10 cách để suy nghĩ như là nhà toán học

10 cách để suy nghĩ như là nhà toán học Tác giả: Tiến sĩ Kevin Houston – Giảng viên Toán tại Đại học Leeds Biên dịch: Võ Hoàng Trọng (hoangtrong2305), Đỗ Thị Kiều Trang (Celia) 1. Hãy đặt ra câu hỏi Với tôi, một trong những vẻ đẹp vĩ đại và chân thực nhất của toán học là nó có thể được kiểm nghiệm tính đúng đắn. Bạn không cần phải nghe theo ai cả. Nếu có người cho rằng một điều nào đó là đúng, bạn có quyền yêu cầu họ chứng minh nó. Hơn nữa, nếu bạn muốn mình có suy nghĩ và hành động như một nhà toán học, thì bản thân bạn cũng có thể chứng minh tính đúng đắn của vấn đề đó. Đừng để họ qua mặt bạn! Đứng trước lời nhận xét của một số người, bạn có thể không tin và cố tìm ra một trường hợp hay ví dụ chứng minh rằng nó sai.Kể cả khi điều đó đúng, thì lúc đó bạn cũng đã phải suy nghĩ, trí óc của bạn phải hoạt động, nói chung, dù bạn đúng hay sai thì hành động đó hoàn toàn có lợi cho việc rèn luyện trí óc của bạn.Và dần dần, bạn sẽ có những suy nghĩ tích cực hơn về những lời nhận xét của mọi người (lưu ý rằng bạn phải thật sự khôn khéo, vì trong thực tế, có những trường hợp bạn sẽ đánh mất tình bạn chỉ vì những lời phản bác đó,, mọi người sẽ có xu hướng không vui và không thích nói chuyện với bạn khi bạn cứ liên tục tìm lỗi sai của họ). Một lá thư gửi đến 1 toà soạn báo, nói rằng việc làm ra một cỗ máy thời gian là không thể, họ lập luận như sau: Nếu như cỗ máy thời gian có thật, thì có thể 1 người nào đó sẽ được gặp rất nhiều người ở tương lai. Tôi có một vài lý do để cho thấy điều này là không thể, vì có thể cỗ máy thời gian chỉ cho ta tiến tới tương lai (với số năm mà ta muốn tiến tới), cũng có thể người du hành đến tương lai không thể liên lạc với chúng ta đang ở hiện tại, cũng có thể cỗ máy thời gian có phạm vi nhất định, bạn không thể quay về hơn 1 năm và cỗ máy thời gian ấy, vẫn phải nằm lại ở 1 năm nào đó rất xa (và cỗ máy thời gian ấy không thể được vận chuyển được nữa). 2. Viết thành câu Viết thành câu? Điều đó có ích như thế nào để giúp bạn suy nghĩ và hành động như một nhà toán học? Có thể bạn sẽ thắc mắc. Câu từ là nòng cốt tạo nên lý lẽ. Một cấp độ cao hơn của toán học, lý lẽ là phần không thể thiếu trong việc chứng minh (không chỉ đơn thuần là đưa ra đáp số đúng). Rất nhiều bạn học sinh không nhận ra sự cần thiết của câu từ,. Các bạn thường nói các câu đại loại như : “Em học đại học không phải để viết 1 bài luận ”, “Nhưng em trả lời đúng!”, hay là “Thầy biết em muốn nói gì mà”. Trước đây, học sinh có thể trình bày cả bộ sưu tập về những ký hiệu không có liên quan gì đến nhau và vẫn có điểm cao. Nhưng, nếu như bạn muốn hiểu toán và muốn biết sâu hơn, thì bạn phải cố gắng luyện tập viết thành câu, điều này sẽ có ảnh hưởng đến bạn, làm bạn suy nghĩ cẩn thận hơn về bài chứng minh của mình. Nếu như bạn không viết được thành câu hoàn chỉnh, thì bạn rất dễ mắc phải việc bạn không biết mình đang viết về cái gì. Vì vậy, viết thành câu là cơ hội tốt để phát triển, nâng cao kỹ năng toán của bạn, và nếu bạn viết tốt ở các môn học thì điều đó chính là chìa khoá hữu ích mà bạn có thể có được. (Lưu ý: Một cách để giúp bạn phát triển kỹ năng viết và suy nghĩ của toán chính là việc biết cách sử dụng các ký hiệu _; à; =>; è ç, ) 3 .Thế còn các mệnh đề đảo ? Cách trình bày dạng A => B chính là mấu chốt quan trọng của toán học. Chúng ta có thể phát biểu dưới dạng ‘Nếu A đúng thì B đúng’ Mệnh đề đảo của cách trình bày ‘A _B’ đảo là ‘B _A’. Ví dụ, mệnh để đảo của “Nếu tôi là Ngô Bảo Châu, thì tôi là người Việt Nam” Là “Nếu tôi là người Việt Nam, thì tôi là Ngô Bảo Châu” Ví dụ trên cho thấy, nếu như mệnh đề xuôi là đúng, thì không phải lúc nào mệnh đề đảo cũng đúng, nó có thể đúng hoặc cũng có thể sai. Sự nghiên cứu luôn là cần thiết trước khi ta nói điều gì. Một nhà toán học giỏi, khi trình bày dạng A suy ra B, thì họ sẽ hỏi: “Vậy điều ngược lại đúng chứ?”