400 bài tập Toán 7 (bồi dưỡng học sinh khá giỏi)

400 bài tập toán 7 (bồi dưỡng học sinh khá giỏi) Phần thứ nhất: Đại số Chương I: Số nguyên 1 Đ . Tập hợp Z các số nguyên 1. Tóm tắt lý thuyết: * Tập hợp Z = { . . .; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . .}gồm các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; . . . và các số mới -1; -2; -3; . . . gọi là tập hợp các số nguyên. * Biểu diễn trên trục số: Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a * Các số -1 và 1; -2 và 2; -3 và 3; ... là các số đối nhau. Số đối của số 0 là chính nó. 2. Các bài toán: Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai: a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên. b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên. Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dưới đây: Hà Nội 180C Bắc Kinh -20C Huế 200C Matxcơva -70C TP Hồ Chí Minh 250C Pari 00C Bài 3: Viết tập hợp M các số nguyên lẻ có một chữ số. Biểu diễn chúng trên trục số. Bài 4: Một chú ốc sên ở vị trí gốc O trên một cây cột cách mặt đất 2 mét (hình 1). Ban ngày chú ốc sên bò lên được 3 mét. Ban đêm chú ta mệt quá "ngủ quên" nên bị tuột xuống dưới: a) 2 mét; b) 4 mét Hỏi sáng hôm sau chú ốc sên cách O bao nhiêu mét trong mỗi trường hợp a, b? 2 Đ. Thứ tự trong Z 1. Tóm tắt lý thuyết: * Cho a, b ẻ Z a nhỏ hơn b điểm a ở bên trái điểm b trên trục số * Giữa hai số nguyên a và a + 1 không tồn tại số nguyên nào. * a < 0 a là số nguyên âm a > 0 a là số nguyên dương Số 0 không là số nguyên âm cũng không là số nguyên dương * Giá trị tuyệt đối của a kí hiệu là |a| |a| = |-a| ³ 0 với mọi a. 2. Các bài toán: Bài 5: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nà sai: a. Số nguyên âm nhỏ hơn số nguyên dương. b. Số nguyên âm nhỏ hơn số tự nhiên. c. Số tự nhiên là số nguyên dương d. Số tự nhiên không phải là số nguyên âm. e. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số nguyên dương. g. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số tự nhiên. h. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số không âm. Bài 6: Cho biết a < b (a ạ 0, b ạ 0). Có tất cả bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về thứ tự của ba số a, b, 0? Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho: a. -3 3 d. x 3 Bài 8: Tìm số nguyên a biết: a. |a| = 2000 b. |a| = -2001 c. |a| = 1999 (a < 0). Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: |x| < 2000 Đ3. Phép cộng trong Z 1. Tóm tắt lý thuyết: a) Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a với mọi a thuộc Z. b) Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối với nhau còn dấu là dấu chung của chúng. c) Cộng hai số khác dấu: - Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0. - tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn trước hiệu tìm được. 2. Các bài toán: Bài 10: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai: a. Tổng của hai số dương là một số dương. b. Tổng của hai số âm là một số âm. c. Tổng của một số âm và một số dương là một số âm. d. Tổng của một số âm và một số dương là một số dương. Bài 11: Tìm số nguyên x và y sao cho: a. |x +2| + |y + 5| = 0 b. ||y| + |x + 2|| + |x| = 0. Bài 12: Tính: a. |a| + a nếu a ³ 0 b. |a| + a nếu a < 0. Đ4. Tính chất của phép cộng 1. Tóm tắt lý thuyết: Giao hoán: a + b = b + a ; với mọi a, b thuộc Z. Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c ; với mọi a, b, c thuộc Z. Cộng với 0: a + 0 = 0 + a = a ; với mọi a thuộc Z. Tính chất giao hoán và kết hợp tổng quát: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b = ... 2. Các bài toán: Bài 13: Tính: a. 1 + (-3) + 5 + (-7) + 9 + (-11) + 13 + (-15) +17 + (-19). b. (-2) + 4 + (-6) + 8 + (-10) + 12 + (-14) + 16 + (-18) + 20. Bài 14: Tính tổng các số nguyên x, biết: a. -10 < x < 10 b. -10 < x Ê 10 c. -10 Ê x Ê 10 Bài 15: Hãy điền các số nguyên vào ô trống (hình 2) sao cho tổng các số trong 3 ô liền nhau bất kỳ theo cột dọc cũng như hàng ngang đều bằng 12. 5 1 6 2 Đ6. Phép trừ trong Z 1. Tóm tắt lý thuyết: * Số đối của số nguyên a ký hiệu là -a Ta có: -(-a) = a |a| = * Phép trừ: a - b = a + (-b) ; a, b ẻ Z 2. Các bài toán: Bài 16: Chứng minh rằng số đối của a - b là b - a (a, b ẻ Z) Bài 17: Tìm x, biết: a. |x| + 5 = 7 b. |x| - 3 = 5 c. 3 - |x| = 5 d. |x + 3| = 0 e. |x - 3| = 1 g. |x + 5| = -3. Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: 1996 < |x + 2| < 2000. Đ6. Quy tắc "dấu ngoặc" 1. Tóm tắt lý thuyết: * Số đối của một tổng bằng tổng các số đối -(a + b) = (-a) + (-b) = -a - b * Tổng đại số: Một dãy các phép cộng trừ liên tiếp các số nguyên được gọi là một tổng đại số. Trong một tổng đại số: a) Ta có thể bỏ dấu ngoặc và: - Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu cộng. - Đổi dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu -. b) Ta có thể thêm dấu ngoặc để nhóm một số hạng tùy ý và: - Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu +. - Đổi dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu -. 2. Các bài toán: Bài 19: Tính tổng đại số sau: S = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + ... - 99 - 100 + 101 + 102 Bài 20: Đơn giản biểu thức sau khi bỏ dấu ngoặc: a. (a + b) - (-c + a + b) b. -(x + y) + (-z + x + y) c. (m - n + p) + (-m + n + p) Bài 21: Tìm x, biết: a. 15 - (3 + x) = 4 b. -11 - (19 - x) = 50 c. (7 + x) - (21 - 13) = 32 d. (7 - x) + (3 - 10) = 0 Bài 22: Tìm các số nguyên x, biết: a. |x - 2| = 3 b. |x - 3| > 1 c. 2 < |x| < 5 Bài 23: Chứng minh đẳng thức sau: a. (a - b) + (c - d) - (a + c) = -(b + d). b. (a - b) - (c - d) + (b + c) = a + d. Đ7. Phép nhân trong Z 1. Tóm tắt lý thuyết: * Nhân một số với 0: a.0 = 0.a = 0 với mọi a thuộc Z. * Nhân hai số nguyên khác 0: a.b = (với mọi a, b thuộc Z) * Chú ý: + Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0. + Khi đổi dấu một thừa số trong tích a.b thì tích đổi dấu (-a).b = a.(-b) = -a.b + Khi đổi dấu đồng thời cả hai thừa số thì tích a.b không đổi dấu: (-a) . (-b) = a.b 2. Các bài toán: Bài 24: Cho a là một số nguyên dương. Hỏi b là số nguyên dương hay nguyên âm nếu: a) a.b là một số nguyên dương. b) a.b là một số nguyên âm. Bài 25: Không thực hiện phép tính hãy điền dấu > hoặc < vào ô trống: a) -105 . 48  0 b) -250 . (-52) . 