36 Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9

§Ò 1 Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: ............ Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 1 trang Câu 1:(2 điểm) 1) Tính: 2) Tính: . 3) Cho và . Không dùng máy tính hãy so sánh C và D . Câu 2: (2điểm) 1) Cho đa thức . Tìm x để 2) Giải hệ phương trình: Câu 3: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ và điểm A di động 1) Viết phương trình họ đường thẳng vuông góc với AB tại A. 2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ đồng qui. 3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ đi qua Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD. a) Tính số đo góc NEB. b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: (1điểm) Cho các số được xác định theo công thức sau: với n = 1, 2, , 2008. Chứng minh rằng: §Ò 2 Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: ............ Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 1 trang Câu 1:(2 điểm) Rót gän biÓu thøc: Tìm x, y là các số chính phương để P = 2 3) Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: Câu 2: (2điểm) 1) Cho biểu thức: Tìm x để 2) Cho hệ phương trình Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có 3) Cho x, y, z ³ 0 và . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 3: (2điểm) 1) Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính phương với mọi n là số nguyên dương. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số chính phương. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD. 1) Tính số đo góc NEB. 2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. 3) CMR: Khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: (1điểm) Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1, a2, ... , an+2 thoả mãn điều kiện 1 a1< a2 < ... < an+2 3n. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số ai, aj sao cho n < ai – aj < 2n §Ò 3 Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: ............ Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 1 trang Câu 1:(2 điểm) Rót gän biÓu thøc: Tìm x, y là các số chính phương để P = 2 3) Cho và . Không dùng máy tính hãy so sánh C và D . Câu 2: (2điểm) 1) Cho đa thức . Tìm x để 2) Cho hệ phương trình Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có Câu 3: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ và điểm A di động 1) Viết phương trình họ đường thẳng vuông góc với AB tại A. 2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ đồng qui. 3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ đi qua Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD. 1) Tính số đo góc NEB. 2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. 3) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: (1điểm) Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang. §Ò 4 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học: 2008 - 2009 MÔN: TOÁN 9 (Thời gian 150 phút) Bài 1: (1.5đ) Cho x, y, z ³ 0 và x + y + z ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức Bài 2: (1.5đ) Giải phương trình: Bài 3: (2.5đ) Cho hệ phương trình ẩn x, y sau: Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất Giả sử (x,y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m. Tìm m Î Z để x, y Î Z Chứng tỏ (x,y) luôn nằm tròn một đường thẳng cố định.((x,y) là nghiệm của hệ pt.) Bài 4: (3.5đ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC và BD vuụng góc với nhau tại I và I khác O. Chứng minh: IA.IC = IB.ID Vẽ đường kính CE. Chứng minh ABDE là hình thang cõn, suy ra : AB2 + CD2 = 4R2 và AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2 Từ A và B vẽ đường thẳng vuụng góc đến CD lần lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K. Chứng minh A,B,K,F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt . Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh AB = 2OM. Bài5: (1.0 đ) Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2 , người ta lấy 5 điểm phân biệt . Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1. ®Ò chÝnh thøc §Ò 5 ®ª đề thi học sinh giỏi lớp 9 vòng 2 Năm học: 2008-2009 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Câu 1:(1,5 điểm) a) TÝnh : A = - - b) tính : B = .. c) Cho C = và D = . Không dùng máy tính hãy so sánh C và D . Cõu 2:(1 điểm) Cho P(x) là đa thức bậc 3 với hệ số của là số nguyên khác 0 và khác - 1. Biếtvà . Chứng minh rằng:là hợp số Câu 3 (2 điểm): a. Gọi = , . Tìm tất cả các giá trị của sao cho và có giá trị nguyên. b. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2009. Chứng minh rằng: Câu 4 (2điểm): a. Giải hệ phương trình: hoặc a. Cho hệ phương trình Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có b. Chiều cao của một tam giác bằng 3; 4; 5. Tam giác này có phải là tam giác vuông không? hoặc: Cho hình vuông ABCD với M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Tính cosMAN? Câu 4 (3điểm): Cho (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc nhau tại C. Kẻ đk COA và CO’D; tiếp tuyến chung ngoài EF với F thuộc (O) và E thuộc (O’). Gọi H là giao điểm của AF và DE. a) Chứng minh góc AHD vuông. Từ đó suy ra HC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. b) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài thứ hai BI với B thuộc (O), I thuộc (O’). Chứng minh rằng : c) Tính diện tích tứ giác BFEI theo R; R’. Câu 5:(2 điểm) Chứng minh rằng luôn tồn tại số có dạng 2009200920092009....2009 mà số đó chia hết cho 2003. Hoặc: Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1. §Ò 6 Đề thi môn toán Thời gian: 150’ Năm học 2008 - 2009 Bài 1(2điểm). Cho biểu thức Rút gọn P Tìm x, y là các số chính phương để P = 2 Bài 2(2 điểm). Cho hệ phương trình Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có Bài 3(2 điểm).Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a+ b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh). Chứng minh rằng Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 4 (3 điểm). Cho đường tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi. A là một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H. Trong trường hợp , tính AH theo a Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất. Bài 5 (1 điểm) Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang. §Ò 7 §Ò thi häc sinh giái vßng 2 líp 9 n¨m häc 2008-2009 §Ò thi m«n: To¸n (Thêi gian lµm bµi: 150 phót ) C©u 1: (1,5®iÓm) Cho c¸c sè thùc d­¬ng x, y tho¶ m·n: x100 + y100 = x101 + y101 = x102 + y102 H·y t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = x2008 + y2008. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: Câu 2: (2điểm) a) Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính phương với mọi n là số nguyên dương. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số chính phương. b) Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1, a2, ... , an+2 thoả mãn điều kiện 1 a1< a2 < ... < an+2 3n. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số ai, aj (1j i n + 2) sao cho n < ai – aj < 2n Câu 3: (1điểm) Cho các số u1, u2, , u2009 được xác định theo công thức sau: với n = 1, 2, , 2007. Chứng minh rằng u1+ u2+ + u2007 Câu 4: (1,5điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ (1; 1). A di động A(m; 0) a) Viết phương trình họ đường thẳng (dm) vuông góc với AB tại A. b) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ (dm) đồng qui. c) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ (dm) đi qua. Câu 5: (4điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD. a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định. §Ò 8 Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4điểm) Cho a+b+c¹0; a3+b3+c3=3abc. Chứng minh rằng a=b=c Bài 2 (4 điểm) Tìm x;y;z thoả mãn phương trình Bài 3(4 điểm) Tính giá trị biểu thức: Với Bài 4(5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A.Phân giác AD (DÎBC) a-Chứng minh rằng: b-Nếu AD là phân giác góc ngoài thì kết quả trên thay đổi như thế nào? Bài 5 (3 điểm) Cho a,b dương sao cho a+b£1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 §Ò 9 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi) Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: chia hết cho 24. Bài 2: (3đ) Xác định các hệ số a và b để đa thức A = là bình phương của một đa thức. Bài 3 (3đ) Chứng minh rằng: Với mọi số thực a, b, c, d ta có: Với a c; b c; c > 0. Chứng minh rằng: Bài 4) (4đ): Tìm x để biểu thức sau cĩ giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đĩ Bài 5) (3đ) Cho tam giác ABC (AB < AC), M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ^ AM, CK ^ AM. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất. Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB và AD kéo dài tại F và E. a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi. b/ Chứng minh rằng: §Ò 10 Kỳ Thi Giáo viên giỏi vòng trường năm học 2008-2009 Đề thi Môn Toán Câu1 (2 điểm) Đồng chí hãy hướng dẫn học sinh giải bài tập sau Tìm số tự nhiên sao cho tổng số đó với các chữ số của nó bằng 2018 Câu 2(3 điểm) Tìm x,y,z trong các trường hợp sau a/ x=2y=3z và x2+y2+z2=441 b/ x2+y2+z2+4032948 4(14x+5y+1004z) Câu 3(2 điểm) Cho a,b,c thoả mãn a3+b3+c3=3abc và a+b+c=6024. Tính giá trị của biểu thức P=(a-2007)28+(b-2008)10+(c-2009)2008 Câu 4(3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S không đổi .Điểm M;N;P thuộc AB,BC,CA sao cho (k>0) a-Chứng minh chứng minh rằng b-Tìm k để SMNP nhỏ nhất Đề thi chọn học sinh giỏi Câu 1 : (2 điểm ) a) Tính A = b) So sánh : và Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phương trình : x2 + x + 12= 36 b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= Câu 3 : (2 điểm ) a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phương trình : x2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biết rằng: Câu 4 : (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đường tròn tâm I đường kính AC và vẽ đường tròn tâm K đường kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai đường tròn (M) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn . a) Chứng minh các đường thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D . b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất . Câu 5 : (1 điểm) Chứng minh rằng nếu > 2 thì phương trình sau có nghiệm 2ax2 + bx +1 - a = 0 §Ò 12 THI HS GIỎI – Năm học 07-08 MON TOAN ĐỀ BÀI: Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức Bài 2 (3đ) Cho biểu thức a/ Rút gọn B. b/ Chứng minh rằng . Bài 3: (3đ). Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1. Chứng minh bất đẳng thức: . Bài 4 (3đ). Chứng minh rằng: là số hữu tỷ. Bài 5 (3đ). Cho ba số x, y, z thỏa mãn Hãy tính tổng . Bài 6 (3đ). Cho . Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp . Đường thẳng AI cắt đường trịn ngoại tiếp tại D. a/ Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp . b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường trịn nội tiếp với các cạnh AB, BC. K là hình chiếu vuơng gĩc của C xuống đường thẳng AI. Chứng minh M, N, K thẳng hàng. Bài 7 (3đ). Cho . Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luơn cĩ diện tích khơnh lớn hơn diện tích . Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích đạt giá trị lớn nhất. Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: P=x5-4x3-3x+9x4+3x2+9 với xx2+x+1=14 Lời giải: Ta cĩ: xx2+x+1=14⟹x2-3x+1=0⟹x2=3x-1 (1) Từ đẳng thức (1) suy ra: x3 = 3x2 – x = 3(3x – 1) – x = 8x – 3 x4 = 3x3 – x2 = 3(8x – 3) – (3x – 1) = 21x – 8 x5 = 3x4 – x3 = 3(21x – 8) – (8x – 3) = 55x – 21 ⟹P=x5-4x3-3x+9x4+3x2+9=55x – 21-48x-3-3x+921x-8+33x-1+9=20x30x=23 Vậy P = 23 Bài 3: Chứng minh rằng abc+1-a1-b(1-c)<1 ∀ a, b, c ∈(0,1) Lời giải: Ta co: abc-3abc=3abc6abc-1<0 ∀ a, b, c ∈(0,1) ⟹abc<3abc Lại co 3abc≤a+b+c3 Suy ra: abc<a+b+c3 (1) Tương tự như vậy, ta cĩ: 1-a1-b(1-c)<31-a1-b(1-c)≤1-a+1-b+(1-c)3 (2) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được ĐPCM. Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh rằng: 1p-a+1p-b+1p-c≥2(1a+1b+1c) Lời giải: Đặt x = p – a, y = p – b, z = p – c. Khi đĩ x, y, z là các số dương và: a = y + z, b = z + x, c = x + y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta cĩ: y+z≥2yz và 1y+1z≥21y.1z ⟹y+z1y+1z≥4 ⟹1y+1z≥4y+z Tương tự như vậy, ta cĩ 1z+1x≥1z+x và 1x+1y≥4x+y Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được: 1x+1y+1z≥2(1y+z+1z+x+1x+y) Hay là 1p-a+1p-b+1p-c≥2(1a+1b+1c) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều. Bài tốn được chứng minh. Bài 5: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Một gĩc 450 quay xung quanh đỉnh A và nằm bên trong hình vuơng cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N a) Chứng minh rằng a(BM + DN) + BM.DN = a2 b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh 1AM2+1AE2=1a2 Lời giải: a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho FD = BM Dễ dàng nhận thấy ΔABM = ΔADF(cạnh, gĩc, cạnh) ⟹AF = AM Mặt khác: ∠NAF = ∠NAD + ∠DAF = ∠NAD + ∠MAB = ∠BAD – ∠MAN = 900 – 450 = 450 Từ đĩ suy ra: ΔMAN = ΔFAN(cạnh, gĩc, cạnh) ⟹MN = FN =BM + DN Xét tam giác vuơng CMN, ta cĩ: MN2 = CM2 + CN2 ⟺(BM + DN)2 = (a – BM)2 + (a – DN)2 (1) Khai triển (1) rồi rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a2. ĐPCM b)Ta cĩ: ∠EAF = ∠MAN + ∠NAF = 450 + 450 = 900 ⟹ΔEAF là tam giác vuơng ⟹1AE2+1AF2=1AD2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuơng) Hay là:1AE2+1AM2=1a2 .