. Hãy tiếp thu câu hỏi này và biến nó trở thành một công cụ hữu ích khi làm toán. Cho dù mệnh đề đảo là đúng hay sai cũng chả mấy quan trọng vì những dạng bài tập đấy sẽ làm tăng khả sự nhạy bén của bạn khi học toán. (Thêm nữa, một sai lầm lớn mà nhiều người mắc phải khi trình bày dạng A _B là họ cho rằng nếu A sai thì B cũng sai. Điều đó không chính xác, cấu trúc trên chỉ trình bày điều gì xảy ra khi A đúng, nó không nói gì về việc điều gì sẽ xảy ra nếu A sai. Bây giờ, bạn hãy suy nghĩ như một nhà toán học và cho ra ví dụ.) 4. Sử dụng sự đối lập ( phủ định) Sự đối lập của mệnh đề ‘A _ B’ là Không (B) _ không (A) Ví dụ: * ‘Nếu tôi là Ngô Bảo Châu, thì tôi là người Việt Nam’ có mệnh đề đối lập là ‘Nếu tôi không phải Ngô Bảo Châu, thì tôi không phải người Việt Nam’. * ‘Nếu tôi không phải người Việt Nam tức là tôi không phải dân Hà Nội’ có mệnh đề đối lập là ‘Nếu tôi là người Hà Nội, thì tôi là người Việt Nam’ * ‘x2−4x−5=0 _ x≥2’ có mệnh đề đối là “x<2Rightarrowx2−4x−5neq0” Khá ngẫu nhiên là mệnh đề đối lập đúng cũng tương đồng với mệnh đề A _ B đúng. Có nghĩa là, nếu A _ B là đúng, thì Không (B) _ không (A) cũng đúng và ngược lại. Bạn có thể kiểm chứng ở những ví dụ trên. Sẽ rất khó khi bạn mới bắt đầu làm quen với các mệnh đề – điều mà có nhiều người không tin. Thực ra, nó là kinh nghiệm nổi tiếng trong giáo dục được kết nối với ý tưởng mệnh đề đối lập, được gọi là thử thách trong sự lựa chọn của Wason (Wason’s selection task). Bạn hãy tìm hiểu phương pháp đó và thử xem bạn có vượt qua bài kiểm tra không nhé ! Có thể bạn chỉ trả lời được đúng 10% số câu hỏi thôi đấy. Bởi vì việc sử dụng sự đối lập thường được dùng trong việc chứng minh, và vì trong cuộc sống chúng ta luôn có nhiều điều đối lập lẫn nhau nên bạn hãy học cách sử dụng sự đối lập thật tốt nhé ! 5. Nghiên cứu các ví dụ một cách cẩn thận Được áp dụng khi cho một định lý và các ví dụ đơn giản cũng như phức tạp về định lý đó vào trong giả thuyết. Chuyện gì sẽ xảy ra khi các số đặc biệt là 0 hoặc 1 ? Chuyện gì sẽ xảy ra nếu ta lấy các hàm thông thường xác định bởi hàm f(x)=0 ? Chuyển gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có 1 tập rỗng ? Chuyện gì sẽ xảy ra khi chúng ta có 1 dãy số thông thường như 1;1;1;1;1;1; ? Chuyện gì xảy ra với đường cong hay đường thẳng ? Những ví dụ trên sẽ giúp ta hiểu rõ thêm về vấn đề. Nó đôi khi cũng giúp chúng ta mường tượng rõ hơn khi các định lý được áp dụng. Một ví dụ đặc biệt được phát biểu như sau ‘y=x2 và z=y2 thì z≠x’. Dường như ví dụ trên đúng khi rõ ràng y và y2 khác nhau, nhưng điều đấy thật ra không đúng, giả sử y=1 thì lúc này ví dụ trên chỉ đúng khi x=1. Hãy sử dụng trường hợp đặc biệt để cho thấy định lý sau đây sai : ‘Định lý’ : Giả sử a,b,c và d là các số nguyên, nếu a.b=c.d và a=c thì b=d Để sử dụng những ví dụ đặc biệt thì bạn phải dùng đến rất nhiều ví dụ, nên bạn cần phải lựa chọn và có một chút “khéo tay”. Một cách để làm được việc này là bạn hãy tưởng tượng bạn sẽ nói gì khi có người kêu bạn dậy vào lúc nửa đêm và nói “Nhanh lên, chuyện khẩn cấp đấy, hãy cho tôi 1 ví dụ thật tốt về tập X′ khi X có thể là một vài phần của toán học như nhóm, không gian Vector, hàm số, .. “. 