7  0 c) -17 . (-159) . (-575)  125 . 72 Bài 26: Tìm x, biết: a. -x . (x + 3) = 0 b. (x - 2)(3x - 9) = 0 c. (3 - x)(|x + 5|) = 0 d. (|x| + 1) (4 - 2x) = 0. Bài 27: Cho 11 số nguyên viết trên một vòng tròn trong đó tích của hai số liền nhau luôn bằng 4. Tìm các số đó. Nếu viết 10 số như vậy thì kết quả ra sao? Đ8. Tính chất của phép nhân 1. Tóm tắt lý thuyết: a. Giao hoán: a.b = b.a với mọi a, b thuộc Z. b. Kết hợp: a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c thuộc Z. c. Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với mọi a thuộc Z. d. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c thuộc Z. `* Chú ý: Khi thực hiện phép nhân nhiều số, ta có: + Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn. + Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ. 2. Các bài toán: Bài 28: Bỏ dấu ngoặc: a. (-a) (b - c + d) a, b, c, d ẻ Z b. (a + b) (1 + x + y) a, b, x, y ẻ Z c. (a - b) (a + b) - (b - a)b a, b ẻ Z. Bài 29: Chứng minh các đẳng thức sau: a. a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ; a, b, c Z b. a(b - c) - a(b + d) = -a(c + d) ; a, b, c, d ẻ Z. c. (a + b) (c + d) - (a + d) (b + c) = (a - c) (d - b); a, b, c, d ẻ Z. Bài 30: Tìm x, biết: a. |2x + 1| = 7 b. 3|x + 1| + 1 = 28 Đ9. Bội và ước của một số nguyên 1. Tóm tắt lý thuyết: * a, b ẻ Z nếu có q ẻ Z : a = bq. Ta nói: a là bội của b Hoặc b là ước của a a chia hết cho b (a b) hoặc b chia hết a (b\a) * Tính chất: a, b, c, m ẻ Z , b ạ 0: + a b, bc => a c; + a c, b c => (a ± b) c + a b => am b 2. Các bài toán: Bài 31: a. Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; tổng của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 5. b. Tổng của hai số nguyên liên tiếp có chia hết cho 2 không? Tổng của bốn số nguyên liên tiếp có chia hết cho 4 không? Có thể rút ra kết luận gì? Bài 32: Cho a, b, c là những số nguyên chứng minh rằng nếu a - b chia hết cho c thì có số nguyên t để a = b + ct và ngược lại. Bài 33: Cho biết a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau đây chia hết cho 6 a. a + 5b; b. a + 17b; c. a - 13b. Bài 34: Tìm các số nguyên x và y biết: a. (x + 3)(y + 2) = 1 b. (2x - 5)(y - 6) = 17 c. (x - 1)(x + y) = 33. Ôn tập chương I Bài 35: Cho đẳng thức: 36 = 15 + 12 + 9 + 6 + ... Hỏi tổng ở vế phải của đẳng thức có bao nhiêu số hạng và số hạng cuối cùng là bao nhiêu? Bài 36: Cho 5 số nguyên a1, a2, a3, a4, a5. b1, b2, b3, b4, b5 là một hoán vị của 5 số đã cho. Chứng minh rằng tích (a1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia hết cho 2. Bài 37: Tìm số nguyên x, biết rằng: a. (x - 3)(x + 2) > 0 b. (2x - 4)(x + 4) < 0 Bài 38: Tìm các số nguyên x, y sao cho (x - 2)2 . (y - 3) = -4 Bài 39: Tìm các số nguyên x, y sao cho (x + 2)2 + 2((y - 3)2 < 4 Bài 40: Tìm số nguyên x, biết rằng: (3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = 0 Chương II: Số hữu tỷ Đ1. Phân số 1. Tóm tắt lý thuyết * là một phân số với a, b ẻ Z; b ạ 0 * * (m ạ 0, a m, b m) 2. Các bài toán: Bài 41: a) Các phân số sau đây có bằng nhau không? và; và ; và b) Cho a và b là hai số nguyên (b ạ 0). Chứng minh rằng các phân số sau bao giờ cũng bằng nhau: và ; và Bài 42: a) Viết các phân số sau dưới dạng phân số có mẫu dương: ; ; b) Viết tập hợp các phân số bằng: ; Bài 43: a) Không cần tính toán có thể khẳng định ngay các cặp phân số sau đây không bằng nhau, tại sao? và ; và ; và b) Quy đồng mẫu các phân số: và ; , và Đ2. Tập hợp Q các số hữu tỉ. 1. Tóm tắt lý thuyết: * Các phân số bằng nhau có cùng một giá trị, giá trị đó gọi là một số hũu tỉ. Mỗi số hữu tỉ đều có thể viết dưới dạng với b ạ 0 và a, b ẻ Z * Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: - Chia đoạn đơn vị của trục số thành b phần bằng nhau , mỗi phần là . - Nếu a > 0 thì số được biểu diễn bằng một điểm bên phải 0 và cách 0 một đoạn bằng a lần của . - Nếu a < 0 thì số được biểu diễn bằng một điểm bên trái điểm 0 và cách 0 một đoạn bằng |a| lần của . 2. Các bài toán: Bài 44: Điền các ký hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (trong mỗi trường hợp xét các khả năng có thể xảy ra). a. 2000 ẻ  b. -2000 ẻ  c. ẻ  d. ẻ  Bài 45: a. Tìm |x| , biết: x = -7; x = ; x = ; x = 0 b. Tìm x, biết: |x| = ; |x| = 0; |x| = ; |x| = Bài 46: Cho các số hữu tỷ: x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = a. Hãy so sánh các số hữu tỷ đó. b. Viết tập hợp các số hữu tỷ bằng các số hữu tỷ trên. Đ3. Thứ tự trong Q 1. Tóm tắt lý thuyết: * x, y ẻ Q; x = , y = (m > 0) x a < b x y > x Nếu x < y thì trên trục số điểm x ở bên trái điểm y. * Số hữu tỷ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỷ dương. Số hữu tỷ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỷ âm Số 0 không là số hữu tỷ dương cũng không là số hữu tỷ âm. 2. Các bài toán: Bài 47: a. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự tăng dần: b. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự giảm dần: Bài 48: Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự x x < z (x, y, z ẻ Q). Hãy so sánh: a. và b. và c. và d. và Bài 49: Cho hai số nguyên a, b trong đó a 0. Chứng minh: Bài 50: Hãy viết ba số hữu tỷ; năm số hữu tỷ; mười số hữu tỷ xen giữa hai số hữu tỷ và . Bài 51: Phần nguyên của số hữu tỷ x, ký hiệu là [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, tức là: [x] Ê x < [x] + 1 Ví dụ: + Vì 1 < 1,2 < 1 + 1 = 2 nên [x] = [1,2] = 1. + Vì 3 Ê 3 < 3 + 1 = 4 nên [x] = [3] = 3 Hãy tìm ; ; [-4] ; [-4,75] ; . Đ4. Phép cộng và phép trừ trong Q 1. Tóm tắt lý thuyết: * x, y ẻ Q; x = , y = (m > 0) x + y = + = * Mỗi số hữu tỷ x đều có một số đối, ký hiệu là -x, sao cho x + (-x) = 0 * Trừ hai số hữu tỷ: x - y = x + (-y). 2. Các bài tập: Bài 52: Tìm số đối của: . Tính tổng của các số đối vừa tìm được. Bài 53: a. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x thì -(-x) = x b. Chứng minh rằng số đối của một số hữu tỷ dương là một số hữu tỷ âm và ngược lại. Bài 54: Tìm x, biết: a. x - 12 = b. x - = 0 c. |x - 3| = 3 Bài 55: Chứng minh rằng: a. ; a, b ẻ Z , b > 0. b. ; a, b ẻ Z , b > 0. Bài 56: Tìm [x], biết: a. x - 1 < 5 < x b. x - < 0 < x c. x < 17 < x + 1 d. x < -10 < x + . Bài 57: Cho x là một số hữu tỷ tùy ý, phần lẻ của x, ký hiệu {x} là: {x} = x - [x] Ví dụ: {1,2} = 0,2 vì 1,2 - 1 = 0,2 {-1,2} = -1,2 - [-1,2] = -1,2 - (-2) = 0,8 Chứng minh rằng: a. Với mọi số hữu tỷ x ta đều có : 0 Ê {x} <1. b. {x} = 0 nếu x là số nguyên và ngược lại. Bài 58: Tìm {x}, biết: x = ; ; 0,95 ; -3,25 . Đ5. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ 1. Tóm tắt lý thuyết: * Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ x, ký hiệu |x| được xác định như sau: |x| = * Trong một tổng đại số các số hữu tỷ, ta có thể: 1) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng. 2) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu trước dấu ngoặc là dấu "-" thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc. 2. Các bài toán: Bài 59: Tính giá trị của biểu thức khi x = ; A = - |x + 1| + Bài 60: Làm phép tính sau khi br dấu giá trị tuyệt đối a. + |x - 3| với x ³ 3 b. - + với x > 2 Bài 61: Tìm x, biết: a. b. 6 - = Bài 62: Tính: a. b. . Đ6. Phép nhân trong Q 1. Tóm tắt lý thuyết: * Tích của hai số hữu tỷ x = ; y = được xác định như sau: x . y = * Khi nhân nhiều số hữu tỷ, ta có: + Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn. + Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ. 2. Các bài toán: Bài 63: Cho x, y ẻ Q. Chứng minh rằng: a. Nếu tích xy = 0 thì một trong các thừa số của tích phải bằng 0. b. x.y = Bài 64: Cho x, y ẻ Q. Chứng minh rằng: a. -(xy) = (-x)y = x(-y) b. |xy| = |x| . |y| Bài 65: Tìm x, biết: a. x (x + ) = 0 b. (x + )( - x) = 0 c. (|x + 1| + 2)(x + ) = 0 với x > Đ7. Phép chia trong Q 1. Tóm tắt lý thuyết: * Mỗi số hữu tỷ x ạ 0 đều có số nghịch đảo ký hiệu là x-1 sao cho x.x-1 = 1. * Thương của hao số hữu tỷ x, y (với y ạ 0) ký hiệu là x : y hay là tích xy-1 . 2. Các bài tập: Bài 66: Cho x, y ẻ Q, x ạ 0; y ạ 0. Chứng minh: a. (x-1)-1 = x ; b. (xy)-1 = x-1.y-1 ; c. (xy-1)-1 = x-1 . y . Bài 67: Tìm x-1 , biết: a. x = -0,175; b. x = ; c. x = ; d. x = - (2 - 0,75) Bài 68: a. Chứng minh rằng nghịch đảo của một số dương là một số dương, nghịch đảo của một số âm là một số âm. b. Tìm tất cả các số nguyên sao cho nghịch đảo của nó cũng là số nguyên. Bài 69: Tính: a. -3 + ; b. -3 + ; c. -3 + Đ8. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng 1. Tóm tắt lý thuyết: * Phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ: x(y + z) = xy + xz x(y - z) = xy - yz " x, y, z ẻ Q * Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số 2. Các bài toán: Bài 70: Khai triển các tích: a. (a - b)(a + b) + b(2a + b) - a(2b -1) Với a, b ẻ Q b. a(a - b) - b(b - a) Với a, b ẻ Q c. (x + y)(x2 - xy + y2) Với x, y ẻ Q. Bài 71: Đặt thừa số chung : (a, b, c, d, e ẻ Q) a. ab + bd - ac - cd b. ad - bd - be + ce + cd + ae Bài 72: Cho a, b, c, d ẻ Q. Chứng minh rằng : a. a (b + c) - b (a - c) = ( a + b)c b. a ( b - c) - a (b + d) = -a (c + d) Bài 73: Tìm x, biết : a. 3 (x + 2) - x (x + 2) = 0 b. 5 (x - 1) + 2x (1 - x) = 0 c. (2x - 1) - x (1 - 2x) = 0 Bài 74: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị dương a. x2 - 4x b. (x - 2) ( 3 - x) c. Bài 75: Tìm các số hữu tỉ x, biết : a. b. c. Đ9. 10. 