ĐPCM. Một số Đề luyện thi vào chuyên Toán 9 §Ò 13 Bài 1 (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011. Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó? Bài 2 (1 đ): Chứng minh rằng với mọi n N* Bài 3 (1,5 đ): Giải phương trình a/ + = 6x -5-x2 b/ Bài 4 (0,5 đ): Chứng minh rằng x, y, z, + + đều là các số hữu tỉ thì ,, cũng là các số hữu tỉ. Bài 5 (1,5 đ): 1/ Chứng minh rằng nếu một đưởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng đó có dạng 2/Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 a/ Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi mc/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng là lớn nhất. Bài 6 (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB). Vẽ đường cao OH, AK biết OA = a, . a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và . b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2. Từ đó biểu diễn sin2, cos2 theo sin, cos. Bài 7 (2 đ) : Cho hình vuông ABCD. O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. Tính số đo góc AOB ? §Ò 14 Bài 1: (8 điểm) Cho parabol . Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm . Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi. Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Bài 2: (4điểm) Giải hệ phơng trình: Bài 3: (8 điểm) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác. Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho. Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho. §Ò 15 Bài 1: (7 điểm) Giải phương trình: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có: Bài 2: (6 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N. Chứng minh rằng tích là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng , khi đó cho biết vị trí của điểm E ? Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đường kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất. §Ò 16 Bài 1: (8 điểm) Cho phương trình . Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thoả mãn hệ thức . Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của để nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất. Bài 2: (4điểm) Giải phương trình: (2) Bài 3: (8 điểm) Cho tam giác ABC có ( là hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó. Đề 17 Bài 1: (7 điểm) Giải hệ phơng trình: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức: Thì Bài 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau. A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và ngời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và ngời song sinh của C là hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ? Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Đờng tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD. Đờng tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đờng tròn (O). Đờng tròn (O3) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đờng tròn (O). Đờng tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1). Tính bán kính của các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R. §Ò 18 ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng HSG líp 9 M«n: To¸n C©u 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Cho số N=k4+2k3 – 16k2 – 2k+15 với k là số nguyên. Tìm điều kiện của k để số N chia hết cho 16. Câu 2: Cho biểu thức: , trong đó x, y, z là các biến khác 0 thoả mãn điều kiện: . Hỏi biểu thức M có thể nhận giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Câu 3: Cho phương trình ẩn x, y: x2+3y2+2xy – 10x – 14y+18 = 0 Tìm nghiệm số của phương trình mà tổng giá trị của x và y: Đạt giá trị lớn nhất; Đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4: Cho a, xR, a>0. Chứng minh rằng: Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O. Gọi diện tích của tứ giác ABCD là S, gọi diện tích của các tam giác AOB và COD lần lượt là S1 và S2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai cạnh AB và CD song song với nhau là: . (§Ò 19) ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng HSG líp 9 M«n: To¸n Bµi 1: (2 ®iÓm): Chøng minh r»ng: với mọi x không âm; Giải hệ phương trình: Giải phương trình: Bài 2 (2 điểm): Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho cũng là số nguyên tố? Cho hai số x, y thoả mãn: . Hãy tính giá trị của biểu thức ? Tìm các số nguyên a để phương trình có nghiệm nguyên? Bài 3 (2,5 điểm): Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + y2 – xy – x – y + 1 =0; Giải phương trình: Bài 4 (1 điểm): Cho x>0; y>0 thoả mãn . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? Bài 5 (2,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính BC=2R và điểm A thay đổi trên (O) (A không trùng với B, C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt (O) tại K (K khác A). Hạ AH vuông góc với BC. Đặt AH=x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2+HK2 luôn là một đại lượng không đổi. Tính số đo góc B của tam giác ABC biết . §Ò 20 ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng HSG líp 9 M«n: To¸n C©u1: Chøng minh r»ng là số chính phương khi và . Câu 2: Cho đa thức P(x) nguyên và P(x) chia hết cho 3 khi với . Chứng minh rằng: P(m) chia hết cho 3 với . Câu 3: a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình (a là tham số và a>0) Câu 4: Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (O;R) và M là một điểm trên đường tròn đó. Gọi độ dài MA, MB, MC, MD lần lượt là a, b, c, d. Chứng minh rằng: a2b2 +b2d2 =10R4 Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S=... §Ò 21 ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng HSG líp 9 M«n: To¸n C©u 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh trên tập hợp các số hữu tỉ. Giải hệ phương trinh Câu 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(4;3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là số nguyên tố. Câu 3: Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn a+b+c=2. Chứng minh: Câu 4: (trùng đề 2 thay bằng bài hình thoi) Cho đường tròn (O) đường kính BC=2R và điểm A thay đổi trên (O) (A không trùng với B, C). Đường phân giác góc A của tam giác ABC cắt (O) tại K (K khác A). Hai AH vuông góc với BC. Đặt AH=x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2 +HK2 luôn là một đại lượng không đổi. Tính số đo góc B của tam giác ABC biết . §Ò 22 ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng HSG líp 9 M«n: To¸n 1-a, T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè sao cho với n là số nguyên lón hơn 2. b, Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức: 2(y+z)=x(yz -1) c, Cho số nguyên tố p>3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số . Chứng minh rằng : Trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Cho x là số thực thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P= x+(3-x) a, Giải phương trình : b, Giải hệ phương trình : Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (0). Một tiếp tuyến của đường tròn cắt cạnh AB, AC thứ tự ở D, E. Đặt AD=x; AE=y; DE=z. Chứng minh rằng : a, b, không đổi khi tiếp tuyến DE thay đổi. §Ò 23 ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng HSG líp 9 M«n: To¸n C©u1: 1) Cho hÖ ph­¬ng tr×nh (a, b là tham số) Xác định b để hệ luôn có nghiệm (x; y) với mọi a. 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 3), cắt trục hoành và trục tung tại các điểm A(a; 0) và điểm B(0; b) sao cho a, b là các số nguyên tố. Câu 2: Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Vẽ DH vuông góc với EF (HEF). Chứng minh rằng . Câu 3: 1) Chứng minh rằng F(n) = 4n + 15n – 1 luôn chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương. 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x3 = y3 +2y2+1. Câu 4: Cho a, b, c và a3+b3+c3 = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a2 + b2 + c2 . §Ò 24 ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng HSG líp 9 M«n: To¸n C©u 1: a) Cho a, b > 0, c 0. Chứng minh rằng: b) Giải hệ phương trình: Câu 2: a) Cho p 5 là số nguyên tố sao cho 2p+1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p+1 chia hết cho 6 và 2p2+1 không phải là số nguyên tố. b) Giải phương trình nguyên: x3 = y3 + xy +8 Câu 3: a) Tìm tất cả các số nguyên n để bất đẳng thức: (n2 – 1)x < -3n3 – 4n2 +n + 2 đúng với mọi số nguyên dương x. b) Cho x, y, z là các số thực không âm và x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của P = xy+yz+zx. Câu 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và F là trung điểm của NC. Từ A kẻ đường thẳng song song với KF cắt CD tại G. Chứng minh FG là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nội ti