6. Hãy tạo ra một ví dụ cho riêng bạn. Một nhà toán học thực thụ có thể tự tạo ra một ví dụ cho riêng mình, kể cả ví dụ đúng, ví dụ đặc biệt hay thậm chí không ví dụ gì cả ! Hãy nhìn vào những ví dụ đã có sẵn (như ví dụ về một quá trình, ví dụ về các bài toán đại số, ). Đơn cử như cách trình bày cơ bản của bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số. Trước tiên, chúng ta xem xét liệu hàm số này có điểm gì đặc biệt, sau đó, chúng ta tìm những giá trị mà tại đó, đạo hàm của hàm số bằng không. Sau đó, chúng ta sẽ có 3 loại giá trị khác nhau : cực đại, cực tiểu và điểm uốn. Điểm uốn được biểu diễn bằng đạo hàm cấp 2 của hàm số đó và điểm uốn chính là nghiệm của phương trình đạo hàm cấp 2 bằng không. Sau khi làm những ví dụ đó, chúng ta có hàm số, có các loại giá trị, có từng giá trị của mỗi loại giá trị., quá trình này thì dễ. Áp dụng vào hàm f khác, hãy giải phương trình f′(x)=0, tính đạo hàm một lần nữa và giải f′′(x)=0 và dùng giá trị của f′′(x) để tìm từng giá trị thích hợp. Đó là cách thức cơ bản của việc sử dụng những ví dụ đã có. Nếu bạn biết được ví dụ đó thì khi cho bạn 1 hàm số nào đó, bạn sẽ dễ dàng tìm cực đại và cực tiểu. Nhưng, giả sử tôi làm điều ngược lại, muốn bạn tìm 1 hàmf sao cho hàm số ấy đạt cực đại tại tại x=2 và đạt cực tiểu tại x=−6 ? Đây là cách kiểm tra khả năng hiểu của bạn. Nó khó hơn, nhưng nó sẽ là công cụ hỗ trợ rất nhiều trong việc học toán của bạn. 7. Khi nào các tính chất mới được sử dụng ? Một số học sinh nói với tôi rằng, họ rất khó để hiểu được 1 bài chứng minh. Thực ra, các học sinh ấy mong muốn rằng bài chứng minh được viết 1 cách có logic và ngắn gọn để giúp cho học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về nội dung của định lý hay định lý ấy được khám phá như thế nào. Một học sinh bình thường, trước khi nhờ sự giúp đỡ thường nói : “Em còn không biết nên bắt đầu như thế nào “. Vì vậy, để hiểu được bài chứng mình là phần khó nhất khi ta học toán, toán bộ chương 18 của cuốn “Làm thế nào để nghĩ như một nhà toán học” dành cho những công thức khác nhau được giải quyết khi đọc bài chứng minh. Hãy tách nó ra, áp dụng bài chứng minh vào ví dụ, chúng ta sẽ xem xét các kỹ thuật sau đây. Mỗi định lý thường có những tính chất. Ví dụ, định lý Pitago có tính chất của tam giác vuông. Những tính chất này sẽ được dùng để chứng minh, còn các trường hợp khác thì đôi khi chúng không cần thiết cho lắm. Vì vậy, hãy chú ý đến vị trí sử dụng tính chất và từ đó bạn sẽ hiểu được bài chứng minh. Một số tính chất đước cho dưới dạng ẩn. Ví dụ, có bài chứng minh nói rằng ” ..bởi định lý 5.7, chúng ta thấy.. ” và điều đó cho thấy rằng định lý 5.7 được sử dụng để tạo ra tính chất của một định lý nào đó (Tiện thể, nếu định lý được lặp đi lặp lại nhiều lần trong nhiều bài chứng minh, điều đó cho thấy tầm quan trọng và nhiều khả năng định lý ấy cũng được được sử dụng trong bài chứng minh của bạn, vì vậy, hãy nguyên cứu kỹ nhé !). Bằng cách tìm hiểu về các tính chất, bạn sẽ biết cách bắt đầu bài chứng minh và nhìn cấu trúc nó như thế nào. 8. Hãy bắt đầu với mặt phức tạp. Đó chính là một trong những mẹo của tôi trong việc chứng minh 2 vế của phương trình bằng nhau. Để chứng minh 2 vế