11. Lũy thừa của một số hữu tỷ 1. Tóm tắt lý thuyết : * Lũy thừa với số mũ tự nhiên : xn = x.x...x (n thừa số x); n ạ0, x ạ 0 Với xn gọi là một lũy thừa, x là cơ số, n là số mũ xo = 1 (x ạ 0) *Các tính chất của lũy thừa ; Với x, y ẻ Q, m, n ẻ Z, ta có : 1. xm . xn = x m + n 2. xm : xn = xm - n (x ạ 0) 3. (xm)n = xmn 4. (xy)n = xnyn 5. (x : y)n = xn : yn (y ạ 0) 2. Các bài toán : Bài 76: Tính : a. (-2)3 + 22 + (-1)20 + (-2)0 b. (32)2 - (-52)2 + [(-2)3]2 c. 24 + 8 [(-2)2 : ]0 - 2-2. 4 + (-2)23 Bài 77: Tìm x, biết : a. x2 + 2x = 0 b. (x - 3) + 2x2 - 6x = 0 c. (x2 + 1) (x + 2000) = 0 Bài 78: Tìm n, biết : a. . 27n = 3n b.32. 3-5. 3n = 311 c. 2-1. 2n + 2. 2n = 5. 25 Bài 79: Tính : a. (a - b) (a + b) b. 1002 - 992 + 982 - 972 + ... + 22 - 12 c. (202 + 182 + 162 + ... + 42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + ... + 32 + 12) Bài 80: So sánh : a. 2300 và 3200 b. 5300 và 3500 c. 230 + 330 + 430 và 3.2410 Bài 81: Chứng minh rằng : a. 76 + 75 - 74 chia hết cho 11 b. 109 + 108 + 107 chia hết cho 222 c. 817 - 279 - 913 chia hết cho 45 d. 2454 . 5424. 210 chia hết cho 7263 Bài 82: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì : a. 3n + 2 - 2n + 2 + 3n - 2n chia hết cho 10 b. 3n + 3 + 3n + 1 + 2n + 3 + 2n + 2 chia hết cho 6 Bài 83: Tìm số nguyên dương n, biết a. 64 1 c. 9. 27 3n 243 d.9 < 3 < 27 Bài 84: Tìm số nguyên a sao cho : a. 2a2 + 4a + 5 chia hết cho a +2 b. 4a3 + 14a2 + 6a +12 chia hết cho 2a + 1 Bài 85: Tìm x, biết : a. (x - 2)2 = 1 ; b. (2x - 1)3 = -8 ; c. (x - 1)x + 1 = (x - 1)x + 4 . Bài 86: tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 3)200 Ê 0 . _________________________________________________________ Đ12. 13. Tỉ lệ thức - Các tính chất 1. Tóm tắt lý thuyết: Tỉ số : Thương trong phép chia số hữu tỉ a cho số hữu tỉ b (b ạ 0) gọi là tỉ số của a và b. Tỉ số của a và b kí hiệu là hay a : b. Tỉ lệ thức : Một đẳng thức giữa hai tỉ số được gọi là một tỉ lệ thức. Kí hiệu hay a : b = c : d. Tính chất: Từ tỉ lệ thức ta suy ra ad = bc. Từ đẳng thức ad = bc với a, b, c, d khác 0 cho ta các tỉ lệ thức: ; ; ; . 2. Các bài toán: Bài 87: a) Thay tỉ số các số sau bằng tỉ số giữa các số nguyên: ; 1,7 : 0,85 ; ; 0,02 : 1,3 . b) Các tỉ số sau có lập thành một tỉ lệ thức? và ; 0,25 : 1,75 và . 0,4 : và ; 0,25 : 1,5 và . Bài 88: a) Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số nguyên sau đây không? Nếu có hãy viết tỉ lệ thức đó : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 . b) Tìm thành phần chưa biết của tỉ lệ thức : ; ; ; . Bài 89: Tìm x trong tỉ lệ thức: . ________________________________________________________ Đ14. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 1. Tóm tắt lý thuyết : * * * Các số x, y, z gọi là tỉ lệ với các số a, b, c khi : x : y : z = a : b : c hay 2. Các bài toán : Bài 90:Tìm x, y biết : a. và x + y = - 60 b. và 2x - y = 34 c. và x2 + y2 = 100 Bài 91: Tìm các số x, y, z biết : a. và 4x - 3y + 2z = 36 b. và x - 2y + 3z = 14. bài 92: Chứng minh rằng nếu: thì : a. ; b. . Bài 93: Chứng minh rằng nếu a2 = bc thì . Điều đảo lại có đúng không? Bài 94: Cho bốn số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thỏa mãn a22 = a1a3 , a32 = a2a4 . Chứng minh : Bài 95: Biết Chứng