ kπ/3(k ∈z) Làm tương tự: Chú ý: nếu cosα, sinα khơng thuộc các giá trị đặc biệt thì ta cĩ thể suy ra nghiệm cĩ chứa giá trị gĩc α với các giá trị cosα, sinα đã đặt như trên/ 1) sinx – cosx = 2) cosx + sinx = – 4) 2sinx – 9cosx = 5) cos(2x – 150) + sin(2x – 150) = – 1 6) 2cosx – 3sinx + 2 = 0 7) cosx + 4sinx + 1 = 0 8) sin2x + 3cos2x = 4 9) 2sinx – 2 cosx = 10) sinx – cos2x = 1 11) cosx –sinx = 12) 3sin3x – 4cosx = 5 13) 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0 14) 3sinx + cosx