của phương trình bằng nhau thì tốt nhất ta nên bắt đầu ở vế phức tạp hơn và bắt đầu biến đổi để cho bằng với vế còn lại của phương trình Ví dụ, để chứng minh tanx+cotx=2cosec2x với mọi x R và có điều kiện x≠nπ2 với n∈N, chúng ta làm như sau : tanx+cotx=sinxcosx+cosxsinx ; (bằng cách phân tích công thức của tan và cot) =sin2x+cos2xcosx.sinx =1cosx.sinx, sử dụng sinx+cosx=1 =11/2sin2x, sử dụng công thức nửa góc =2.cosec2x, theo định nghĩa của cosec Nhớ rằng phần phức tạp (hay nói cách khác là phần mà ta có thể biến đổi và đơn giản hoá) nằm ở một vế và được sử dụng xuyên suốt để giải bài. Nếu bạn bắt đầu với một phương trình và cố gắng chuyển vế qua lại chúng (như nhiều người hay làm) thì bạn rất dễ đi vào vòng luẩn quẩn. 9. Hãy hỏi “Chuyện gì sẽ xảy ra nếu.?” Một nhà toán học giỏi họ thường tự đặt câu hỏi: “Chuyện gì sẽ xảu ra nếu?”. Ví dụ, chuyện gì sẽ xảy ra nếu như tôi ngừng việc sử dụng tính chất đó? Bằng cách tự đặt câu hỏi như thế này chúng ta sẽ có khả năng hiểu rõ hơn vì sao kết quả bài toán đúng hay tại sao người ta lại có được định nghĩa như thế. Đôi khi chúng ta tạo ra một định lý bằng cách làm cho tính chất cũ trước đây trở nên yếu đi. Thêm một ví dụ nữa về “Chuyện gì nếu”. Lưu ý rằng đôi khi một vài vấn đề toán học được điều chỉnh bằng cách thêm vài điều kiện. Ở cấp độ thông thường chúng ta có thể nói một tập hợp hữu hạn là một tập hợp với hữu hạn những con số hay những yếu tố nào đó, nhưng thực ra nó còn một số ví dụ phức tạp hơn nhiều, ví dụ như nhóm (Nhóm là một tập hợp mà các phần tử được “nhân lên” nhiều lần so với tập hợp thông thường. Sự nhân lên này phải đáp ứng theo một số yêu cầu được đặt ra). Bây giờ, với hai tập A và B, chúng ta có thể làm phép tính A.B. Chúng ta có thể hỏi nếu A và B có 1 số giá trị nào đó, vậy liệu có tồn tại phép tính A.B ? Ví dụ, giả sử A và B là hai tập hữu hạn, thì liệu tích A.B cũng là tập hữu hạn? Trong trường hợp này thì đúng là như vậy. Vậy nếu 2 tập A và B là vô hạn, thì tích A.B cũng là vô hạn? Hay nếu A và B là nhóm, thì tích A.B cũng là nhóm? Hay nếu A và B là không gian tô pô, thì tích A.B cũng vậy chứ? Và rất nhiều những câu hỏi khác. Ý tưởng của việc tại sao chúng ta hãy tự đặt câu hỏi cho bản thân là nhằm mục đính nâng cao kiến thức và khả năng hiểu biết của chúng ta. 10. Sự liên hệ / liên lạc! Khi ngài Christopher Zeeman thành lập Viện toán tại Đại học Warwick, một trong những ý tưởng quan trọng của ông ta là để tạo điều kiện, môi trường thuận lợi để học toán thì trong các dãy hành lang của học viện đều phải có bảng đen, không chỉ đơn thuần là nằm trong phòng giảng dạy, vì vậy mọi người có thể dễ dàng trao đổi với nhau và thuận tiện hơn khi trình bày công việc của mình. Điều này sẽ thúc đẩy sự hợp tác, nhưng cũng quan trọng không kém là cho phép mọi người có thể kiểm tra công việc lẫn nhau. (Học viện Issac Newton ở Cambridge đã có những bước tiến xa hơn trong việc sử dụng bảng đen. Họ đặt chúng ngay cả trong nhà vệ sinh và trong một cái ở thang máy chỉ sử dụng cho 2 tầng lầu) Có nhiều lợi ích trong việc tạo ra mối liên lạc với người khác. Giải thích về việc làm của bạn sẽ làm bạn suy nghĩ kỹ hơn, sâu sắc hơn. Và khi bạn nghiên cứu cùng với những người khác, họ có thể tìm ra lỗi sai trong suy nghĩ hay ý tưởng của bạn về cách giải quyết một bài toán nào đó. Thậm chí bạn cũng có thể học tập từ những lời giải thích. ST & Chỉnh lí Phạm Huy Hoạt ( 11/2012) Nguồn: mathblog.org