minh rằng : _________________________________________________________ Ôn Chương II Bài 96: Tính Bài 97: Tìm x, y, z biết x + y = ; y + z = ; z + x = Bài 98: Cho ba số a, b, c thỏa a.b.c = 1. Tính : S = Bài 99: Chứng minh rằng nếu : 0 < < < ... < thì Bài 100: Viết 1999 số hữu tỉ trên một vòng tròn, trong đó tích hai số liền nhau luôn bằng . Tìm các số đó Bài 101: Chứng minh rằng : A = 75 . (41999 + 41998 + ... + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài 102: Tìm x, sao cho : Bài 103: Tìm những giá trị của x sao cho a. (4 - x) x Ê 4; b. (x - 2) (x - 3) ³ (2x - 1) (x - 3) + 3 Bài 104: Cho biểu thức : A = (x - 4)(x - 5) Hãy tính giá trị của A, biết x = 7 Bài 105:Tìm các số biết rằng . Và (0, 0, ... , 0, ) Bài 106: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau khi x thay đổi : a. A = - x2 - 2x + 1 b. B = 1 - Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau khi x thay đổi : a. A = + 2 b. B = Bài 108: Tìm x, biết rằng : x = _________________________________________________________ Chương III : hàm số Đ1.2. Đại lượng tỉ lệ thuận - Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận 1. Tóm tắt lý thuyết : * Định nghĩa : Hai đại lượng tỉ lệ thuận x, y liên hệ với nhau bởi công thức : y = ax a là hằng số khác 0, gọi là hệ số tỉ lệ Ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a * Tính chất : x và y la hai đại lượng tỉ lệ thuận thì : 2. các bài toán : Bài 109: Cho biết x và y la hai đại lượng tỉ lệ thuận, biết hai giá trị và của x có hiệu bằng 2 thì hai giá trị tương ứng và có hiệu bằng -1 a. Viết công thức mô tả mối liên hệ giữa x và y b. Điền vào bảng giá trị dưới đây : x -4 -2 -1 0 1 3 4 y -1 Bài 110: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các số. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các số3; 5; 8 và hai lần số cây của lớp 7A cộng với bốn lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 108 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được. Bài 111: Chia một số a thành ba phần A, B, C theo tỉ lệ 7; 6; 5. Sau đó chia số a cũng thành ba phần A', B', C', nhưng lại theo tỉ lệ 6; 5; 4. a. Hỏi so với lần chia đầu, thì lần chia sau A', B', C' tăng hay giảm. b. Biết rằng có một phần tăng 1200. Tính số a và A', B', C' trong lần chia sau. Bài 112: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1 : 2 : 3 Bài 113: Hai người đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 11 km để đến C. ( Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên đường thẳng).Vận tốc của người đi từ A là 20km/h của người đi từ B là 24km/h.Tính quãng đường mỗi người đã đi biết rằng họ đến C cùng một lúc. Bài 114: Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2 và 3, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5, phần thứ ba và phần thứ tư tỉ lệ với 6 và 7. Bài 115: Nếu của 20 là 4 thì của 10 sẽ là bao nhiêu? Đ3.4. Đại lượng tỉ lệ nghịch - Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch 1. Tóm tắt lý thuyết : * Định nghĩa : Hai đại lượng tỉ lệ nghịch y và x liên hệ với nhau bởi công thức : xy = a hay y = ; a là hằng số khác 0 * Tính chất : x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì : 2. các bài toán : Bài 116: Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5 phút, người thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian như nhau cả hai cùng làm việc thi tiện được cả thảy 84 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được. Bài 117: Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu. Đơn vị thứ nhất có 8 xe và ở cách cầu 1,5 km. Đơn vị thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3 km. Đơn vị thứ ba có 6 xe và ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ các đơn vị tới cầu. Bài 118:Tìm hai số dương biết tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ nghịch với 35, 210 và 12. Bài 119: Chia số 393 thành những phần tỉ lệ nghịch với các số 0,2; 3 Bài 120: Giá hàng hạ 20%. Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu % hàng ? Đ5. Hàm Số 1.tóm tắt lý thuyết : * Định nghĩa hàm số : cho X, Y là hai tập hợp số. Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá tri x ẻ X một và chỉ một giá trị y ẻ Y, mà ta kí hiệu là y = f(x). Ta viết : f : X Y x y = f(x) X là tập nguồn hay tập xác định của hàm số f Y là tập đích của hàm số f x là biến (x ẻ X) y = f(x) là giá trị của f tại x 2. các bài toán : Bài 121: Trong các tương ứng sau đây, tương ứng nào xác định một hàm số chỉ rõ tập nguồn, tập đích và giá trị tương ứng của hàm số. Y Y Y Y X X X X Bà 122: Bảng dưới đây có xác định cho ta một hàm số không? Nếu có hãy chỉ ra tập nguồn, tập đích và các giá trị của hàm số a. x 0 1 2,5 3 1 4 y 0 -2 4 2 1 3 b. x -2 4 0 -1 3 5 y 4,5 4,5 1 0 -4 -6 Bài 123: Cho hai tập hợp A = {-6; -4; 0; 2} và B = {3; 5}. Giữa các phần tử của A và B cho ta các tương ứng sau : a. Tương ứng f xác định bởi các cặp số (-6; 3); (-4; 5); (0; 3); (2; 5) b. Tương ứng g xác định bởi các cặp số (-6; 3); (-4; 5); (-6; 5); (0; 3); (2; 3) c. Tương ứng k xác định bởi các cặp số (-6; 5); (-4; 3); (2; 5) Vẽ sơ đồ mũi tên của f, g và k. Tương ứng nào cho ta một hàm số từ A đến B ? Bài 124: Cho hai tập hợp X = {1; 3}; Y = {0; 2; 4}. Hãy xác định tất cả các hàm số đi từ tập X đến tập Y; từ tập Y đến tập X. Bài 125: Cho hàm số : ; a. Tính b. Tính c. So sánh và d. Tìm x để Đ6. Mặt phẳng tọa độ 1. tóm tắt lý thuyết : * Mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau : trục hoành Ox và trục tung Oy. Điểm O là gốc tọa độ (Hình 3). * Mỗi cặp số (a; b) được biểu diễn bởi một điểm M trong mặt phẳng tọa độ. Ta viết M (a; b), cặp số (a; b) là tọa đô của điểm M với a là hoành độ, b là tung độ. Hình 3 2. các bài toán : Bài 126: Các điểm sau đây có trùng nhau không ? a. A (3; 4) ; B (4; 3) b. C (1; 2) ; D (1; 2) c. M (a; b) ; M (b; a) Bài 127: Các trục tọa đọ chia mặt phẳng thành bốn phần gọi là các góc phần tư được đánh số như hình 3. Điểm A (x, y) nằm ở góc phần tư nào, nếu : a. x > 0, y > 0 b. x > 0, y < 0 c. x 0 d. x < 0, y < 0 Bài 128: Tìm trên mặt phẳng tọa đô Oxy tất cả các điểm có : a. Hoành độ bằng 0 b. Tung độ bằng 0 c. Hoành độ bằng 1 d. Tung độ bằng -2 e. Hoành độ bằng số đối của tung độ g. Hoành độ bằng tung độ Bài 129: Cho hệ trục tọa đ